6．1空間向量及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能類比平面向量的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷平面向量推廣到空間向量的過(guò)程，并初步建構(gòu)空間向量及其運(yùn)算的研究框架．（2）能類比平面向量，用自己的語(yǔ)言解釋空間向量的概念，說(shuō)明空間向量與平面向量的共性與差異．（3）能將平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義．（4）能將平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會(huì)用空間向量的線性運(yùn)算表示空間中的基本元素，體會(huì)空間向量的線性運(yùn)算在解決立體幾何問(wèn)題中的作用．（5）能將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算推廣到空間，給出空間向量數(shù)量積的概念，會(huì)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積；能將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律推廣到空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，能用自己的語(yǔ)言解釋空間向量運(yùn)算律和實(shí)數(shù)運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別．（6）能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義．（7）能利用向量數(shù)量積解決幾何度量問(wèn)題，證明與垂直有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題；體會(huì)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律在解決立體幾何問(wèn)題中的作用．（1）了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算（3）掌握共線向量定理，會(huì)用共線向量定理解決相關(guān)問(wèn)題．（5）理解空間共面向量定理，會(huì)證明直線與平面平行.（6）理解空間向量共面的充要條件，會(huì)證明空間四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)01空間向量的有關(guān)概念1、空間向量（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．（2）長(zhǎng)度或模：空間向量的大小．（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母表示；若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，也可記作：，其模記為或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量．2、幾類常見(jiàn)的空間向量名稱方向模記法零向量任意0單位向量任意1相反向量相反相等的相反向量：的相反向量：相等向量相同相等【即學(xué)即練1】（2024·山東日照·高二校考階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等知識(shí)點(diǎn)02空間向量的線性運(yùn)算（1）向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法減法加法運(yùn)算律①交換律：②結(jié)合律：（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，與向量方向相反；當(dāng)時(shí)，；的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：．分配律：，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；【即學(xué)即練2】（2024·廣東中山·高二中山市華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03共線問(wèn)題共線向量（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．（2）方向向量：在直線l上取非零向量，與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量，都有．（3）共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使．（4）如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得．知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線．注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法．證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)．【即學(xué)即練3】（2024·福建莆田·高二校考階段練習(xí)）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個(gè)點(diǎn)是（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)04向量共面問(wèn)題共面向量（1）定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．（3）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有．（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）．【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問(wèn)題的思路得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（）A．不共面 B．不一定共面C．無(wú)法判斷是否共面 D．共面知識(shí)點(diǎn)05空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作．即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為．（2）常用結(jié)論（，為非零向量）①．②．③．（3）數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過(guò)的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要將它們區(qū)別開(kāi)來(lái)，不可混淆．【即學(xué)即練5】（2024·北京房山·高二統(tǒng)考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，（

）A． B． C．2 D．4知識(shí)點(diǎn)06夾角問(wèn)題1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，，則叫做向量與的夾角，記作，如下圖．根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定：（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作．2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過(guò)選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到．在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角．【即學(xué)即練6】（2024·山東煙臺(tái)·高二校聯(lián)考）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°知識(shí)點(diǎn)07空間向量的長(zhǎng)度1、定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；．2、利用向量求線段的長(zhǎng)度．將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題．一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來(lái)求解．【即學(xué)即練7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)校考）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，，，，為中點(diǎn)．(1)用空間的一組基表示，；(2)求，的值．題型一：空間向量的概念例1．（2024·新疆·高二校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，互為相反向量，則C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，例2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考）給出下列命題，其中正確的是（

）A．若，則是鈍角B．若，則與一定共線C．若，則AB與CD為同一線段D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面例3．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，下列向量與是相等向量的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）平面向量是一種特殊的空間向量．（2）兩個(gè)向量相等的充要條件為長(zhǎng)度相等，方向相同．（3）向量不能比較大小．題型二：空間向量及其線性運(yùn)算例4．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（

）A．B．C．D．例5．（2024·云南臨滄·高二校考）如圖，在空間四邊形中，則（

）A． B． C． D．例6．（2024·山東棗莊·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（）A． B．C． D．變式2．（2024·福建漳州·高二校考）已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B．C． D．變式3．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．題型三：共線向量（或平行向量）例7．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二校考）若空間四點(diǎn)滿足，則（

）A．直線B．直線C．點(diǎn)P可能在直線上，也可能不在直線上D．直線，且例8．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．空間任意兩個(gè)向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使例9．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，，，若，則（

）A． B． C．6 D．5變式4．（2024·新疆伊犁·高二校考）已知、、為空間三個(gè)不共面的向量，向量，，若與共線，則（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，平行六面體中，點(diǎn)M在線段上，且，點(diǎn)N在線段上，且．求證：M，N，三點(diǎn)在一條直線上．

變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．變式7．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點(diǎn)共線；(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．變式8．（2024·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式9．（2024·福建福州·高二福州三中校考）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定及應(yīng)用（1）判斷或證明兩向量共線，就是尋找實(shí)數(shù)，使成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用穴間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá)．（2）判斷或證明空間中的三點(diǎn)（如共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)，使．題型四：空間向量的夾角例10．（2024·江蘇南京·高二）已知單位向量滿足，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)．例11．（2024·四川成都·高二校考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是.則與所成角的余弦值為.

