湖南省郴州市平和中學2021年高一數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若指數函數的圖象經過點，則=（

）A.4

B.2

C.1

D.0參考答案：B2.對于任意實數、、、，下列命題中，真命題為（）．①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．① B．② C．③ D．④參考答案：C【考點】R3：不等式的基本性質．【分析】通過舉反例可以得出①、②、④不正確，從而排除，由不等式的性質可得只有③正確．【解答】解：當時，①不成立；當時，②不成立；由不等式的性質知③成立，當時，④不成立．綜上，只有③成立，故選．3.已知f（x）是定義在R上的奇函數，且在[0，+∞）單調遞增，若f（lgx）＜0，則x的取值范圍是（）A．（0，1） B．（1，10） C．（1，+∞） D．（10，+∞）參考答案：A【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據函數是奇函數，且在[0，+∞）單調遞增，得到函數在R上單調遞增，利用函數的單調性解不等式即可得到結論．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且在[0，+∞）單調遞增，∴函數在R上單調遞增，且f（0）=0，則由f（lgx）＜0=f（0）得lgx＜0，即0＜x＜1，∴x的取值范圍是（0，1），故選：A．4.下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗(噸)的幾組對應數據：34562.53

4.5若根據上表提供的數據用最小二乘法可求得對的回歸直線方程是0.7+0.35，則表中的值為（

）A．4

B．4.5

C．3

D．3.5參考答案：A略5.設集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）

（A）3個

（B）4個

（C）5個

（D）6個參考答案：A

解析：，故選A。也可用摩根律：6.已知集合A=，B=，則A與B的關系是（

）A．A

B．

C．B

D．參考答案：C7.三棱錐中，，是等腰直角三角形，.若為中點，則與平面所成的角的大小等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B8.在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，則cosA＋cosB＋cosC的最大值為()A.

B.C．1

D.參考答案：D由sin2A＋cos2B＝1，得cos2B＝cos2A.又A、B為△ABC的內角，所以A＝B，則C＝π－2A.cosA＋cosB＋cosC＝2cosA＋cos(π－2A)＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－22＋，可知當cosA＝時，cosA＋cosB＋cosC取得最大值.9.的斜二側直觀圖如圖所示，則的面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略10.數列{an}滿足，則an=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】8H：數列遞推式．【分析】利用數列遞推關系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2時，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1=，∴3n﹣1an=，可得an=．n=1時，a1=，上式也成立．則an=．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設集合={a2，a+b，0}，則a2014+b2015=

．參考答案：1【考點】集合的包含關系判斷及應用．【分析】根據集合相等的條件建立條件關系，即可求出a，b的值，進而可得a2014+b2015的值．【解答】解：∵集合A={a，，1}，B={a2，a+b，0}，且A=B，∴a≠0，則必有=0，即b=0，此時兩集合為A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}，∴a2=1，∴a=﹣1或1，當a=1時，集合為P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不滿足集合元素的互異性．當a=﹣1時，P={﹣1，0，1}，集合Q={1，﹣1，0}，滿足條件，故a=﹣1，b=0．a2014+b2015=1，故答案為：1．12.若函數f（x）=在（﹣∞，+∞）單調遞增，則實數a的取值范圍是．參考答案：[，2）【考點】函數單調性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】若函數f（x）=在（﹣∞，+∞）上單調遞增，則每段函數均為增函數，且當x=1時，前一段函數的函數值不大于后一段函數的函數值，由此可構造滿足條件的不等式組，解出實數a的取值范圍．【解答】解：∵函數f（x）=在（﹣∞，+∞）上單調遞增，則，解得：a∈[，2）；故實數a的取值范圍是[，2），故答案為：[，2）【點評】本題考查的知識點是函數單調性的性質，熟練掌握分段函數的單調性是解答的關鍵．13.已知實數滿足則點構成的區域的面積為

，的最大值為

參考答案：8，11試題分析：先畫出滿足條件的平面區域，從而求出三角形面積，令，變為，顯然直線過時，z最大進而求出最大值。考點：線性規劃問題，求最優解14.一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據《道路交通安全法》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經過

小時，才能開車？（精確到1小時）.參考答案：515.已知，那么的最小值是_______參考答案：516.已知數列{an}為等比數列，，，則數列{an}的公比為__________．參考答案：2【分析】設等比數列的公比為，由可求出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，數列的公比為2，故答案為：2.【點睛】本題考查等比數列公比的計算，在等比數列的問題中，通常將數列中的項用首項和公比表示，建立方程組來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.17.已知函數f(x)=，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（，+∞）∪（﹣∞，0]

【考點】分段函數的應用．【分析】由題意可得，在定義域內，函數f（x）不是單調的，考慮x≥1時，討論函數的單調性，即可求得結論．【解答】解：依題意，在定義域內，函數f（x）不是單調函數，分情況討論：①當x≥1時，若f（x）=x2﹣3ax不是單調的，它的對稱軸為x=a，則有a＞1，解得a＞；②當x≥1時，若f（x）=x2﹣3ax是單調的，則f（x）單調遞增，此時a≤1，即a≤．當x＜1時，由題意可得f（x）=ax+1﹣4a應該不單調遞增，故有a≤0．綜合得：a的取值范圍是（，+∞）∪（﹣∞，0]．故答案為：（，+∞）∪（﹣∞，0]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）?f（x+α），其中α是常數．（1）設f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）設計一個函數f（x）及一個α的值，使得；（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．參考答案：（1）（2）f（x）=2cosx，α=-（3）【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）?f（x+α）化簡得出．（2）對g（x）化簡得=4cosx?cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．（3）求出g（x）的解析式，由題意得g（x1）為最小值，g（x2）為最大值，求出x1，x2，從而得到|x1-x2|的最小值.【詳解】（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx?cos（x-），∴f（x）=2cosx，α=-．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）?f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）=，因為存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以當x1=2kπ+π或時，g（x）≥g（x1）=-1當時，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1-x2|的最小值是．【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換，三角函數的圖像及性質，考查分段函數的應用，屬于中檔題．19.（本小題滿分10分）已知集合（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍。參考答案：(1)

（2）20.已知函數.

（1）求的定義域；

（2）在函數的圖像上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于軸；

（3）當滿足什么關系時，在上恒取正值.參考答案：解：（1）由得，

（2分）由已知，故，

（3分）即函數的定義域為.

（4分）

（2）設

則.

（5分）

故，

即.在上為增函數.

（6分）

假設函數的圖像上存在不同的兩點，使直線平行于軸，即，這與是增函數矛盾.故函數的圖像上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于軸.

（8分）（3）由（2）知，在是增函數，

在上也是增函數.

（9分）當時，.

（10分）只需，即，即，

（11分）時，在上恒取正值.

（12分）

略21.（10分）如圖所示，近日我漁船編隊在島A周圍海域作業，在島A的南偏西20°方向有一個海面觀測站B，某時刻觀測站發現有不明船只向我漁船編隊靠近，現測得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，上級指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時的速度向島A直線航行以保護我漁船編隊，30分鐘后到達D處，此時觀測站測得B，D間的距離為21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島A？

參考答案：【考點】解三角形的實際應用．【分析】（Ⅰ）由已知可得CD=20，△BDC中，根據余弦定理求得cos∠BDC的值，再利用同角三角函數的基本關系求得sin∠BDC的值．（Ⅱ）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到達A的時間．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得CD=40×=20