專題10.3電勢差與電場強度的關系【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1E＝eq\f(U,d)在勻強電場中的應用】 【題型2勻強電場中求電勢、電勢能的問題】 【題型3E＝eq\f(U,d)在非勻強電場中的應用】 【題型4等差等勢面問題】 【題型5聯系實際問題】 【題型6運動軌跡問題】 【題型1E＝eq\f(U,d)在勻強電場中的應用】【例1】如圖所示，勻強電場中有一個直角三角形ABC區域，電場方向與三角形區域所在平面平行．已知AB＝25cm，BC＝20cm，∠C＝90°，A、B、C三點電勢分別為1V、26V、10V，則該勻強電場的場強大小為()A．60V/m B．75V/mC．80V/m D．100V/m答案D解析依題意，有sin∠A＝eq\f(\x\to(BC),\x\to(AB))＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之間找到電勢為10V的D點，C、D位于同一等勢面上，根據幾何關系可知eq\f(UDA,UBA)＝eq\f(10－1,26－1)＝eq\f(\x\to(DA),\x\to(BA))，在三角形ACD中，根據余弦定理，有eq\x\to(CD)2＝eq\x\to(CA)2＋eq\x\to(DA)2－2×eq\x\to(CA)×eq\x\to(DA)cos53°，解得eq\x\to(CD)＝12cm，根據正弦定理，有eq\f(sin∠ACD,\x\to(DA))＝eq\f(sin53°,\x\to(CD))，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，則有eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)sin37°＝9cm，根據勻強電場電勢差與場強的關系式，有E＝eq\f(UDA,\x\to(AD))＝eq\f(10－1,9×10－2)V/m＝100V/m.故選D.【變式1-1】(多選)如圖，在勻強電場中有一虛線圓，ab和cd是圓的兩條直徑，其中ab與電場方向的夾角為60°，ab＝0.2m，cd與電場方向平行，a、b兩點的電勢差Uab＝20V。則()A．電場強度的大小E＝200V/mB．b點的電勢比d點的低5VC．將電子從c點移到d點，電場力做正功D．電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能解析：選AD根據Uab＝E·ab·cos60°，可得電場強度的大小E＝eq\f(Uab,ab·cos60°)＝200V/m，A正確；沿電場線電勢逐漸降低，可知b點的電勢比d點的電勢高，B錯誤；將電子從c點移到d點，因電子所受的電場力與位移反向，可知電場力做負功，C錯誤；因a點的電勢低于c點電勢，則電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能，D正確。【變式1-2】(多選)如圖所示，在勻強電場中有一直角三角形ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC邊長為2cm。電場強度的方向與三角形ABC平面平行。一電子從A點移到C點電場力做功為15eV，從B點移到C點電場力做功為5eV。則()A．A、B兩點間的電勢差UAB為10VB．電場強度的方向由A點指向C點C．電場強度的大小為500V/mD．一電子從B點移到AC的中點，電勢能增加2.5eV解析：選CD由題意得：UAC＝eq\f(WAC,－e)＝－15V，UBC＝eq\f(WBC,－e)＝－5V，取φC＝0，則φA＝－15V，φB＝－5V，故UAB＝φA－φB＝－10V，A錯誤；把AC三等分，則φR＝－5V，如圖所示，連接BR，則電場強度的方向垂直BR指向左下方，故B錯誤；由幾何關系知tan∠CBR＝eq\f(CR,BC)＝eq\f(\r(3),3)，即∠CBR＝30°，則E＝eq\f(UCB,|BC|sin∠CBR)＝500V/m，故C正確；設AC的中點為P，則φP＝eq\f(φA＋φC,2)＝－7.5V，WBP＝－eUBP＝－2.5eV，即電勢能增加2.5eV，D正確。