第05講公因數與最大公因數（2種題型）【知識梳理】1、公因數幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數．2、最大公因數幾個數的公因數中，最大的一個叫做這幾個數的最大公因數．3、求最大公因數求幾個數的最大公因數，只要把它們所有公有的素因數連乘，所得的積就是它們的最大公因數．【考點剖析】一．最大公因數（共12小題）1．（2022秋?浦東新區校級期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數是．2．（2021秋?奉賢區期末）28和32的最大公因數是．3．（2021秋?普陀區期末）12和18的最大公因數是．4．（2021秋?普陀區期末）已知甲數＝2×2×3×5×7，乙數＝2×3×3×5×5，甲數和乙數的最大公因數是．5．（2022秋?嘉定區期中）甲數＝2×2×3，乙數＝2×3×3，甲數和乙數的最大公因數是．6．（2022秋?松江區期中）24與32的最大公因數是．7．（2022秋?徐匯區期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，則A和B的最大公因數是．8．（2022秋?松江區期末）18和42的最大公因數是．9．（2022秋?楊浦區期末）求18與30的最大公因數為：．10．（2022秋?奉賢區校級期中）在中填入適當的數，并填空：A＝，B＝，A和B的最大公因數是．11．（2021秋?金山區期末）甲數＝2×3×5，乙數＝7×11，甲數和乙數的最大公因數是（）A．甲數 B．乙數 C．1 D．沒有12．（2022秋?寶山區期中）已知自然數A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A、B的最大公因數是．13.用短除法求24和36的最大公因數14.用短除法求104和130的最大公因數二．最大公因數的應用（共6小題）15．（2022秋?嘉定區期中）有三根繩子，分別長36米，54米，63米，現在要將它們裁成長度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長可以是幾米？這樣的短繩有幾根？16．（2021秋?寶山區校級月考）凌老師把24塊水果糖和36塊巧克力分別平均分給一個組的學生，結果全部分完，你知道這個組最多有幾位學生嗎？17．（2021秋?靜安區校級期中）學校搞聯歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束．如果每個花束的紅花朵數相同，黃花的朵數也相同，那么最多可以扎成束花．18．（2022秋?松江區期中）一張長36厘米，寬20厘米的長方形紙片，把它裁成大小相等的正方形小紙片而沒有剩余，裁出的正方形紙片最少有多少張？19．（2022秋?松江區校級月考）小明把一張長為72厘米，寬為42厘米的長方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，請你幫助小明算一下，裁出的正方形紙片最少有多少張？20．（2021秋?寶山區校級月考）國慶節，老師將帶領18名女生和24名男生去敬老院慰問孤老，老師把同學分成人數相等的若干組，每個小組中的男生人數都相等．問這42名同學最多能分成幾組？【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·上海金山·六年級校聯考期末）甲數，乙數，甲數和乙數的最大公因數是（

）A．甲數 B．乙數 C．1 D．沒有2．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）等式，m和n的最大公因數是（

）A．m； B．n； C．1； D．不確定．3．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）長度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米4．（2022秋·上海·六年級專題練習）a是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數是（

）A．a B．b C．3 D．無法確定5．（2023·上海·六年級假期作業）若a、b為正整數，且，則下列何者不可能為a、b的最大公因數？（）A．1 B．6 C．8 D．126．（2023春·上海·八年級專題練習）小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80二、填空題7．（2022秋·上海·六年級校考階段練習），則和的最大公因數是_________．8．（2022秋·上海·六年級專題練習）16和20的公因數有________________，它們的最大公因數是_______________．9．（2022秋·上海·六年級專題練習）相鄰兩數的最大公因數是_____．10．（2022秋·上海長寧·六年級上海市延安初級中學校考期中）已知正整數a、b滿足，則a與2的最大公因數是______．