專題17統計與古典概型

1.“學習強國，，學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容,

立足全體黨員，面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門/PP.某市

宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態的情況，從全市抽取4000名人員進行調查，統計他們每

周利用“學習強國'’的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每周利用“學習強國'’的時長均分布在［0,14］）.

⑴求實數。的值，并求所有被抽查人員利用“學習強國''的平均時長（同一組數據用該區間的中點值作代表）;

（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從［8,10）和［10,12）組中抽取

50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，現從參加

座談會的5人中隨機抽取2人發言，求［10,12）組中恰好有1人發言的概率.

【答案】（1）0.075,6.8

（2）30人，20人；|

【分析】（1）根據頻率分布直方圖性質即利用各組頻率之和為1即可求得a的值；根據平均數的計算方法

即可求得平均時長；

（2）根據分層抽樣即按比例抽樣即可求得兩組各抽取多少人，繼而求得從參加座談會的5人中隨機抽取2

人各組抽取的人數，根據古典概型的概率公式即可求得答案.

【詳解】（1）根據頻率分布直方圖性質可得（0.025+0.050+0.125+0.150+a+0.050+0.025）x2=1,

解得a=0.075；

根據頻率分布直方圖可得所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為：

0.05x1+0.1x3+0.25x5+0.3x7+0.15x9+0.1x11+0.05x13=6.8.

（2）由題意得［8,10）組的人數為4000x0.15=600,［10,12）組的人數為4000x0.1=400,

這兩組的人數之比為600:400=3:2,

故［8,10）組抽取的人數為gx50=30；［10,12）組抽取的人數為:x50=20；

利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會,

則［8,10)組抽取的人數為3X5=3；［10,12)組抽取的人數為|x5=2,

從參加座談會的5人中隨機抽取2人發言，共有C,=10種抽取方法，

［10,12)組中恰好有1人發言的抽取方法有CjC：=6,

故［10,12)組中恰好有1人發言的概率為P=^=|.

2.某學校參加全國數學競賽初賽(滿分100分).該學校從全體參賽學生中隨機抽取了200名學生的初賽

成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據頻率分布直方圖給出的數據估計此次初賽成績的中位數和平均分數；

(2)從抽取的成績在90-100的學生中抽取3人組成特訓組，求學生力被選的概率.

【答案】⑴中位數67.5分，平均數67.75分

(2)0.6

【分析】(1)根據頻率分布直方圖求中位數和平均數的求法計算即可；

(2)利用列舉法結合古典概型即可得解.

【詳解】(1)因為10X(0.0075+0.02)=0.275,0.275+10X0.03=0,575,

所以中位數位于區間［60,70),

設中位數為X,

則10x(0.0075+0,02)+10(x-60)=0.5,解得x=67.5,

即中位數為67.5分，

平均分為

10x(0.0075x45+0.02x55+0.03x65+0.025x75+0.015x85+0.0025x95)=67.75分;

(2)成績在90-100的學生有200x10x0.0025=5人,

設為A,b,c,d,e,

從這5人中抽取3人，

有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),(b,c,d),(b,c,e),

(b,d,e),(c,d,e)共10種，

其中學生A被選有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e)共6種，

所以學生A被選的概率為2=0.6.

3.某重點大學為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學習時間，隨機抽取了100名這類大學生進行調

查，將收集到的課余學習時間(單位：h)整理后得到如下表格：

課余學習時間[1,3：[35[5,7：[7,9：[9,11：

人數510254020

(1)估計這100名大學生每天課余學習時間的中位數；

⑵根據分層抽樣的方法從課余學習時間在［7,9)和［9,11］,這兩組中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,

求抽到的2人的課余學習時間都在［7,9)的概率.

