第四章數列4.1數列的概念第2課時數列的遞推公式人教A版

數學

選擇性必修第二冊課程標準1.理解數列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關問題.2.會利用數列的前n項和Sn與an的關系求通項公式.基礎落實·必備知識全過關知識點1

遞推公式如果一個數列的

之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.

相鄰兩項或多項

名師點睛數列遞推公式與通項公式的區別和聯系公式類型遞推公式通項公式區別表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關系表示an與n之間的關系聯系(1)都是表示數列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式過關自診1.利用an+1=2an,n∈N*可以確定數列{an}嗎?提示

不能,需要知道數列{an}的某一項才可以.3.試分別根據下列條件,寫出數列{an}的前5項:(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;解

因為a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此,數列{an}的前5項依次為1,2,4,8,16.知識點2

數列的通項公式與前n項和

1.數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數列{an}的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式.

共有n項

名師點睛由Sn-Sn-1求得的an,若當n=1時,a1的值不等于S1的值,則數列的通項公式應采用分段形式表示,即過關自診1.S1與a1是什么關系?S2呢?2.若數列{an}的前n項和為Sn,則關系式an=Sn-Sn-1的使用條件是什么?提示

由于S1表示數列的前1項的和,因此S1與a1相等,而S2表示數列的前2項的和,因此S2=a1+a2.提示

n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,這是因為當n=1時Sn-1=S0,數列中S0無意義.3.[人教B版教材習題]已知數列{an}的前n項和為Sn=3n,求{an}的通項公式.解

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-3(n-1)=3.當n=1時,a1=S1=3,所以an=3.重難探究·能力素養全提升重難探究·能力素養全提升探究點一由遞推公式求前若干項【例1】

(1)(多選題)已知數列{an}中,a1=3,an+1=-,則能使an=3的n可以為(

)A.22 B.24

C.26

D.28AD(2)已知數列{an},a1=1,且滿足an=3an-1+

(n∈N*,且n>1),寫出數列{an}的前5項.分析

由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值.規律方法

由遞推公式寫出數列的項的方法根據遞推公式寫出數列的前幾項,要弄清楚公式中各部分的關系,依次代入計算即可.另外,解答這類問題時還需注意:若已知首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式;若已知末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式,若項數很大,則應考慮數列的周期性.-3探究點二由遞推公式求數列的通項公式解

由a1=2,an+1=3an,得a2=3a1=3×2,a3=3a2=3×3×2=32×2,a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34×2,…,猜想:an=2·3n-1.規律方法

由遞推公式求通項公式常用的兩種方法(1)累加法:當an=an-1+f(n),n>1時,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通項公式.探究點三由數列的前n項和求通項公式【例3】

(1)若數列{an}的前n項和Sn=-2n2+10n,求數列{an}的通項公式.解

∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當n=1時,a1=-2+10=8=-4×1+12.此時滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)若數列{an}的前n項和Sn=2n+1-1,求數列{an}的通項公式.解

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;當n=1時,a1=S1=3,經驗證不符合上式.規律方法

[提醒]應重視分類討論的思想,分n=1和n≥2兩種情況討論.當n=1時,a1不適合an的情況要分開寫,即變式訓練2已知數列{an}的前n項和為Sn,求數列{an}的通項公式.(1)Sn=2n-1,n∈N*;解

由Sn=2n-1,①得Sn-1=2n-1-1,②①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又n=1時,a1=S1=21-1=1,滿足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.(2)Sn=2n2+n+3,n∈N*.解

由Sn=2n2+n+3,③則Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+3,④③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2),又當n=1時,a1=S1=6,不滿足an=4n-1,本節要點歸納1.知識清單:(1)數列遞推公式的概念.(2)由遞推公式求數列的通項公式.(3)數列的周期性.(4)由數列的前n項和求數列的通項公式.2.方法歸納:歸納法、累加法、累乘法、分類討論思想.3.常見誤區:(1)用累加法、累乘法求通項公式時易忽視角標和首項的確認;(2)由數列的前n項和求數列的通項公式時易忽視首項是否符合通項公式的驗證.重難探究·能力素養全提升成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314A級必備知識基礎練1.[探究點一]已知在數列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),則a4的值為(

)A.5 B.6 C.7 D.8D解析

因為a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.1234567891011121314D12345678910111213143.[探究點三]已知數列{an}的前n項和Sn=4n2-10n,則a2a6=(

)A.52 B.68

C.96

D.108B解析

由題意,可得當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.12345678910111213144.[探究點二]已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數列{an}的通項公式是(

)D解析

(方法1

構造法)由已知整理,得(n+1)an=nan+1,1234567891011121314當n=1時,an=n也成立,所以an=n.12345678910111213145.[探究點一](多選題)已知數列{xn}滿足x1=a,x2=b,xn=1=xn-xn-1(n≥2),則下列結論正確的是(

)A.x2020=a

B.x2022=a-bC.x11=x2021

D.x1+x2+…+x2020=2b-aBCD1234567891011121314解析

x1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b,x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,∴{xn}是周期數列,周期為6,∴x2

020=x4=-a,A不正確;x2

022=x6=a-b,B正確;x2

021=x5=x11,C正確;x1+x2+…+x2

020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正確.12345678910111213146.[探究點一]若數列{an}滿足an+1=2an-1,且a8=16,則a6=

.

12345678910111213147.[探究點二]根據下列條件,寫出數列的前四項,并歸納猜想它的通項公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);解

a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(n∈N*).B級關鍵能力提升練1234567891011121314A123456789101112131412345678910111213149.在數列{an}中,a1=1,對所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,則a3+a5等于(

)C解析

由題意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1