例12．（2024·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式10．（2024·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則向量和的夾角為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】空間任意兩個(gè)向量可平移到共同起點(diǎn)形成夾角．題型五：空間向量的數(shù)量積例13．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．例14．（2024·遼寧·高二統(tǒng)考）在正三棱錐中，是的中心，，則.例15．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，則（

）A． B．C． D．變式11．（2024·北京順義·高二校考）如圖，四面體的所有棱長(zhǎng)都是2，則（

）A． B． C．2 D．1【方法技巧與總結(jié)】由向量數(shù)量積的定義知，要求與的數(shù)量積，需已知，和，與的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使計(jì)算準(zhǔn)確．題型六：空間向量的投影向量例16．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是，向量在平面上的投影向量是．

例17．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為.例18．（2024·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是

.

變式12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為．變式13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為．變式14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正六棱柱中，，則向量分別在，方向上的投影向量為；向量在方向上的投影數(shù)量為．【方法技巧與總結(jié)】利用空間向量的數(shù)量積的幾何意義求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，準(zhǔn)確探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關(guān)鍵所在．題型七：共面向量例19．（2024·北京·高二北京鐵路二中校考）已知是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面例20．（2024·浙江·高二校聯(lián)考）在下列條件中，點(diǎn)與點(diǎn)，，一定共面的是（

）A． B．C． D．例21．（2024·湖北黃岡·高二校聯(lián)考）對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】若與不共線且同在平面內(nèi)，則與，共面的意義是在內(nèi)或．題型八：共面向量定理例22．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

例23．（2024·河北滄州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．例24．（2024·山東濟(jì)寧·高二校考階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，E、F分別在和上，且，．(1)證明四點(diǎn)共面；(2)若，求的值．變式15．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．變式16．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)其底面中心作動(dòng)平面交線段于點(diǎn)，分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．【方法技巧與總結(jié)】如果兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使．在判斷空間的三個(gè)向量共面時(shí)，注意“兩個(gè)向量，不共線”的要求．題型九：空間四點(diǎn)共面的條件例25．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第一中學(xué)校校聯(lián)考）在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．例26．（2024·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考）已知，，不共面，，則（

）A．，，A，B，C，M四點(diǎn)共面 B．，，A，B，C，M四點(diǎn)不共面C．，，A，B，C，P四點(diǎn)共面 D．，，A，B，C，四點(diǎn)共面例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考）已知，，，為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若，，，四點(diǎn)共面，則函數(shù)的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．變式17．（2024·遼寧大連·高二大連八中校考）已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（

）A．共面 B．不一定共面C．無(wú)法判斷是否共面 D．不共面【方法技巧與總結(jié)】（1）若已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．（2）證明三個(gè)向量共面（或四點(diǎn)共面），需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示．題型十：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度例28．（2024·河南焦作·高二統(tǒng)考）如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，.記.

(1)用表示，并證明；(2)若為棱的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).例29．（2024·浙江·高二校聯(lián)考）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足．(1)用向量，，表示；(2)求．例30．（2024·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，設(shè)，，.(1)試用，，表示；(2)求的長(zhǎng).變式18．（2024·浙江紹興·高二紹興一中校考）三棱柱中，，．設(shè)，，．(1)試用表示向量；(2)若，，求的長(zhǎng)．變式19．（2024·福建廈門(mén)·高二校考）如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為2，且兩兩夾角為，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，，，.

(1)用，，表示，；(2)求的長(zhǎng)度.變式20．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為4，且與的夾角都等于60°，是的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用基底表示向量；(2)求的長(zhǎng).【方法技巧與總結(jié)】空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用．向量的模就是表示向量的有向線段的長(zhǎng)度，因此求線段長(zhǎng)度的總是可用向量求解．題型十一：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例31．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二統(tǒng)考）已知空間四邊形中，，且分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，用向量方法證明．例32．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考）如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．例33．（2024·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，設(shè)，，

(1)用，，表示出，并求線段的長(zhǎng)度；(2)求直線與夾角的余弦值；(3)用向量法證明直線平面；變式21．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，．證明：．變式22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．證明：．

【方法技巧與總結(jié)】立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問(wèn)題，通常可以轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零．一、單選題1．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，若N為AM與平面的交點(diǎn)，則t＝（

）A． B． C． D．2．（2024·北京西城·高二統(tǒng)考）空間四邊形中，（

）A． B．C． D．3．（2024·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若空間中四點(diǎn)滿足，則（

）A． B．3 C． D．4．（2024·湖南·高二嘉禾縣第一中學(xué)校聯(lián)考）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長(zhǎng)為（

）A． B．34 C．52 D．5．（2024·海南·高二校聯(lián)考）已知點(diǎn)為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為對(duì)角線，的交點(diǎn)，，，，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．23 D．476．（2024·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考）如圖，二面角的度數(shù)為，其棱上有兩點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則（