【答案】(1)7.5

(2)|

【分析】(1)根據頻數分布表估計中位數的方法直接求解即可；

(2)根據分層抽樣原則可確定從［7,9)和［9,11］兩組中抽取的人數，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題

意的基本事件個數，根據古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】(1)5+10+25=40,5+10+25+40=80,

??.這100名大學生每天課余學習時間的中位數位于［7,9)之間，

則中位數為7+^X2=75

40

(2)由題意知：從課余學習時間在［7,9)這一組抽取6x^=4人，分別記為21應兩.4,從課余學習時間

60

在［9,11］這一組抽取6X?=2人，分別記為也,b2；

OU

從這6人中隨機抽取2人，所有的基本事件為：

同,a2},{a1,33},{a1,aj,{a】,b』⑶,b2},{a2,a?},{a2,aj⑶,b』⑶,b2},⑶,aj,

{a?,bj,{a3,b2},{a4lbj,{a*b2}f{b1；b2},共15個基本事件；

其中“抽到的2人的課余學習時間都在［7,9）”包含的基本事件為：

（al，a2）＞［al＜a3），{al?a4）＞{a2?a3），（a2?a4）＞{a3?a4）,共6個基本事件；

???抽到的2人的課余學習時間都在［7,9）的概率P=2/

4.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐

留半年的太空飛行任務，標志著中國空間站關鍵技術驗證階段圓滿完成.并將進入建造階段某地區為了激

發人們對天文學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度

高的有機人，這a人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組:

［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

（1）根據頻率分布直方圖，估計這6人的第80百分位數（中位數=第50百分位數）；

（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲（年齡36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中,

再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為36和■!，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為

42和1,據此估計這小人中35?45歲所有人的年齡的平均數和方差.

【答案】（1）37.5

⑵①②年齡的平均數為38,方差約為10

【分析】（1）根據頻率分布直方圖可確定第80百分位數第四組，根據第80百分位數定義可構造方程求得

結果；

（2）①根據分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數，采用列舉法可得樣本點總數和滿足題意的樣

本點個數，根據古典概型概率公式可求得結果；

②由z=也等2可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數，由s2=i(4s?+4x2+2s^+2y2—

6N)可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差.

【詳解】(1)設第80百分位數為a,

???0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

a位于第四組:[35,40)內;

方法一：由5x0.02+(40-a)x0.04=0.2得：a=37.5.

方法二：由0.7+(a—35)X0.04=0.8得:a=37.5.

(2)①由題意得，第四組應抽取0.04x5x20=4人，記為A,B,C,甲；第五組抽取0.02x5x20=2

人，記為D,乙，

對應的樣本空間為：AB,AC,A甲，AD,A乙，BC,B甲，BD,B乙，C甲，CD,C乙，甲D,甲乙，D

乙，共15個樣本點.

設事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D,甲乙，D乙，共有9個樣本點.

P(M)=嚶=2=2；

'Jn(Q)155

②設第四組的宣傳使者的年齡分別為Xi，X2，X3，X4,平均數分別為又=36,方差分別為好=|,

設第五組的宣傳使者的年齡分別為yi，y2,平均數分別為y=42,方差分別為y=1,

則友=扛3號，曠=舞=1%,s孑=/11(號-又)2=乂2：汨-4*),s"g2：=i(yi-yi=乂2：=1次-

2y2),

可得卻產=4及，=2y,2：*=4s"鉉2,=2s"2y2,

設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為Z,方差為s2.

則7=葭/+鼠中=軌+21=4X36+2X42=

666

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為38,

則S2=如2乙(XL7)2+2K(y「訓=-4乎)+(2匚斕-2到]

=|(4s?+4x2+2sg+2y2-6z2)=1x(4x|+4x362+2xl+2x422-6x382)=10.

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10；

據此估計這m人中年齡在35?45歲的所有人的年齡的平均數為38,方差約為10.

5.某公司有甲、乙兩支研發團隊，現在要考察兩支團隊的研發水平，隨機抽取兩個團隊往年研發新品的成

果如下：（4B）,（力,瓦），（4B）,（WB）,（彳,瓦），（4,B）,（AB）,（4互）,（1,8）,（4百）,自如）,（4B）,（4瓦）,

（Z,B）,（4B）.其中41分別表示甲團隊研發成功和失敗；B,互分別表示乙團隊研發成功和失敗.

（1）若某團隊成功研發一種新品，則給該團隊記1分，否則記0分.試求兩隊研發新品的成績的平均數和方差,

并比較兩團隊的研發水平；

（2）若公司安排兩團隊各自研發一種新品，試估計恰有一隊研發成功的概率.

【答案】⑴平均數二=|,x7=|；方差s2=|,s；=9甲團隊的研發水平優于乙團隊

（2玲

【分析】（1）用平均數與方差公式計算，并比較可得結果;

（2）由古典概型可求概率.

