【壓軸必刷】中考數學壓軸大題之經典模型培優案專題1共頂點模型解題策略解題策略模型1：等腰三角形共頂點模型2：等腰直角三角形共頂點模型3：等邊三角形共頂點模型4：相似三角形共頂點經典例題經典例題【例1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝23+2，∠ABD＝45°，求△AMD的面積；(2)如圖2，過點M作MN⊥AM與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將△ABM沿AM翻折得△AB'M，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出BN?DEMN【例2】（2022·江蘇·八年級專題練習）（1）問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點A、D、E在同一條直線上，則∠AEB的度數為__________，線段AD、BE之間的數量關系__________；（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點A、D、E不在一條直線上，請判斷線段AD、BE之間的數量關系和位置關系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，則直線AD和BE的夾角為__________．（請用含α的式子表示）【例3】．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數量關系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．【例4】（2021·福建·閩江學院附中九年級期中）正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為3和1，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉．（1）當旋轉至圖1位置時，連接BE，DG，則線段BE和DG的關系為；（2）在圖1中，連接BD，BF，DF，求在旋轉過程中△BDF的面積最大值；（3）在旋轉過程中，當點G，E，D在同一直線上時，求線段BE的長．培優訓練培優訓練一、解答題1．（2022·四川自貢·九年級專題練習）問題：如圖1，在等邊三角形ABC內，點P到頂點A、B、C的距離分別是3，4，5，求∠APB的度數？探究：由于PA、PB、PC不在同一個三角形中，為了解決本題，我們可以將△ABP繞點A逆時針旋轉60°到△ACP′處，連結PP′，這樣就將三條線段轉化到一個三角形中，從而利用全等的知識，求出∠APB的度數．請你寫出解答過程：應用：請你利用上面的方法解答：如圖2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點，且∠EAF=45°，求證：B2．（2022·全國·九年級專題練習）【探究發現】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足是O，求證：AB【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：CE⊥BG．（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接GE，若∠EGA=90°，GE=6，AG=8，則BC的長_____________．（直接填寫答案）3．（2022·全國·八年級課時練習）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連結BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數量關系．4．（2022·重慶開州·八年級期末）在正方形ABCD中，連接對角線AC，在AC上截取AE=BC，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，延長AF交BC于點M．(1)如圖1，連接ME并延長交AD的延長線于點Q，若BC=5，求△AQM的面積；(2)如圖2，過點A作AP⊥AM于點A，交CD的延長線于點P，求證：AP?2FM=BE．5．（2022·福建省福州延安中學模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC，D為斜邊AB上一動點（不與端點A，B重合），以C為旋轉中心，將CD逆時針旋轉90°得到CE，連接AE，BE，F為AE的中點．(1)求證：BE⊥AB；(2)用等式表示線段CD，BE，CF三者之間數量關系，并說明理由；(3)若CF＝32，CD＝5，求tan6．（2022·浙江湖州·中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，a>b．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，②延長EA交GB的延長線于點N，連結FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內），連結EF，CF．若EF⊥CF，試探索7．（2022·貴州遵義·三模）某校數學興趣學習小組在一次活動中，對一些特殊幾何圖形具有的性質進行了如下探究：(1)發現問題：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，點M是邊BC上任意一點，連接AM，以AM為腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，連接CN．求證：∠ACN=∠ABM．(2)類比探究：如圖2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=4，點M是邊BC上任意一點，以AM為腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B．在點M運動過程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．(3)拓展應用：如圖3，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，以DE為邊作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，連接CH．若正方形DEFG的邊長為6，CH=22，求△CDH8．（2022·重慶一中七年級期中）如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數量關系，并寫出證明過程．9．（2022·重慶巴蜀中學一模）在等邊△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，將線段DE繞點D逆時針旋轉60°得到線段DF，連接CF．(1)如圖（1），點D是AB的中點，點E與點C重合，連接AF．若AB=6，求AF的長；(2)如圖（2），點G在AC上且∠AGD=60°+∠FCB，求證：CF=DG；(3)如圖（3），AB=6，BD=2CE，連接AF．過點F作AF的垂線交AC于點P，連接BP、DP．將△BDP沿著BP翻折得到△BQP，連接QC．當△ADP的周長最小時，直接寫出△CPQ的面積．10．（2022·江蘇·八年級課時練習）△ACB和△DCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發現：如圖1，若點A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數．(2)類比探究：如圖2，點B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數及線段DB，AD，DM之間的數量關系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認為α為多少度，并證明．11．