【變式1-3】(多選)勻強電場中有一與電場方向平行的扇形AOB區域，如圖所示，圓心角θ＝120°，半徑R＝1m，其中C、D、F將圓弧AB四等分。已知φA＝9V，φB＝0，φO＝3V，以下說法正確的是()A．φD＝6VB．φF＝3VC．電場方向沿AO連線方向D．場強大小為3V/m解析：選ABC連接AB、OC、OD、OE，交點分別為I、H、G，△OIG為等邊三角形，△OAI、△OBG為等腰三角形，如圖所示，由幾何關系可得AI＝IG＝GB，即I、G為AB的三等分點，由于勻強電場電勢均勻變化，可得φI＝6V，φG＝3V，故OF為電勢3V的等勢面，由幾何關系可得DI連線垂直于OA，與OF平行，為電勢6V的等勢面，即φD＝6V，φF＝3V，A、B正確；電場方向垂直于等勢面指向電勢較低一側，故沿AO連線方向，C正確；場強大小為E＝eq\f(UAO,R)＝6V/m，D錯誤。【題型2勻強電場中求電勢、電勢能的問題】【例2】(多選)如圖，平面直角坐標系內有a、b、c三點，位置如圖所示，勻強電場平行于坐標平面。將電子從a點分別移到坐標原點和b點的過程中，電場力做功均為2eV，知a點電勢為2V，以下說法正確的是()A．b點電勢為零B．電場強度大小為200V/mC．電子在c點電勢能為－8eVD．將電子從a點移到b點和從b點移到c點，電場力做功相同解析：選BC由題意可知：Uab＝UaO＝eq\f(2eV,－e)＝－2V，因a點電勢為2V，則b、O兩點的電勢均為4V，A錯誤；勻強電場的電場線如圖所示，電場強度大小為E＝eq\f(Uba,\x\to(ab)cos60°)＝200V/m，B正確；由幾何關系知，bc連線與電場強度E方向平行，則Ucb＝E·eq\x\to(bc)＝4V，則c點的電勢為8V，電子在c點電勢能為－8eV，C正確；由于ab和bc的電勢差不相等，則將電子從a點移到b點和從b點移到c點，電場力做功不相同，D錯誤。【變式2-1】如圖所示，勻強電場中有一個與電場線平行的平面，平面中有一個直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2m。若在B處有一個放射源，能沿平面向各方向射出動能為10eV的電子，電子經過A、C兩點時的動能分別為11eV和7eV。不考慮電子間的相互作用，則該電場的電場強度大小為()A．1N/C B．2N/CC．3N/C D．4N/C解析：選A根據W＝Uq和動能定理可得：UBA＝eq\f(WBA,－e)＝eq\f(EkA－EkB,－e)＝－1V，UBC＝eq\f(WBC,－e)＝eq\f(EkC－EkB,－e)＝3V；沿CB方向延長eq\f(1,3)CB至D，根據勻強電場等分線段等分電勢差得UBD＝－1V，故A、D兩點電勢相等，連接AD則為等勢線，過B作AD垂線則為電場線，如圖所示。由幾何關系得：BD＝eq\f(1,3)BC＝eq\f(1,3)ABtan60°＝eq\f(2\r(3),3)m，tan∠ADB＝eq\f(AB,BD)＝eq\r(3)，∠ADB＝60°，則電場強度為：E＝eq\f(|UBD|,BDsin60°)＝1V/m＝1N/C，故A正確，B、C、D錯誤。【變式2-2】（多選）圖中虛線a、b、c、d、f代表勻強電場內間距相等的一組等勢面，已知平面b上的電勢為2V。一電子經過a時的動能為10eV，從a到d的過程中克服電場力所做的功為6eV。下列說法正確的是（）A．平面c上的電勢為零B．該電子可能到達不了平面fC．該電子經過平面d時，其電勢能為4eVD．該電子經過平面b時的速率是經過d時的2倍【答案】AB【解析】A．虛線a、b、c、d、f代表勻強電場內間距相等的一組等勢面，一電子經過a時的動能為10eV，從a到d的過程中克服電場力所做的功為6eV，動能減小了6eV，電勢能增加了6eV，因此a、b、c、d、f相鄰兩個等勢面間的電勢差為2V，因平面b上的電勢為2V，由于電子的電勢能增加，等勢面電勢由a到f是降低的，因此平面c上的電勢為零，故A正確；B．由上分析可知，當電子由a向f方向運動，則電子到達平面f的動能為2eV，由于題目中沒有說明電子如何運動，因此也可能電子在勻強電場中做拋體運動，則可能不會到達平面f，故B正確；C．