專題02全等三角形的判定（1）考點(diǎn)類型知識串講（一）全等三角形的判定——SSS（1）SSS:如果兩個三角形由三邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或簡記為（SSS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定——SAS（1）SAS:如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊”或簡記為（SAS）（2）書寫格式:如圖12-2-6所示,在列舉兩個三角形全等的條件時,一般把夾角寫在中間,以突出兩邊及其夾角對應(yīng)相等,如:圖12-2-6在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特別提醒:①用“SAS”判定兩個三角形全等時,必須滿足“兩邊及它們的夾角”這一條件,在書寫時,一般按“邊角邊”的順序.②有兩邊和其中一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等（三）尺規(guī)作圖（1）作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫射線②用圓規(guī)在射線上截取∴線段AB即為所求（2）作一個角等于已知角已知：求作：作法：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA與點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②作射線③以為圓心,OD長為半徑畫弧,交于點(diǎn)④以為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與⑤過作射線,為所求考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：用SSS證明三角形全等典例1：（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖AB=AC，BD=CD，求證：∠ABD=∠ACD【變式1】（2023秋·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)求證：AB∥DF．【變式2】（2022秋·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求證：∠AFB=2∠ACB．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、M、N、C在同一條直線上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求證：AB∥考點(diǎn)2：全等的性質(zhì)與SSS綜合典例2：（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．【變式1】（2022秋·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下題及證明過程．已知：如圖，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求證：∠BAP=∠CAP．證明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP∴△PAB≌△PAC∴∠BAP=∠CAP

第二步上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程．【變式2】（2022秋·天津?qū)幒印ぐ四昙壧旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：如圖，AB=AE，(1)求證：△ABC≌(2)求∠ADC的度數(shù)．【變式3】（2023秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=DC，AC=DB，求證∠1=∠2．考點(diǎn)3：用SAS證明三角形全等典例3：（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BD，點(diǎn)E在AD上，DC=DE．求證：∠DAC=∠DBE．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在一條直線上，AD=BE，AC=DF，【變式2】（2022秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求證：△ABC≌△DEF．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在BD上，△ABE與△CDF全等嗎？若全等，寫出證明過程；若不全等，請你添加一個條件使它們?nèi)龋懗鲎C明過程．(1)你添加的條件是__________．(2)證明過程：考點(diǎn)4：全等性質(zhì)與SAS綜合典例4：（2023春·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．(1)試說明：AC∥(2)若BF=10，EC=2，求BC的長．【變式1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)校考一模）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，且OB=OC，OA=OD．延長AD到F，延長DA到E，AE=DF，連接CF，BE．求證：BE∥【變式2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，(1)如圖①，若∠AOB=∠COD=60°，求證：AC=BD．(2)如圖②，若∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為__________，∠APB的大小為__________（直接寫出結(jié)果，不證明）【變式3】（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，延長DB至點(diǎn)E，使得DE=AB，連接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求證：AD=BC．考點(diǎn)5：尺規(guī)作圖——作邊典例5：（2023春·廣西南寧·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知線段a和線段AB．(1)延長線段AB到C，使BC=a（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=4，點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，求線段【變式1】（2022秋·陜西榆林·七年級校考期末）如圖，已知線段a，b．作一條線段AB，使它等于b?2a．【變式2】（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB．(1)請用尺規(guī)按下列要求作圖：①延長線段AB到C，使BC=AB，②延長線段BA到D，使AD=AC（不寫畫法，但要保留畫圖痕跡）(2)請直接回答線段BD與線段AC長度之間的大小關(guān)系；(3)如果AB=2cm，請求出線段BD和CD【變式3】（2022秋·福建莆田·七年級校聯(lián)考期末）已知：如圖，線段a和線段b(1)尺規(guī)作圖：求作線段AB=a+b，并在線段BA的延長線上，求作線段AC=a?b；(作圖工具只限直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡)(2)若M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，求MN的長(用含a、b的式子表示)．考點(diǎn)6：尺規(guī)作圖——作角典例6：（2023春·遼寧阜新·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)【變式1】（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中校考期中）已知∠ABC，O為射線BA上一點(diǎn)，在∠ABC內(nèi)部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式2】（2023春·山東棗莊·七年級校考期中）如圖，已知∠ABC及AB上一點(diǎn)A，(1)利用三角板，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，此時線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．(2)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規(guī)在BC下方以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【變式3】（2023·山西·模擬預(yù)測）如圖，OD平分∠AOB，點(diǎn)P為OA上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：以P為頂點(diǎn)，作∠APQ=∠AOB，交OD于點(diǎn)Q（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度數(shù)．考點(diǎn)7：尺規(guī)作圖——作三角形典例7：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）用直尺和圓規(guī)作圖，要求：不寫作法、保留作圖痕跡．已知：△ABC與射線A1求作：△A1B【變式1】（2021秋·河南商丘·八年級校考期中）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第37～38頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C（2）以點(diǎn)A'為圓心，在射線A'D上截取A'B（3）連接線段B'C'請你根據(jù)以上材料完成下列問題：(1)完成下面的證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A'B(____)=(____)(____)=(____)∴△A'(2)這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【變式2】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：線段a，b，c；求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．【變式3】（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知∠a=90°，線段m，n．(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n(2)若∠ABC的度數(shù)是∠ACB的2倍，求∠ABC的度數(shù)．考點(diǎn)8：尺規(guī)作圖與全等綜合典例8：（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C作法：如圖．（1）畫B'（2）分別以點(diǎn)B'，C'為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)（3）連接線段A'B'，A請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A'BB∴△A（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射線CP，使得CP//下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖2，①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AC，AB于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，AD長為半徑作弧，交AC的延長線于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，DE長為半徑作弧，兩弧在∠FCB內(nèi)部交于點(diǎn)P；④作射線CP．所以射線CP就是所求作的射線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接FP，DE．∵CF=AD，CP=AE，F(xiàn)P=DE．∴△ADE≌△__________，∴∠DAE=∠__________，∴CP//【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小剛自己研究了用直尺、圓規(guī)平分一個已知角的方法：（1）在OA和OB上分別截取OD=（2）分別以D，E為圓心，以大于12DE長為半徑作弧，在∠（3）作射線OC，則有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理嗎？【變式3】（2021秋·北京·八年級校考期中）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點(diǎn)C'（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線l'，使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．同步過關(guān)1．（2022秋·廣西玉林·八年級校考階段練習(xí)）如圖，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，則CD等于（