【詳解】（1）甲團隊研發新產品的成績如下：

1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1；

乙團隊研發新產品的成績為：

1,0,1,1,0,1,1,0,I,0,0,1,0,1,1.

祠〉二，s備＜s5,通過兩隊平均數、方差的比較，

1T乙中乙

可以看出甲團隊的研發水平優于乙團隊.

（2）記恰有一隊研發成功的概率為P

所抽的15個結果中，恰有一組研發成功包括

（A,B）,（A,B）,（A.B）,（A,B）,（A,B）,（氏百）共7個，

P=工.

15

6.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發放意向選擇調查表,

統計知，有600名學生選擇物理科，400名學生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學生中隨機各抽

取20名學生的數學成績得如下累計表（下表）：

分數段物理人數歷史人數

試分析數學成績對學生選擇物理科或歷史科的影響,

并繪制選擇物理科的學生的數學成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學生的數學成績的平均數（如

圖）;

（2）從數學成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學生中按照分層抽樣的方法抽取5個成績，再從這5個成

績中抽2個成績，求至少有一個選擇物理科學生的概率.

【答案】（1）答案見解析，79.5

⑵看

【分析】（1）從統計表看出選擇理科的學生的數學平均成績高于選擇文科的學生的數學平均成績，反映了

數學成績對學生選擇文理科有一定的影響，然后根據數據繪制出直方圖即可；

（2）按照分層抽樣的方法確定選擇物理學科的數學成績和選擇歷史學科的數學成績各有多少，從中抽2個

成績，列舉出所有的基本事件，進而根據古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】（1）由表格數據知，隨著數學成績分數的提升，選擇物理方向學生的占比有明顯的提升，

所以數學成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.

頻率分布直方圖如下：

選擇物理科的學生的數學成績的平均數為天=55x0.05+65x0.15+75x0.3+85x0.3+95x0.2=

79.5.

(2)由題可知，數學成績低于80分的選擇物理學科的成績有10個，選擇歷史學科的成績有15個，一共

有25個,

則按照分層抽樣的方法在選擇物理學科的數學成績應抽取10x^=2個，設為A,B,

在選擇歷史學科的數學成績應抽取15X卷=3個，設為a,b,c,

基本事件列舉如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ab,ac,be.

所以，一共有10個基本事件，滿足條件的有7個：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,

所以至少有一個選擇物理科學生的概率為P=看.

7.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽成績分成6組:[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數據a,b,

c成等差數列，成績落在[40,50)U[70,80)內的人數為400.

(1)求出直方圖中a,b,c的值;

(2)估計中位數(精確到0.1)和平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代替)；

(3)在區間［80,100］內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現從5人中再隨機抽取兩人進行現場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區間［90,100］內的事件概率.

【答案】(l)a=0.01,b=0.015,c=0.02,

⑵平均數為70.5,中位數為71.7.

【分析】(1)根據頻率之和為1、a,b,c成等差數列以及成績落在［40,50)U［70,80)內的人數為400可得關于

a,b,c的方程，求出其解即可.

(2)利用組中值可求均值，利用公式可求中位數.

(3)根據頻率之比可得抽取人數之比，再用列舉法求出基本事件的總數和隨機事件中的基本事件的個數，

故可求對應的概率.

【詳解】(1)因為a,b,c為等差數列，故2b=a+c,

又(2a+2b+c+0.03)x10=1,故2a+2b+c=0.07,

因為成績落在［40,50)U［70,80)內的人數為400,故(a+0.03)X10=部，

故a=0.01,故b=0.015,c=0.02.

(2)由頻率分布直方圖可得平均數為：

45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,

前3組的頻率之和為0.1+0.15+0.2=0.45,

前4組的頻率之和為0.1+0.15+0.2+0.3=0.75,

故中位數在區間［70,80)中，設該數為x,則答

1UU.DO

故X=70+971.7.

(3)區間［80,90)、［90,100］上的頻率之比為0.15:0.1=3:2,

故5人中在分數在［80,90)內的人數為3人，記為a,b,c,

分數在［90,100］內的人數為2人，記為A,B,

從5人中隨機抽取兩人進行現場知識答辯，共有10種取法：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B},{c,A},{c,B},{a,b},{a,c},{c,b},{A,B}.

設C為“兩人中恰好有1人得分在區間［90,100］內”，則C中的基本事件為：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B),{c,A},{c,B},共6個,

故P(A)=".

