試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第5單元圓講義-數學六年級上冊人教版目錄目錄第一部分：知識梳理。第二部分：典型例題。?第三部分：跟蹤訓練。第一部分第一部分知識梳理知識梳理圓的認識

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等.

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個圓內最長的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同一個圓內或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的1÷2。用字母表示為：d=2r或r=d÷2

8、軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有1條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對稱軸的圖形是：長方形；只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形；只有4條對稱軸的圖形是：正方形;有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環。

１１、畫對稱軸要用鉛筆畫，同時要用尺子（三角板）畫出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點。

二、圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。

2、圓周率實驗：（滾動法）在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，得到圓的周長?；蛘哂镁€圍繞圓形紙片一周量出線的長度就是圓的周長（測繩法）。

發現，圓周長與它直徑的比值（圓周長除以直徑）是一個固定數即３倍多一點，我們把它叫做圓周率用字母π表示。

3、圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai)表示。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。

(1)、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。圓周率π是一個無限不循環小數。在計算時，一般取π≈3.14。

(2)、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。

4、圓的周長公式：圓的周長等于圓周率乘直徑用字母表示C=πd

(1)、已知圓的周長求直徑用圓的周長除以圓周率，用字母表示

d=C÷π或圓的周長等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr

(2)、已知圓的周長求半徑用圓的周長除以圓周率的２倍，

用字母表示r=C÷2π（r=C÷2π）

5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。

6、區分周長的一半和半圓的周長：

(1)、周長的一半：等于圓的周長÷2

計算方法：2πr÷2即C半=πr

(2)半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。計算方法：半圓的周長=5.14r（推導過程C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r）三、圓的面積

1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。用字母S表示。

2、圓面積公式的推導：(1)把一個圓等分(偶數份)成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。長方形的長相當于圓的周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑。

(2)拼出的圖形與圓的周長和半徑的關系。圓的半徑=長方形的寬

圓的周長的一半=長方形的長

3、圓面積的計算方法：因為：長方形面積

=長×寬

所以：圓的面積=圓周長的一半×圓的半徑

即S=Ｃ÷2×r＝πr×r＝πr2

圓的面積公式：S圓=πr2→

r2=S÷π

4、環形的面積：一個環形，外圓的半徑用字母R表示，內圓的半徑用字母r表示。(R=r+環的寬度.)

圓環=πR2-πr2

5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。

6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等于這比的平方。

7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π

8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。

9、常用各π值結果：π=3.14；2π=6.28；5π=15.7

10、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關。

第二部分第二部分典型例題典型例題1．在辦公樓前一塊長為20米，寬為18米的長方形空地上，要修建一個周長是31.4米的圓形噴水池，剩下的面積種草，請計算出種草的面積是多少平方米？【答案】281.5平方米【分析】種草的面積＝長方形的面積－圓的面積。長方形的面積＝長×寬，代入數據計算即可。根據圓的周長＝，得出圓的半徑是5米，再根據圓的面積＝得出的圓的面積，相減即可得出種草的面積?！驹斀狻?0×18＝360（平方米）31.4÷3.14÷2＝5（米）3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方米）360－78.5＝281.5（平方米）答：種草的面積是281.5平方米。2．一個木工要做一張能坐10人的圓桌，按每人座位寬約62.8厘米計算，這張圓桌的面積約是多少平方米？如果給這張圓桌配一塊同樣大小的玻璃，每平方米玻璃售價為600元，這塊玻璃大約需要多少錢？【答案】3.14平方米；1884元【分析】每人座位寬約62.8厘米計算，用乘法得出10個人的寬就是628厘米，也就是圓的周長是628厘米。根據圓的周長＝得出圓的半徑，再根據圓的面積＝，代入數據得出圓的面積。每平方米玻璃售價為600元，先換算單位將31400平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，低級單位轉化為高級單位用除法得出圓桌是3.14平方米，再用乘法得出需要的錢數?！驹斀狻?2.8×10÷3.14÷2＝628÷3.14÷2＝200÷2＝100（厘米）3.14×1002＝31400（平方厘米）＝3.14（平方米）3.14×600＝1884（元）答：這塊玻璃大約需要1884元。第三部分第三部分跟蹤訓練跟蹤訓練一、選擇題1．下面四個圓中，（