）A．6 B．4 C．3 D．52．（2023秋·重慶渝北·八年級重慶市渝北中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE=AF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（?）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對3．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級校考期末）如圖，若已知AE=AC，用“SAS”說明△ABC≌△ADE，還需要的一個條件是（

）A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO4．（2023秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加條件正確的是（

）A．∠DAE=∠BAC B．∠B=∠CC．∠D=∠E D．∠B=∠E5．（2022秋·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，若用“SAS”說明△ABC≌△BAD，則還需添加的一個條件是（

）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD6．（2022秋·八年級課時練習(xí)）圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，尺規(guī)作圖痕跡顯示的是（

）A．作線段CE的垂直平分線 B．作∠AOB的平分線C．連接EN，則△CEN是等邊三角形 D．作CN7．（2023秋·福建泉州·八年級泉州第十六中學(xué)校考期中）如圖，已知∠BAD=∠CAD，則下列不能判定ΔABD≌ΔACDA．AB=AC B．∠B=C．BD=CD D．∠ADB=8．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點(diǎn)E，使得BE=BC，連接DE．若∠ADE=30°，則A．60° B．71° C．75° D．76°9．（2022春·廣東梅州·七年級校考階段練習(xí)）下列不能判斷兩個三角形全等的條件是（

）A．有兩邊及一角對應(yīng)相等 B．有兩邊及夾角對應(yīng)相等C．有三條邊對應(yīng)相等 D．有兩個角及夾邊對應(yīng)相等10．（2022春·山西·七年級山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，利用尺規(guī)過點(diǎn)C作OA的平行線CM，其作圖過程如下：在OB上取一點(diǎn)D，以O(shè)圓心、OD為半徑畫弧，弧交OA于點(diǎn)F，再以C圓心、OD為半徑畫弧，該弧與CB交于點(diǎn)E，再以E為圓心、DF為半徑畫弧，圓心為C的弧與圓心為E的弧交于點(diǎn)M，作射線CM，則OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，進(jìn)而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作圖過程中的依據(jù)不包括（A．圓的半徑相等 B．兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．同位角相等，兩直線平行 D．全等三角形的對應(yīng)角相等11．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個條件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD12．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL13．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖①，已知∠ABC，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖②，步驟如下：第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA，BC于點(diǎn)D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；第三步；畫射線BP，射線BP即為所求．下列敘述不正確的是（

）A．a(chǎn)>0 B．作圖的原理是構(gòu)造SSS三角形全等C．由第二步可知，DP=EP D．b<114．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE，若∠A＝50°，則∠BDE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°15．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上兩點(diǎn)且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，則∠BCF的度數(shù)為（