8.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽.成績分成5組:［50,60),

［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數據a,b,c成等差

數列，成績落在區間［60,70)內的人數為400.

(2)估計中位數(精確到0.1)和平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代替)；

(3)在區間［80,100］內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現從5人中再隨機抽取兩人進行現場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區間［90,100］內的事件概率.

【答案】(l)a=0.04,b=0.03,c=0.02；

⑵中位數為71.7,平均數為73；

(3)|

【分析】(1)先由在區間［60,70)內的人數求出a值，再根據等差數列的性質和頻率分布直方圖中所有小矩

形的面積之和為1,求出b,c的值；

(2)設中位數為x,根據中位數左側直方圖的面積為0.5求解中位數，利用平均數等于每個小矩形的面積

乘上小矩形底邊中點的橫坐標之和求解平均數；

(3)先利用分層抽樣求出抽取的5人中4人來自區間［80,90),1人來自區間［90,100］,再利用古典概型求

出抽取兩人中恰好有1人得分在區間［90,100］內的概率.

【詳解】(1)由已知可得a=400+1000+10=0.04,

則(0.005+0.04+b+c+0.005)X10=1,即b+c=0.05,

又：a,b,c成等差數列，；.2b=0.04+c,

解得c=0.02,b=0.03,

(2)V(0.005+0.04)x10=0.45<0.5,(0.005+0.04+0.03)X10=0,75>0,5,

二設中位數為x,且xe［70,80),

二(0.005+0.04)x10+(x-70)X0.03=0.5,解得x?71.7,

即中位數為71.7,

平均數為(55X0.005+65X0.04+75x0.03+85x0.02+95x0.005)x10=73,

(3)成績位于區間［80,90)內的學生有0.02X10X1000=200人，成績位于區間［90,100］內的學生有

0.005x10x1000=50人，

通過分層抽樣抽取了5人中來自區間［80,90)的人數為

5x就標=4人,來自區間［90,100］的人數為5x募部=1人，

抽取兩人中恰好有1人得分在區間［90,l()0］內的概率為P=罷=■j.

9.全國中學生生物學競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現從中隨機抽取了

50名學生的成績，經統計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數據按照

［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中小的值，并估計這50名學生成績的中位數；

⑵在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在［70,80),［80,90),［90,100］的三組中抽取了11人，再從這11

人中隨機抽取2人，求這2人成績都不在［70,80)的概率.

【答案】(l)m=0.012；68

【分析】(1)根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1求出參數m的值，再根據中位數計算規則

計算可得；

(2)首先求出各組抽取的人數，將這11人按所在的組編號分別為：AI，A2，A3，A4，A5，A&A7,B1,B2,B3,C,

求出基本事件總數，再找出符合題意的事件，最后利用古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖的性質可得，(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)xl0=1,

解得m=0.012,

設中位數為a,因為(0.004+0.022)x10=0.26<0.5,(0.004+0.022+0.030)X10=0.56>0.5,

所以ae[60,70),

???0.004x10+0.022x10+(a-60)x0.03=0.5解得a=68；

(2)v[70,80),[80,90),[90,100]的三組頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1,

.??從[70,80),[80,90),[90,100]中分別抽取11X元1=7人，llx”7T=3人，11乂忌？=1人，

將這11人按所在的組編號分別為：AI，A2，A3，A4，A5，A6，A7，Bi.B2,B3,C,

從中任取2人,所有的取法有(A1，A2),(A1，A3),…,(B3，C),共衛#=55種取法,

其中2人成績都不在[70,80)的取法有：

(Bi，B2),(BI，B3),(B2,B3),&C),(B2,C),(B3,C),共6種情況，

所以這2人成績都不在[70,80)的概率P=總

10.清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學生通過前往革命烈士紀念館或者線上網絡的方式參與“清明祭

英烈”活動，學生只能選擇一種方式參加.已知該中學初一、初二、初三3個年級的學生人數之比為4:5:6,

為了解學生參與“清明祭英烈”活動的方式，現采用分層抽樣的方法進行調查，得到如下數據.

年級人數方式初一年級初二年級初三年級

前往革命烈士紀念館2a-l810

線上網絡ab2

(1)求a,b的值；

(2)從該校各年級被調查且選擇線上網絡方式參與“清明祭英烈”活動的學生人任選兩人，求這兩人是同一個

年級的概率.