（2022·浙江·諸暨市浣江初級中學一模）【問題探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學受到第一問的啟發構造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．12．（2022·河南周口·九年級期末）觀察猜想(1)如圖1，在等邊△ABC中，點M是邊BC上任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN，則∠ABC與∠ACN的數量關系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是邊BC上任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連按CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．13．（2021·遼寧·東港市第七中學一模）如圖，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，設∠BAC=∠DAE=α．連接BD，以BC、BD為鄰邊作?BDFC，連接EF．(1)若α=60°，當AD、AE分別與AB、AC重合時（圖1），易得EF=CF．當△ADE繞點A順時針旋轉到（圖2）位置時，請直接寫出線段EF、CF的數量關系________；(2)若α=90°，當△ADE繞點A順時針旋轉到（圖3）位置時，試判斷線段EF、CF的數量關系，并證明你的結論；(3)若α為任意角度，AB=6，BC=4，AD=3，△ADE繞點A順時針旋轉一周（圖4），當A、E、F三點共線時，請直接寫出AF的長度．14．（2022·江蘇·蘇州高新區實驗初級中學三模）【學習概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內部，∠AEC=90°+∠ABC．設AEBE=u，點D的縱坐標為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數表達，并注明t15．（2022·陜西咸陽·八年級期末）△ABC和△ADE如圖所示，其中∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．(1)如圖①，連接BE、CD，求證：BE=CD；(2)如圖②，連接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=5，求BD的長．16．（2022·河北保定·八年級期末）如圖1，∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作DB⊥MN于點B，連接CB；過點C作CE⊥CB，與MN交于點E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時，可以得到線段BD和AE的數量關系是______，BD?BA與BC之間的數量關系是______，請證明你的結論；(3)直線MN繞點A旋轉到圖2的位置，若BD=2，BC=2，則AB(4)直線MN繞點A旋轉到圖3的位置時，直接寫出線段BA，BC，BD之間的數量關系______．17．（2021·江蘇蘇州·八年級期中）【理解概念】當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中有一個三角形是等腰直角三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”，把這個四邊形叫做“等腰直角四邊形”，當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中一個三角形是等腰直角三角形，另一個三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“真等腰直角線”，把這個四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．(1)【鞏固新知】如圖①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=32，則四邊形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四邊形．(2)【深度理解】在圖①中，如果四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，對角線BD是這個四邊形的真等腰直角線，當AD=4，AB=3時，則邊BC的長是______．(3)如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，對角線BD、AD分別是這兩個四邊形的等腰直角線．求證：AC=BE．(4)【拓展提高】在圖3中，已知：四邊形ABCD是等腰直角四邊形，對角線BD是這個四邊形的等腰直角線．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一條直角邊，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的長．18．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD于點N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數量關系，并說明理由．19．（2022·全國·八年級課時練習）在△ABC中，∠B=90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當∠BAC=50°時，則∠AED=_______°；（2）當∠BAC=60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD=∠CAE．P為直線CF上一動點．當PE?PD的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數量關系為_______，并證明．20．（2021·安徽合肥·八年級階段練習）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．21．（2021·福建省福州延安中學九年級期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點D為線段BC上一點，將線段AD以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AE，連接BE，點D關于直線BE的對稱點為F，BE與DF交于點G，連接DE，EF．（1）求證：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝3+1，求BD的長；（3）如圖2，在（2）條件下，以點D為頂點作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝2，連接FM，點O為FM的中點，當△DMN繞點D旋轉時，求證：EO的最大值等于BC．22．（2021·河南許昌·九年級期中）如圖，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，連接BD，點M、N分別是BD，BC的中點，連接MN．（1）如圖1，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出線段BE與線段MN的數量關系是，位置關系是．（2）當△ADE繞點A旋轉時，連接BE，上述結論是否依然成立，若成立，請就圖2情況給出證明；若不成立，請說明理由．（3）當AC＝8時，在△ADE繞點A旋轉過程中，以D，E，M，N為頂點可以組成平行四邊形，請直接寫出AD的長．23．（2021·福建莆田·九年級期中）如圖1，在等邊△ABC中，∠A=60°,AB=AC，點D，E分別在邊AB,AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE,DC,BC的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是，∠MPN=