第二章導數及其應用2導數的概念及其幾何意義北師大版

數學

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解并掌握導數的概念,掌握求函數在一點處的導數的方法.2.理解導數的幾何意義.3.根據導數的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

導數的概念1.設函數y=f(x),當自變量x從x0變到x1時,函數值y從f(x0)變到f(x1),函數值y關于x的平均變化率為

=

.

平均變化率的極限

2.當x1趨于x0,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個固定的值,那么這個值就是函數y=f(x)在點x0的

.在數學中,稱瞬時變化率為函數y=f(x)在點x0處的

,通常用符號f'(x0)表示,記作f'(x0)=

=

.

瞬時變化率

導數名師點睛對于導數的概念,注意以下幾點:(1)函數應在點x0的附近有定義,否則導數不存在;(2)導數是一個局部概念,它只與函數y=f(x)在x=x0及其附近的函數值有關,與Δx無關.思考辨析對于函數y=f(x)=2x2+1,當x從x0變到x0+Δx時,y關于x的平均變化率是多少?當Δx趨于0時,平均變化率趨于一個常數嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數值與Δx的正、負無關.(

)(2)函數在點x0處的導數f'(x0)是一個常數.(

)2.利用導數定義求函數f(x)=3x-2在x=5處的導數值.√√知識點2

導數的幾何意義1.割線:設函數y=f(x)的圖象是一條光滑的曲線,且函數y=f(x)在區間[x0,x0+Δx]的平均變化率為,如圖(1),它是經過A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))兩點的直線的斜率.這條直線稱為曲線y=f(x)在點A處的

.

一條割線

2.切線:如圖(2),設函數y=f(x)的圖象是一條光滑的曲線,從圖象上可以看出:當Δx取不同的值時,可以得到不同的割線;當Δx趨于0時,點B將沿著曲線y=f(x)趨于點A,割線AB將繞點A轉動趨于直線l.稱直線l為曲線y=f(x)在點A處的切線,或稱直線l和曲線y=f(x)在點A處相切.該切線的斜率就是函數y=f(x)在x0處的導數f'(x0).名師點睛1.直線傾斜角

與其斜率k之間的關系是k=tan

θ.2.利用導數的幾何意義求曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程的步驟:(1)求函數f(x)在x0處的導數,即切線的斜率;(2)根據直線方程的點斜式可得切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.運用導數的幾何意義解決切線問題時,一定要注意所給的點是否恰好在曲線上.若點在曲線上,則該點的導數值就是該點處的切線的斜率.思考辨析如圖,我們把一條曲線上的任意一點P附近的圖象不斷放大,觀察有何現象出現?提示

當不斷放大時,曲線在點P附近的圖象逼近一條確定的直線,即在很小的范圍內,曲線可以看作直線,這就是以直代曲的思想.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數值就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率.(

)(2)直線與曲線相切,則直線與已知的曲線只有一個公共點.(

)√×2.[人教B版教材例題]已知函數f(x)=,求曲線y=f(x)在(2,f(2))處切線的方程.重難探究·能力素養速提升探究點一導數的概念角度1.求函數在某點處的導數A.-4 B.2 C.-2 D.±2D★(2)求函數y=f(x)=x+在x=1處的導數.規律方法

求一個函數y=f(x)在x=x0處的導數的步驟如下:(1)求函數值的變化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);變式訓練1(1)y=f(x)=x2在x=1處的導數為(

)A.2x B.2 C.2+Δx D.1B解析

當x從1變到1+Δx時,函數值從1變到(1+Δx)2,函數值y關于x的平均變化率為當x趨于1,即Δx趨于0時,平均變化率趨于2,所以f'(1)=2.★(2)利用導數的定義,求

在x=1處的導數.角度2.對導數定義式的理解和應用【例2】

設函數f(x)在x0處可導,則

等于(

)A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0)C規律方法

導數定義式的變形應用在導數的定義式中,自變量的增量Δx可以有多種表達形式,但不論采用哪種形式,Δy中自變量的增量Δx都必須用相應的形式,如將Δx變為mΔx,則Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有這樣,才有變式訓練2設函數f(x)滿足A.-1 B.1 C.-2 D.2A探究點二導數幾何意義的應用角度1.曲線在某點處的切線方程【例3】

求曲線y=f(x)=在點M(3,)處的切線方程.規律方法

求曲線在某點處的切線方程的步驟

變式訓練3曲線y=f(x)=x2+1在點P(2,5)處的切線與y軸交點的縱坐標是

.