11．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）24和32的公因數有______________________．12．（2022秋·上海寶山·六年級校考期末）已知甲數，乙數，那么甲數和乙數的最大公因數是________．13．（2022秋·上海普陀·六年級統考期中）如果甲數，乙數，甲、乙兩數的最大公因數是6，那么A的值為_____．14．（2022秋·上海奉賢·六年級校聯考期中）已知，，、兩數的最大公因數是，那么的值___________．15．（2022秋·上海浦東新·六年級校考期中）已知，，那么和的最大公因數是______．16．（2022秋·上海·六年級專題練習）如果，那么a與b的最大公因數是______；如果，那么a與b的最大公因數是_____．17．（2022秋·上海·六年級專題練習）學校搞聯歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束，如果每個花束的紅花朵數相同，黃花的朵數也相同，那么最多可以扎成______束花．18．（2022秋·上海·六年級專題練習）兩個數之和為90，且它們的最大公因數為15，則這兩個數為________________，________________．三、解答題19．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）一張長45厘米，寬6分米的鐵皮，要把它切割成面積相等的正方形，且沒有剩余，切割成的正方形鐵皮至少有幾張？20．（2022秋·上海·六年級專題練習）一次活動中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個數字是10以內的最大素數；第二個數字既有因數2，又是6的倍數；第三個數字既不是素數也不是合數；第四個數字既是素數又是偶數；第五個數字是最小的奇數與最小的合數的積；第六個數字是所有能被3整除的數的最大公因數．誰能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的？21．（2023·上海·六年級假期作業）在圈內填上滿足條件的數．22．（2022秋·上海徐匯·六年級校考階段練習）現在有練習本34本，橡皮85塊，若要將這些分成若干份同樣的獎品，不得有剩余，最多能分成多少份獎品？每份獎品中練習本，橡皮各有多少份？23．（2023·上海·六年級假期作業）一張長方形的紙片，長為，寬為，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？至少有多少個小正方形？24．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）一塊長2米，寬12分米的長方形木板，要把它鋸成盡可能大、面積相等的正方形，而且鋸后沒有剩余．這塊木板一共可以被鋸成幾塊，鋸成的正方形邊長多少？25．（2022秋·上海·六年級專題練習）有三根鐵絲，長分別為45米、36米、63米，要把它們都截成同樣長的小段，每段長都是整數且不許有剩余，共能截多少個小段？26．（2022秋·上海·六年級專題練習）（1）如圖的長方形，用邊長多少厘米的正方形拼起來正好填滿．（2）用邊長最大的正方形來填滿它，需要幾個？27．（2022秋·上海·六年級專題練習）一條街道如圖所示，長米，長米，長米，要在這條街道的右側等距離地安裝路燈，且要求兩端和轉彎處都必須裝燈，那么這條街道最少要裝多少盞燈？28．（2022秋·上海奉賢·六年級校聯考期中）把45厘米、60厘米的兩根繩子剪成長度一樣的繩子且沒有剩余．每根繩子最長是多少厘米？這樣一共可以剪成多少根？29．（2022秋·上海楊浦·六年級統考期中）小杰家的客廳地面是長4.8米，寬3米的長方形，他家裝修新房時準備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，請問地磚邊長最大是多少厘米？需要多少塊這樣的地磚？30．（2023·上海·六年級假期作業）用短除法求下列各組數的最大公因數．（1）48和72

（2）14、42和56第05講公因數與最大公因數（2種題型）【知識梳理】1、公因數幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數．2、最大公因數幾個數的公因數中，最大的一個叫做這幾個數的最大公因數．3、求最大公因數求幾個數的最大公因數，只要把它們所有公有的素因數連乘，所得的積就是它們的最大公因數．【考點剖析】一．最大公因數（共12小題）1．（2022秋?浦東新區校級期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數是6．【分析】兩個數的公有質因數的連乘積是這兩個數的最大公因數，依此即可求解．