）A．150° B．40° C．80° D．70°二、解答題16．（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求證：∠A=∠C．17．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、E、B、F在同一直線上，CE=BF，AC//DF，AC=18．（2023春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期中）如圖，C為線段AB外一點(diǎn)．（1）求作直線CD，使得CD//（2）根據(jù)作圖，說明你畫的直線符合要求的原因．19．（2022秋·廣東江門·八年級江門市怡福中學(xué)校考期中）已知：如圖，點(diǎn)A，C，B，D都在一條直線上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求證：AM∥CN．20．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上．(1)在AC邊上求作點(diǎn)E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠A＝65°，求∠AED的度數(shù)．21．（2022秋·甘肅定西·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求證：△ACD≌22．（2023秋·陜西咸陽·八年級校考開學(xué)考試）已知：如圖，AD＝BC且AD∥BC，E、F是AC上的兩點(diǎn)，且AF＝CE．求證：DE＝BF且DE∥BF．23．（2023秋·天津?qū)幒印ぐ四昙夒A段練習(xí)）如圖，已知∠1=∠2，AO=BO．求證：AC=BC．24．（2023春·陜西西安·七年級西安市西光中學(xué)校考階段練習(xí)）尺規(guī)作圖：如圖在三角形ABC中過點(diǎn)A作邊BC的平行線AD．（不寫畫法，保留作圖痕跡）25．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．(1)求證：AC＝BD．(2)求∠APB的度數(shù)．三、填空題26．（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖所示的方法進(jìn)行測量，其中OA=OD，OB=OC，測得AB=7厘米，EF=9厘米，則圓形容器的壁厚是___________厘米．27．（2023·八年級課前預(yù)習(xí)）__________相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“_______”或“SSS”）．如圖，用符號語言表達(dá)為：在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EF∴△ABC≌△________（SSS）．28．（2022春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）用用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線示意圖如圖所示，則說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是______（填寫：SSS或SAS或ASA或AAS）．29．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是一個測量工件內(nèi)槽寬的工具，點(diǎn)O既是AA'的中點(diǎn)，也是BB'的中點(diǎn)，若測得AB=5cm，則該內(nèi)槽30．（2022秋·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，△EFG和△HIJ都是等邊三角形，連接HG，EI交于點(diǎn)P，則∠EPH=_________度．31．（2023秋·廣西北海·九年級校考階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，則∠D＝_____．32．（2022秋·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，桌面上放置一個等腰直角△ABC，直角頂點(diǎn)C頂著桌面，若另外兩個頂點(diǎn)與桌面的距離分別為5cm和3cm，過另外兩個頂點(diǎn)向桌面作垂線，則兩個垂足之間的距離DE的長度為______33．（2023春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=_____°．34．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且CD=BE，BD=CF．若∠EDF=42°，則35．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點(diǎn)，AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則∠FAG的度數(shù)為________．

專題02全等三角形的判定（1）考點(diǎn)類型知識串講（一）全等三角形的判定——SSS（1）SSS:如果兩個三角形由三邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或簡記為（SSS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定——SAS（1）SAS:如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊”或簡記為（SAS）（2）書寫格式:如圖12-2-6所示,在列舉兩個三角形全等的條件時,一般把夾角寫在中間,以突出兩邊及其夾角對應(yīng)相等,如:圖12-2-6在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特別提醒:①用“SAS”判定兩個三角形全等時,必須滿足“兩邊及它們的夾角”這一條件,在書寫時,一般按“邊角邊”的順序.②有兩邊和其中一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等（三）尺規(guī)作圖（1）作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫射線②用圓規(guī)在射線上截取∴線段AB即為所求（2）作一個角等于已知角已知：求作：作法：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA與點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②作射線③以為圓心,OD長為半徑畫弧,交于點(diǎn)④以為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與⑤過作射線,為所求考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：用SSS證明三角形全等典例1：（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖AB=AC，BD=CD，求證：∠ABD=∠ACD【答案】見詳解【分析】連接AD，證明△ABD≌△ACDSSS【詳解】證明：連接AD，如圖所示，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS∴∠ABD=∠ACD；【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)求證：AB∥DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由SSS證明△ABC≌△DFE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠DFE，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵BE=FC，∴BE+CE=FC+CE，即BC=FE，在△ABC和△DFE中，AB=DFAC=DE∴△ABC≌△DFE(SSS（2）由（1）知ΔABC?∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握平行線的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求證：∠AFB=2∠ACB．【答案】見解析【分析】先根據(jù)SSS定理得出△ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根據(jù)∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出答案．【詳解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BD∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，同時涉及三角形外角和定理，掌握相關(guān)定理知識是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、M、N、C在同一條直線上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求證：AB∥【答案】證明見解析【分析】根據(jù)AB=CD，BN=DM，AM=CN，利用SSS定理證明△ABN≌△CDM，從而得到∠A=∠C，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，AB∥【詳解】證明：∵AM=CN∴AM+MN=CN+MN∴AN=CM在△ABN和△CDM中AB=CDBN=DM∴△ABN≌△CDM(SSS)∴∠A=∠C∴AB∥【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法和性質(zhì)，以及平行線的判定，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等．考點(diǎn)2：全等的性質(zhì)與SSS綜合典例2：（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．【答案】48°【分析】根據(jù)題意，直接根據(jù)SSS證明△ABC≌【詳解】解：在△ABC和△AED中，AB=AEBC=DE∴△ABC≌∴∠D=∠C=48°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL．【變式1】（2022秋·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下題及證明過程．已知：如圖，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求證：∠BAP=∠CAP．證明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP∴△PAB≌△PAC∴∠BAP=∠CAP