-3令Δx趨于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2處的導數為f'(2)=4.于是,函數y=f(x)=x2+1在點(2,5)處的切線斜率為4,因此函數y=f(x)=x2+1在點P(2,5)處的切線方程為y-5=4(x-2),即y=4x-3.所以切線與y軸交點的縱坐標是-3.角度2.曲線過某點的切線方程【例4】

求拋物線y=f(x)=x2過點(4,)的切線方程.規律方法

1.首先要理解過某點的含義,切線過某點,這點不一定是切點.2.過點(x1,y1)的曲線y=f(x)的切線方程的求法步驟(1)設切點(x0,f(x0)).(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),從而寫出切線方程.3.本例考查了切線的含義及切線方程的求法.體現了直觀想象和數學運算的數學核心素養.變式訓練4求過點(-1,0)與曲線y=x2+x+1相切的直線方程.當x0=0時,切線斜率k=1,過點(-1,0)的切線方程為y-0=x+1,即x-y+1=0.當x0=-2時,切線斜率k=-3,過點(-1,0)的切線方程為y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切線方程為x-y+1=0或3x+y+3=0.探究點三利用導數的幾何意義判斷函數圖象【例5】

已知函數f(x)在R上可導,其部分圖象如圖所示,設

=a,則下列不等式正確的是(

)A.f'(1)<a<f'(2)B.a<f'(1)<f'(2)C.f'(2)<f'(1)<aD.f'(1)<f'(2)<aA規律方法

導數的幾何意義就是切線的斜率,在比較導數大小的問題上可以用數形結合思想來解決.(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫.f'(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值,從而得出在x0附近曲線是上升的;f'(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的.(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況,由切線的傾斜程度,可以判斷出曲線升降的快慢.變式訓練5函數y=f(x)的圖象如圖所示,下列不等關系正確的是(

)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

C解析

如圖所示,根據導數的幾何意義,可得f'(2)表示切線l1的斜率k1>0,f'(3)表示切線l3的斜率k3>0,又由平均變化率的定義,可得

=f(3)-f(2),表示割線l2的斜率k2,結合圖象,可得0<k3<k2<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故選C.本節要點歸納1.知識清單:(1)導數的概念.(2)導數幾何意義的應用.(3)利用導數幾何意義求曲線的切線方程.2.方法歸納:數形結合.3.常見誤區:求切線方程時f(x0),f'(x0)混淆.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練18192021D1234567891011121314151617181920212.[探究點二(角度1)]如圖,直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線,則f'(4)=(

)A. B.3 C.4 D.5A1234567891011121314151617181920213.[探究點二(角度1)]已知曲線y=f(x)=-x2-2上一點P(1,-),則在點P處的切線的傾斜角為(

)A.30° B.45° C.135° D.165°C1234567891011121314151617181920214.[探究點二(角度1)]若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,則(

)A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在C解析

由導數的幾何意義,可得f'(x0)=-2<0.1234567891011121314151617181920215.[探究點二(角度1)]設曲線y=f(x)=ax2在點(2,4a)處的切線與直線4x-y+4=0垂直,則a等于(

)B1234567891011121314151617181920216.[探究點一(角度1)]若點(0,1)在曲線f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,則a+b=

.

21234567891011121314151617181920217.[探究點一(角度2)]在曲線y=x2+2的圖象上取一點(1,3)及附近一點(1+Δx,3+Δy),則21234567891011121314151617181920218.[探究點二(角度1)]已知函數y=ax2+b在點(1,3)處的切線斜率為2,則

=

.

21234567891011121314151617181920219.[探究點二(角度1)]曲線f(x)=x3在點(1,1)處的切線與x軸,直線x=2所圍成的三角形的面積為

.

12345678910111213141516171819202110.[探究點二(角度1)]已知曲線y=-x2,求該曲線在點P(2,-2)處的切線方程.12345678910111213141516171819202111.

[探究點二(角度1)]在曲線y=x2上哪一點處的切線分別滿足下列條件:(1)平行于直線y=4x-5;(2)垂直于直線2x-6y+5=0;(3)與x軸成135°的傾斜角.12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112.[探究點二(角度2)]已知曲線,求曲線過點P(2,4)的切線方程.123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021B級關鍵能力提升練13.已知

=-2,則y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為(

)A.-4 B.4 C.2 D.-2D12345678910111213141516171819202114.若曲線y=f(x)=x+上任意一點P處的切線斜率為k,則k的取值范圍是(

)A.(-∞,-1) B.(-1,1)C.(-∞,1) D.(1,+∞)C123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.(多選題)下列各點中,在曲線y=f(x)=x3-2x上,且在該點處的切線傾斜角為

的是(

)A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,1)BC12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202117.已知直線x+y=b是函數f(x)=ax+的圖象在點(1,m)處的切線,則a+b=

,m=

.

5312345678910111213141516171819202118.若拋物線y=f(x)=x2-x+c上一點P的橫坐標是-2,拋物線在點P的切