【解答】解：已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數是2×3＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了求兩個數的最大公因數的方法的方法：兩個數的公有質因數連乘積是最大公約數；數字大的可以用短除法解答．2．（2021秋?奉賢區期末）28和32的最大公因數是4．【分析】先將28和32分解，再找出最大公因數．【解答】解：28＝2×2×732＝2×2×2×2×2．根據最大公因數的定義，可得28和32的最大公因數是：2×2＝4．故答案為4．【點評】本題考查最大公因數的確定．正確分解兩個數是解本題的關鍵．3．（2021秋?普陀區期末）12和18的最大公因數是6．【分析】首先把12和18分解質因數，判斷出12和18的公因數有哪些；然后判斷出12和18的最大公因數多少即可．【解答】解：把12和18分解質因數為：12＝2×2×3，18＝2×3×3，所以12的公因數有：1、2、3、4、6、12；18的公因數有：1、2、3、6、9、18，根據最大公因數的定義，可得12和18的最大公因數是6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了公因數和最大公因數，以及求幾個數的最大公因數的方法，要熟練掌握．4．（2021秋?普陀區期末）已知甲數＝2×2×3×5×7，乙數＝2×3×3×5×5，甲數和乙數的最大公因數是30．【分析】根據最大公因數的定義可得答案．【解答】解：甲數＝2×2×3×5×7，乙數＝2×3×3×5×5，根據最大公因數的定義，可得甲數和乙數的最大公因數是：2×3×5＝30，故答案為：30．【點評】本題考查了最大公因數，掌握最大公因數的定義是解答本題的關鍵．5．（2022秋?嘉定區期中）甲數＝2×2×3，乙數＝2×3×3，甲數和乙數的最大公因數是6．【分析】求最大公因數也就是這兩個數的公有質因數的連乘積，由此解決問題即可．【解答】解：甲數＝2×2×3，乙數＝2×3×3，根據最大公因數的定義，可得甲數和乙數的最大公因數是：2×3＝6；故答案為：6．【點評】此題主要考查求兩個數的最大公因數的方法：兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數．6．（2022秋?松江區期中）24與32的最大公因數是8．【分析】把24和32分解質因數，即可得出24與32的最大公因數，從而得出答案．【解答】解：24＝2×2×2×3，32＝2×2×2×2×2，根據最大公因數的定義可得，24與32的最大公因數是2×2×2＝8，故答案為：8．【點評】本題考查了最大公因數，把24和32分解質因數是解題的關鍵．7．（2022秋?徐匯區期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，則A和B的最大公因數是6．【分析】根據最大公約數的意義可知：最大公約數是兩個數的公有質因數的乘積，據此解答．【解答】解：A＝2×3×5，B＝2×2×3，A和B公有的質因數是：2和3，所以A和B兩個數的最大公因數是：2×3＝6；故答案為：6．【點評】此題考查了求兩個數的最大公因數的方法：兩個數公有質因數的乘積是它們的最大公約數，所以找準公有的質因數是關鍵．8．（2022秋?松江區期末）18和42的最大公因數是6．【分析】18和42的最大公因數是公有的質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數．【解答】解：18的因數有1、2、3、6、18；42的因數有1、2、3、6、7、21、42，根據最大公因數的定義，可得18和42的最大公因數是6．故答案為：6．【點評】此題考查最大公因數，關鍵是根據最大公因數是公有的質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數解答．9．（2022秋?楊浦區期末）求18與30的最大公因數為：6．【分析】找兩個數的最大公因數可用短除法或者分解質因數的辦法．【解答】解：18＝3×6，30＝5×6，根據最大公因數的定義，可得18與30的最大公因數是6．故答案為：6．【點評】本題考查了公因數和最大公因數，掌握最大公因數的定義是解答本題的關鍵．10．（2022秋?奉賢區校級期中）在中填入適當的數，并填空：A＝30，B＝60，A和B的最大公因數是30．【分析】根據短除法的定義可得A，B的值．【解答】解：由題意，得A＝2×3×5＝30；B＝2×3×5×2＝60；故A和B的最大公因數是30．故答案為：30；60；30．【點評】考查了求兩個數的最大公因數的方法的方法：兩個數的公有質因數連乘積是最大公約數；數字大的可以用短除法解答．11．（2021秋?金山區期末）甲數＝2×3×5，乙數＝7×11，甲數和乙數的最大公因數是（）A．甲數 B．乙數 C．1 D．沒有【分析】求最大公因數也就是這兩個數的公有質因數的連乘積，直接解決問題即可得到答案．【解答】解：∵甲數＝2×3×5，乙數＝7×11，∴甲數和乙數互質，即它們的最大公因數是1．故選：C．【點評】本題考查了求兩個數的最大公因數的方法，掌握兩個數的公有質因數連乘積就是這兩個數的最大公因數是關鍵．