第03講解一元二次方程（公式法4種題型）【知識梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進行求解：得：．對上面這個方程進行討論：因為，所以當時，利用開平方法，得：， 即：當時，這時，在實數范圍內，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數根．二、求根公式一元二次方程（），當時，有兩個實數根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數式）；若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．2.一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數根； 當時，方程有兩個相等的實數根； 當時，方程沒有實數根．五、根的判別式的應用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據參數系數的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．【考點剖析】題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．題型2解系數中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關于x的方程：（）．例7.用公式法解下列關于x的方程：（1）； （2）．題型3根的判別式例8.選擇：下列關于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判別方程的根的情況是（ ）（A）有兩個相等的實數根 （B）有兩個不相等的實數根（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根方程的根的情況是( )（A）有兩個相等實根 （B）有兩個不等實根（C）沒有實根 （D）無法確定一元二次方程的根的情況為（ ）（A）有兩個不相等的實數根 （B）有兩個相等的實數根（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根例9.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 例10.關于的方程（其中是實數）一定有實數根嗎？為什么？例11.已知關于的一元二次方程根的判別式的值為4，求的值．例12.已知方程組的解是，試判斷關于的方程的根的情況．例13.當取何值時，關于的方程，（1）有兩個不相等的實數根？（2）有兩個相等的實數根？（3）沒有實數根？例14.當為何值時，關于的方程有實數根？并求出這時方程的根（用含的代數式表示）．題型5根的判別式的應用例15.證明：方程有兩個不相等的實數根．例16.當為何值時，方程，（1）有兩個不相等的實數根；（2）有兩個相等的實數根；（3）沒有實數根．例17.已知關于的一元二次方程有實數根，求的取值范圍．例18.如果是實數，且不等式的解集是，那么關于的一元二次方程的根的情況如何?例19.已知關于的方程總有實數根，求的取值范圍．【過關檢測】一、單選題1．（2023·貴州黔東南·統考二模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東潮州·九年級潮州市金山實驗學校?？计谀┤绻P于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則a滿足條件是（

）A． B．且 C．且 D．3．（2023·浙江溫州·統考三模）若關于x的一元二次方程，有兩個相等的實數根，則正數b的值是（

）A．8 B． C．4 D．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級統考期末）一元二次方程的兩實數根都是整數，則下列選項中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023·安徽安慶·?？既＃┤绻P于x的一元二次方程無實數根，那么a的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．76．（2023·河南商丘·統考三模）方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數根 B．沒有實數根 C．有一個實數根 D．有兩個不相等的實數根7．（2022秋·江蘇鎮江·九年級校考階段練習）已知關于的一元二次方程的較大的一根小于1，則實數的取值范圍是（

）A．一切實數 B． C． D．8．（2022·浙江·九年級自主招生）滿足方程的整數對有（

）A．0對 B．2對 C．4對 D．6對二、填空題9．（2023·上海楊浦·統考三模）如果關于的方程有兩個相等的實數根，那么的值是________．10．（2023·浙江嘉興·統考二模）在的括號中添加一個關于x的一次項，使方程有兩個相等的實數根，這個一次項可以是______．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學?？级＃╆P于的一元二次方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是________．12．（2023·山東東營·?？级＃┤绻P于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是________．13．（2023·四川巴中·?？级＃┮阎P于的一元二次方程．兩實數根分別為，且滿足，則實數的值為_____________．三、解答題14．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）解方程：15．（2022秋·青海西寧·九年級?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ?6．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學?？茧A段練習）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍；(2)當取滿足要求的最小正整數時，求方程的解．17．（2023·北京西城·?？寄M預測）關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是正整數，求m的最小值．18．（2018秋·廣東清遠·九年級統考期末）不解方程，判斷方程的根的情況．19．（2023春·河南三門峽·九年級統考階段練習）已知關于的方程沒有實數根，試判斷關于的方程實數根的情況，并說明理由．20．（2022秋·四川遂寧·九年級?？计谥校τ谌我庖粋€三位數k，如果k滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“喜鵲數”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數”．(1)已知一個“喜鵲數”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241

