專題14類比歸納專題：圓中利用轉化思想求角度壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】 1【類型二構造圓內接四邊形轉化角】 5【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】 9【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】 15【典型例題】【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】例題：（2023·北京·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C，D為上的點，．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖，在中，點A是的中點，若，則的度數為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇鎮江·九年級統考期末）如圖，點A，B，C都在上，B是的中點，，則等于．3．（2023·湖北隨州·統考中考真題）如圖，在中，，則的度數為．

4．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考開學考試）如圖，四邊形內接于，為直徑，，，則．

【類型二構造圓內接四邊形轉化角】例題：（2022秋·山西臨汾·九年級統考期末）是的外接圓，連接，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，點A，B，C，D，E均在上，且經過圓心O，連接，若，則弧所對的圓心角的度數為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鹽城·統考一模）如圖，點A、B、C都在上，如果，那么的度數為．3．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若，則．

4．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則．

【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】例題：（2023·湖北襄陽·統考一模）如圖，為的直徑，點，點是上的兩點，連接，，．若，則的度數是°．

【變式訓練】1．（2023·安徽宣城·校考三模）如圖，是直徑，點B、C、D在半圓上，若，則．

2．（2023·遼寧營口·校聯考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

3．（2022秋·安徽阜陽·九年級校考期中）如圖，是的直徑，C，D兩點在圓上，且，連接，P為一動點（點P不與點A，C重合），連接，在運動過程中，與相交于點M，連接．（1）的度數為．（2）當時，的度數為．4．（2022秋·浙江杭州·九年級統考期末）如圖，以的邊為直徑的分別交，于點，，且點是的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求線段的長．【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】例題：（2023·江蘇連云港·校聯考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內，則等于（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·遼寧朝陽·校聯考三模）如圖，點A、B、C、D在上，四邊形是平行四邊形，則的大小為（

）

A． B． C． D．無法確定2．（2023·廣西防城港·統考一模）如圖，點A，B，C，D都在上，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．3．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，四邊形內接于，連接，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·陜西西安·九年級高新一中校考期中）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，連接，若，若連接，則的度數是（

）A． B． C． D．

專題14類比歸納專題：圓中利用轉化思想求角度壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】 1【類型二構造圓內接四邊形轉化角】 5【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】 9【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】 15【典型例題】【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】例題：（2023·北京·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C，D為上的點，．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等弧所對的圓周角相等可得，根據直徑所對的圓周角為90度可得，進而可得，．【詳解】解：如圖，連接，，

，，，為的直徑，，，，故選A．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角．【變式訓練】1．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖，在中，點A是的中點，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：點是的中點，，．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．2．（2023秋·江蘇鎮江·九年級統考期末）如圖，點A，B，C都在上，B是的中點，，則等于．【答案】/80度【分析】利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出，然后根據圓心角、弧的關系即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵B是的中點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓心角、弧的的關系，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3．（2023·湖北隨州·統考中考真題）如圖，在中，，則的度數為．

【答案】/30度【分析】根據垂徑定理得到，根據圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．4．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考開學考試）如圖，四邊形內接于，為直徑，，，則．

【答案】/度【分析】連接．利用等弧所對圓周角相等，得出，從而得出，再利用直徑所對圓周角是直角，最后由直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接．

∵，∴．∵，∴．∵為直徑，∴．∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關鍵．【類型二構造圓內接四邊形轉化角】例題：（2022秋·山西臨汾·九年級統考期末）是的外接圓，連接，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在優弧上取一點E，連接，由是的外接圓，，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得的度數，最后由圓內接四邊形的性質可得答案．【詳解】解：如圖，在優弧上取一點E，連接，

，，，．∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∴，

故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理及圓內接四邊形的性質．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，點A，B，C，D，E均在上，且經過圓心O，連接，若，則弧所對的圓心角的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據圓內接四邊形的性質可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴弧所對的圓心角的度數為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形的性質，圓周角定理是解題的關鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統考一模）如圖，點A、B、C都在上，如果，那么的度數為．【答案】【分析】如圖：在優弧AC上取一點D，連接，由圓周角定理和圓的內接四邊形可得，，再結合求得．【詳解】解：如圖所示，在優弧上取一點D，連接，∴，，∵，∴∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、圓的內接四邊形的性質，掌握圓的內接四邊形對角互補是解答本題的關鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若，則．

【答案】50°【分析】在優弧上取一點D，連接，，，根據圓周角定理即可得到結論．【詳解】解：在優弧上取一點D，連接，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：50°．【點睛】本題考查了圓周角定理，添加輔助線構造圓心角和圓周角是解題的關鍵．4．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則．

【答案】116【分析】連接、，根據圓內接四邊形的性質求出，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理求出，根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案．【詳解】解：連接、，

∵點A、C、D、E都是上的點，∴，∴，∵，∴，∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，∴，∴，故答案為：116．【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質、掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】例題：（2023·湖北襄陽·統考一模）如圖，為的直徑，點，點是上的兩點，連接，，．若，則的度數是°．

【答案】【分析】連接，如圖，利用圓周角定理得到，則，然后利用圓的內接四邊形的性質求的度數．【詳解】解：如圖，連接，

為的直徑，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2023·安徽宣城·校考三模）如圖，是直徑，點B、C、D在半圓上，若，則．

【答案】/145度【分析】連接，根據直徑所對的圓周角為90度可得，進而可得，再根據圓內接四邊形對角互補即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

是直徑，點B在半圓上，，，四邊形是的內接四邊形，，，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質等，解題的關鍵是掌握圓內接四邊形的對角互補．2．（2023·遼寧營口·校聯考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

【答案】/61度【分析】如圖，連接，證明，求出，可得結論．【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．3．（2022秋·安徽阜陽·九年級校考期中）如圖，是的直徑，C，D兩點在圓上，且，連接，P為一動點（點P不與點A，C重合），連接，在運動過程中，與相交于點M，連接．（1）的度數為．（2）當時，的度數為．【答案】【分析】（1）根據，可得，進而可求的度數；（2）由是的直徑得，再根據圓內接四邊形的性質求出，然后可求的度數．【詳解】（1）∵，，∴，∴；（2）連接．∵是的直徑，∴，∵，∴∵，∴，∴．故答案為：（1）；（2）．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質等知識，關鍵是熟練掌握圓的性質．4．（2022秋·浙江杭州·九年級統考期末）如圖，以的邊為直徑的分別交，于點，，且點是的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據同弧或等弧所對的圓周角相等，得出是的角平分線，然后再根據等腰三角形的判定定理，即可得出結論；（2）連接，根據勾股定理，得出，再根據三角形的面積公式，結合等腰三角形的性質，得出，再根據三角形的面積公式，得出，解得，再根據勾股定理，得出，然后根據線段之間的數量關系，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，∴是的角平分線，∴是等腰三角形；（2）解：如圖，連接，在中，∵，，∴，∴，又∵，是等腰三角形，∴是的中線，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角、同弧或等弧所對的圓周角相等、等腰三角形的判定與性質、勾股定理，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理和等面積法．【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】例題：（2023·江蘇連云港·校聯考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓周角定理求解即可．【詳解】，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，熟記同圓中一條弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·遼寧朝陽·校聯考三模）如圖，點A、B、C、D在上，四邊形是平行四邊形，則的大小為（

）

A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，證明為等邊三角形，得出，根據圓周角定理得出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，