專題10解析幾何專題（新定義）一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯考開學考試）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標系xOy中（O為坐標原點），把到定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知SKIPIF1<0為雙紐線Γ上任意一點，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面積最大值為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．其中所有正確命題的序號是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2023春·四川達州·高二四川省宣漢中學校考開學考試）定義：橢圓SKIPIF1<0中長度為整數的焦點弦(過焦點的弦)為“好弦”．則橢圓SKIPIF1<0中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．3643．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的許多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系，對兩點SKIPIF1<0，定義兩點間“距離”為SKIPIF1<0，則平面內與SKIPIF1<0軸上兩個不同的定點SKIPIF1<0的“距離”之和等于定值（大于SKIPIF1<0）的點的軌跡可以是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·高二專題練習）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點.離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為蒙日圓上一個動點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若SKIPIF1<0面積的最大值為36，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全國·高三專題練習）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2021秋·四川成都·高二樹德中學校考階段練習）若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2021春·上海閔行·高二閔行中學校考期末）若曲線SKIPIF1<0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）在平面直角坐標系中，定義SKIPIF1<0稱為點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”，其中SKIPIF1<0為坐標原點，對于下列結論：（1）“SKIPIF1<0和”為1的點SKIPIF1<0的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”的最小值為2；（3）設SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則使得“SKIPIF1<0和”最小的點有無數個”的充要條件是SKIPIF1<0；（4）設SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上任意一點，則“SKIPIF1<0和”的最大值為SKIPIF1<0.其中正確的結論序號為（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）9．（2022秋·四川成都·高二成都外國語學校校考期中）若橢圓或雙曲線上存在點SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0到兩個焦點SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，則稱此橢圓或雙曲線存在“SKIPIF1<0點”，下列曲線中存在“SKIPIF1<0點”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在橢圓上，且滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標原點），則稱點SKIPIF1<0為“★”點.下列結論正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都是“★”點B．橢圓SKIPIF1<0上僅有有限個點是“★”點C．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都不是“★”點D．橢圓SKIPIF1<0上有無窮多個點（但不是所有的點）是“★”點11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中學校考期中）已知兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線上存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則該直線為“SKIPIF1<0型直線”，給出下列直線，其中是“SKIPIF1<0型直線”的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①③ B．①② C．③④ D．①④12．（2017春·吉林·高一統考期末）已知平面上一點M(5,0)，若直線上存在點P使|PM|≤4，則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中是“切割型直線”的是(

)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.A．①③ B．①② C．②③ D．③④二、多選題13．（2022秋·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新logo.設計師的靈感來源于曲線C：SKIPIF1<0.其中星形線E：SKIPIF1<0常用于超輕材料的設計.則下列關于星形線說法正確的是（

）A．E關于y軸對稱B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過SKIPIF1<0C．E上的點到原點距離的最小值為SKIPIF1<0D．曲線E所圍成圖形的面積小于214．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線C的方程為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021秋·河北保定·高二順平縣中學校考階段練習）在平面內，若曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，則稱曲線SKIPIF1<0為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2021秋·遼寧·高二遼寧實驗中學校考期中）雙紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段SKIPIF1<0長度為SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的軌跡稱為雙紐線.已知曲線SKIPIF1<0為雙紐線，下列選項判斷正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0B．曲線SKIPIF1<0上的點的縱坐標的取值范圍是SKIPIF1<0C．曲線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱D．SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<017．（2021秋·江蘇南通·高二江蘇省包場高級中學校考期中）黃金分割比例SKIPIF1<0具有嚴格的比例性、藝術性，和諧性，蘊含著豐富的美學價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術中最理想的比例．我們把離心率SKIPIF1<0的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0是“黃金橢圓”B．若橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”三、填空題18．（2023春·北京·高三北京市陳經綸中學校考開學考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱②卵圓上不存在兩點關于直線SKIPIF1<0對稱③線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<019．