“喜鵲數”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數”；(2)利用（1）中“喜鵲數”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．21．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┮阎宏P于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個根，求m的值；(2)以這個方程的兩個實數根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長，當BC=時，△ABC是直角三角形，求此時m的值．22．（2023秋·重慶北碚·九年級重慶市兼善中學?？计谀θ我庖粋€三位數，如果滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字等于百位上的數字與個位上的數字的平均數，那么稱這個數為“快樂數”．例如：，因為，所以是“快樂數”．(1)請通過計算判斷是不是“快樂數”，并直接寫出最大的“快樂數”；(2)已知一個“快樂數”（、、，、、為自然數），且使關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，若，求滿足條件的所有的值．23．（2023·全國·九年級專題練習）綜合與實踐問題解決：（1）已知在中，，，四邊形是正方形，為所在的直線與的交點；如圖，當點在上時，請判斷和的關系，并說明理由.問題探究：（2）如圖，將正方形繞點旋轉，當點在直線右側時，求證：；問題拓展：（3）將正方形繞點旋轉一周，當時，若，，請直接寫出線段的長.第03講解一元二次方程（公式法4種題型）【知識梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進行求解：得：．對上面這個方程進行討論：因為，所以當時，利用開平方法，得：， 即：當時，這時，在實數范圍內，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數根．二、求根公式一元二次方程（），當時，有兩個實數根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數式）；若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．2.一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數根； 當時，方程有兩個相等的實數根； 當時，方程沒有實數根．五、根的判別式的應用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據參數系數的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．【考點剖析】題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化為：，，則， 則，∴；（2）方程可化為：，則．【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用，（2）也可以用直接開平方法求解．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化為，，則，則 ，∴（2）兩邊同時乘以10，方程可化為，，則， 則，∴．【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用，（2）也可以用因式分解法求解．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則， ∴原方程的解為：；，則，則， ∴原方程的解為：．【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用．題型2解系數中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關于x的方程：（）．【解析】（），則，整理得：， 配方可得：， 當時，，， 當時，方程無實數根．【總結】本題主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方時方程兩邊同加一次項系數一半的平方，另此題系數中含有字母，要注意分類討論．例7.用公式法解下列關于x的方程：（1）； （2）．【解析】（1）∵，∴當時，，； 當時，原方程無實數根；原方程可化為：，∵， ∴原方程的解為：，．【總結】本題主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分類討論．題型3根的判別式例8.選擇：下列關于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判別方程的根的情況是（ ）（A）有兩個相等的實數根 （B）有兩個不相等的實數根（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根方程的根的情況是( )（A）有兩個相等實根 （B）有兩個不等實根（C）沒有實根 （D）無法確定一元二次方程的根的情況為（ ）（A）有兩個不相等的實數根 （B）有兩個相等的實數根（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【解析】（1）A：，，，，方程無實根；B：，，，，方程有兩個相等實根；C：，，，，方程無實根；D：，，，，方程有兩不等實根實根，故選D；（2），，，，方程無實根，故選D；（3），，，，方程有兩不等實根，故選B；（4），，，，方程有兩個相等實根，故選A．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先列出方程中的、、，再代值計算，根據與0的大小關系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．例9.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有兩不等實根；（2）方程無實數根；（3）方程有兩相等實根；（4）方程有兩不等實根．【解析】（1），，，，方程有兩不等實根；，，，，方程無實數根；，，，，方程有兩相等實根；（4），，，，方程有兩不等實根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計算，根據與0的大小關系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．例10.關于的方程（其中是實數）一定有實數根嗎？為什么？【答案】一定有．【解析】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有實數根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對于含有字母系數的一元二次方程，只需要對最終的值進行化簡分析即可確定的值與0的大小關系，進而確定方程根的情況．例11.已知關于的一元二次方程根的判別式的值為4，求的值．【答案】0．【解析】∵，，，∴，整理即得，解得：，，同時方程是一元二次方程，知，故，由此得．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對于含有字母系數的一元二次方程，尤其是二次項系數中含有字母的情況，一定要注意字母所隱含的取值范圍，即二次項系數不能為0．