1.3.2.一、選擇題1．已知函數f(x)＝x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．[－1,3] D．[0,3][答案]A[解析]f(0)＝0，f(1)＝－1，f(2)＝0，f(3)＝3.2．下列函數中，在(－∞，0)上單調遞減的函數為()A．y＝eq\f(x,x－1) B．y＝3－x2C．y＝2x＋3 D．y＝x2＋2x[答案]A[解析]y＝3－x2，y＝2x＋3在(－∞，0)上為增函數，y＝x2＋2x在(－∞，0)上不單調，故選A.3．函數f(x)＝2x2－mx＋3，在(－∞，－2]上單調遞減，在[－2，＋∞)上單調遞增，則f(1)＝()A．－3 B．7C．13 D．不能確定[答案]C[解析]對稱軸x＝eq\f(m,4)，即x＝－2.∴m＝－8，∴f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝13.4．函數y＝x－eq\f(2,x)(1≤x≤2)的最大值與最小值的和為()A．0 B．－eq\f(5,2)C．－1 D．1[答案]A[解析]y＝x－eq\f(2,x)在[1,2]上為增函數，當x＝1時ymin＝－1，當x＝2時，ymax＝1.故選A.5．(哈三中～高一學情測評)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x－2，那么不等式f(x)<eq\f(1,2)的解集是()A．{x|0≤x<eq\f(5,2)}B．{x|－eq\f(3,2)<x≤0}C．{x|－eq\f(3,2)<x<0，或x>eq\f(5,2)}D．{x|x<－eq\f(3,2)或0≤x<eq\f(5,2)}[答案]D[解析]x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－x－2，∵f(x)為奇函數，∴f(x)＝x＋2，又當x＝0時，f(x)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x>0,0x＝0,x＋2x<0))，故不等式f(x)<eq\f(1,2)化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,x－2<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,0<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0,x＋2<\f(1,2)))，∴0≤x<eq\f(5,2)或x<－eq\f(3,2)，故選D.6．將一根長為12m的鐵絲彎折成一個矩形框架，則矩形框架的最大面積是()A．9m2 B．C．45m2[答案]A[解析]設矩形框架一邊長x(m)，則另一邊長為eq\f(12－2x,2)＝6－x(m)故面積S＝x(6－x)＝－(x－3)2＋9≤9(m2)．7．已知f(x)為奇函數，當x＞0時，f(x)＝(1－x)x，則x<0時，f(x)＝()A．－x(1＋x) B．x(1＋x)C．－x(1－x) D．x(1－x)[答案]B[解析]當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝(1＋x)·(－x)，∵f(x)為奇函數∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，選B.8．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過第一、二、四象限，則直線y＝ax＋b不經過第______象限．()A．一 B．二C．三 D．四[答案]B[解析]∵拋物線經過一、二、四象限，∴a>0，－eq\f(b,2a)>0，∴a>0，b<0，∴直線y＝ax＋b不經過第二象限．9．(·湖南理，8)已知min{a，b}表示a，b兩數中的最小值，若函數f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關于直線x＝－eq\f(1,2)對稱，則t的值為()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]D[解析]如圖，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關于直線x＝－eq\f(1,2)對稱，則t＝1.10．(·四川文，5)函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的條件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1[答案]A[解析]由題意知，－eq\f(m,2)＝1，m＝－2.二、填空題11．若函數f(x)的圖象關于原點對稱，且在(0，＋∞)上是增函數，f(－3)＝0，不等式xf(x)<0的解集為__________．[答案](－3,0)∪(0,3)[解析]畫出示意圖如圖．f(x)在(0，＋∞)上是增函數．又f(x)的圖象關于原點對稱．故在(－∞，0)上也是增函數．∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0∴xf(x)<0的解集為(－3,0)∪(0,3)．也可根據題意構造特殊函數解決，例如令f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3(x>0),x＋3(x<0))).12．函數y＝eq\r(3－2x－x2)的增區間為________．[答案][－3，－1][解析]函數y＝eq\r(3－2x－x2)的定義域為[－3,1]，因此增區間為[－3，－1]．13．已知二次函數f(x)的圖象頂點為A(2,3)，且經過點B(3,1)，則解析式為________．[答案]f(x)＝－2x2＋8x－5[解析]設f(x)＝a(x－2)2＋3，∵過點B(3,1)，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－2)2＋3，即f(x)＝－2x2＋8x－5.14．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－2)＝f(4)，則比較f(1)、f(－1)與c的大小結果為(用“<”連接起來)______．[答案]f(1)<c<f(－1)[解析]∵f(－2)＝f(4)，∴對稱軸為x＝eq\f(－2＋4,2)＝1，又開口向上，∴最小值為f(1)，又f(0)＝c，在(－∞，1)上f(x)單調減，∴f(－1)>f(0)，∴f(1)<c<f(－1)．三、解答題15．已知y＋5與3x＋4成正比例，當x＝1時，y＝2.(1)求y與x的函數關系式；(2)求當x＝－1時的函數值；(3)如果y的取值范圍是[0,5]，求相應的x的取值范圍．[解析](1)設y＋5＝k(3x＋4)，∵x＝1時，y＝2，∴2＋5＝k(3＋4)，∴k＝1.∴所求函數關系式為y＝3x－1.(2)當x＝－1時，y＝3×(－1)－1＝－4.(3)令0≤3x－1≤5得，eq\f(1,3)≤x≤2，∴所求x的取值范圍是[eq\f(1,3)，2]．16．已知函數f(x)＝x2－4x－4.①若函數定義域為[3,4]，求函數值域．②若函數定義域為[－3,4]，求函數值域．③當x∈[a－1，a]時，y的取值范圍是[1,8]，求a.[解析]①f(x)＝(x－2)2－8開口向上，對稱軸x＝2，∴當x∈[3,4]時，f(x)為增函數，最小值f(3)＝－7，最大值f(4)＝－4.∴值域為[－7，－4]．②f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是減函數，在[2,4]上是增函數，∴最小值為f(2)＝－8，又f(－3)＝17，f(4)＝－4.(也可以通過比較－3和4哪一個與對稱軸x＝2的距離遠則哪一個對應函數值較大，開口向下時同樣可得出．)∴最大值為17，值域為[－8,17]．③∵f(x)＝(x－2)2－8，當x∈[a－1，a]時y的取值范圍是[1,8]，∴2?[a－1，a]．當a<2時，函數f(x)在[a－1，a]上是減函數．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(a－1)＝8,f(a)＝1))∴a＝－1；當a－1>2即a>3時，f(x)在[a－1，a]上是增函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(a－1)＝1,f(a)＝8))∴a＝6.綜上得a＝－1或a＝6.17．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，當x＝2時，函數取得最大值2，其圖象在x軸上截得線段長為2，求其解析式．[解析]解法1：由條件知a<0，且頂點為(2,2)，設f(x)＝a(x－2)2＋2，即y＝ax2－4ax＋4a＋2，設它與x軸兩交點為A(x1,0)，B(x2,0)，則x1＋x2＝4，x1x2＝4＋eq\f(2,a)，由條件知，|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(16－4(4＋\f(2,a)))＝eq\r(－\f(8,a))＝2，∴a＝－2，∴解析式為f(x)＝－2x2＋8x－6.解法2：由條