第二步上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程．【答案】上面的過程不正確．錯在第一步．證明過程見解析【分析】先證明PB=PC，再用SAS或SSS證明△PAB≌【詳解】解：上面的過程不正確．錯在第一步．證明：∵AB∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABP=∠ACP，∴∠ABC+∠ABP=∠ACB+∠ACP即∠PBC=∠PCB，∴PB=PC．在△PAB和△PAC中AB=AC∴△PAB≌∴∠BAP=∠CAP．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式2】（2022秋·天津?qū)幒印ぐ四昙壧旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：如圖，AB=AE，(1)求證：△ABC≌(2)求∠ADC的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)80°【分析】（1）直接利用SSS證明△ABC≌（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAD=∠BAC=30°，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：在△ABC和△AED中，AB=AEAC=AD∴△ABC≌△AEDSSS（2）解：∵△ABC≌∴∠EAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=∠E+∠EAD=80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=DC，AC=DB，求證∠1=∠2．【答案】見解析【分析】利用SSS證明△ABC?△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，再由∠1=∠ABC?∠DBC，∠2=∠DCB?∠ACB，即可得出∠1=∠2【詳解】解：在△ABC和△DCB中，AB=DCAC=DB∴△ABC?△DCB，∴∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，又∵∠1=∠ABC?∠DBC，∠2=∠DCB?∠ACB，∴∠1=∠2【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：用SAS證明三角形全等典例3：（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BD，點(diǎn)E在AD上，DC=DE．求證：∠DAC=∠DBE．【答案】見解析【分析】證明△ADC≌△BDE，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADC=∠BDE=90°，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△BDESAS∴∠DAC=∠DBE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在一條直線上，AD=BE，AC=DF，【答案】見解析【分析】根據(jù)線段的和差得到AB=DE，由平行線的性質(zhì)得到∠A=∠EDF，根據(jù)全等三角形的判定定理證得結(jié)論．【詳解】證明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，在△ABC與△DEF中，AB=DE∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEFSAS【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，AAS，ASA，SAS，HL等等．【變式2】（2022秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知條件進(jìn)而可得出△ABC≌△DEF．【詳解】證明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在BD上，△ABE與△CDF全等嗎？若全等，寫出證明過程；若不全等，請你添加一個條件使它們?nèi)龋懗鲎C明過程．(1)你添加的條件是__________．(2)證明過程：【答案】(1)BE=DF，答案不唯一；(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)選擇的全等三角形判定方法添加合適的條件即可；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB∥CD，AB=CD，得【詳解】（1）解：BE=DF（答案不唯一）故答案為：BE=DF（答案不唯一）（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS）．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：全等性質(zhì)與SAS綜合典例4：（2023春·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．(1)試說明：AC∥(2)若BF=10，EC=2，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)BC=6【分析】（1）利用SAS可證明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可證得（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解決問題．【詳解】（1）證明：在△ABC和△DEF中，AB=DF∠A=∠D∴△ABC≌∴∠ACB=∠DEF，∴AC∥DE．（2）解：∵△ABC≌∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，∴BE=CF，∵BF=10，EC=2，∴BE+CF=BF?EC=8，∴BE=CF=4，∴BC=BE+EC=4+2=6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，學(xué)會利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．【變式1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)校考一模）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，且OB=OC，OA=OD．延長AD到F，延長DA到E，AE=DF，連接CF，BE．求證：BE∥【答案】見解析【分析】根據(jù)OA=OD，AE=DF，可得OE=OF，再利用SAS證明△BOE≌△COF，可得∠E=∠F，即可．【詳解】證明：∵OA=OD，AE=DF，∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF．∵∠EOB=∠FOC，OB=OC，∴△BOE≌△COFSAS∴∠E=∠F，∴BE∥【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，(1)如圖①，若∠AOB=∠COD=60°，求證：AC=BD．(2)如圖②，若∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為__________，∠APB的大小為__________（直接寫出結(jié)果，不證明）【答案】(1)證明見解析(2)AC=BD，α【分析】（1）利用SAS證明△AOC≌△BOD，即可得到結(jié)論；（2）與（1）同理可證△AOC≌△BODSAS，得到AC=BD，由△AOC≌△BODSAS得到∠OAC=∠OBD，根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得到【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；（2）∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；如圖②，設(shè)AC與OB相交于點(diǎn)E，∵△AOC≌△BODSAS∴∠OAC=∠OBD，在△AOE和△BEP中，∠OAC=∠OBD，∠AEO=∠BEP,∠OAC+∠AEO+∠AOB=∠OBD+∠BEP+∠APB=180°，∴∠APB=∠AOB=α，故答案為：AC=BD，α【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，延長DB至點(diǎn)E，使得DE=AB，連接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求證：AD=BC．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)已知條件和三角形外角的性質(zhì)證明∠E=∠BAC，進(jìn)而可用SAS證明△ABC≌△EDA，從而可證明AD=BC．【詳解】證明：∵∠DAE=∠ABD，∠DAE=∠BAE+∠BAC，∴∠E=∠BAC，在△ABC和△EDA中，AB=ED∠BAC=∠E∴△ABC≌△EDASAS∴AD=BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．考點(diǎn)5：尺規(guī)作圖——作邊典例5：（2023春·廣西南寧·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知線段a和線段AB．(1)延長線段AB到C，使BC=a（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=4，點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，求線段【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)線段的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出AC=10，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AO=5，則OB=AB?AO=1．