房山區(qū)20232024學年度第二學期學業(yè)水平調研（一）高一數(shù)學本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.化成弧度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式求解【詳解】因為，所以.故選：A2.已知且，則角的終邊所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義，可確定且，進而可知所在的象限，得到結果.【詳解】依據(jù)題設及三角函數(shù)的定義可知角終邊上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，所以終邊在第二象限，故選B.【點睛】該題考查的是有關根據(jù)三角函數(shù)值的符號斷定角所屬的象限，涉及到的知識點有三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號，屬于簡單題目.3.已知向量，，則與（）A.平行且同向 B.平行且反向C.垂直 D.不垂直也不平行【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示即可得出判斷．【詳解】因為，所以，故選：C．4.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【答案】B【解析】【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．本題選擇B選項.點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇叮貏e注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．5.下列函數(shù)中，最小正周期為且為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期與奇偶性可判斷AB，根據(jù)誘導公式化簡D的解析式，再根據(jù)正余弦型函數(shù)的奇偶性和周期性可判斷CD.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；函數(shù)，定義域為，定義域不關于原點對稱，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；函數(shù)，函數(shù)定義域為R，由，函數(shù)是偶函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)，函數(shù)定義域為R，由，函數(shù)為奇函數(shù)，最小正周期為，故D正確.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，由，求得周期，進而得到，再根據(jù)點在圖象上即可求解．【詳解】由圖象知，，即，則，所以，因為點在圖象上，所以，即，因為，所以，故選：C．7.設是非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為，所以，則，解得，所以，故充分性成立；當時，或，則或，故必要性不成立；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.若向量滿足，，且，則向量與夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設向量與的夾角為，由得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求解即可．【詳解】設向量與的夾角為，由得，，即，因為，所以，故選：B．9.已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由實數(shù)的取值范圍，討論函數(shù)的最值和周期，對選項中的圖象進行判斷.【詳解】當時，，且的最小值為正數(shù)，故A正確；當時，，且的最小值為負數(shù)，故B正確；當時，，故C正確；在選項D中，由振幅得，則，而由圖象知，故D錯誤.故選：D.10.設函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由在區(qū)間上是單調函數(shù)得出，由分析出的值，即可計算出．【詳解】因為在區(qū)間上是單調函數(shù)，且，所以，解得，又因，所以是一條對稱軸，是的一個對稱中心，若和是同一周期中相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，符合題意若和是同一周期不相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，不合題意，又，所以，故選：A．第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.______．【答案】【解析】【分析】將所求式子中的角變形為，然后利用誘導公式化簡后，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值．【詳解】．故答案為【點睛】此題考查了運用誘導公式化簡求值，以及特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．12.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】【分析】解不等式,即得解.【詳解】由題意得.解得.故答案為：.13.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量的夾角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】以向量的起點為原點，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】如圖所示，以向量的起點為原點，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則，，則有，，，所以，即向量的夾角的余弦值為.