湖南省長沙市2024年高三數學模擬預測卷一、單選題1．“數列和都是等比數列”是“數列是等比數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設在復平面內對應的點為，則在復平面內對應的點為（

）A． B．C． D．3．若集合，集合，則的子集個數為（

）A．16 B．15 C．32 D．314．已知，則等于（）A．10 B． C．3 D．5．已知函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，且，則（

）A．4 B．2 C． D．6．在下列關于概率的命題中，正確的有（

）A．若三個事件、滿足，則、為對立事件B．若三個事件、、兩兩獨立，則C．若事件、滿足，，，則、相互獨立D．若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件7．已知函數，其導函數為且，在區間上恰有4個不同的實數，使得對任意都滿足，且對任意角在區間上均不是單調函數，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓上有一異于頂點的點P，A，B分別是橢圓C的左、右頂點，且兩直線PA，PB的斜率的乘積為，則橢圓C的離心率e為（

）．A． B． C． D．二、多選題9．已知數列的前項和為，且，則下列結論正確的有（

）A．若，則為等差數列B．若，則為遞增數列C．若，則當且僅當時取得最小值D．“”是“數列為遞增數列”的充要條件10．對于兩條不同直線和兩個不同平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則11．已知雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，直線與雙曲線的漸近線交于點（在第二象限，在第一象限），下列結論正確的是（

）A．B．C．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為4D．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為8三、填空題12．“圓排列”亦稱“循環排列”“環排列”，最早出現在中國《易經》的四象八卦組合.當A，B，C三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“ABC”與該排列旋轉一個或幾個位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個排列，現有六位同學圍成一個圓做游戲，其排列總數為.（用數字作答）13．已知函數，則．14．在中，點D滿足，過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N，記，，則的最小值為.四、解答題15．甲、乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲、乙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品且甲機床加工的零件不是一等品的概率是.(1)分別求甲、乙兩臺機床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲加工的零件中取兩個，從乙加工的零件中取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.16．在各項都為正數的等比數列中，，(1)求數列的通項公式：(2)記，求數列的前項和．17．在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，平面，點為中點．

(1)證明：平面；(2)已知，求平面與平面所成二面角的正弦值．18．已知函數，曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求的單調區間，并證明在上沒有零點．19．已知拋物線的焦點到準線的距離為.(1)求拋物線的標準方程；(2)過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，分別過兩點作準線的垂線，垂足分別為、兩點，以線段為直徑的圓過點，求圓的方程．參考答案：1．A【分析】根據等比數列的定義和通項公式可證明充分性成立，舉例說明可證明必要性不成立，即可求解.【詳解】若數列都是等比數列，設其公比分別為為常數)，則，所以當時，，為常數，由等比數列的定義知，數列是以為首項，以為公比的等比數列，故充分性成立；若數列是等比數列，設，當，時，滿足，但都不是等比數列，故必要性不成立.所以“數列、都是等比數列”是“數列為等比數列”的充分不必要條件.故選：A2．C【分析】利用復數運算法則化簡即可求解.【詳解】依題意得，所以，則在復平面內對應的點為．故選：C3．A【分析】解對數不等式和一元二次不等式可得集合，利用交集運算計算，進而可得子集個數.【詳解】對于集合可得，解得，所以，對于集合可得，解得，所以，所以，故的子集個數為.故選:A.4．B【分析】根據題意，利用向量的數量積的坐標運算公式，準確計算即可求解.【詳解】由向量，可得，所以.故選：B.5．C【分析】根據條件得出函數的周期為，再利用，即可求出結果.【詳解】因為為奇函數，所以，又為偶函數，得到，由，得到，所以，即有，所以，故函數的周期為，又，所以，故選：C.6．C【分析】取特例可判斷AB選項；利用獨立事件的定義可判斷C選項；取事件與對立，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若事件、不互斥，但是恰好，滿足，但是、不是對立事件．故A錯誤；對于B選項，設樣本空間含有等可能的樣本點，且，，，可求得，，，所以，，，即、、兩兩獨立，但，所以，故B錯誤；對于C選項，因為事件、滿足，，，所以，所以、相互獨立，故C正確；對于D選項，若事件與是互斥事件，不妨設與對立，則，此時，與是同一事件，故D錯誤．故選：C.7．B【分析】根據導數滿足的條件可得的解析式，根據對稱性及正弦函數的零點、單調性可得的取值范圍.【詳解】因為，故，故，而，故，故，故.由可得的圖象關于點對稱，，即，其中.當時，，因函數在上的前5個零點依次為，可得，解得，又在上不是單調函數，，解得，綜上.故選：B.【點睛】方法點睛：正弦型函數的零點問題，應該利用整體法先求出整體的范圍，再結合正弦函數的性質可得整體的性質.8．B【分析】由題意可知，，設，，利用線PA，PB的斜率的乘積為計算即可.【詳解】由題意可知，，設，，則，于是所以，所以，故選：B9．ACD【分析】先求出，當時，，再逐項判斷選項.【詳解】由，當時，，當時，，若，則，符合，故為等差數列，A正確；若，則，，所以不是遞增數列，B錯誤；若，則，當時，，為公差為2的等差數列，且，所以當且僅當時取得最小值，C正確；當時，，故數列為遞增數列等價于，即，可得，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】根據空間中平面與直線的位置關系即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，由于沒有說明是否相交，故不一定平行,A錯誤，對于B，若，則（面面垂直的性質定理），故B正確，對于C，若，則，C正確，對于D，若，則，D正確，故選：BCD11．AC【分析】根據即可判斷A,根據兩直線的斜率即可判斷B，根據面積關系，結合不等式即可求解CD.【詳解】由于雙曲線的漸近線方程為，所以，,故，點在以為圓心，為半徑的圓上，所以，A正確.，直線的斜率為，直線的斜率為由于與不一定相等，所以直線與直線不一定平行，B錯誤.的面積為，雙曲線的焦距為，當且僅當時，等號成立，所以雙曲線的焦距的最小值為正確，錯誤.故選：AC