【答案】(l)a=3,b=2

【分析】(1)根據分層抽樣的原理，按比例計算出a,b；

(2)根據條件，求出任取2人的結果數和任取2人是同一個年級的結果數，再求出概率即可.

【詳解】(1)由題可知,4:5:6=(3a—l):(b+8):12,解得a=3,b=2；

(2)由(1)知，選擇網絡方式的，初一有3人(分別記為ai，a2，a3),

初二和初三都是2人(分別記為瓦,b2和J,c2),

任取2人有(a1(a2),(a1,a3),(a1,bj,(a1,b2),(a1(c。(a1(c2),(a2,a3),⑶,b。⑶,b2)，

acaca

(2>i)>(2>2)>(3>bj,(a3,b2),(a3,Cj),(a3,c2),(b1；b2),(b?cj,

(bl，C2),(b2,cj,(Y>2'C2)>(CI>C2)共21種方法；

同一個年級的有(ai，a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1；b2),Q,c?)共5種方法，

故2人是同一年級的概率為P=捺

11.已知1個不透明的袋子中裝有6個白球和4個黃球(這些球除顏色外無其他差異).甲從袋中摸出1球,

若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個黃球拿出，放入1個白球；若摸出

的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個白球拿出，放入1個黃球.再充分攪拌均

勻后，進行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進行了4次摸球，記袋子中

白球的個數為X.

(1)求袋子中球的顏色只有一種的概率；

⑵求X的分布列和期望.

【答案】(1送

(2)分布列見解析，禁

【分析】(1)根據袋子中有6個白球和4個黃球，摸4次只剩一種顏色，則只會剩下白球求解;

(2)由X的所有可能取值為2,4,6,8,10,分別求得其概率，然后列出分布列求解.

【詳解】(1)解：分別記第i次摸到白球和黃球為事件A”Bj,

記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件D,

6789189

則P(D)=P(AiA2A3A4)=_x_x__x_=__

10101010—625

(2)X的所有可能取值為2,4,6,8,10.

P(X=2)=P(B1B2B3B4)=±X^XAXZ=^

634

P(X=4)=P(A1B2B3B4)+P81A2B3B4)+P(B$2A3B4)+P(B1B2B3A4)=—X—x—

5.4545,4545.456319

X------1-----X—X—X----1-------X—X—X----1-------X—X-X—=—

10101010101010101010101010125

45

P(X=8)=P(B]A2A3A4)+P(A]B2A3A4)+P(A1A2B3A4)+P(A1A2A3B4)=-X—x

6、716一3、，6,7,6,7_2、，7,6,7、8163

—X-----1-----X—X—X------1-----X—X—X-------1-----X—X-X—=------

1010101010101010101010101010250

6789189

P(X=10)=P(AAAA)=—X—X-X—=-----,

123410101010625

P(X=6)=1-P(X=10)-P(X=2)-P(X=4)-P(X=8)=景.

故X的分布列為

X246810

211913163189

P

250125625250625

M.一八C21,.19..131,63,“1894421

故E(X)=2X-------F4X—+6X-------Fo8X-------F10X—=

k7250125625250625625

12.在數學探究實驗課上，小明設計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球,

一共有偶數個小球，現在從盒子中一次摸一個球，不放回.

(1)若盒子中有6個球，從中任意摸兩次，摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率為,.

①求紅球的個數；

②從盒子中任意摸兩次球,記摸出的紅球個數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.

(2)已知盒子中有一半是紅球，若“從盒子中任意摸兩次球，至少有一個紅球”的概率不大于9求盒子中球的總

個數的最小值.

【答案】(1)①紅球的個數為3;②分布列見解析;數學期望為1

(2)最小值為8

【分析】(1)設出紅球的個數,根據古典概型的概率公式列出等式，即可解出紅球的個數;根據紅球的個數寫出X

的所有可能取值,分別求出概率，列出分布列即可；

(2)設出球的個數，求出從盒子中任意摸兩次球，都不是紅球的概率，進而求得至少有一個紅球的概率，使其小于

等于2即可求得球的總個數范圍，進而求出結果.

