2025屆河南省許昌鄢陵縣聯考八年級數學第一學期期末質量跟蹤監視試題蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．一個正多邊形的內角和為900°，那么從一點引對角線的條數是（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知，，是直線（為常數）上的三個點，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．3．化簡結果正確的是（）A．x B．1 C． D．4．若n邊形的內角和等于外角和的3倍，則邊數n為（）A．n＝6 B．n＝7C．n＝8 D．n＝95．方程組的解是（）A． B． C． D．6．若，則的值為（）A． B．-3 C． D．37．在中，作邊上的高，以下畫法正確的是（）A． B． C． D．8．設，是實數，定義關于“*”的一種運算：．則下列結論正確的是（）①若，則或；②不存在實數，，滿足；③；④若，則．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④9．下列命題是真命題的是（）A．在一個三角形中，至多有兩個內角是鈍角B．三角形的兩邊之和小于第三邊C．在一個三角形中，至多有兩個內角是銳角D．在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行10．如圖，在中，是邊上兩點，且滿足，，若，，則的度數為（）A． B． C． D．11．若，則等于（）A． B． C． D．12．下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，AB=DB，∠1=∠2，請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△DBE，則需添加的條件是____（只要寫一個條件）.14．求的值，可令，則，因此．仿照以上推理，計算出的值為______．15．如圖，長方形中，，，點在邊上，且，點是邊上一點，連接，將四邊形沿折疊，若點的對稱點恰好落在邊上，則的長為____．16．《九章算術》勾股卷有一題目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齊.引木卻行四尺，其木至地，問木長幾何？意即：一道墻高一丈，一根木棒靠于墻上，木棒上端與墻頭齊平，若木棒下端向后退，則木棒上端會隨著往下滑，當木棒下端向后退了四尺時，木棒上端恰好落到地上，則木棒長______尺(1丈=10尺).17．若，則_______.18．函數中，自變量x的取值范圍是．三、解答題（共78分）19．（8分）數學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據)(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由20．（8分）星期天，小明和小芳從同一小區門口同時出發，沿同一路線去離該小區1800米的少年宮參加活動，為響應“節能環保，綠色出行”的號召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結果小明比小芳早6分鐘到達，求小芳的速度．21．（8分）（1）化簡（2）先化簡，再求值，其中x為整數且滿足不等式組．22．（10分）解不等式（組），并將解集表示在數軸上：（1）解不等式：（2）解不等式組：23．（10分）在慈善一日捐活動中，學校團總支為了了解本校學生的捐款情況，隨機抽取了50名學生的捐款數進行了統計，并繪制成下面的統計圖．（1）這50名同學捐款的眾數為元，中位數為元；（2）該校共有600名學生參與捐款，請估計該校學生的捐款總數．24．（10分）在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙隊單獨完成這項工程需要多少天？（2）甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元．若該工程計劃在70天內完成，在不超過計劃天數的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？25．（12分）如圖1是某種雙層圓柱形水槽的軸截面示意圖，水槽下層有一塊鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在槽底面上）．現將水槽上層的水，通過中間的圓孔勻速注入下層，水槽中上下層水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示，根據圖象提供的信息，解答下列問題：（1）讀圖并直接寫出上層水起始的深度；（2）注水多少時間，上下層的水一樣深？（3）若水槽底面積為24平方厘米（壁厚不計），求出鐵塊的體積．26．課堂上，老師出了一道題：比較與的大小.小明的解法如下：解：，因為，所以，所以，所以，所以，我們把這種比較大小的方法稱為作差法.(1)根據上述材料填空(在橫線上填“”“=”或“”)：若，則；若，則；若，則.(2)利用上述方法比較實數與的大小.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】n邊形的內角和可以表示成（n-2）?180°，設這個多邊形的邊數是n，就得到關于邊數的方程，從而求出邊數,再求從一點引對角線的條數.【詳解】設這個正多邊形的邊數是n，則

（n-2）?180°=900°，

解得：n=1．

則這個正多邊形是正七邊形．所以，從一點引對角線的條數是：1-3=4.故選B【點睛】本題考核知識點：多邊形的內角和.解題關鍵點：熟記多邊形內角和公式.2、B【分析】根據k=-5知y隨x的增大而減小，從而判斷大小.【詳解】∵一次函數中，k=-5，∴y隨x的增大而減小，∵-3＜-2＜1，∴，故選B.【點睛】本題是對一次函數知識的考查，熟練掌握一次函數k與函數增減的關系是解決本題的關鍵.3、B【分析】根據分式的加減法法則計算即可得出正確選項．【詳解】解：＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了分式的加減，同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．4、C【分析】根據n邊形的內角和等于外角和的3倍，可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【詳解】解：由題意得：180（n-2）=360×3，

