2023學年二輪復習解答題專題五十：與新定義或新定理有關的閱讀理解典例分析例.（2022青島中考）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質應用】（1）如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；（2）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；（3）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．專題過關1.（2022嘉興中考）小東在做九上課本123頁習題：“1：也是一個很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規作AB上的一點P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點P，點P即為所求作的點．小東稱點P為線段AB的“趣點”．（1）你贊同他的作法嗎？請說明理由．（2）小東在此基礎上進行了如下操作和探究：連結CP，點D為線段AC上的動點，點E在AB的上方，構造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當點D運動到點A時，求∠CPE的度數．②如圖4，DE分別交CP，CB于點M，N，當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），猜想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由．2．（2022常州中考）（8分）如圖，點A在射線OX上，OA＝a．如果OA繞點O按逆時針方向旋轉n°（0＜n≤360）到OA′，那么點A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，則點A′的位置可以表示為（3，37°）；（2）在（1）的條件下，已知點B的位置用（3，74°）表示，連接A′A、A′B．求證：A′A＝A′B．3.（2022北京中考）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．（1）如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：（2）的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）4．（2022常州中考）（10分）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．（1）正方形不存在“等形點”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求的值．5.（2022鄭州外國語三模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內接于，點P在上（不與點A，B，C重合），過點P分別作，，的垂線，垂足分別為．點D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點Q，連接，，則，（依據1）∴點E，F，P，C四點共圓，∴．（依據2）又∵，∴．同上可得點B，D，P，E四點共圓，……任務：（1）填空：①依據1指的是中點的定義及________；②依據2指的是________．（2）請將證明過程補充完整．（3）善于思考的小虎發現當點P是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結論的正確性．6.（2022河南西平一模）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上以下是他們的證明過程：

如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據1），∴E，F，P，C四點共圓．∴（依據2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據3）．∵，∴（依據4）．∴點D，E，F在同一條直線上．任務：（1）填空：①依據1指的的是中點的定義及______；②依據2指的是______；③依據3指的是______；④依據4指的是______．（2）善于思考的小英發現當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結論的正確性．7.（2022河南桐柏一模）學習過“圓內接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認識托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻，對“托勒密定理”很感興趣，并進行了下列的研究，請完成他的研究．托勒密定理：圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．（1）請幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；（2）如圖3，已知正五邊形ABCDE內接于，，求對角線BD長．8.（2022河南社旗一模）請閱讀下面材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據AI-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是弧ABC的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．這個定理有很多證明方法，下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M是弧ABC的中點，…任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內接于，D為弧AC上一點，，于點E，，連接AD，則△DAB的周長是___________．9.（2022河南商水二模）感知：數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．（1）如圖2，中，，，直線經過點，過作于點，過作于點．求證：；（2）如圖3，在中，是上一點，，，，，求點到邊的距離；（3）如圖4，在中，為邊上的一點，為邊上的一點．若，，，求的值．10.（2022平頂山三模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數學家．

阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．小明同學運用“截長法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點，∴，