在平面b上電勢為2V，則電子的電勢能為-2eV，動能為8eV，電勢能與動能之和為6eV，當電子經過平面d時，動能為4eV，其電勢能為2eV，故C錯誤；D、電子經過平面b時的動能是平面d的動能2倍，電子經過平面b時的速率是經過d時的倍，故D錯誤。故選AB。【變式2-3】如圖所示，等邊△ABC所在平面與勻強電場平行，其中電勢φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持該電場的大小和方向不變，讓等邊三角形以A點為軸在紙面內順時針轉過30°，到△AB′C′位置，則此時的C′點電勢為()A．φB．2φC.eq\r(3)φD．(1＋eq\r(3))φ答案D解析利用等分法可確定勻強電場方向從C指向A，設AC長度為L，則E＝eq\f(2φ,L)，由幾何知識得，C′A沿電場線方向的距離為dC′A＝Lcos30°＝eq\f(\r(3),2)L，由電勢差與電場強度的關系UC′A＝φC′－φA＝EdC′A＝eq\f(2φ,L)·eq\f(\r(3)L,2)，解得φC′＝(1＋eq\r(3))φ，故D正確，A、B、C錯誤．【題型3E＝eq\f(U,d)在非勻強電場中的應用】【例3】靜電噴涂是利用高壓靜電電場使帶負電的涂料微粒沿著電場相反的方向定向運動，并將涂料微粒吸附在工件表面上的一種噴涂方法，其工作原理如圖所示。忽略運動中涂料微粒間的相互作用和涂料微粒的重力。下列說法中正確的是()A．當靜電噴涂機與被噴涂工件之間的距離增大時，在運動中的涂料微粒所受電場力增大B．涂料微粒的運動軌跡僅由被噴涂工件與靜電噴涂機之間所接的高壓電源決定C．在靜電噴涂機水平向左移動的過程中，有兩個帶有相同電荷量的微粒先后經過被噴涂工件右側P點(相對工件的距離不變)處，先經過的微粒電勢能較大D．涂料微粒在向被噴涂工件運動的軌跡中，在直線軌跡上電勢升高最快解析：選D當靜電噴涂機與被噴涂工件之間的距離增大時，由于靜電噴涂機與被噴涂工件之間電壓恒定，電場強度減小，故涂料微粒所受電場力減小，A錯誤；涂料微粒的運動軌跡與初速度和受力情況均有關，B錯誤；工件接地，電勢為零，P處電勢為負值，噴涂機左移會使空間場強變大，P點電勢變低，因微粒帶負電，先經過的微粒電勢能小，C錯誤；涂料微粒在向被噴涂工件運動的軌跡中，直線的距離最小，結合公式U＝Ed，在直線軌跡上電勢升高最快，D正確。【變式3-1】如圖所示，在某電場中畫出了三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢為φA＝30V，B點的電勢為φB＝－10V，則C點的電勢()A．φC＝10V B．φC>10VC．φC<10V D．上述選項都不正確解析：選C由于AC之間的電場線比CB之間的電場線密，相等距離之間的電勢差較大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<eq\f(φA＋φB,2)，即φC<10V，C正確。【變式3-2】電子束焊機是一種高精密的焊接設備，它利用高速運動的電子束流轟擊工件使動能轉化為熱能進行焊接加工。在曲面K與A之間加上高壓U后，K與A之間的電場線如圖所示，A到曲面各點的距離均為d，電子由靜止被加速后轟擊工件，電子的電量大小為e，不考慮電子重力，則下列說法正確的是()A．待焊接的工件應放置在K極B．A、K之間的電場強度大小為eq\f(U,d)C．電子在加速運動過程中加速度逐漸增大D．電子經高壓U加速后電勢能增大了eU解析：選C電子受電場力沿電場線的反方向運動，則待焊接的工件應放置在A極，A錯誤；A、K之間不是勻強電場，則電場強度大小不等于eq\f(U,d)，B錯誤；電子在加速運動過程中向A極運動，則由于電場線越來越密集，則電場力變大，加速度逐漸增大，C正確；電子經高壓U加速后，電場力做正功，則電勢能減小了eU，D錯誤。【變式3-3】如圖為靜電除塵器除塵原理的示意圖，a、b是直流高壓電源的兩極，圖示位置的P、M、N三點在同一直線上，且PM＝MN.塵埃在電場中通過某種機制帶上負電，在靜電力的作用下向集塵極遷移并沉積，以達到除塵目的，下列判斷正確的是()A．a是直流高壓電源的正極B．電場中P點的場強小于M點的場強C．電場中M點的電勢低于N點的電勢D．