12．（2022秋?寶山區期中）已知自然數A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A、B的最大公因數是6．【分析】找出A與B的最大公因數即可．【解答】解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，∴A與B的最大公因數為3×2＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了最大公因數，掌握找最大公因數的方法是關鍵．13.用短除法求24和36的最大公因數【答案】12;【解析】解：如下圖所示，24和36的最大公因數為2×2×3=1214.用短除法求104和130的最大公因數【答案】26；【解析】解：短除法如下圖所示；因為104=2×2×2×13，130=2×5×13，所以104和130的最大公因數是2×13=26；二．最大公因數的應用（共6小題）15．（2022秋?嘉定區期中）有三根繩子，分別長36米，54米，63米，現在要將它們裁成長度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長可以是幾米？這樣的短繩有幾根？【分析】先求出36，54，63的最大公因數，再求可以分成多少段．【解答】解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因數是9，4+6+7＝17，答：每根短繩最長可以是9米，這樣的短繩有17根．【點評】本題考查的是最大公因數的應用，理解題意是解題的關鍵．16．（2021秋?寶山區校級月考）凌老師把24塊水果糖和36塊巧克力分別平均分給一個組的學生，結果全部分完，你知道這個組最多有幾位學生嗎？【分析】根據有理數的乘法解決此題．【解答】解：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，∴24、36的公因數有1、2、3、4、6、12．∴24、36的最大公因數為12．答：這個組最多有12位學生．【點評】本題主要考查最大公因數，熟練掌握有理數的乘法是解決本題的關鍵．17．（2021秋?靜安區校級期中）學校搞聯歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束．如果每個花束的紅花朵數相同，黃花的朵數也相同，那么最多可以扎成12束花．【分析】把這些花分成相同的若干束，就是分得的紅花和黃花的數量，既是36的因數也是48的因數，即是36和48的公因數，要求最多就是求36和48的最大公因數，因此求出36和48的最大公因數就是最多可以分成幾束．【解答】解：分別把36，48分解質因數，得：36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3，根據最大公因數的定義，可得36和48的最大公因數是：2×2×3＝12．所以最多能扎12束．故答案為：12．【點評】本題主要考查了公因數和最大公因數．18．（2022秋?松江區期中）一張長36厘米，寬20厘米的長方形紙片，把它裁成大小相等的正方形小紙片而沒有剩余，裁出的正方形紙片最少有多少張？【分析】根據題意，裁成的正方形邊長最大是多少，是求36和20的最大公因數，求至少可以裁成多少個這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．【解答】解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因數為：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（張），答：裁出的正方形紙片最少有45張．【點評】此題主要考查求兩個數的最大公因數，能夠根據求最大公因數的方法解決有關的實際問題是解題的關鍵．19．（2022秋?松江區校級月考）小明把一張長為72厘米，寬為42厘米的長方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，請你幫助小明算一下，裁出的正方形紙片最少有多少張？【分析】根據題意，裁成的正方形邊長最大是多少，是求72和42的最大公因數，求至少可以裁成多少個這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．【解答】解：∵72＝2×2×2×3×3，42＝2×3×7，∴72、42的最大公因數為：2×3＝6，72×42÷（6×6）＝3024÷36＝84（張），答：裁出的正方形紙片最少有84張．【點評】此題主要考查求兩個數的最大公因數，能夠根據求最大公因數的方法解決有關的實際問題是解題的關鍵．20．（2021秋?寶山區校級月考）國慶節，老師將帶領18名女生和24名男生去敬老院慰問孤老，老師把同學分成人數相等的若干組，每個小組中的男生人數都相等．問這42名同學最多能分成幾組？【分析】根據題意可知：分組后每個小組的男生數相等，那么這里只要求出18和24的最大公因數即可解決問題，兩個數的公有質因數連乘積就是它們的最大公因數．據此解答．【解答】解：24＝2×2×2×3，18＝2×3×3，∴18和24的最大公因數是2×3＝6，答：那么最多可分成6組．【點評】此題考查了有理數的乘除法，解決本題的關鍵是利用求兩個數的最大公因數的方法解決實際問題．