任務：（1）請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊內接于⊙O，，D為上一點，，于點E，請直接寫出的周長．11.（2022平頂山二模）閱讀下面的材料，完成相應的任務：在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一．任務：（1）如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數量關系，并說明理由．（2）下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點在以O′為圓心的一個圓上，∴∠1=∠2（同弧所對的圓周角相等），同理：∠3=∠4，___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12.（2022焦作一模）歐幾里得，古希臘數學家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖，設A是已知點，小圓O為已知圓．具體作法是：以O為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點B，過B作，交大圓O于點C，連接，交小圓O于點D，連接，則是小圓O的切線．為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：13.（2022河南滑縣一模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內接于，點P在上（不與點A，B，C重合），過點P分別作，，垂線，垂足分別為．點D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點Q，連接，，則，（依據1）∴點E，F，P，C四點共圓，∴．（依據2）又∵，∴．同上可得點B，D，P，E四點共圓，……任務：（1）填空：①依據1指的是中點的定義及________；②依據2指的是________．（2）請將證明過程補充完整．（3）善于思考的小虎發現當點P是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結論的正確性．14.（2022鄭州一模）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應的任務．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當于多少華氏度，我們可根據攝氏溫度與華氏溫度之間的關系：得出，當時，．但是如果你的溫度計上有華氏溫標刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條進行計算的方法就是圖算法．再看一個例子：設有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得的值，也可以設計一種圖算法直接得出結果：我們先來畫出一個的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯后的電阻值．圖算法得出的數據大多是近似值，但在大多數情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進行計算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優越性．任務：（1）請根據以上材料簡要說明圖算法的優越性；（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：①用公式計算：當，時，的值為多少；②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學的幾何知識求線段的長．15.（2022太原二模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．有趣的布羅卡爾點和布羅卡爾角1816年法國數學家和數學教育家克雷爾首次發現了“布羅卡爾點”，但是他的發現并未被當時的人們所注意．1875年，這一特殊點被一個數學愛好者——法國軍官布羅卡爾重新發現，并用他的名字將其命名．他的這一發現引起一大批數學家的興趣，一時形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮．關于布羅卡爾點的研究與推廣以代數計算為主，充分體現了代數與幾何的聯系．定義：如圖1，若內一點P滿足，則稱P為的布羅卡爾點．若設，則稱為布羅卡爾角．人們研究發現，等邊三角形只有一個布羅卡爾點．任務：（1）等邊三角形的布羅卡爾點是這個三角形的______心；（2）若設等邊三角形的面積為S，邊長為a，布羅卡爾角為，求證：；（3）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一個布羅卡爾點，滿足，，求的值．16.（2022鄂州中考）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，FH=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．（1）【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．（2）【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；（3）【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；（4）【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．17．（2022遂寧中考）（9分）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標互為相反數，則稱該點為“黎點”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎點”．（1）求雙曲線y＝上的“黎點”；（2）若拋物線y＝ax2﹣7x+c（a、c為常數）上有且只有一個“黎點”，當a＞1時，求c的取值范圍．18．（2022常州中考）（8分）第十四屆國際數學教育大會（ICME﹣14）會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745．八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0～7共8個基本數字．八進制數3745換算成十進制數是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的舉辦年份．（1）八進制數3746換算成十進制數是2022；（2）小華設計了一個n進制數143，換算成十進制數是120，求n的值．19.（2022河北中考）發現兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數，且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和．驗證：如，為偶數，請把10的一半表示為兩個正整數的平方和．探究：設“發現”中的兩個已知正整數為m，n，請論證“發現”中的結論正確．20.（2022赤峰中考）閱讀下列材料定義運算：，當時，；當時，．例如：；．完成下列任務（1）①_________；②_________（2）如圖，已知反比例函數和一次函數的圖像交于、兩點．當時，．求這兩個函數的解析式．2023學年二輪復習解答題專題五十：與新定義或新定理有關的閱讀理解典例分析例.（2022青島中考）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質應用】（1）如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；（2）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；（3）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據等高三角形的性質即可得到答案；（2）根據，和等高三角形的性質可求得，然后根據和等高三角形的性質可求得；（3）根據，和等高三角形的性質可求得，然后根據，和等高三角形的性質可求得．【小問1詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC，則，∵AE=AE，∴．