（2023·高二課時練習）在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為______．（填序號）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．20．（2023秋·廣東茂名·高二統考期末）法國數學家蒙日SKIPIF1<0發現：雙曲線SKIPIF1<0的兩條互相垂直切線的交點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線SKIPIF1<0對應的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.21．（2023·全國·高三專題練習）一條拋物線把平面劃分為二個區域，如果一個平面圖形完全落在拋物線含有焦點的區域內，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫序號)（1）任意一個多邊形所圍區域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對稱軸不平行?不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點轉動一個銳角所掃過的角形區域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面.22．（2023·全國·高三專題練習）定義：點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0外的一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩個動點，則SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0叫點SKIPIF1<0對曲線SKIPIF1<0的張角.已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，設SKIPIF1<0對圓SKIPIF1<0的張角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.23．（2022·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與SKIPIF1<0的交點N為點M的“中心投影點”，曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構成的曲線長度是_______24．（2020·浙江·高二期末）把橢圓SKIPIF1<0的短軸和焦點連線段中較長者?較短者分別作為橢圓SKIPIF1<0的長軸?短軸，使橢圓SKIPIF1<0變換成橢圓SKIPIF1<0，稱之為橢圓的一次“壓縮”.按上述定義把橢圓SKIPIF1<0“壓縮”成橢圓SKIPIF1<0，得到一系列橢圓SKIPIF1<0，…當短軸長與焦距相等時終止“壓縮”.經研究發現，某個橢圓SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0次“壓縮”后能終止，則橢圓SKIPIF1<0的離心率可能是①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中的______.（填寫所有正確結論的序號）25．（2018·北京·高二統考期末）已知兩定點SKIPIF1<0,若直線上存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則該直線為“SKIPIF1<0型直線”.給出下列直線,其中是“SKIPIF1<0型直線”的是___________.①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<026．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐標系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則稱曲線SKIPIF1<0為“合作曲線”，有下列曲線①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中“合作曲線”是__________．（填寫所有滿足條件的序號）27．（2016·河北衡水·統考一模）如圖，將平面直角坐標系中的縱軸繞原點SKIPIF1<0順時針旋轉SKIPIF1<0后，構成一個斜坐標平面SKIPIF1<0.在此斜坐標平面SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0的坐標定義如下：過點SKIPIF1<0作兩坐標軸的平分線，分別交兩軸于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上表示的數為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上表示的數為SKIPIF1<0.那么以原點SKIPIF1<0為圓心的單位圓在此斜坐標系下的方程為___________.28．（2022·全國·高三專題練習）稱離心率為SKIPIF1<0的雙曲線SKIPIF1<0為黃金雙曲線.如圖是雙曲線SKIPIF1<0的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線SKIPIF1<0是黃金雙曲線；②若SKIPIF1<0，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F2為左右焦點，A1，A2為左右頂點，B1(0,b)，B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經過右焦點F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確命題的序號為____________四、解答題29．（2022·全國·高三專題練習）焦距為2c的橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求SKIPIF1<0的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．30．（2022·高二課時練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓短軸的上端點，SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0點的任一點，若SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點距離的最大值僅在SKIPIF1<0點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”.（1）若SKIPIF1<0，判斷橢圓SKIPIF1<0是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓SKIPIF1<0是“圓橢圓”，求SKIPIF1<0的取值范圍.31．（2021·四川·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個端點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．若兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將“特征三角形”的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是“相似橢圓”，已知橢圓SKIPIF1<0的短半軸長為SKIPIF1<0．（1）寫出橢圓SKIPIF1<0的方程（用SKIPIF1<0表示）；（2）若橢圓SKIPIF1<0的焦點在SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．32．（2020春·上海青浦·高三校考開學考試）我們稱點P到圖形C上任意一點距離的最小值為點P到圖形C的距離，記作SKIPIF1<0.（1）求點SKIPIF1<0到拋物線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0是長為2的線段，求點集SKIPIF1<0所表示圖形的面積.33．（2020秋·上海楊浦·高二上海市控江中學校考期末）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.若三角形SKIPIF1<0的三個頂點都在拋物線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則稱該三角形為“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”