【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·上海金山·六年級校聯考期末）甲數，乙數，甲數和乙數的最大公因數是（

）A．甲數 B．乙數 C．1 D．沒有【答案】C【分析】求最大公因數也就是這兩個數的公有質因數的連乘積，直接解決問題即可得到答案．【詳解】解：甲數，乙數，甲數和乙數互質，即它們的最大公因數是，故選：C．【點睛】本題考查求兩個數的最大公因數的方法：兩個數的公有質因數連乘積就是這兩個數的最大公因數．2．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）等式，m和n的最大公因數是（

）A．m； B．n； C．1； D．不確定．【答案】C【分析】根據最大公因數的定義求解即可．【詳解】∵，即，∴m和n的最大公因數是1．故選C．【點睛】此題考查了求最大公因數，幾個整數中公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因數．3．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）長度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米【答案】B【分析】根據題意，需要求24、36、48這三個數的最大公因數．【詳解】根據短除法，，算出24、36、48這三個數的最大公因數是．故選：B．【點睛】本題考查最大公因數的計算，解題的關鍵是先根據題意讀懂題目中需要我們求解最大公因數，然后用短除法計算最大公因數．4．（2022秋·上海·六年級專題練習）a是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數是（

）A．a B．b C．3 D．無法確定【答案】B【分析】a和b是倍數關系，最大公因數為二者較小的數．【詳解】∵a=3b∴a和b的最大公因數為二者較小的數，即為b故選B．【點睛】本題考查了公因數和最大公因數的問題，熟練掌握公因數的概念是解題的關鍵．5．（2023·上海·六年級假期作業）若a、b為正整數，且，則下列何者不可能為a、b的最大公因數？（）A．1 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據，取a、b的不同值解題即可．【詳解】解：最大公因數為a、b都有的因數，而，，a、b不可能都含有，不可能為a、b的最大公因數．故選：C．【點睛】本題考查實數中最大公因數的概念，掌握求兩個數的最大公因數是解題的關鍵．6．（2023春·上海·八年級專題練習）小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80【答案】C【詳解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴選項中只有60是600和480的公約數，故選：C．【點睛】本題考查了圖形的密鋪，找到600和480的公約數是解題的關鍵．二、填空題7．（2022秋·上海·六年級校考階段練習），則和的最大公因數是_________．【答案】【分析】根據最大公因數的定義及求法，的最大公因數為，從而確定答案．【詳解】解：，和的最大公因數是，故答案為：．【點睛】本題考查最大公因數的定義及求法，熟記最大公因數的定義及求法是解決問題的關鍵．8．（2022秋·上海·六年級專題練習）16和20的公因數有________________，它們的最大公因數是_______________．【答案】1，2，4；4【分析】幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數．根據公因數的概念寫出即可．【詳解】16的因數有1，2，4，8，16；20的因數有1，2，4，5，10，20；則16和20的公因數有1，2，4，其中最大公因數是4．故答案為：1，2，4；4．【點睛】本題考查了公因數和最大公因數的問題，熟練掌握公因式的概念是解題的關鍵．9．（2022秋·上海·六年級專題練習）相鄰兩數的最大公因數是_____．【答案】1【分析】相鄰兩數互素，據此求解即可．【詳解】解：相鄰兩數互素，最大公因數是1．故答案為：1．【點睛】此題考查的目的是理解掌握求兩個數的最大公因數，相鄰兩數互素，最大公因數是1．10．（2022秋·上海長寧·六年級上海市延安初級中學校考期中）已知正整數a、b滿足，則a與2的最大公因數是______．【答案】2【分析】根據最大公因數的概念求解即可．【詳解】∵，與2的最大公因數是2∴a與2的最大公因數是2．故答案為：2．【點睛】此題考查了最大公因數，解題的關鍵是熟練掌握最大公因數．最大公因數指兩個或多個整數共有約數中最大的一個．