【小問2詳解】解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【小問3詳解】解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質以及應用性質解題，熟練掌握等高三角形的性質并能靈活運用是解題的關鍵．專題過關1.（2022嘉興中考）小東在做九上課本123頁習題：“1：也是一個很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規作AB上的一點P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點P，點P即為所求作的點．小東稱點P為線段AB的“趣點”．（1）你贊同他的作法嗎？請說明理由．（2）小東在此基礎上進行了如下操作和探究：連結CP，點D為線段AC上的動點，點E在AB的上方，構造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當點D運動到點A時，求∠CPE的度數．②如圖4，DE分別交CP，CB于點M，N，當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），猜想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由．【答案】（1）贊同，理由見解析，（2）①，②點N是線段ME的“趣點”，理由見解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質證明再利用從而可得結論；（2）①由題意可得：再求解證明從而可得答案；②先證明可得再證明從而可得結論．【小問1詳解】證明：贊同，理由如下：等腰直角三角形ABC，∴點P為線段AB的“趣點”．【小問2詳解】①由題意可得：DPE∽CPB，D，A重合，②點N是線段ME的“趣點”，理由如下：當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），而同理可得：點N是線段ME的“趣點”．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，銳角三角函數的應用，相似三角形的判定與性質，三角形的外角的性質，等腰三角形的判定與性質，理解新定義的含義，掌握特殊的幾何圖形的性質是解本題的關鍵．2．（2022常州中考）（8分）如圖，點A在射線OX上，OA＝a．如果OA繞點O按逆時針方向旋轉n°（0＜n≤360）到OA′，那么點A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，則點A′的位置可以表示為（3，37°）；（2）在（1）的條件下，已知點B的位置用（3，74°）表示，連接A′A、A′B．求證：A′A＝A′B．【分析】（1）根據點的位置定義，即可得出答案；（2）畫出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質，得出結論．【解答】（1）解：由題意，得A′（a，n°），∵a＝3，n＝37，∴A′（3，37°），故答案為：（3，37°）；（2）證明：如圖：∵A′（3，74°），B（3，74°），∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A＝A′B．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，新定義題目，旋轉的性質，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．3.（2022北京中考）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．（1）如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：（2）的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）①先根據定義和求出點的坐標，再根據點關于點的對稱點為求出點Q的坐標；②延長ON至點，連接AQ，利用AAS證明，得到，再計算出OA，OM，ON，即可求出；（2）連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，結合對稱的性質得出NM為的中位線，推出，得出，則．【小問1詳解】解：①點Q如下圖所示．∵點，∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，，∴點的橫坐標為：，縱坐標為：，∴點，在坐標系內找出該點即可；②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，在中，，結合題意，，，∴，即長的最大值與最小值的差為．【點睛】本題考查點的平移，對稱的性質，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質及線段的最值問題，第2問難度較大，根據題意，畫出點Q和點的軌跡是解題的關鍵．4．（2022常州中考）（10分）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．（1）正方形不存在“等形點”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求的值．【分析】（1）根據“等形點”的定義可知△OAB≌△OCD，則∠OAB＝∠C＝90°，而O是邊BC上的一點．從而得出正方形不存在“等形點”；（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，設OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的長即可；（3）根據“等形點”的定義可得△OEF≌△OGH，則∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，再由平行線性質得OE＝OH，從而推出OE＝OH＝OG，從而解決問題．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠OAB＝∠C＝90°，∵O是邊BC上的一點．∴正方形不存在“等形點”，故答案為：不存在；（2）作AH⊥BO于H，∵邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”，∴△OAB≌△OCD，∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，∵BC＝12，∴BO＝7，設OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，解得，x＝3，∴OH＝3，∴AH＝4，∴CO＝8，在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；（3）如圖，∵邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，∴△OEF≌△OGH，∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，∵EH∥FG，∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，∴∠HEO＝∠EHO，∴OE＝OH，∴OH＝OG，∴OE＝OF，∴＝1．【點評】本題是新定義題，主要考查了全等三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，平行線的性質等知識，理解新定義，并能熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．5.