解得：n=8，

故選C．【點睛】此題主要考查了多邊形內角和與外角和，要結合多邊形的內角和公式與外角和的關系來尋求等量關系，構建方程即可求解．5、C【分析】直接利用代入法解方程組即可得解【詳解】解：，由①得：③，將③代入②得：，解得：，將代入③得：故方程組的解為：，故選擇：C．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解及解二元一次方程，解二元一次方程有兩種方法：代入法和加減法，根據方程組的特點靈活選擇．6、D【分析】根據絕對值和算術平方根非負數性質進行化簡即可.【詳解】因為所以故選:D【點睛】考核知識點:二次根式.理解二次根式的意義,利用算術平方根非負數性質解決問題是關鍵點.7、D【分析】作哪一條邊上的高,即從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可．【詳解】解：在中,畫出邊上的高,即是過點作邊的垂線段,正確的是D．

故選D．【點睛】本題考查了畫三角形的高，熟練掌握高的定義是解題的關鍵.8、B【分析】根據新定義的運算，一一判斷即可得出結論．【詳解】解：①∵a*b=0，

∴（a+b）2-（a-b）2=0，

a2+2ab+b2-a2-b2+2ab=0，

4ab=0，

∴a=0或b=0，故①正確；

②∵a*b=（a+b）2-（a-b）2=4ab，又a*b=a2+4b2，

∴a2+4b2=4ab，

∴a2-4ab+4b2=（a-2b）2=0，

∴a=2b時，滿足條件，

∴存在實數a，b，滿足a*b=a2+4b2；故②錯誤，

③∵a*（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac，

又∵a*b+a*c=4ab+4ac

∴a*（b+c）=a*b+a*c；故③正確．

④∵a*b=8，

∴4ab=8，

∴ab=2，

∴（10ab3）÷（5b2）=2ab=4；故④正確．

故選：B．【點睛】本題考查實數的運算、完全平方公式、整式的乘除運算等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．9、D【分析】正確的命題是真命題，根據定義依次判斷即可.【詳解】在一個三角形中，至多有一個內角是鈍角，故A不是真命題；三角形的兩邊之和大于第三邊，故B不是真命題；在一個三角形中，至多有三個內角是銳角，故C不是真命題；在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行，故D是真命題，故選：D.【點睛】此題考查真命題的定義，正確理解真命題的定義及會判斷事情的正確與否是解題的關鍵.10、A【分析】根據，得出∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA，再根據∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC算出∠DAE的度數.【詳解】解：∵，，∴∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA，∵，，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC，=+-（180°-α-β）=故選A.【點睛】本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質的應用，關鍵是推出∠DAE和∠BAE、∠CAD、∠BAC的關系，從而得到運算的方法.11、A【分析】由題意根據同底數冪的除法即底數不變指數相減進行計算．【詳解】解：.故選：A.【點睛】本題考查同底數冪的除法，掌握同底數冪的除法運算法則是解答本題的關鍵．12、D【分析】根據勾股定理的逆定理、三角形的內角和為180度進行判定即可．【詳解】解：A、a：b：c=3：4：5，所以設a=3x，b=4x，c=5x，而（3x）2+（4x）2=（5x）2，故為直角三角形；B、,所以設a=x，b=2x，c=x，而符合勾股定理的逆定理，故為直角三角形；C、因為∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，故為直角三角形；D、因為，所以設∠A=3x，則∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是銳角三角形．故選：D【點睛】此題考查了解直角三角形的相關知識，根據勾股定理的逆定理、三角形的內角和定理結合解方程是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、BC＝BE（答案不唯一）【分析】由∠1＝∠2利用角的和差可得∠DBE＝∠ABC，現在已知一個角和角的一邊，再加一個邊，運用SAS可得三角形全等.【詳解】解：∵∠1＝∠2∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝DB，∴添加BC＝BE，運用SAS即可證明△ABC≌△DBE．故答案為：BC＝BE（答案不唯一）．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根據已知條件選擇適當的判定方法是解答本題的關鍵．14、【分析】根據題目所給計算方法，令，再兩邊同時乘以，求出，用，求出的值，進而求出的值．【詳解】解：令，則，∴，∴，則．故答案為：【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，利用錯位相減法，消掉相關值，是解題的關鍵．15、1．【分析】根據矩形的性質得到BC=OA=8，OC=AB=6，∠C=∠B=∠O=90°，求得CD=6，BD=2，根據折疊可知A′D=AD，A′E=AE，可證明Rt△A′CD≌Rt△DBA，根據全等三角形的性質得到A′C=BD=2，A′O=4，然后在Rt△A′OE中根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，

