第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2021·河南洛陽·九年級期末）若關于x的方程有實數根，則m的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出實數的取值范圍．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得：．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有實數根”是解題的關鍵．2．（2021·廣東·道明外國語學校九年級階段練習）已知關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【解析】【分析】先根據一元二次方程的定義及根的判別式列出關于的不等式，求出的取值范圍即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得：且．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式及一元二次方程的定義．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．理解和掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．3．（2022·河北石家莊·九年級期末）方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根名C．沒有實數根 D．無法判斷【答案】C【解析】【分析】根據一元二次方程根的判別式判斷即可．【詳解】原方程變形為，，即，則，，，即；故原方程沒有實數根．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解決本題的關鍵是找準方程的各系數．4．（2022·吉林長春·九年級期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17【答案】A【解析】【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中計算即可．【詳解】解：一元二次方程x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．故選：A．【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根，反之也成立．5．（2022·四川綿陽·九年級期末）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值為（

）A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3【答案】C【解析】【分析】求出根的判別式：，當=0時，原一元二次方程有兩個相等的實數根，求出k值即可．【詳解】a=k-1，b=4，c=k-1（k-3）（k+1）=0k=3或k=-1∵k-1≠0∴k≠1故k=3或k=-1故選：C【點睛】本題主要考查了根的情況求參數，當>0時，原方程有兩個不相等的實數根；當=0時，原方程有兩個相等的實數根；當=0時，原方程無實數根．熟練的掌握并運用根的判別式求解是解題的關鍵．6．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數根，則實數m的取值范圍是（

）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【答案】D【解析】【分析】利用判別式的意義得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．【詳解】解：根據題意得Δ=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故選D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當Δ=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．二、填空題7．（2022·北京延慶·八年級期末）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】根據一元二次方程根有兩個不相等的實數根時，判別式，代入計算即可得出答案．【詳解】解：由題可知，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的符號與一元二次方程根的關系是本題的關鍵．8．（2022·全國·九年級課時練習）若一元二次方程無實數根，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據判別式的意義得到△＜0，然后解不等式即可．【詳解】解：一元二次方程x2-4x+k=0無實數根，∴(―4)2-4k<0，解得k>4，故答案為：k>4．【點睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△>0時方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0時方程有兩個相等的實數根；（3）△<0時方程沒有實數根．9．（2020·遼寧·撫順市順城區長春學校九年級期中）若關于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0的根的判別式△=5，則m=_______．【答案】【解析】【分析】確定一元二次方程的二次項系數，一次項系數和常數項；再分別代入根的判別式中，得到一個關于m的方程，求出m即可．【詳解】a=1，b=-（m+2），c=m△=∵△=5∴=5m=故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，正確地找出一元二次方程的二次項系數，一次項系數和常數項是解題的關鍵，注意確定系數時帶上它前面的符號．10．（2022·全國·九年級課時練習）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則這兩個相等的根是x1＝x2＝__________________．【答案】【解析】【分析】根據一元二次方程有兩個相等的實數根，即，即，求出k的值，再代入原方程解出即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，即，解得，原方程可化為，解得，故答案為．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式及解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程有兩個相等的實數根時，即是解題的關鍵．三、解答題11．（2022·北京延慶·八年級期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）運用配方法解一元二次方程即可；（2）運用公式法解一元二次方程即可．