電場中P、M間的電勢差UPM等于M、N間的電勢差UMN答案C解析帶負電的塵埃向集塵極遷移，說明集塵極接直流高壓電源的正極，a是直流高壓電源的負極，選項A錯誤；從放電極到集塵極的電場，因P點離放電極較近，P點的電場線比M點的電場線密，所以電場中P點的場強大于M點的場強，選項B錯誤；由于集塵極帶正電，電勢高，而沿著電場線方向電勢逐漸降低，所以電場中M點的電勢低于N點的電勢，選項C正確；放電極與集塵極之間的電場是非勻強電場，故P、M間的電勢差UPM不等于M、N間的電勢差UMN，選項D錯誤．【題型4等差等勢面問題】【例4】(多選)兩個位于紙面內的點電荷產生電場的等勢面如圖中實線所示，相鄰等勢面間的電勢差相等。虛線MPN是一個電子在該電場中的運動軌跡，軌跡與某等勢面相切于P點。下列說法正確的是()A．兩點電荷可能是異種點電荷B．A點的電場強度比B點的大C．A點的電勢高于B點的電勢D．電子運動到P點時動能最小解析：選CD根據電荷間等勢面的分布情況可知兩點電荷是同種電荷，又根據電子在該電場中的運動軌跡可判斷電子一直受到排斥的力，故可知兩點電荷為同種負電荷，A錯誤；根據等差等勢面的疏密程度可以判斷A點的電場強度比B點的小，B錯誤；因為兩點電荷是同種負電荷，電場線指向負電荷，故可知A點的電勢高于B點的電勢，C正確；根據電子的運動軌跡和電場線的方向可知電子由M到P電場力做負功，由P到N電場力做正功；電子由M到P動能減少，由P到N動能增加，故電子運動到P點時動能最小，D正確。【變式4-1】(多選)某電場的等勢面如圖所示，圖中a、b、c、d、e為電場中的5個點，則()A．一正電荷從b點運動到e點，電場力做正功B．一電子從a點運動到d點，電場力做功為4eVC．b點電場強度垂直于該點所在等勢面，方向向右D．a、b、c、d四個點中，b點的電場強度大小最大解析：選BD由題圖可知φb＝φe，則正電荷從b點運動到e點，電場力不做功，A錯誤；由題圖可知φa＝3V，φd＝7V，根據電場力做功與電勢能的變化關系有Wad＝Epa－Epd＝(φa－φd)·(－e)＝4eV，B正確；沿電場線方向電勢逐漸降低，則b點處的電場強度方向向左，C錯誤；由于電場線與等勢面處處垂直，則可畫出電場線大體分布如圖所示，由圖可知b點電場線最密集，則b點處的電場強度最大，D正確。【變式4-2】如圖(a)，在一塊很大的接地金屬平板的上方固定一負電荷。由于靜電感應，在金屬平板上表面產生感應電荷，金屬板上方電場的等勢面如圖(b)中虛線所示，相鄰等勢面間的電勢差都相等。若將一正試探電荷先后放于M和N處，該試探電荷受到的電場力大小分別為FM和FN，相應的電勢能分別為EpM和EpN，則()A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpNC．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN解析：選A等差等勢面的疏密反映電場強度的大小，故N點的電場強度大于M點的電場強度，同一正的試探電荷在N點受到的電場力大，即FM＜FN；在負的點電荷形成的電場中，離負點電荷越近，電勢越低，正的試探電荷的電勢能越小，故φM＞φN，EpM＞EpN，A正確。【變式4-3】如圖所示，圖中虛線為某靜電場中的等差等勢線，實線為某帶電粒子在該靜電場中的運動軌跡，a、b、c為粒子的運動軌跡和等勢線的交點，粒子只受靜電力作用，以下說法正確的是()A．a點的電場強度大于b點的電場強度B．粒子在a點的動能比在b點的動能小C．粒子在a點和c點的速度相同D．粒子在b點的電勢能比在c點的電勢能大答案D解析根據等差等勢線越密，場強越強的特點，則a點的電場強度小于b點的電場強度，所以A錯誤；由曲線運動的特點知合外力指向軌跡彎曲的一面，所以粒子從a到b過程中，靜電力做負功，則粒子在a點的動能比在b點的動能大，所以B錯誤；a點與c點處于同一等勢線上，粒子在a點和c點的速度大小相等，但是方向不同，所以C錯誤；粒子從b到c，靜電力做正功，粒子在b點的電勢能比在c點的電勢能大，所以D正確．【題型5聯系實際問題】【例5】如圖1,某棵大樹被雷電擊中,此時以大樹為中心的地面上形成了電場,該電場的等勢面分布及電場中M、P兩點的位置如圖2所示,則()。