【詳解】(1)①設紅球的個數為兀521),則摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率P=%&=|,

5

解得幾=3,所以紅球的個數為3;

②X的所有可能取值為0,1,2,

則P(x=0)=|=和(X=1)=沁X=2)='*

故隨機變量X的分布列為

所以E(X)=0x^+lx|-+2x-1=l;

(2)設球的總個數為2科則紅球的個數為犯

則從盒子中任意摸兩次球，都不是紅球的概率:P=患=黑尚=急，

所以至少有一個紅球的概率p=1-/=/==+擊4,

解得小＞4,所以盒子中球的總個數的最小值為8.

13.某班在一次班會課上推出了一項趣味活動：在一個箱子里放有4個完全相同的小球，小球上分別標注

有1、2、3、4號碼.參加活動的學生有放回地摸兩次球，每次摸1個，并分別記錄下球的號碼數字x,y.獎

勵規則如下：①若次3,則獎勵筆記本1本；②若個次，則獎勵水杯1個；③其余情況獎勵飲料1瓶.

(1)求小王獲得筆記本的概率；

(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料，哪一個概率大?

【答案】(1后

(2)獲得水杯的概率大

【分析】(1)采用列舉的方法，得到(x,y)的所有基本事件的個數，以及滿足xyS3的基本事件的個數，利

用古典概型的概率公式，即可求解；

(2)同樣采用列舉的方法，求小王獲得水杯和獲得飲料的概率，再比較大小，即可判斷.

【詳解】(1)小王兩次摸球，(x,y)的情況包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4)共16種情況，其中滿足xyW3的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5種情況,

所以小王獲得筆記本的概率P=2

16

(2)滿足xy28的基本事件包含(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6個基本事件，

所有小王獲得水杯的概率P=5=［，

168

小王獲得飲料的概率p=l—9-=白，

16816

因為5>2所有獲得水杯的概率大.

O16

14.2022年2月4日，第24屆北京冬奧會在國家體育館隆重開幕，本屆冬奧會吸引了全球91個國家和地

區的2892名冰雪健兒前來參賽.各國冰雪運動健兒在“一起向未來”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強、

更團結”的奧林匹克新格言，創造了一項又一項優異成績，中國隊9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金

牌數和獎牌數均創歷史新高.中國健兒在賽場上努力拼搏，激發了全國人民參與冰雪運動的熱情，憨態可掬

的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛.某商場舉行“玩摸球游戲，領奧運禮品”

的促銷活動，活動規定：顧客在該商場一次性消費滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規則如下：在

一個不透明的袋子中裝有10個大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍色、綠色小球分別有

1個、2個、3個、4個，每個小球上都標有數字代表其分值，白色小球上標30、紅色小球上標20、藍色小

球上標10、綠色小球上標5.摸球時一次只能摸一個，摸后不放回.若第一次摸到藍色或綠色小球，游戲結束,

不能領取奧運禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球

的總分，則可免費領取奧運禮品.

(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費領取奧運禮品的概率；

(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設其摸球所得總分為X,求X的分布列與數學期望.

【答案】(1點

(2)分布列見解析，等.

【分析】(1)分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求

解；

(2)由條件可知X=70,60,55,50,45,40,35,30,再求出對應的概率即得解.

【詳解】(1)解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個球的顏色若都是紅色，或

者一紅一藍即可領取奧運禮品，其概率為=工；

若甲第1次摸到紅球，再摸2個球的顏色若是一白一紅，一白一藍即可領取奧運禮品，其概率為

2x（lxlx2+lx3x2）_1

10x9x8-45；

所以顧客甲能免費領取奧運禮品的概率為1+2=白

3ol）45Z4

(2)解：由條件可知x=70,60,55,50,45,40,35,30,

P(X=「7。）」；，3P（X—6。）一■一：,

P(X=55)=44「二=5。）=蜜=2

P(X=45)=44P（X=40）=蕊T

P(X=35)=若號

P(X=30)=告4

于是X的分布列為:

X7060555045403530

11111111

P

361291291236

其數學期望為

E（X）——70X—F60XF55X—F50XF45X—F40XF35X—F30X—=—.

'13612912912369

15.春節是中國民間最隆重盛大的傳統節日，春節歷史悠久，在傳承發展中已形成了一些較為固定的習俗,

有許多還相傳至今，如買年貨、貼對聯、吃年夜飯、拜年、放鞭炮、逛廟會、賞花燈等.在春節期間，全

國各地均舉行各種賀歲活動，各地因地域文化不同而又存在著習俗內容或細節上的差異，帶有濃郁的各民

族特色.在某地的一個廟會上，一個商戶為了吸引客人，舉行摸獎游戲.在一個口袋內裝有形狀大小相同

的5個小球，其中，3個紅球、1個黑球、1個黃球；若中獎就送價值10元的一件禮品，若不中獎，就在商

戶這里買一件價值不低于20元的商品.