（1）解：所以，原方程的解為，（2）解：，，∴∴原方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，靈活選用方法和準確計算是本題的關鍵．12．（2022·遼寧大連·九年級期末）已知關于x的一元二次方程，求證：不論為什么實數，這個方程總有兩個不相等實數根．【答案】見解析【解析】【分析】根據一元二次方程根的判別式的意義計算證明即可．【詳解】證明：△=，∵，∴，即△>0，∴不論為什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根．【點睛】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2?4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·山東泰安·八年級期末）若關于x的一元二次方程（a是常數）有實根，那么a的取值范圍是___．【答案】且【解析】【分析】根據一元二次方程的定義可得，根據一元二次方程根的判別式大于等于0即可求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程（a是常數）有實根，∴且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，掌握以上知識是解題的關鍵．注意掌握一元二次方程有兩個實數根，即可得Δ=b2?4ac≥0．2．（2022·遼寧錦州·中考真題）若關于x的方程有兩個不相等的實數根，且，則從滿足條件的所有整數m中隨機選取一個，恰好是負數的概率是____________．【答案】【解析】【分析】根據題意，由關于x的一元二次方程的根的判別式，可計算，再結合可知，進而推導滿足條件的所有整數為-3、-2、-1、0、1、2共計6個，其中負數有3個，由簡單概率的計算公式即可得出結果．【詳解】解：根據題意，關于x的方程有兩個不相等的實數根，故該一元二次方程的根的判別式，即，解得，又∵，∴，∴滿足條件的所有整數為-3、-2、-1、0、1、2共計6個，其中負數有-3、-2、-1共計3個，∴滿足條件的所有整數m中隨機選取一個，恰好是負數的概率是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、簡單概率計算等知識，解題關鍵是讀懂題意，綜合運用所學知識解決問題．3．（2022·全國·九年級專題練習）若等腰三角形的一邊長為6，另兩邊的長是關于的一元二次方程的兩個根，則的值為_______．【答案】12或16【解析】【分析】分6為等腰三角形的腰長和6為等腰三角形的底邊長兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．其中，每種情況下都要根據三角形三邊關系定理（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）檢驗三邊長是否滿足三角形的三邊關系．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當6為等腰三角形的腰長時，則關于x的方程x2?8x+m=0的一個根x1=6代入方程得，36-48+m=0解得m=12則方程為x2?8x+12=0解方程，得另一個根為x2=2∴等腰三角形的三邊長分別為6，6，2，經檢驗滿足三角形的三邊關系定理；（2）當6為等腰三角形的底邊長時，則關于x的方程x2?8x+m=0有兩個相等的實數根∴根的判別式解得，m=16則方程為x2?8x+16=0解方程，得x1=x2=4∴等腰三角形的三邊長分別為4，4，6，經檢驗滿足三角形的三邊關系定理．綜上，m的值為12或16．故答案為：12或16．【點睛】本題考查一元二次方程根的定義，根的判別式，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系定理等知識點．正確分兩種情況討論是解題關鍵．4．（2022·江蘇·九年級）若關于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數根，則c的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】由方程有兩個相等的實數根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結論．【詳解】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，∴（m﹣2）2＝，∵（m﹣2）2≥0，∴≥0，解得：，∴c的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．5．（2022·安徽·模擬預測）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為________．【答案】4【解析】【分析】根據一元二次方程根的判別式得出△=0，即b2＝4a，將該式代入后進一步變形即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實數根，∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，把b2＝4a代入得：原式＝=＝4故答案為：4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的實際運用，熟練掌握一元二次方程根的判別式，是解題關鍵．二、解答題6．（2022·湖南永州·二模）設m為整數，且，方程有兩個不相等的整數根，求m的值及方程的根．【答案】當m=8時，x=17或9；當m=18時，x=39或27【解析】【分析】方程有整數根，則根的判別式就為完全平方數，所以就是求使△為完全平方數且大于0的m的值，求得后再代入方程檢驗即可．【詳解】解：解方程得∵原方程有兩個不相等的整數根，∴為完全平方數，又∵m為整數，且3<m<30，∴m=8或18∴當m=8時，x=17或9當m=18時，x=39或27【點睛】一元二次方程有整數根，必須滿足根的判別式Δ=b2-4ac非負或為完全平方數，可根據這兩個條件來限定待定系數的取值范圍，從而找出解題的思路．7．（2021·四川綿陽·九年級階段練習）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)若該一元二次方程的一個根為x＝1，求m的值．【答案】(1)全體實數(2)m＝﹣1【解析】【分析】（1）由Δ＞0得到關于m的不等式，解之得到m的范圍；（2）將x=1代入原方程即可求出m值．（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，∴m的取值范圍是全體實數．（2）將x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣1．【點睛】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解，熟練掌握“當一元二次方程有實數根時，根的判別式Δ=b2-4ac≥0”是解題的關鍵．8．（2022·北京順義·八年級期末）已知：關于x的方程．(1)請判斷這個方程根