）面積最小。（π取3.14）A．直徑3厘米的圓 B．半徑2厘米的圓C．周長3.14厘米的圓 D．面積3.14平方厘米的圓2．學校要為一個面積為50m2的圓形花壇安裝自動旋轉噴灌裝置，以下幾種射程的旋轉噴灌裝置，你認為選（

）的比較合適。（裝置都安裝于圓心處）A．1m B．2m C．3m D．4m3．把一個圓平均分成若干個扇形（偶數個），可以拼成一個近似的長方形，近似的長方形的長相當于（

）。A．圓的半徑 B．圓的直徑C．圓的周長 D．圓的周長的一半4．如下圖，圖①圖②圖③，比較空白部分與圖形總面積的比值，關系正確的是（

）。A．圖①＜圖②，圖①＞圖③ B．圖①＝圖②，圖①＞圖③C．圖①＝圖②，圖①＞圖③ D．圖①＝圖②＝圖③5．圓的半徑擴大到原來的3倍，它的周長就擴大到原來的3倍，面積就擴大到原來的（）。A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍6．《九章算術》中記載著一種求圓環面積的方法：“并中外周而半之，以徑乘之為積步”。意思是：圓環面積＝（內圓周長＋外圓周長）÷2×徑，徑的長度是外圓半徑與內圓半徑的差。這種方法可以看成將一個圓環形地墊沿一條徑剪開，展開后得到一個近似的等腰梯形（如圖）。在這個過程中，面積保持不變。如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圓環形地墊的面積是（

