圓的一般方程2024.8教學目標：教學重點：教學難點：依據不同條件利用待定系數法求圓的一般方程，并能簡單應用．1.掌握圓的一般方程及其特點；2.掌握圓的一般方程和標準方程的互化；3.能根據某些具體條件，運用待定系數法確定圓的方程.會用配方法對圓的標準方程和一般方程進行互化．情境導入

我們常見的隧道的截面是半圓形，圓拱橋上的弧形也是圓的一部分，圓在日常生活中應用非常廣泛.如果把圓的標準方程（x－

a）2＋（y－b）2＝r2展開為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中

D，E，F均為常數.（1）任何一個圓的標準方程是否都可變形為關于x，y的

二次項系數為1，且不含xy項的二元二次方程的形式？（2）若一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圓，則D，E，F應滿足什么條件？

知識點

圓的一般方程把方程：x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0配方對照圓的標準方程，發現了什么？(1)當D2+E2-4F>0時,x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示為圓心，以

為半徑的圓.(2)當D2+E2-4F=0時,方程只有一組解,表示一個點(3)當D2+E2-4F＜0時,方程無實數解,所以不表示任何圖形.

圓的一般方程:x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）說明：①x2與y2的系數都為1；②沒有xy這樣的二次項；

③圓心為(-,-)，半徑為D2E212D2+E2-4F形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圓的方程.練習：1.方程

x2＋

y2－

x

＋

y

＋

k

＝0表示一個圓，則實數

k

的取值范圍

為

?.方程表示圓?1＋1－4

k

＞0，k

＜2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）為圓心，4為半

徑的圓，則F＝_______________4題型一圓的一般方程的辨析例1

判斷下列二元二次方程是否表示圓.如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑.（1）x2＋y2－4x＝0；方程可變形為（x－2）2＋y2＝4，表示圓心坐標是

（2，0），半徑是2的圓.（2）

x2＋

y2－4

ax

－2

ay

＋6

a2＝0；方程可變形為（x

－2a）2＋（y－

a）2＝a2.當a＝0時，方程表示點（0，0），不表示圓；當a≠0時，方程表示圓心坐標是(2a，

a)，半徑是｜a｜的圓.（3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.方程可變形為x2＋y2－x＋3y＋

＝0，由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×

＝－1＜0，不表示任何圖形.方程配方可變形為故方程不表示任何圖形.二元二次方程表示圓的判斷方法

任何一個圓的方程都可化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓

可以有以下兩種方法：（1）計算D2＋E2－4F，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表

示一個點；若其值為負，則不表示任何圖形；（2）將該方程配方為

，根據圓的標準方程來判斷.練習：1（2024·許昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的圖形是圓，則實數m的取值范圍為（

）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）法一

因為方程表示的圖形是圓，所以4＋4m＞0，解得

m＞－1.故實數m的取值范圍為（－1，＋∞）.法二

方程x2＋y2－2y－m＝0可化為x2＋（y－1）2＝m＋1，因為方程表示的圖形是圓，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故實數m的取值范圍為（－1，＋∞）2.（多選）已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直徑為4，則（

）A.m＝－1B.m＝1C.圓心為（－1，－2）D.圓心為（1，－2）圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圓心為（1，－2），半徑為若其直徑為4，則解得m＝1.題型二求圓的一般方程例2．已知△ABC的三個頂點為A(－1，1)，B(－4，0)，C(4，－4).(1)求△ABC外接圓的方程；(2)判斷點M1(3，－1)，M2(2，－3)是否在這個圓上．(1)設△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋2x＋8y－8＝0.(2)由(1)知，圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.把點M1(3，－1)的坐標代入圓的方程，得(3＋1)2＋(－1＋4)2＝25，即點M1的坐標滿足圓的方程，所以點M1在這個圓上；把點M2(2，－3)的坐標代入圓的方程得(2＋1)2＋(－3＋4)2＝10≠25，即點M2的坐標不滿足圓的方程，所以點M2不在這個圓上．（2024·泉州月考）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心在直線

x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為

，求圓C的一般方程.由題意得圓心C①②由①②可得又圓心在第二象限，所以D＞0.所以圓C的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.題型三與圓有關的軌跡問題角度一直接法求動點的軌跡方程設點M的坐標是(x，y)，化簡，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.角度二代入法求動點的軌跡方程例4已知點P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程．設點M(x，y)，點P(x0，y0)，∵點P(x0，y0)在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，角度三定義法求動點的軌跡方程例5已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點C的軌跡方程．法一：設頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，且A，B，C三點不共線，所以x≠3，且x≠－1.且kAC·kBC＝－1，化簡，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法三：設AB的中點為D，由中點坐標公式，得D(1，0)．由直角三角形的性質，由圓的定義，知動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長的圓(因為A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．設C(x，y)，則直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．

求軌跡方程的三種常用方法(1)直接法：根據題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明；(2)定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程；(3)代入法：若動點P(x，y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1，y1)而運動，把x1，y1用x，y表示，再將Q點的坐標代入到已知圓的方程中，得點P的軌跡方程．（2024·徐州月考）已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B

（8，0）的距離的一半.（1）求動點M的軌跡方程；設動點M的坐標為（x，y）.｜

MA

｜＝

｜

MB

｜所以（x－2）2＋y2＝

[（x

－8）2＋y2].即動點M的軌跡方程為x2＋y2＝16.（2）若N為線段AM的