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：AB=6，∴AC=AB+BC=10，∵點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，∴AO=1∴OB=AB?AO=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·陜西榆林·七年級校考期末）如圖，已知線段a，b．作一條線段AB，使它等于b?2a．【答案】見解析．【分析】作射線AM，在射線AM上截取AC=b，在線段CA上截取CB=2a，則AB=b?2a即可．【詳解】解：如圖，線段AB即為所求，【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題關(guān)鍵是掌握作一條線段等于已知線段的作法．【變式2】（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB．(1)請用尺規(guī)按下列要求作圖：①延長線段AB到C，使BC=AB，②延長線段BA到D，使AD=AC（不寫畫法，但要保留畫圖痕跡）(2)請直接回答線段BD與線段AC長度之間的大小關(guān)系；(3)如果AB=2cm，請求出線段BD和CD【答案】(1)①見解析②見解析(2)BD>AC(3)BD=6cm，【分析】（1）①以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AB的延長線于點(diǎn)C；②以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交BA的延長線于點(diǎn)D，據(jù)此即可畫得；（2）依據(jù)圖形，即可得到線段BD與線段AC長度之間的大小關(guān)系；（3）依據(jù)AB=2cm，可得AC=AD=4cm，進(jìn)而得出BD、【詳解】（1）解：如圖：線段BC、AD即為所求作的線段，（2）解：∵BC=AB，∴AC=2AB，∵AD=AC，∴AD=2AB，∴BD=AD+AB=2AB+AB=3AB，∴BD>AC；（3）解：∵AC=2AB，BD=3AB，AB=2cm∴AC=4cm，BD=6∵AD=AC，∴AD=AC=4cm∴CD=2AD=8cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較線段的長短，作線段，線段的和差，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·福建莆田·七年級校聯(lián)考期末）已知：如圖，線段a和線段b(1)尺規(guī)作圖：求作線段AB=a+b，并在線段BA的延長線上，求作線段AC=a?b；(作圖工具只限直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡)(2)若M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，求MN的長(用含a、b的式子表示)．【答案】(1)見解析(2)a【分析】在射線AF上截取AP=b，在射線PF上截取PB=a，則AB=a+b，在射線AE上截取AQ=a，在線段QA上截取QC=b，則AC=a?b；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出MN=1【詳解】（1）解：在射線AF上截取AP=b，在射線PF上截取PB=a，則AB=a+b，在射線AE上截取AQ=a，在線段QA上截取QC=b，則AC=a?b；如圖所示，AB,AC即為所求；（2）∵AB=a+b，AC=a?b，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AM=12AB∴MN=1【點(diǎn)睛】本題考查了作線段等于已知線段，線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：尺規(guī)作圖——作角典例6：（2023春·遼寧阜新·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)【答案】見解析【詳解】根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作圖即可．【分析】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作與已知角相等的角，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中校考期中）已知∠ABC，O為射線BA上一點(diǎn)，在∠ABC內(nèi)部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見解析【分析】根據(jù)作角等于已知角的方法，進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：如圖所示，∠AOD即為所求；【點(diǎn)睛】本題考查作角等于已知角．熟練掌握尺規(guī)作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·山東棗莊·七年級校考期中）如圖，已知∠ABC及AB上一點(diǎn)A，(1)利用三角板，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，此時線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．(2)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規(guī)在BC下方以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，作出圖形即可；（2）以點(diǎn)B為圓心，已任意長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，再以點(diǎn)G為圓心，以FG長為半徑，在BC的下方畫弧，與之前的弧交于點(diǎn)H，再以點(diǎn)H為圓心，以FG長為半徑，在點(diǎn)H下方畫弧，與第一個弧交于點(diǎn)K，連接BK，并延長至點(diǎn)D，即可得出∠CBD=2∠ABC．【詳解】（1）解：如圖，線段AE即為所求，此時線段AE的長為點(diǎn)A到直線BC的距離．（2）解：如圖，∠CBD即為所求，【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，垂線，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式3】（2023·山西·模擬預(yù)測）如圖，OD平分∠AOB，點(diǎn)P為OA上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：以P為頂點(diǎn)，作∠APQ=∠AOB，交OD于點(diǎn)Q（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠DQP=150°．【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的作法作圖即可；（2）依據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠DQP的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖即為所求；；（2）解：由（1）知PQ∥OB，∴∠PQO=∠DOB，∵OD為∠AOB的角平分線，且∠AOB=60°，∴∠AOD=∠BOD=30°，∴∠PQO=∠DOB=30°，∴∠DQP=180°-30°=150°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的性質(zhì)．考點(diǎn)7：尺規(guī)作圖——作三角形典例7：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）用直尺和圓規(guī)作圖，要求：不寫作法、保留作圖痕跡．已知：△ABC與射線A1求作：△A1B【答案】見解析【分析】先在射線A1M上截取A1C1=AC，再分別以點(diǎn)A1、C1為圓心，以【詳解】解：如圖，△A【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．【變式1】（2021秋·河南商丘·八年級校考期中）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第37～38頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C（2）以點(diǎn)A'為圓心，在射線A'D上截取A'B（3）連接線段B'C'請你根據(jù)以上材料完成下列問題：(1)完成下面的證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A'B(____)=(____)(____)=(____)∴△A'(2)這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【答案】(1)見解析(2)③【分析】（1）根據(jù)作圖信息，利用“SAS”證明三角形全等即可；（2）利用（1）中證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△A'BA'∴△A故答案為：A'C'；AC；∠A'；∠A；A（2）由（1）可知兩個三角形全等的依據(jù)是SAS．故答案為：③【點(diǎn)睛】本題考查了作圖－復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式2】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：線段a，b，c；求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．【答案】見解析【分析】作射線AP，以A為圓心，c為半徑畫弧，交射線AP于點(diǎn)B，分別以A，B為圓心，以b，a為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則【詳解】解：如圖所示，△ABC即為所求；