11．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）24和32的公因數有______________________．【答案】1、2、4、8【分析】根據求一個數的因數的方法∶用這個數分別除以自然數1，2，3，4，5，．．．．一直除到商和除數互換位置結束，把能整除的商和除數按從小到大順序寫出來，就是這個數的因數，重復的只寫一個，據此求出24和32的因數，然后從中找出它們的公因數，據此解答．【詳解】解∶24的因數有∶1，2，3，4，6，8，12，24，32的因數有∶1，2，4，8，16，32，所以24和32的公因數有1，2，4，8；故答案為∶1、2、4、8．【點睛】此題考查了找一個數公因數，注意先找出它們各自的因數，然后從中找出公因數是解題的關鍵．12．（2022秋·上海寶山·六年級校考期末）已知甲數，乙數，那么甲數和乙數的最大公因數是________．【答案】30【分析】根據最大公因數的定義：兩個或多個整數共有約數中最大的一個，可得答案．【詳解】解：甲數，乙數，根據最大公因數的定義，可得甲數和乙數的最大公因數是：，故答案為：30．【點睛】本題考查了最大公因數，掌握最大公因數的定義是解答本題的關鍵．13．（2022秋·上海普陀·六年級統考期中）如果甲數，乙數，甲、乙兩數的最大公因數是6，那么A的值為_____．【答案】3【分析】甲、乙二數的最大公因數等于它們共有因數的積，找出它們公共的因數相乘，根據甲、乙兩數的最大公因數是6列方程解答即可．【詳解】解：∵甲數，乙數，∴甲、乙兩數的公因數是，∵甲、乙兩數的最大公因數是6，∴，∴．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了公因數，解決問題的關鍵是熟練掌握公因數的定義，解方程．14．（2022秋·上海奉賢·六年級校聯考期中）已知，，、兩數的最大公因數是，那么的值___________．【答案】【分析】根據最大公因數的計算方法，結合題意，列方程并求解，即可得到答案．【詳解】解：∵，，、兩數的最大公因數是，∴，解得：．故答案為：【點睛】本題考查了求幾個數的最大公因數，解本題的關鍵是熟練掌握最大公因數的性質，從而完成求解．15．（2022秋·上海浦東新·六年級校考期中）已知，，那么和的最大公因數是______．【答案】【分析】根據最大公因數的意義直接求解即可【詳解】∵，，∴和的最大公因數是：，故答案為：【點睛】本題主要考查最大公因數的意義，注意最大公因數是兩個數都含有的因數的乘積．16．（2022秋·上海·六年級專題練習）如果，那么a與b的最大公因數是______；如果，那么a與b的最大公因數是_____．【答案】1a【分析】①b比a大1，所以最大公因數一定是1；②a和b是倍數關系，所以最大公因數是較小的數．【詳解】a和b是非0自然數，如果，那么a和b的最大公因數是1，最小公倍數是ab；如果，那么a和b的最大公因數是a，最小公倍數是b故答案為①1；②a．【點睛】本題考查了公因數和最大公因數的問題，熟練掌握公因式的概念是解題的關鍵．17．（2022秋·上海·六年級專題練習）學校搞聯歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束，如果每個花束的紅花朵數相同，黃花的朵數也相同，那么最多可以扎成______束花．【答案】12【分析】把這些花分成相同的若干束，就是分得的紅花和黃花的數量，既是36的因數也是48的因數，即是36和48的公因數，要求最多就是求36和48的最大公因數，因此求出36和48的最大公因數就是最多可以分成幾束．【詳解】解：∵36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，∴36和48的最大公因數是：2×2×3=12．答：最多能扎12束．故答案為：12．【點睛】本題考查了有理數乘法的應用，掌握每束里的花的顏色和數量都相同，就是求36和48的公因數，注意掌握求最大公因數的方法．18．（2022秋·上海·六年級專題練習）兩個數之和為90，且它們的最大公因數為15，則這兩個數為________________，________________．【答案】1575【分析】首先用這兩個數的和除以它們的最大公因數，求出這兩個數獨有的因數的和是多少；然后根據這兩個數獨有的因數的和的大小，分類討論，求出這兩個數各是多少即可．【詳解】因為90÷15=6，所以這兩個數獨有的因數的和是6．（1）因為1+5=6，所以這兩個數獨有的因數可以是1和5，因為15×1=15，15×5=75，所以這兩個數是15和75；（2）因為2+4=6，所以這兩個數獨有的因數可以是2和4，由于2和4還有公因數2，這樣這兩個數的最大公因數就是15×2=30，不符合題意，所以此種情況不成立；（3）因為3+3=6，所以這兩個數獨有的因數是3和3，則這兩個數相同了，也不合題意，所以此種情況不成立．綜上，可得這兩個數是15和75．故答案為：15，75．