A.M點電勢較低 B.電場線由P點指向M點C.越靠近大樹的地方電場強度越小 D.M、P兩點間的電勢差約為200kV答案D解析由圖2可知,φM=-200kV,φP=-400kV。則φM>φP,根據電場線由高電勢指向低電勢,可知電場線由大樹(即表示等勢面的同心圓的圓心)指向P點。根據等差等勢面的疏密程度可以表示電場的強弱,易知越靠近大樹的地方電場強度越大。A、B、C三項錯誤。根據電勢差的定義,可得UMP=φM-φP=200kV,D項正確。【變式5-1】我國的特高壓直流輸電是中國在高端制造領域領先世界的一張“名片”，特別適合遠距離輸電，若直流高壓線掉到地上時，它就會向大地輸入電流，并且以高壓線與大地接觸的那個位置為圓心，形成一簇如圖所示的等差等勢線同心圓，A、B、C、D是等勢線上的四點，當人走在地面上時，如果形成跨步電壓就會導致兩腳有電勢差而發生觸電事故，則()A．電勢的大小為φC＞φB＝φD＞φAB．電場強度的大小為EA＞EB＝ED＞ECC．人從B沿著圓弧走到D會發生觸電D．AB間距離等于BC間距離的2倍解析：選B根據題意，圓心處的電勢最高，向外越來越低，電勢的大小為φA＞φB＝φD＞φC，A錯誤；電場強度看等勢線的疏密，由題圖可知電場強度的大小為EA＞EB＝ED＞EC，B正確；B和D在同一條等勢線上，人從B沿著圓弧走到D不會發生觸電，C錯誤；AB的平均場強大于BC的平均場強，AB的電勢差等于BC電勢差的二倍，根據E＝eq\f(U,d)可以定性判斷出AB間距離小于BC間距離的2倍，D錯誤。【變式5-2】(多選)在研究心臟電性質時,興奮在心肌傳播,在人體的體表可以測出與之對應的電勢變化,可等效為兩等量電荷產生的電場。人體表面的瞬時電勢分布圖如圖所示,圖中實線為等差等勢面,標在等勢面上的數值表示該等勢面的電勢,a、b、c、d為等勢面上的點,a、b為兩電荷連線上對稱的兩點,c、d為兩電荷連線中垂線上對稱的兩點,則()。A.a、b兩點的電場強度相同B.c、d兩點的電場強度不相同C.a、b兩點的電勢差Uab=-3mVD.從c到d的直線上,電場強度先變大后變小答案AD解析該瞬時電勢分布圖等效為等量異種電荷產生的,a、b為兩電荷連線上對稱的兩點,所以a、b兩點的電場強度大小相等、方向相同,A項正確;c、d為兩電荷連線中垂線上對稱的兩點,c、d兩點的電場強度大小與方向也相同,B項錯誤;a、b兩點的電勢差Uab=φa-φb=3mV,C項錯誤;根據等勢線的疏密程度可判斷出從c到d的直線上電場強度先變大后變小,D項正確。【變式5-3】醫生用心電圖檢查儀為一位身高1.8m的運動員體檢，她把電極吸在身體5個不同的位置，如圖所示。如果人體從頭往腳的方向構成勻強電場，其中有兩個點的電勢差最大，約為500μV，則電場強度約為()A．278μV/m B．500μV/mC．1000μV/m D．1250μV/m解析：選B沿著電場的方向最遠的兩點是A、E，大約為d＝1.0m，而電勢差U＝500μV，則E＝eq\f(U,d)＝500μV/m。B正確。【題型6運動軌跡問題】【例6】如圖所示，實線為方向未知的三條電場線，虛線1、2、3分別為三條等勢線，三條等勢線與其中一條電場線的交點依次為M、N、Q點，已知MN＝NQ，電荷量相等的a、b兩帶電粒子從等勢線2上的O點以相同的初速度飛出，僅在靜電力作用下，兩粒子的運動軌跡如圖中虛線a′、b′所示，則()A．a粒子一定帶正電，b粒子一定帶負電B．MN兩點電勢差大小|UMN|等于NQ兩點電勢差大小|UNQ|C．a粒子的加速度逐漸增大，b粒子的加速度逐漸減小D．a粒子從出發到等勢線3過程的動能變化量比b粒子從出發到等勢線1過程的動能變化量小答案D解析由題圖可知，a粒子的軌跡方向向右彎曲，a粒子所受靜電力方向向右，b粒子的軌跡向左彎曲，b粒子所受靜電力方向向左，由于電場線方向未知，無法判斷粒子的電性，故A錯誤；由題可知，a所受靜電力逐漸減小，加速度減小，b所受靜電力逐漸增大，加速度增大，故C錯誤；已知MN＝NQ，由于MN段場強大于NQ段場強，所以MN兩點電勢差大小|UMN|大于NQ兩點電勢差大小|UNQ|，故B錯誤；根據靜電力做功公式W＝Uq，|UMN|>|UNQ|，a粒子從等勢線2到3靜電力做的功小于b粒子從等勢線2到1靜電力做的