例12.已知方程組的解是，試判斷關于的方程的根的情況．【答案】方程無實數根．【解析】方程組的解是，代入即得：，可解得：，此時方程即為，其中，，，，可知方程無實數根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對于系數含有字母的情況，根據題目條件確定字母取值，再確定其值，判定方程解的情況．例13.當取何值時，關于的方程，（1）有兩個不相等的實數根？（2）有兩個相等的實數根？（3）沒有實數根？【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】對此方程，，，，則 ，由此可知，（1）當，即時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當，即時，方程有兩兩個相等的實數根；（3）當，即時，方程無實數根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對于系數含有字母的情況，先確定其值，方程可由值判定其根的情況，同樣地，可由方程根的情況確定其值與0的大小關系，可在此基礎上進行分類討論．例14.當為何值時，關于的方程有實數根？并求出這時方程的根（用含的代數式表示）．【答案】時，方程有實數根；方程的根為．【解析】對此方程，，，，則，因為方程有實數根，則有，即時，方程有實數根；根據一元二次方程求根公式，可知方程解為【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對于系數含有字母的情況，先確定其值，方程可由值判定其根的情況，同樣地，可由方程根的情況確定其值與0的大題型5根的判別式的應用例15.證明：方程有兩個不相等的實數根．【解析】證明：對原方程進行整理，即為：其中，，，則恒成立，由此可證得方程有兩個不相等的實數根．【總結】將方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情況，只需要根據方程的值即可以確定下來．例16.當為何值時，方程，（1）有兩個不相等的實數根；（2）有兩個相等的實數根；（3）沒有實數根．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】將方程整理成關于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）當，即且時，方程有兩不等實根；（2）當，即時，方程有兩相等實根；（3）當，即時，方程無實根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，首先將方程整理成一元二次方程的一般形式，然后確定二次項系數不能為0的情況，然后確定其值，可由方程根的情況確定其值與0的大小關系，可在此基礎上進行分類討論．例17.已知關于的一元二次方程有實數根，求的取值范圍．【答案】且．【解析】由原方程是一元二次方程，可知，即；對此方程，其中，，，方程有實根，則必有：，可解得；即的取值范圍為且．【總結】對于形如的方程，首先要根據題意確定相關隱含條件，既要保證一元二次方程的二次項系數不能為0，然后在此基礎上進行解題和計算．例18.如果是實數，且不等式的解集是，那么關于的一元二次方程的根的情況如何?【答案】方程無實根．【解析】由的解集是，可知，即，對一元二次方程而言，其中，，，則，時，恒成立，由此可知方程無實數根．【總結】探求含有字母的一元二次方程根的情況，需要根據題目條件確定相關字母取值范圍，再根據其值確定相關方程根的情況．例19.已知關于的方程總有實數根，求的取值范圍．【答案】．【解析】（1）當，即時，方程為一元一次方程，方程有實根；當，即時，方程為一元二次方程，其中，，，方程有實根，則必有：，可解得且；綜上所述，的取值范圍為．【總結】對于形如的方程，首先要根據題意確定二次項系數能否為0，在此基礎上進行相關分類討論和計算．【過關檢測】一、單選題1．（2023·貴州黔東南·統考二模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據關于x的一元二次方程有實數根得到，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，∴，解得，故選：B【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程時有實數根是解題的關鍵．2．（2023春·廣東潮州·九年級潮州市金山實驗學校?？计谀┤绻P于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則a滿足條件是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】由二次項系數非零及根的判別式，即可得出關于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：且，故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．3．（2023·浙江溫州·統考三模）若關于x的一元二次方程，有兩個相等的實數根，則正數b的值是（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據一元二次方程有兩個相等的實數根，運用根的判別式進行解答即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程，有兩個相等的實數根，∴，∴，∴，∵是正數，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知關于的一元二次方程，若，則原方程有兩個不相等的實數根；若，則原方程有兩個相等的實數根；若，則原方程沒有實數根．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級統考期末）一元二次方程的兩實數根都是整數，則下列選項中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【分析】分別代入數值解方程，逐一判斷即可解題．【詳解】解：當時，方程為，解得不是整數，故A選項不符合題意；當時，方程為，解得不是整數，故B選項不符合題意；當時，方程為，解得或是整數，故C選項符合題意；當時，方程為，解得不是整數，故D選項不符合題意；故選：C【點睛】本題考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解題的關鍵．5．（2023·安徽安慶·?？既＃┤绻P于x的一元二次方程無實數根，那么a的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】由一元二次方程根與系數的關鍵可得：,從而列不等式可得答案．【詳解】解：∵一元二次方程無實數根，∴，解得：，只有選項A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．6．（2023·河南商丘·統考三模）方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數根 B．沒有實數根 C．有一個實數根 D．有兩個不相等的實數根【答案】D【分析】根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】解：∵，即，，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．7．（2022秋·江蘇鎮江·九年級?？茧A段練習）已知關于的一元二次方程的較大的一根小于1，則實數的取值范圍是（