）平方米。A．6.28 B．9.42 C．18.84 D．37.68二、填空題7．如圖，把一個半徑是10cm的圓平均分成若干份（偶數），從圓心剪開拼成一個近似的長方形后，長方形的周長是()，面積是()。8．如下圖所示，圓的周長是()cm，圓的面積是()cm2。9．一個圓的面積是28.26cm2，它的周長是()cm。10．在一張邊長是6cm的正方形紙上剪下一個最大的圓，這個圓的直徑是()cm，半徑是()cm。11．一臺時鐘的分針長6cm，經過2小時，分針的尖端走了()cm。12．大圓的半徑是3厘米，小圓的半徑是2厘米，小圓面積是大圓面積的()。三、判斷題13．當圓的直徑和正方形的邊長相等時，正方形的面積比圓的面積大。()14．是我國歷史文化遺產《易經》中的主要圖像——太極圖，圖中黑白兩部分的周長和面積分別相等。()15．圓與正方形面積相等，則圓的周長比正方形短。()16．圓的半徑從4厘米增加到6厘米，圓的面積增加了6.28平方厘米。()17．直徑為3cm的圓的圓周率比直徑為2cm的圓的圓周率大。()四、計算題18．求陰影部分的面積。五、解答題19．一個圓形花壇的周長是37.68m，在它的里面按5∶3的面積比種植百合花和玫瑰花。花壇里百合花和玫瑰花的面積各是多少？20．在周長是50.24米的圓形水池周圍修一條寬2米的小路，這條小路的面積是多少平方米？21．如圖所示，圓的周長是31.4厘米，圓的面積與長方形的面積正好相等。圖中陰影部分的周長是多少厘米？22．禮堂里的一扇窗戶，上面是一個半圓，下面是一個長方形。已知長方形的長是1.6米，寬是1.2米。這扇窗戶的面積大約是多少平方米？23．如圖，兒童公園有一個圓形花圃，在它的周圍鋪一些半徑1米的圓形磚塊。鋪磚的面積一共是多少平方米？共12個圓形花圃答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：題號123456答案CDDDCB1．C【分析】根據圓的面積公式S＝πr2可知，半徑越小的圓，面積就越??；根據半徑＝直徑÷2，半徑＝周長÷π÷2，半徑的平方＝圓的面積÷π，求出各選項中圓的半徑，比較大小，得出結論。【詳解】A．半徑：3÷2＝1.5（厘米）B．半徑2厘米的圓；C．半徑：3.14÷3.14÷2＝1÷2＝0.5（厘米）D．半徑的平方：3.14÷3.14＝1（平方厘米）因為1＝1×1，所以圓的半徑是1厘米；綜上所述，0.5＜1＜1.5＜2；周長3.14厘米的圓的半徑最小，那么它的面積也最小。故答案為：C【點睛】本題考查圓的周長、圓的面積公式的靈活運用，明確圓的面積大小是由圓的半徑大小決定。2．D【分析】分別計算選項中旋轉噴灌裝置的噴灌面積，噴灌面積接近50m2的裝置最合適?！驹斀狻緼．（m2）；B．（m2）；C．（m2）；D．（m2）。故答案為：D【點睛】掌握圓的面積計算公式是解答題目的關鍵。3．D【分析】如圖，把一個圓剪拼成近似的長方形，這個長方形的長等于圓的周長的一半（πr），寬等于圓的半徑（r），長方形面積＝圓的面積，長方形面積＝長×寬，所以圓的面積＝πr×r＝πr2，據此分析?！驹斀狻扛鶕治觯岩粋€圓平均分成若干個扇形（偶數個），可以拼成一個近似的長方形，近似的長方形的長相當于圓的周長的一半。故答案為：D【點睛】關鍵是熟悉并理解圓的面積公式推導過程。4．D【分析】分別計算出三個圖形中空白部分與圖形總面積的比值，找關系即可?！驹斀狻堪褕D①、圖②中正方形的邊長看作2，則圖①中半圓的半徑是1，圖②中圓的半徑是2÷4＝0.5，圖③中長方形的長看作2，則半圓的半徑是1。圖①（3.14×12）∶（2×2）＝3.14∶4＝圖②（3.14×0.52×4）∶（2×2）＝3.14∶4＝圖③（3.14×12÷2）∶（2×1）＝1.57∶2＝＝所以圖①圖②圖③，空白部分與圖形總面積的比值是相等的。故選擇：D?！军c睛】此題主要考查有關圓的面積計算以及比值的算法，牢記圓的面積計算公式是解題關鍵。5．C【分析】根據題意，可設圓的半徑為r，然后再根據圓的面積公式計算出圓的面積和半徑擴大3倍后的圓的面積，然后再用擴大后的面積除以圓原來的面積即可得到答案?！驹斀狻拷猓涸O圓的半徑為r，圓的面積為：πr2，半徑擴大3倍后的面積為：π（3r）2＝9πr2，擴大后的面積是原來面積的：9πr2÷πr2＝9倍；故答案為：C6．B【分析】依據題意結合圖形可知，梯形的上底等于內圓的周長，梯形的的下底等于外圓的周長，利用圓的周長＝3.14×半徑×2，分別計算內圓，外圓的半徑，進而求出內外半徑差，然后根據圓環面積＝（內圓周長＋外圓周長）÷2×徑，代入數據解答即可。【詳解】內圓的半徑：6.28÷3.14÷2＝1（米）外圓的半徑：12.56÷3.14÷2＝2（米）（6.28＋12.56）÷2×（2－1）＝18.84÷2×1＝9.42（平方米）地墊的面積是9.42平方米。故答案為：B7．82.8cm/82.8厘米314cm2/314平方厘米【分析】根據題意，把一個圓剪拼成一個近似的長方形，那么長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑；拼成的長方形的周長比原來圓的周長增加了2條寬的長度，即增加了2個半徑的長度，所以長方形的周長＝圓的周長＋半徑×2，根據圓的周長公式C＝2πr求解。