12．120【分析】由條件中所舉的3個人的“環排列”，確定“環排列”的公式，即可求解.【詳解】三位同學圍成一個圓，“”“”或“”是同一排列，其中每一個圓排列可以拆成任意一位同學為首的直線排列3個.三位同學圍成一個圓的排列總數為，由此可得六位同學圍成一個圓的排列總數為.故答案為：13．【分析】由，從而可求解.【詳解】由題意知當，，則，所以.故答案為：.14．【分析】先求出，再根據平面向量共線定理可得，再根據結合基本不等式即可得解.【詳解】因為過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N，記，，所以，且，，由，得，又三點共線，所以，故，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：求出，再根據平面向量共線定理可得，是解決本題的關鍵.15．(1)(2)【分析】（1）記事件A：甲機床加工的零件是一等品，事件B：乙機床加工的零件是一等品，且A與B相互獨立，根據，結合獨立事件概率乘法公式及對立事件概率公式列方程組求解即可；（2）記事件C：從甲加工的零件中取兩個都不是一等品，事件D：抽取的三個零件至少有一個一等品，根據獨立事件概率乘法公式及對立事件概率公式求解即可.【詳解】（1）記事件A：甲機床加工的零件是一等品，事件B：乙機床加工的零件是一等品，且A與B相互獨立，由題意得，，所以，解得.（2）記事件C：從甲加工的零件中取兩個都不是一等品，事件D：抽取的三個零件至少有一個一等品，則，所以.16．(1)(2)【分析】（1）設等比數列的公比為．可得，解出即可得出．（2）由（1）得：．再利用錯位相減法即可得出．【詳解】（1）設等比數列的公比為．則，解得，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列，即．（2）由（1）得：．所以，，，．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交與點O，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據線面平行的判定定理，即可證明結論；（2）取中點為N，連接，建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，求出平面和平面的法向量，根據空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連接交與點O，連接，由于平面平面，平面平面，故，O為的中點，點為中點，故，，則四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，故平面；（2）由（1）知，取中點為N，連接，由題意知是邊長為2的正三角形，在中，，則，故，是邊長為2的正三角形，則，又平面，則平面，平面，故，，則為正三角形，故，而平面，故平面，以N為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，則，設平面的法向量為，則，則，令，則；，設平面的法向量為，則，即，令，則，故，設平面與平面所成二面角為，故，故平面與平面所成二面角的正弦值為.18．(1)，(2)單調遞增區間為，單調遞減區間為，，證明見解析.【分析】（1）求出導函數，依題意可得，解得即可；（2）由（1）可得，求出函數的定義域與導函數，即可求出單調區間，結合函數的單調性說明在上沒有零點.【詳解】（1）因為，所以，由題意知，解得.（2）由（1）可得定義域為，又，因為，所以當時，當或時，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，；因為在上單調遞增，在上單調遞減，時，，在上沒有