）A．一切實數 B． C． D．【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根據題意得出關于b的不等式，解不等式可得答案．【詳解】解：解方程得：，∵一元二次方程的較大的一根小于1，∴，∴，兩邊平方得：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，能夠根據題意得出關于b的不等式是解題的關鍵．8．（2022·浙江·九年級自主招生）滿足方程的整數對有（

）A．0對 B．2對 C．4對 D．6對【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判斷出的范圍，根據是整數求出的值，進而求出的值，利用也是整數判斷即可得出結論．【詳解】解：原方程可化為，∵方程有實數根，∴，∴，∵是整數，∴，，，0，1，2，3，當時，原方程可化為，∴（由于為整數，所以舍去），當時，原方程可化為，∴（由于為整數，所以舍去），當時，原方程可化為，∴（由于為整數，所以舍去），當時，原方程可化為，∴（由于為整數，所以舍去），當時，原方程可化為，∴（由于為整數，所以舍去），當時，原方程可化為，∴或，當時，原方程可化為，∴或，∴原方程的整數解為：或或或，即：方程的整數對為、、，共四對，故選：C．【點睛】此題是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整數根問題．解題的關鍵是將原方程變形，利用判別式求解．二、填空題9．（2023·上海楊浦·統考三模）如果關于的方程有兩個相等的實數根，那么的值是________．【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，解得故答案為：1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．10．（2023·浙江嘉興·統考二模）在的括號中添加一個關于x的一次項，使方程有兩個相等的實數根，這個一次項可以是______．【答案】【分析】設方程為，根據方程有兩個相等的實數根可知，據此列式求解即可．【詳解】設方程為，由題意得，∴，∴一次項為．故答案為．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學?？级＃╆P于的一元二次方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是________．【答案】且【分析】根據一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義得出，即可求解．【詳解】解：依題意，且，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的定義是解題的關鍵．12．（2023·山東東營·校考二模）如果關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是________．【答案】【分析】先把這個一元二次方程變成一般式，再根據一元二次方程根的判別式計算即可．【詳解】，．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式性質，準確計算是解本題的關鍵．13．（2023·四川巴中·?？级＃┮阎P于的一元二次方程．兩實數根分別為，且滿足，則實數的值為_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判別式得到關于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范圍，再根據根與系數的關系可得：，，代入得到關于m的一元二次方程，解方程并根據（1）中的m的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得：，即的取值范圍是；∵由根與系數的關系可得：，∴，∵，∴，即，∴，解得或，∵，∴，故答案為：2．【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和根與系數關系，準確計算是解題的關鍵．三、解答題14．（2022秋·陜西西安·九年級?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮浚痉治觥坑霉椒ń獯朔匠碳纯桑驹斀狻拷猓海?，此方程的解為：，．【點睛】此題考查的是用公式法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法解方程的步驟．15．（2022秋·青海西寧·九年級?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ敬鸢浮俊痉治觥坷霉椒ń獯?，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解題的關鍵．16．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考階段練習）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍；(2)當取滿足要求的最小正整數時，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式，且，求出的取值范圍即可；（2）得到的最小整數，利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數根，，且，即，且，解得：且；（2）滿足條件的最小正整數是，此時方程為，解得：，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關系是解答本題的關鍵．17．（2023·北京西城·校考模擬預測）關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是正整數，求m的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結論；（2）根據題意得到是原方程的根，根據方程兩個根均為正整數，可求m的最小值．【詳解】（1）證明：由得，，∵，∴方程總有兩個實數根；（2）∵，∴，∴，∵方程的兩個實數根都是正整數，∴．∴．∴m的最小值為．【點睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．18．（2018秋·廣東清遠·九年級統考期末）不解方程，判斷方程的根的情況．【答案】有兩個不相等的實數根【分析】先求一元二次方程的判別式，由與0的大小關系來判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，，∴∴原方程有兩個不相等的實數根．【點睛】此題考查一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1），方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個相等的實數根；（3）方程沒有實數根．19．（2023春·河南三門峽·九年級統考階段練習）已知關于的方程沒有實數根，試判斷關于的方程實數根的情況，并說明理由．【答案】一定有兩個不相等的實數根．理由見解析．【分析】根據關于的方程沒有實數根，求出的求值范圍；再表示關于的方程，，即可判斷該方程根的情況．【詳解】解：∵方程沒有實數根，，，對于關于的方程，，，，即，∴方程一定有兩個不相等的實數根．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關系是解題關鍵．20．（2022秋·四川遂寧·九年級?？计谥校τ谌我庖粋€三位數k，如果k滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“喜鵲數”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數”．(1)已知一個“喜鵲數”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241

“喜鵲數”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數”；(2)利用（1）中“喜鵲數”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根據喜鵲數的定義解答即可；（2）根據一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結合喜鵲數的定義即可得出答案．【詳解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數；∵各個數位上的數字都不為零，百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，∴十位上的數字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個相等的實數根，∴m＝，即mn＝1；故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是弄清喜鵲數的定義．21．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┮阎宏P于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個根，求m的值；(2)以這個方程的兩個實數根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長，當BC=時，△ABC是直角三角形，求此時m的值．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程得到關于m的一元二次方程，然后解關于m的方程即可；（2）先計算出判別式，再利用求根公式得到，，則AC=m+2，AB=m+1．因為△ABC是直角三角形，所以當BC或AC為斜邊時根據勾股定理分別解關于m的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵x=2是方程的一個根，∴，