（2022鄭州外國語三模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內接于，點P在上（不與點A，B，C重合），過點P分別作，，的垂線，垂足分別為．點D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點Q，連接，，則，（依據1）∴點E，F，P，C四點共圓，∴．（依據2）又∵，∴．同上可得點B，D，P，E四點共圓，……任務：（1）填空：①依據1指的是中點的定義及________；②依據2指的是________．（2）請將證明過程補充完整．（3）善于思考的小虎發現當點P是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線性質證明點E，F，P，C和點B，D，P，E四點分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結論．【小問1詳解】①依據1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據2指的是圓內接四邊形對角互補，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；【小問2詳解】如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點E，F，P，C四點共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點B，D，P，E四點共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點D，E，F在同一直線上；【小問3詳解】如圖，連接．∵點P是的中點，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質等知識，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關鍵．6.（2022河南西平一模）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上以下是他們的證明過程：

如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據1），∴E，F，P，C四點共圓．∴（依據2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據3）．∵，∴（依據4）．∴點D，E，F在同一條直線上．任務：（1）填空：①依據1指的的是中點的定義及______；②依據2指的是______；③依據3指的是______；④依據4指的是______．（2）善于思考的小英發現當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換（2）見解析【解析】【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線的性質，圓內接四邊形的性質，同弧或等弧所對的圓周角相等進行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結論．【小問1詳解】解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換；【小問2詳解】證明：如圖，連接PA，PB，PC．

∵點P是的中點，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，全等三角形的性質與判定，弧，弦，圓周角的關系，同弧或等弧所對的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關知識是解題的關鍵．7.（2022河南桐柏一模）學習過“圓內接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認識托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻，對“托勒密定理”很感興趣，并進行了下列的研究，請完成他的研究．托勒密定理：圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．（1）請幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；（2）如圖3，已知正五邊形ABCDE內接于，，求對角線BD長．【答案】（1）已知：如圖1，四邊形ABCD內接于；求證：；證明見解析．（2）【解析】【分析】（1）理解題意，再根據同弧所對的圓周角相等證明．（2）連接AD、AC，正五邊形分割出的三個三角形全等，再由托勒密定理即可求出．【小問1詳解】已知：如圖1，四邊形ABCD內接于，求證：，證明：如圖2，作，交BD于點E，∵∴，∴∴．∵∴．∵∴即，∴∴，∴．【小問2詳解】在圖3中，連接AD、AC．∵五邊形ABCDE是正五邊形∴∴設．在圓內接四邊形ABCD中，由托勒密定理可得：即，解得，（舍去）∴對角線BD的長為．【點睛】本題考查了圓和四邊形的性質，解題的關鍵在于理解題意，明確同弧所對的圓周角相等即可證明．8.（2022河南社旗一模）請閱讀下面材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據AI-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是弧ABC的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．這個定理有很多證明方法，下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M是弧ABC的中點，…任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內接于，D為弧AC上一點，，于點E，，連接AD，則△DAB的周長是___________．【答案】（1）見解析（2）2＋4【解析】【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性質得出BD＝GD，即可得出答案；（2）首先證明△CBF≌△CAD（SAS），進而得出CF＝CD，AD+DE＝BE，進而求出BE和AB的長即可得出答案．【小問1詳解】證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中∵∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，∴△MBG是等腰三角形又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；【小問2詳解】）解：如圖4，截取BF＝AD，連接CF，CD，∵△ABC是等邊三角形∴BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°，在△CBF和△CAD中∵∴△CBF≌△CAD（SAS），∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15°∴△CDF是等腰三角形，∵CE⊥BD，∴FE＝DE，∠BCE＝90°則AD+DE＝BE，∵∠ABD＝15°∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45°∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45°∴△BCE是等腰直角三角形∴BE＝CE＝2，BC＝∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2∴△DAB的周長＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4故答案為：2＋4【點睛】本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形解決問題．