故答案為：.14.已知向量，為單位向量，，則向量的坐標為_____.（寫出一個即可）【答案】（或者）【解析】【分析】設，根據(jù)向量垂直的坐標表示結合模長公式列式求解即可.【詳解】設，由題意可得：，解得或，所以或.故答案為：（或者）.15.在平面直角坐標系中，角的終邊過點，則___；將射線繞原點沿逆時針方向旋轉到角的終邊，則___.【答案】①.##0.75②.##0.8【解析】【分析】根據(jù)題意結合三角函數(shù)值的定義求；因為，利用誘導公式結合三角函數(shù)值的定義求.【詳解】因為角的終邊過點，即，所以；由題意可知：，所以.故答案為：；.16.聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，給出下列四個結論：①的一個周期為；②的圖象關于原點對稱；③的最大值為；④在區(qū)間上有個零點．其中所有正確結論的序號為__________.【答案】①②④【解析】【分析】對于①：代入周期的定義，即可判斷；對于②：根據(jù)奇函數(shù)的定義分析判斷；對于③：分別比較兩個函數(shù)分別取得最大值的值，即可判斷；對于④：根據(jù)零點的定義，解方程，即可判斷.【詳解】對于①：因為所以的一個周期為，故①正確.對于②：因為的定義域為，且，可知為奇函數(shù)，所以的圖象關于原點對稱，故②正確；對于③：對于，當且僅當時，取得最大值，對于，當且僅當，即時，取得最大值，所以兩個函數(shù)不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故③錯誤.對于④：令，解得或，又因為，可得或或，所以在區(qū)間上有個零點，故④正確.故答案為：①②④.三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知向量滿足，且與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義求解；（2），代入已知數(shù)據(jù)求解即可；（3）利用向量垂直數(shù)量積為0，求實數(shù)的值.【小問1詳解】因為，且，所以.【小問2詳解】.【小問3詳解】由，得，即.所以.解得.18.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函數(shù)值求出的值；（2）根據(jù)二倍角公式化簡整理把函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)的形式得，由正弦型函數(shù)的周期公式求出最小正周期；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，把看成一個整體，解不等式，求出的單調遞增區(qū)間.【小問1詳解】【小問2詳解】因為所以函數(shù)的最小正周期.【小問3詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.所以由，得.即.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.19.設函數(shù)由下列三個條件中的兩個來確定：①；②最小正周期為；③．（1）寫出能確定函數(shù)的兩個條件，并求出的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應的的值．【答案】（1）兩個條件為②③，（2）時，函數(shù)的最小值為【解析】【分析】（1）條件①不成立，選擇兩個條件②③，由最小正周期求，由求出；（2）由，有，結合正弦函數(shù)的性質求最小值和最小值點.【小問1詳解】，條件①不成立，能確定函數(shù)的兩個條件為②③..因為函數(shù)的最小正周期為，，所以.又，得，所以，得.由，得.所以.【小問2詳解】因為，所以.所以當，即時，函數(shù)的最小值為.20.將圖（1）所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形．摩天輪直徑為米，中心距地面米，按逆時針方向勻速轉動，某游客從最低點處登上摩天輪，分鐘后第一次到達最高點．（1）游客登上摩天輪分鐘后到達處，求該游客距離地面的高度；（2）求該游客距離地面的高度(單位:米)與他登上摩天輪的時間(單位:分鐘)的函數(shù)關系式；（3）當該游客登上摩天輪分鐘時，他的朋友在摩天輪最低點處登上摩天輪．求他和他的朋友距離地面的高度之差的絕對值的最大值．【答案】（1）米（2）（3）20【解析】【分析】（1）由已知條件得的大小，可得點到地面的高度；（2）以為原點建立平面直角坐標系，表示出點坐標，可得距離地面的高度與時間的函數(shù)關系式；（3）兩人距離地面的高度都表示為與時間的函數(shù)，作差后通過三角恒等變換化簡后結合正弦函數(shù)的性質求最大值.【小問1詳解】因為從最低點處登上摩天輪，分鐘后第一次到達最高點，所以登上摩天輪分鐘后，，所以游客距離地面的高度為米.【小問2詳解】如圖以為原點建立平面直角坐標系.則，與的函數(shù)關系式為，即.【小問3詳解】設x分鐘后兩人距離地面的高度之差的絕對值為.所以當，即時，取得最大值為20.21.已知，都是定義在上的函數(shù)，若存在實數(shù)，使對任意都成立，則稱為，在上生成的函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否為，在上生成的函數(shù)，說明理由；（2）判斷函數(shù)是否為，在上生成的函數(shù)，說明理由；（3）若為，在上的一個生成函數(shù)，且，，的最小值為，，求的解析式．【答案】（1）是，理由見解析（2）不是，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式結合生成函數(shù)的定義，判斷并證明；（2）利用反證法判斷并證明結論；.（3）存在實數(shù)使得對任意恒成立，由最小值為和，求出實數(shù)的值即可.【小問1詳解】函數(shù)是，在上生成的函數(shù)，理由如下：因為，存在實數(shù)，使，所以函數(shù)是，在上生成的函數(shù)