．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式3】（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知∠a=90°，線段m，n．(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n(2)若∠ABC的度數(shù)是∠ACB的2倍，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)作圖見解析；(2)60°．【分析】（1）先作AD⊥AE于A，再在AD上截取AB=m，然后以B點(diǎn)為圓心，n為半徑畫弧交AE于C，則△ABC滿足條件；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，則90°+∠ABC+1（1）解；如圖，△ABC為所作；（2）解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，而∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，∴90°+∠ABC+1∴∠ABC=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．考點(diǎn)8：尺規(guī)作圖與全等綜合典例8：（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C作法：如圖．（1）畫B'（2）分別以點(diǎn)B'，C'為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)（3）連接線段A'B'，A請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A'BB∴△A（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．【分析】（1）先根據(jù)作圖可知A'（2）根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形即可得．【詳解】（1）證明：由作圖可知，在△A'BB'∴△A故答案為：AB,AC,△ABC．（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是SSS，故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知：如圖1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射線CP，使得CP//下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖2，①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AC，AB于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，AD長為半徑作弧，交AC的延長線于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，DE長為半徑作弧，兩弧在∠FCB內(nèi)部交于點(diǎn)P；④作射線CP．所以射線CP就是所求作的射線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接FP，DE．∵CF=AD，CP=AE，F(xiàn)P=DE．∴△ADE≌△__________，∴∠DAE=∠__________，∴CP//【答案】（1）見解析；（2）CFP，F(xiàn)CP，同位角相等兩直線平行【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）如圖，射線CP即為所求作．（2）連接FP，DE．∵CF=AD，CP=AE，F(xiàn)P=DE．∴△ADE≌△CFP，∴∠DAE=∠FCP，∴CP‖AB（同位角相等兩直線平行）．故答案為：CFP，F(xiàn)CP，同位角相等兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小剛自己研究了用直尺、圓規(guī)平分一個已知角的方法：（1）在OA和OB上分別截取OD=（2）分別以D，E為圓心，以大于12DE長為半徑作弧，在∠（3）作射線OC，則有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理嗎？【答案】見解析【分析】利用畫法得到OE=OD，CE=CD，加上OC為公共邊，可根據(jù)“SSS”證明△COD≌△COE，據(jù)此可以得∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC為公共邊，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖以及全等三角形的判定，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．【變式3】（2021秋·北京·八年級校考期中）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點(diǎn)C'（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線l'，使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．【答案】【作圖原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顧思考】作法：以點(diǎn)C'為圓心，以CD為半徑畫弧，與第二步中所畫的弧相交于D【分析】[作圖原理]根據(jù)五種基本作圖判斷即可；[回顧思考]利用全等三角形的判定解決問題即可；[小試牛刀]利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；[創(chuàng)新應(yīng)用]答案不唯一，畫出圖形，說明設(shè)計(jì)意圖即可．【詳解】解：[作圖原理]：（1）過一點(diǎn)作一條直線．可以求作；（2）過兩點(diǎn)作一條直線．可以求作；（3）畫一條長為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；（3）以點(diǎn)C'為圓心，以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，求證：∠A'O'B'＝∠AOB．證明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O'C'∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；