【點睛】本題主要考查了求幾個數的最大公因數的方法，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是求出這兩個數獨有的因數的和是多少．三、解答題19．（2022秋·上海·六年級校考階段練習）一張長45厘米，寬6分米的鐵皮，要把它切割成面積相等的正方形，且沒有剩余，切割成的正方形鐵皮至少有幾張？【答案】切割成的正方形鐵皮至少有張【分析】根據題意，正方形面積相等就意味著邊長相等，切割成的正方形鐵皮的邊長最長就是和的最大公因數，在得到邊長以后，求至少可以切割成幾張正方形鐵皮，直接用這張紙的面積除以正方形面積即可得到答案．【詳解】解：6分米厘米，，和的最大公因數為，切割成的正方形鐵皮的邊長最長可以是厘米，（張），答：切割成的正方形鐵皮至少有張．【點睛】本題考查兩個數的最大公因數解實際應用題，讀懂題意，熟練掌握求兩個數的最大公因數是解決問題的關鍵．20．（2022秋·上海·六年級專題練習）一次活動中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個數字是10以內的最大素數；第二個數字既有因數2，又是6的倍數；第三個數字既不是素數也不是合數；第四個數字既是素數又是偶數；第五個數字是最小的奇數與最小的合數的積；第六個數字是所有能被3整除的數的最大公因數．誰能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的？【答案】761243【分析】根據素數：除1和本身外，沒有別的因數，合數：除了1和本身外，還有別的因數；奇數：不能被2整除的數；偶數：能被2整除的數；以及能被3整除的數的特點進行分析破解即可．【詳解】解：從左邊開始，第一個數字為10以內最大的素數，故第一個數字為7；第二個數字既有因數2，又是6的倍數，故第二個數字為6；既不是素數也不是合數的數為1，故第三個數字為1；既是素數又是偶數的數為2，故第四個數字為2；最小的奇數為1，最小的合數為4，最小的奇數與最小的合數的積為4，故第五個數字為4；所有能被3整除的數的最大公因數為3；所以這個數是761243．因此這個密碼為：761243．【點睛】本題考查數的相關概念．熟練掌握素數，合數，偶數，奇數，被3整數的數的特征是解題的關鍵．注意：1既不是素數，也不是合數．21．（2023·上海·六年級假期作業）在圈內填上滿足條件的數．【答案】見解析【分析】運用分解因數的方法找出9和12的因數，再找出兩個數共同的因數即可．【詳解】【點睛】本題考查了較小的數找因數的方法，以及找兩個數公因數的方法．22．（2022秋·上海徐匯·六年級校考階段練習）現在有練習本34本，橡皮85塊，若要將這些分成若干份同樣的獎品，不得有剩余，最多能分成多少份獎品？每份獎品中練習本，橡皮各有多少份？【答案】最多能分成17份獎品，每份獎品中練習本有2本，橡皮有5塊．【分析】根據題意，可以計算出34和85的最大公因數，即可得到現將這些獎品平均分成若干份，則最多能分成多少份獎品，每份獎品中練習本、橡皮各有多少．【詳解】解：，34和85的最大公因數是17，答：最多能分成17份獎品，每份獎品中練習本有2本，橡皮有5塊．【點睛】本題考查最大公因數，解答本題的關鍵是明確題意，求出34和85的最大因數．23．（2023·上海·六年級假期作業）一張長方形的紙片，長為，寬為，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？至少有多少個小正方形？【答案】；84個【分析】沒有任何紙片剩余，所以小正方形的邊長一定要整除36和21，同時還要求小正方形的邊長盡可能的長，因此正方形的邊長就是36和21的最大公因數．36和21的最大公因數是3，可求正方形的邊長最大值．根據可求至少有正方形的個數．【詳解】解：∵36和21的最大公因數是3，∴正方形紙片的邊長最大是．（個），答：裁成的正方形紙片的邊長最大可以是3厘米，至少有84個小正方形．【點睛】本題考查公因數的應用．找出長方形的長寬的最大公因數是解題的關鍵．24．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）一塊長2米，寬12分米的長方形木板，要把它鋸成盡可能大、面積相等的正方形，而且鋸后沒有剩余．這塊木板一共可以被鋸成幾塊，鋸成的正方形邊長多少？【答案】鋸成15個邊長為4分米的正方形．【分析】根據題意可知，求鋸成的小正方形盡可能大的面積，也就是求20和12的最大公因數，用長方形的面積除以正方形的面積，即為能鋸成多少個，據此解答即可．【詳解】解：木板長2米，即20分米，寬12分米，由于20和12的最大公因數為4，所以可以將長方形木板的長平均分為5段，每段4分米，寬平均分為3段，每段4分米，此時木板正好被平均鋸成15個邊長為4分米的正方形正好滿足條件．答：木板正好被平均鋸成15個邊長為4分米的正方形．【點睛】解答本題的關鍵是理解鋸成的小正方形盡可能大的面積，也就是求20和12的最大公因數．25．（2022秋·上海·六年級專題練習）有三根鐵絲，長分別為45米、36米、63米，要把它們都截成同樣長的小段，每段長都是整數且不許有剩余，共能截多少個小段？【答案】共能截1