課堂導學（直線與圓錐曲線的關系）【知識點】1.直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2.直線與雙曲線的位置關系將直線的方程與雙曲線的方程聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．3.直線與拋物線的位置關系將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．4.拋物線的焦點弦問題已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：①焦點弦長②③，其中|AF|叫做焦半徑，④焦點弦長最小值為2p。根據時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。5.相交弦長：直線直線與二元曲線交于，，則或6.中點弦：點差法.【典例】例1．（2022·江蘇·高二）已知直線：與雙曲線：相交于兩點.（1）求線段的中點的坐標；（2）求線段的長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】聯立直線與雙曲線的方程消元得到關于的一元二次方程，求得兩根之和與兩根之積，代弦長公式即可求解【詳解】設直線與雙曲線交于，兩點由所以，所以即直線被雙曲線截得的弦長為例2．已知雙曲線：，點.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的斜率取值集合.A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線漸近線的性質，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點為.①直線與雙曲線只有一個公共點；②過點平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點；③設過的切線方程為與雙曲線聯立，可得，由，即，解得，直線的條數為1.綜上可得，直線的條數為4.故選：A,.例3．已知直線l與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的中點為，求線段AB的長．【答案】【解析】【分析】首先判斷直線的斜率存在，設直線為，，，聯立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，根據，求出參數，再根據焦點弦公式計算可得；【詳解】解：依題意顯然直線的斜率存在，設直線為，，，由，消去整理得當時，顯然不成立．當時，，又得，解得，當時直線，又焦點滿足直線．所以，又，．故答案為：【作業】1．過拋物線SKIPIF1<0的焦點的直線垂直于軸交拋物線于兩點，則（）A．B．5C．SKIPIF1<0D．102.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線與、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為（）A．B．C．D．3.設為拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線交于,兩點，則（C）（A）（B）（C）（D）4．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由直線與雙曲線無公共點可得，然后即可求出的范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因為直線與雙曲線無公共點，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為故選：A5．（2022·江蘇·高二）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】【分析】設，根據，可得，又，即可求得的面積【詳解】雙曲線的漸近線方程，不妨設A在上，則，根據可得，且，解得，所以的面積為．故選：B6．（多選題）（2022·浙江浙江·高二期中）若雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的焦點坐標為C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與雙曲線有兩個交點【答案】ACD【解析】【分析】根據雙曲線的幾何性質可判斷選項A，B，C，將直線方程與雙曲線的方程聯立可判斷選項D.【詳解】在雙曲線的方程為中，，則則雙曲線的離心率為，焦點坐標為由可得，即雙曲線的漸近線方程為故選項A,C正確，選項B不正確.由可得，所以直線與雙曲線有兩個交點，故選項D正確.故選：ACD7．過點的拋物線的切線有條.8．（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線有且只有一個公共點，則滿足條件的實數的值組成集合_______.【答案】【解析】【分析】聯立，消，分二次項系數等于0和不等于0兩種情況討論，結合根的判別式從而可得出答案.【詳解】解：聯立，消得，當時，，解得，此時直線與拋物線有且只有一個公共點，符合題意；當時，則，解得，綜上所述或，所以滿足條件的實數的值組成集合為.故答案為：.9．（2022·江蘇·高二課時練習）若經過雙曲線的一個焦點，且垂直于實軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點，則線段AB的長為______.【答案】4【解析】【分析】求得雙曲線的，，，可得焦點坐標，直線的方程，代入雙曲線方程求得交點坐標，可得弦長．【詳解】解：雙曲線的，，，可得一個焦點為，直線，代入雙曲線的方程可得，解得，則，故答案為：4．11．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．【答案】8【解析】【分析】根據雙曲線的對稱性以及可知，四邊形為矩形，再根據雙曲線的定義以及勾股定理求得，即可得到四邊形的面積．【詳解】由題意得，，由雙曲線的對稱性以及可知，四邊形為矩形，所以，解得，所以四邊形的面積為．故答案為：．12．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的右焦點為，左、右頂點為A、，，．則直線被橢圓截得的弦長為_____________．【答案】．【解析】【分析】由題可得橢圓的方程，聯立直線和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.【詳解】設橢圓的半焦距為，由，，可得，，解得，，則，即有橢圓的方程為，聯立直線和橢圓，可得，設被橢圓截得的