[創(chuàng)新應(yīng)用]：如圖所示（答案不唯一），設(shè)計(jì)意圖：書架中隱藏著無限寶藏，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．同步過關(guān)1．（2022秋·廣西玉林·八年級校考階段練習(xí)）如圖，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，則CD等于（

）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法得出△BAD≌△CAD，再利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論【詳解】解：在△BAD和△CAD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△BAD≌△CAD(SAS)，∴BD=CD，∵BD=4，∴CD=4，故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握其相關(guān)的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵2．（2023秋·重慶渝北·八年級重慶市渝北中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE=AF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（?）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】D【分析】首先要證明△BCF≌△CBE（SAS），得出BF=CE，再證明△ABF≌△ACE（SAS），得出∠BAD=∠CAD，可以證明AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD（HL），△AOE≌△AOF（SAS），△AOB≌△AOC（SAS），得出OE=OF，BO=CO，所以△BOE≌△COF（SSS），△BOD≌△COD（HL），所以一共七對．【詳解】∵AB=AC，AE=AF∴∠ABC=∠ACB，BE=CF∵BC是公共邊∴△BCF≌△CBE∴BF=CE∵AE=AF，AB=AC∴△ABF≌△ACF∴∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD∴△ABD≌△ACD(HL)∵∠BAD=∠CAD.AE=AF，AD=AD∴△AOE≌△AOF∴OE=OF∴BO=CO，BE=CF∴△BOE≌△COF∵BO=CO，BD=CD，OD是公共邊∴△BOD≌△COD∵AB=AC，AO=AO，∠BAO=∠CAO，∴△AOB≌△AOC∴一共七對故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.3．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級校考期末）如圖，若已知AE=AC，用“SAS”說明△ABC≌△ADE，還需要的一個條件是（

）A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO【答案】B【分析】找到根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△ADE需要條件，作出證明即可．【詳解】解：還需添加的條件是AB=AD，理由是：在△ABC和△ADE中，AB=AD∠A=∠A∴△ABC≌△ADESAS故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加條件正確的是（

）A．∠DAE=∠BAC B．∠B=∠CC．∠D=∠E D．∠B=∠E【答案】B【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【詳解】∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB．AB=AC，CE=BD，∠EAC=∠DAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故A選項(xiàng)不符合題意；AB=AC，∠B=∠C，CE=BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACE，故B選項(xiàng)符合題意；AB=AC，CE=BD，∠D=∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故C選項(xiàng)不符合題意；AB=AC，CE=BD，∠B=∠E，不符合全等三角形的判定定理．不能推出△ABD≌△ACE，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，若用“SAS”說明△ABC≌△BAD，則還需添加的一個條件是（

）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知∠1＝∠2，AB為公共邊，所以可添加AC＝BD，根據(jù)SAS可證△ABC≌△BAD．【詳解】解：添加AC＝BD，理由如下：在△ABC和△BAD中，AC=BD∠1=∠2∴△ABC≌△BAD（SAS），故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·八年級課時練習(xí)）圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，尺規(guī)作圖痕跡顯示的是（

）A．作線段CE的垂直平分線 B．作∠AOB的平分線C．連接EN，則△CEN是等邊三角形 D．作CN【答案】D【分析】根據(jù)作圖得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．【詳解】解：連結(jié)EN,在△ODM和△CEN中，OM=CNOD=CE∴△ODM≌△CEN（SSS），∴∠MAD=∠NCE，∴OM∥CN，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，掌握基本作圖，三角形全等判定與性質(zhì)，平行線的判定是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·福建泉州·八年級泉州第十六中學(xué)校考期中）如圖，已知∠BAD=∠CAD，則下列不能判定ΔABD≌ΔACDA．AB=AC B．∠B=C．BD=CD D．∠ADB=【答案】C【分析】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA對各項(xiàng)逐一分析即可得出答案．【詳解】A、添加AB=AC可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；B、添加∠B=∠C可利用AAS判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；C、添加條件BD=CD不能判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)符合題意；D、添加∠ADB=∠ADC可利用ASA判定△ABD≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對全等三角形判定定理的理解和掌握．8．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點(diǎn)E，使得BE=BC，連接DE．若∠ADE=30°，則A．60° B．71° C．75° D．76°【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得三角形全等，得∠BDE=∠BDC，∠【詳解】解：∵BD平分∠ABC∴∠又∵BE=BC，BD=BD∴△BDE≌△BDC(SAS∴∠∵∠ADE=30°，∠BDE=∴∴∠故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·廣東梅州·七年級校考階段練習(xí)）下列不能判斷兩個三角形全等的條件是（