9.（2022河南商水二模）感知：數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．（1）如圖2，中，，，直線經過點，過作于點，過作于點．求證：；（2）如圖3，在中，是上一點，，，，，求點到邊的距離；（3）如圖4，在中，為邊上的一點，為邊上的一點．若，，，求的值．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據“AAS”證明即可；（2）過作于點，過作交延長線于點，可根據“AAS”證即可求解；（3）過作交的延長線于點，可得，由平行四邊形ABCD易證，故，由相似三角形的性質可求．【小問1詳解】證明：∵，，∴．∵，，∴，，∴．又∵，∴．【小問2詳解】解：如圖，過作于點，過作交延長線于點．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴，即點到邊的距離為．【小問3詳解】解：如圖，過作交的延長線于點，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練運用全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．10.（2022平頂山三模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數學家．

阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．小明同學運用“截長法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點，∴，

任務：（1）請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊內接于⊙O，，D為上一點，，于點E，請直接寫出的周長．【答案】（1）證明見解析；（2）的周長為【解析】【分析】（1）首先證明，進而得出，再利用等腰三角形的性質得出，即可得出答案；（2）首先證明，進而得出，以及，進而求出BE的長即可得出答案．【小問1詳解】證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點，∴，在和中，∴，∴．又∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖3，截取，連接AF，AD，CD．

則．∵是等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．∵，∴，則．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴的周長為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形以及等邊三角形的性質，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質解題是解題關鍵．11.（2022平頂山二模）閱讀下面的材料，完成相應的任務：在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一．任務：（1）如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數量關系，并說明理由．（2）下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點在以O′為圓心的一個圓上，∴∠1=∠2（同弧所對的圓周角相等），同理：∠3=∠4，___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【答案】（1）①OG⊥AB；②AG=BG，理由見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）①利用“SSS”證明△AGO≌△BGO，即可解決問題；②利用“HL”證明Rt△AGO≌Rt△BGO，即可解決問題；（2）證明△MGC∽△NGE，推出∠1=∠4，∠2=∠3，利用“SAS”證明△PGO≌△QGO，即可證得PG=QG．【小問1詳解】解：①OG⊥AB；連接OA、OB，∵G為弦AB的中點，∴AG=BG，在△AGO和△BGO中，，∴△AGO≌△BGO(SSS)，∴∠AGO=∠BGO=90°，即OG⊥AB；②AG=BG，理由如下，連接OA、OB，

∵OG⊥AB，∴∠AGO=∠BGO=90°，在Rt△AGO和Rt△BGO中，，∴Rt△AGO≌Rt△BGO(HL)，∴AG=BG；【小問2詳解】補充如下：∵，又，∴△MGC∽△NGE，∴∠1=∠4，∴∠2=∠3，在△PGO和△QGO中，，∴△PGO≌△QGO(SAS)，∴PG=QG．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．12.（2022焦作一模）歐幾里得，古希臘數學家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖，設A是已知點，小圓O為已知圓．具體作法是：以O為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點B，過B作，交大圓O于點C，連接，交小圓O于點D，連接，則是小圓O的切線．為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：【答案】，是小圓O切線，證明見解析【解析】【分析】通過證明三角形全等即可得到，從而證明切線．【詳解】已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，求證：是小圓O的切線證明：∵點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，∴．在和中,∴，∴，∵，∴，∴，∵是小圓O的切線．【點睛】本題考查切線的證明，找準判斷切線的三個因素是解題的關鍵．13.（2022河南滑縣一模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內接于，點P在上（不與點A，B，C重合），過點P分別作，，垂線，垂足分別為．點D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點Q，連接，，則，（依據1）∴點E，F，P，C四點共圓，∴．（依據2）又∵，∴．同上可得點B，D，P，E四點共圓，……任務：（1）填空：①依據1指的是中點的定義及________；②依據2指的是________．（2）請將證明過程補充完整．（3）善于思考的小虎發現當點P是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質證明點E，F，P，C和點B，D，P，E四點分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結論．【小問1詳解】①依據1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據2指的是圓內接四邊形對角互補，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；【小問2詳解】如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點E，F，P，C四點共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點B，D，P，E四點共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點D，E，F在同一直線上；【小問3詳解】如圖，連接．