（1）若從中一次性摸出2個球，摸出黃球就中獎，求某個客人能領到一件禮品的概率；

（2）商戶約定：從口袋中連續取兩次球，每次取一球后放回，若取出的兩個球中沒有紅球，則商戶可以讓

客人免費拿一件價值50元的商品，否則，客人就得買一件價值100元的商品，某客人想試一試，問這位客

人免費拿一件價值50元的商品的可能性會超過20%嗎？

【答案】⑴~（2）不會.

【分析】（1）設3個紅球的編號為1,2,3,黑球為a,黃球為b,寫出一次性摸出2個球的所有可能，結合

古典概型的概率公式即可求解.

(2)寫出從袋中連續取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件，結合古典概型概率公式，從而可

求出取出的兩個球中沒有紅球，即可判斷.

【詳解】設3個紅球的編號為1,2,3,黑球為a,黃球為b,

(1)從袋中一次性摸出2個球，所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(2,3),(l,a),(2,a),(3,a),(l,b),

(2,b),(3,b),(a,b)共10個基本事件,

有黃球的基本事件有：(l,b),(2,b),(3,b),(a,b)共4個基本事件;

所以，某個客人能領到一件禮品的概率為P=5=|;

(2)從袋中連續取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(l,a),(l,b),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,l).(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),

(b,l),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b)共25個基本事件；

取出的兩個球中沒有紅球的基本事件有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共四個基本事件；

所以客人能免費拿一件價值50元的商品的概率為P=卷，

因此，這位客人免費拿一件價值50元的商品的可能性不會超過20%.

【點睛】關鍵點睛：

本題的做題關鍵是對球進行編號標記，列舉所有的基本事件，結合古典概型概率公式進行概率的求解.

16.2023年3月中旬，我國很多地區出現倒春寒現象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的

突然變化會引起機體產生呼吸道上皮組織的生理不良反應，從而導致呼吸系統疾病的發生或惡化.某數學

建模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學生人數多少之間的關系，他們記錄了某周連續六天的溫差，

查閱了這六天中每天去校醫新增患感冒而就診的學生人數，得到數據如下表：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X(℃)47891412

新增就診人數y(位)71丫375丫6

參考數據：久=一，

3160,7)2256xf=1(xi-x)(yi-y)=120.

(1)已知第一天新增患感冒而就診的學生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學生中隨機抽取3

位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為三求yi的值；

(2)求出y關于x的經驗回歸方程9=bx+a,且據此估計晝夜溫差為16K時，該校新增患感冒的學生數(用

四舍五入法結果保留整數).

附：1賽?早，a可一曲

乙i=]—即

【答案】(1)10；

⑵約為35人.

【分析】(1)利用對立事件及古典概率列式求出yi的值作答.

(2)利用數表及給定的和求出區已再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，并估計數據作答.

【詳解】(1)依題意，1一導=三整理得，6%=

ci6yi(yi-i)(yi-2)6

即yi(yi-i)(yi-2)=720=10x9x8,解得y1=10,

所以yi的值是10.

(2)由數表知，￡匚產=54,即芯=9,則2：1(&一幻2=(—5)2+(—2)2+(—1)2+()2+52+32=64,

干耳6=E1i(xr-幻(y；-y)=120=15

_ZM(XL?2一G一萬'

2622

又2；1(力一切2=2；1城一2y-2*L1yi+6(y)=2匕城-(Y)=3160-6(y)=256,解得y=22,

因此@=y-bx=22-yX9=^,則#=y+yX,

當x=16時，y=—+—X16?35,

,88

所以可以估計，晝夜溫差為16°C時，該校新增患感冒的學生數為35人.

17.猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區在元宵節當天舉行了猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提

供了5道燈謎題目，答題人從中隨機選取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎

品.

⑴若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，求甲能獲得類品的概率；

(2)若甲不能獲得獎品的概率為高，求甲能答對所提供燈謎題目的數量.