）A．有兩邊及一角對應(yīng)相等 B．有兩邊及夾角對應(yīng)相等C．有三條邊對應(yīng)相等 D．有兩個角及夾邊對應(yīng)相等【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理（SAS、SSS、ASA）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、有兩邊及一角對應(yīng)相等，因?yàn)檫@個角不一定是這兩邊的夾角，所以不能判斷兩個三角形全等，則此項(xiàng)符合題意；B、有兩邊及夾角對應(yīng)相等，滿足SAS定理，能判斷兩個三角形全等，則此項(xiàng)不符合題意；C、有三條邊對應(yīng)相等，滿足SSS定理，能判斷兩個三角形全等，則此項(xiàng)不符合題意；D、有兩個角及夾邊對應(yīng)相等，滿足ASA定理，能判斷兩個三角形全等，則此項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握各判定定理是解題關(guān)鍵．10．（2022春·山西·七年級山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，利用尺規(guī)過點(diǎn)C作OA的平行線CM，其作圖過程如下：在OB上取一點(diǎn)D，以O(shè)圓心、OD為半徑畫弧，弧交OA于點(diǎn)F，再以C圓心、OD為半徑畫弧，該弧與CB交于點(diǎn)E，再以E為圓心、DF為半徑畫弧，圓心為C的弧與圓心為E的弧交于點(diǎn)M，作射線CM，則OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，進(jìn)而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作圖過程中的依據(jù)不包括（A．圓的半徑相等 B．兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．同位角相等，兩直線平行 D．全等三角形的對應(yīng)角相等【答案】B【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖法進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)圓的半徑相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，則有△OFD≌△CME，根據(jù)全等的性質(zhì)：對應(yīng)角相等有∠FOD=∠MCE，根據(jù)同位角相等，兩直線平行有：CM∥根據(jù)上述證明過程可知：B選項(xiàng)沒有作為依據(jù)參與證明，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖步驟．11．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個條件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC∴無法證明△ABE≌選項(xiàng)A說法錯誤，符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)C說法正確，不符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)D說法正確，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定．12．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】A【分析】根據(jù)所給條件證明△ABC≌△DEFSAS【詳解】解：∵AB//DE∴∠BAC=∠EDF∵AD=CF∴AD+DC=CF+DC∴AC=DF在△ABC和△DEF中∵AB=DE∴△ABC≌△DEFSAS故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定條件．解題的關(guān)鍵在于找出證明全等的條件．13．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖①，已知∠ABC，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖②，步驟如下：第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA，BC于點(diǎn)D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；第三步；畫射線BP，射線BP即為所求．下列敘述不正確的是（

）A．a(chǎn)>0 B．作圖的原理是構(gòu)造SSS三角形全等C．由第二步可知，DP=EP D．b<1【答案】D【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線的基本步驟判斷即可【詳解】解：A、∵以a為半徑畫弧，∴a>0，故正確B、根據(jù)作圖步驟可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正確C、∵分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P，∴DP=EP，故正確D、分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，其中b>1故選：D【點(diǎn)睛】本題考查用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線及理論依據(jù)，熟練尺規(guī)作圖的基本步驟是關(guān)鍵14．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE，若∠A＝50°，則∠BDE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】先由直角三角形的性質(zhì)得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再證△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACD，在△CDE和△CDA中，EC=AC∠ECD=∠ACD∴△CDE≌△CDA（SAS），∴∠CED＝∠A＝50°，又∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．15．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上兩點(diǎn)且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，則∠BCF的度數(shù)為（

）A．150° B．40° C．80° D．70°【答案】D【分析】先證△ABD≌△CDB(SSS)，得∠ADE=∠CBF，再證【詳解】解：在△ABD和△CDB中，AB=CDAD=CB∴△ABD≌∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBF∴△ADE≌∴∠BCF=∠DAE，∵∠DAE=∠AEB?∠ADE=100°?30°=70°，∴∠BCF=70°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題16．（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求證：∠A=∠C．【答案】證明見解析【分析】連接BD,證明△ABD≌△CDB,再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：連接BD,∵四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，BD=DB,∴△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形，利用SSS證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.17．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、E、B、F在同一直線上，CE=BF，AC//DF，AC=【答案】見解析.【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，繼而利用SAS可證明結(jié)論．【詳解】解：∵CE∴CE即BC=又∵AC∴∠C在△ABC和△AC=DF∠C=∠F∴△ABC≌△【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．18．（2023春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期中）如圖，C為線段AB外一點(diǎn)．（1）求作直線CD，使得CD//（2）根據(jù)作圖，說明你畫的直線符合要求的原因．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先過點(diǎn)B作射線BE，且BE過點(diǎn)C，然