∵點P是的中點，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質等知識，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關鍵．14.（2022鄭州一模）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應的任務．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當于多少華氏度，我們可根據攝氏溫度與華氏溫度之間的關系：得出，當時，．但是如果你的溫度計上有華氏溫標刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條進行計算的方法就是圖算法．再看一個例子：設有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得的值，也可以設計一種圖算法直接得出結果：我們先來畫出一個的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯后的電阻值．圖算法得出的數據大多是近似值，但在大多數情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進行計算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優越性．任務：（1）請根據以上材料簡要說明圖算法的優越性；（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：①用公式計算：當，時，的值為多少；②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學的幾何知識求線段的長．【答案】（1）圖算法方便；直觀；或不用公式計算即可得出結果等；（2）①；②【解析】【分析】（1）根據題意可直接進行求解問題；（2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②過點作，交的延長線于點，由題意易得，則有，，然后可得為等邊三角形，則，所以可得，最后利用相似三角形的性質可求解．【詳解】（1）解：答案不唯一，如：圖算法方便；直觀；或不用公式計算即可得出結果等．（2）①解：當，時，，∴．②解：過點作，交的延長線于點，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定及等邊三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定及等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．15.（2022太原二模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．有趣的布羅卡爾點和布羅卡爾角1816年法國數學家和數學教育家克雷爾首次發現了“布羅卡爾點”，但是他的發現并未被當時的人們所注意．1875年，這一特殊點被一個數學愛好者——法國軍官布羅卡爾重新發現，并用他的名字將其命名．他的這一發現引起一大批數學家的興趣，一時形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮．關于布羅卡爾點的研究與推廣以代數計算為主，充分體現了代數與幾何的聯系．定義：如圖1，若內一點P滿足，則稱P為的布羅卡爾點．若設，則稱為布羅卡爾角．人們研究發現，等邊三角形只有一個布羅卡爾點．任務：（1）等邊三角形的布羅卡爾點是這個三角形的______心；（2）若設等邊三角形的面積為S，邊長為a，布羅卡爾角為，求證：；（3）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一個布羅卡爾點，滿足，，求的值．【答案】（1）答案不唯一，如內、外、中、重等．（2）證明見解析（3）6【解析】【分析】（1）本小題答案不唯一，可以先猜想，再證明，比如根據題意，△ABC是等邊三角形，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，所以∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，即可證明P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點所以P是△ABC的內心.（2）由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．求．根據三角函數求得等邊三角形一邊上的高為．根據三角形面積公式即可求得；（3）由是等腰直角三角形，得到，，，再證明．得到．求出，進而求得，，即可求解．【小問1詳解】根據題意，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，∴P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點∴P是△ABC的內心.【小問2詳解】證明：由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．∴．∵等邊三角形的面積為S，邊長為a，∴等邊三角形一邊上的高為．∴．又∵，∴．【小問3詳解】∵是等腰直角三角形，，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴，，∴的值為6．【點睛】本題是屬于三角形的幾何綜合題型，也是壓軸題，較難，內容有等邊三角形的性質，內心，外心，等邊三角形角平分線，等腰直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定的綜合，求三角形的面積，以及銳角三角函數等知識，熟悉并靈活利用以上性質是解題的關鍵．16.（2022鄂州中考）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，FH=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．（1）【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．（2）【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；（3）【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；（4）【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．【答案】（1）（0，），，（2），4）或（，4）（3）（4）或【解析】【分析】（1）根據交點和準線方程的定義求解即可；（2）先求出點P的縱坐標為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過點B作BD⊥y軸于D，過點A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點B的縱坐標為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點A的坐標為（，），再把點A的坐標代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設點M的坐標為（m，），則，求出，然后根據黃金分割點的定義求出，則；同理可求當點E