∵四邊形OABC是矩形，

∴BC=OA=8，OC=AB=6，∠C=∠B=∠O=90°，

∵CD=1DB，

∴CD=6，BD=2，

∴CD=AB，

∵將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A′恰好落在邊OC上，

∴A′D=AD，A′E=AE，

在Rt△A′CD與Rt△DBA中，，∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），

∴A′C=BD=2，

∴A′O=4，

∵A′O2+OE2=A′E2，

∴42+OE2=（8-OE）2，

∴OE=1，

故答案是：1．【點睛】本題考查了軸對稱變換（折疊問題），矩形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握相關性質是解題的關鍵．16、14.5【分析】如圖，若設木棒AB長為x尺，則BC的長是（x－4）尺，而AC=1丈=10尺，然后根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖所示，設木棒AB長為x尺，則木棒底端B離墻的距離即BC的長是（x－4）尺，在直角△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．17、或【分析】用含k的式子分別表示出，，，然后相加整理得到一個等式，對等式進行分析可得到k的值.【詳解】解：，，，，，或，當時，，當時，，所以，或.故答案為：或.【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題關鍵在于將式子變形為.18、．【解析】∵在實數范圍內有意義，∴∴故答案為三、解答題（共78分）19、（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．【分析】（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結論成立；（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補全條件即可；（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結論成立．【詳解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；故答案為：等腰三角形三線合一定理；（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案為：CM=CN，邊邊邊；（3）小剛的作法正確，證明如下：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°，∵OM=ON，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；小剛的作法正確．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形的性質進行證明．20、小芳的速度是50米/分鐘．【分析】設小芳的速度是x米/分鐘，則小明的速度是1.2x米/分鐘，根據路程÷速度=時間，列出方程，再求解即可．【詳解】設小芳的速度是x米/分鐘，則小明的速度是1.2x米/分鐘，根據題意得：，解得：x=50，經檢驗x=50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分鐘．21、（1）x+1；（1），當x=﹣1時，原式=1．【分析】（1）根據分式的混合運算順序和運算法則計算可得；（1）先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，解不等式組求出不等式組的整數解，從中找到符合分式的整數，代入計算可得．【詳解】（1）原式=x+1；（1）原式?，解不等式組解不等式①得x＜1；解不等式②得x≥-1；∴不等式組的解集是﹣1≤x＜1，所以該不等式組的整數解為﹣1、﹣1、0、1，因為x≠±1且x≠0，所以x=﹣1，則原式1．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值與解不等式組，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則及解不等式組的能力．22、（1），數軸見解析；（2），數軸見解析.【分析】（1）根據去括號，移項合并同類項，系數化為1解不等式，然后將解集表示在數軸上即可；（2）先求出每個不等式的解集，取公共解集，然后將解集表示在數軸上即可．【詳解】解：（1），，，，在數軸上表示為：；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式組的解集為﹣1≤x＜3，在數軸上表示為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集的應用，能正確運用不等式的性質解一元一次不等式和能根據不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵．23、（1）2元；2元；（2）1．【分析】（1）根據眾數的定義即出現次數最多的數據進而得出即可，再利用中位數的定義得出即可；

（2）利用樣本估計總體的思想，用總數乘以捐款平均數即可得到捐款總數．【詳解】（1）數據2元出現了20次，出現次數最多，所以眾數是2元；

數據總數為50，所以中位數是第25、26位數的平均數，即（2+2）÷2=2（元）．

故答案為：2，2．

（2）根據題意得：

600×（5×8+10×16+2×20+20×4+25×2）÷50=1（元）；

答：該校學生的捐款總數是1元．【點睛】此題考查條形統計圖，中位數，眾數的定義，利用樣本估計總體，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題關鍵．24、（1）乙隊單獨完成需2天；（2）在不超過計劃天數的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．【分析】（1）求的是乙的工效，工作時間明顯．一定是根據工作總量來列等量關系．等量關系為：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作總量=1．（2）根據題意，分別求出三種情況的費用，然后把在工期內的情況進行比較即可．【詳解】解：（1）設乙隊單獨完成需x天．根據題意，得：．解這個方程得：x=2．經檢驗，x=2是原方程的解．∴乙隊單獨完成需2天．（2）設甲、乙合作完成需y天，則有，解得，y=36；①甲單獨完成需付工程款為：60×3.5=210（萬元）．②乙單獨完成超過計劃天數不符題意，③甲、乙合作完成需付工程款為：36×（3.5+2）=198（萬元）．答：在不超過計劃天數的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是