【答案】(1*

⑵3

【分析】(1)根據古典概型公式計算即可；

(2)根據對立事件概率和為1,由甲不能獲得獎品的概率求出甲能獲得獎品的概率，再求出答對的題目數

量.

【詳解】（1）設工作人員提供的5道燈謎題目為a,b,c,x,y,甲能答對的題目為x,y.

從這5道題目中隨機選取2道，總的事件有ab,ac,ax,ay,be,bx,by,ex,cy,xy,共10種情況，

甲2道題目全答對的事件有xy這1種情況，故甲能獲得獎品的概率為

（2）因為甲不能獲得獎品的概率為強所以甲能獲得獎品的概率為1-看=得.

設甲能答對所提供燈謎題目的數量為n,由（1）可知，n>3.

若n=3,不妨設甲能答對的題目為a,b,c,

則甲2道題目全答對的事件有ab,ac,be,共3種情況，

甲能獲得獎品的概率為卷，符合題意，

故甲能答對所提供燈謎題目的數量為3.

18.為提高核酸檢測效率，某醫學實驗室現準備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術進行新一輪大

規模核酸篩查.經過初步統計分析得出該項技術的錯檢率約為0.04,漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽

性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）

⑴當有100個人檢測出核酸陽性時，求預計檢出的假陽性人數；

（2）為節約成本，實驗室在該技術的基礎上采用“混采”的方式對個別疫區進行核酸檢測，即將n個人的樣本

裝進一根試管內送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進行單人單試管核酸采樣.現對兩個疫區

的居民進行核酸檢測，/疫區共有10000名居民，采用幾=1。的混采策略；3疫區共有20000名居民，采

用九=20的混采策略.已知兩個疫區每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032,通過計算比較4

B兩個疫區核酸檢測預計消耗試管數量.

參考數據：O.986710?0.8747,.比2.24

【答案】（1）4；

（2）A疫區核酸檢測預計消耗試管數量比B疫區核酸檢測預計消耗試管數量少.

【分析】（1）利用錯檢率計算得解；

（2）先求出整個A疫區檢測次數的期望值E（X）和整個B疫區檢測次數的期望值E（Y）,再作差比較大小即

得解.

【詳解】（1）解：當有100個人檢測出核酸陽性時，預計檢出的假陽性人數為100x0.04=4.

（2）解：先計算A疫區核酸檢測預計消耗試管數量.設A疫區每個居民感染新冠肺炎的概率為P（0<P<

0.00032),

采用n=10的混采策略，則該小組所需檢測次數為1和11,對應的概率分別為(1-P)1°和1-(1-P)10,

所以該小組檢測次數的期望為(1一P)10+11[1-(1-P)10]=11-10(1一P)10,

10000名居民分成1000個小組，所以整個A疫區檢測次數的期望值E(X)為11000-10000(1-P)10.

再計算B疫區核酸檢測預計消耗試管數量.設B疫區每個居民感染新冠肺炎的概率為P,

采用n=20的混采策略，則該小組所需檢測次數為1和21,對應的概率分別為(1-P)2。和1-(1-P)2。,

所以該小組檢測次數的期望為(1-P)20+21[1-(1-P)2。]=21-20(1-P)20,

20000名居民分成1000個小組，所以整個B疫區檢測次數的期望值E(Y)為21000-20000(1-P)20.

E(X)-E(Y)=-10000-10000(1-P)10+20000(1-P)20=10000[2(1-P)20-(1-P)10-1]

=10000[2(1-P)10+1][(1-P)10-1]

因為0<P<0,00032,所以2(1-P)10+1>0,(1-P)10-1<O.9996810-1<0,

所以E(X)-E(Y)<0,

所以A疫區核酸檢測預計消耗試管數量比B疫區核酸檢測預計消耗試管數量少.

19.某職業培訓學校現有六個專業，往年每年各專業的招生人數和就業率(直接就業的學生人數與招生人

數的比值)統計如下表：

專業機電維修藝術舞蹈汽車美容餐飲電腦技術美容美發

招生人數100100300200800500

就業率100%70%90%80%50%80%

(I)從該校往年的學生中隨機抽取1人，求該生是“餐飲”專業且直接就業的概率；

(II)為適應人才市場的需求，該校決定明年將“電腦技術”專業的招生人數減少a(0<m<400),將“機

電維修”專業的招生人數增加g假設“電腦技術”專業的直接就業人數不變，“機電維修”