圓的面積與長方形的面積相等，根據圓的面積公式S＝πr2，即可求出長方形的面積?！驹斀狻块L方形的周長：2×3.14×10＋10×2＝62.8＋20＝82.8（cm）長方形的面積：3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）長方形的周長是82.8cm，面積是314cm2。8．25.1250.24【分析】根據圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，據此代入數值進行計算即可?！驹斀狻?×3.14×4＝6.28×4＝25.12（cm）3.14×42＝50.24（cm2）則圓的周長是25.12cm，圓的面積是50.24cm2?！军c睛】本題考查圓的面積和周長，熟記公式是解題的關鍵。9．18.84【分析】根據圓的面積公式S＝πr2，可知r2＝S÷π，由此求出半徑的平方，進而得出圓的半徑；再根據圓的周長公式C＝2πr，求出它的周長?！驹斀狻堪霃降钠椒剑?8.26÷3.14＝9（cm2）因為9＝3×3，所以這個圓的半徑是3cm。圓的周長：2×3.14×3＝18.84（cm）它的周長是18.84cm?！军c睛】本題考查圓的面積、周長公式的靈活運用，求出圓的半徑是解題的關鍵。10．63【分析】正方形紙上剪下一個最大的圓，圓的直徑＝正方形邊長，直徑÷2＝半徑，據此分析。【詳解】6÷2＝3（cm）這個圓的直徑是6cm，半徑是3cm。11．75.36【分析】2小時分針正好旋轉了2周，所以2小時走過的路程，就是指以6cm為半徑的圓的周長的2倍．利用圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，代入數據，即可解答?！驹斀狻?.14×6×2×2＝18.84×2×2＝37.68×2＝75.36（cm）一臺時鐘的分針長6cm，經過2小時，分針的尖端走了75.36cm。12．【分析】先求大圓的面積。圓的面積＝πr2，大圓半徑是3厘米，則大圓面積S1＝π×32。再求小圓的面積，小圓半徑是2厘米，則小圓面積S2＝π×22。最后求小圓面積是大圓面積的幾分之幾，小圓面積與大圓面積的比值為＝＝?！驹斀狻烤C上分析所述，大圓的半徑是3厘米，小圓的半徑是2厘米，小圓面積是大圓面積的。13．√【分析】根據圓的面積公式：πr2，圓的直徑與半徑的關系：d＝2r，正方形的面積公式：邊長×邊長，假設圓的直徑是2，分別求出圓和正方形的面積，比較即可。【詳解】假設圓的直徑是2。半徑：2÷2＝1圓的面積：3.14×12＝3.14×1＝3.14正方形的面積：2×2＝43.14＜4即圓的面積＜正方形面積，原題說法正確。故答案為：√【點睛】本題考查圓的面積和正方形的面積，要熟記公式，靈活運用假設法解題。14．√【詳解】略15．√【分析】假設正方形的邊長是1，就能求出正方形的周長和面積，也能求出圓的面積和半徑，進而求出圓的周長，比較兩個周長，此題即可解決。【詳解】假設圓和正方形的面積都是1，則正方形的邊長是1，圓的半徑為r：3.14×＝1，解得＝0.564；圓的周長：2×3.14×0.564＝3.542，正方形的周長：4×1＝4，因為3.542＜4，所以圓的周長比正方形的短。故答案為√。【點睛】當題干沒給任何具體數值時，可以用假設法來解決。16．×【分析】先求出半徑為4厘米時圓的面積。圓的面積公式為S＝πr2，當半徑，r＝4厘米時，此時圓的面積S1＝π×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）；再求出半徑為6厘米時圓的面積，當半徑r＝6厘米時，圓的面積S2＝π×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）；最后計算增加的面積：113.04－50.24＝62.8（平方厘米）【詳解】圓的半徑從4厘米增加到6厘米，圓的面積增加了6.28平方厘米，但綜上分析所述，增加的面積為62.8平方厘米，遠大于6.28平方厘米，這個說法是錯誤的。故答案為：×17．×【分析】圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，π是一個常數（約等于3.14），它是一個無限不循環小數。在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進行近似計算?！驹斀狻繄A周率是圓的周長與直徑的比值，是一個固定的值，直徑為3cm的圓的圓周率和直徑為2cm的圓的圓周率一樣大，所以原題說法錯誤。故答案為：×18．12.56；13.76；7.74【分析】（1）利用“”表示出環形的面積，陰影部分的面積占整個環形面積的；（2）空白部分合在一起是一個整圓，圓的半徑等于正方形邊長的一半，陰影部分的面積＝正方形的面積－空白部分圓的面積；（3）空白部分圓的半徑等于正方形邊長的一半，利用“”表示出圓的面積，陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，據此解答。【詳解】（1）3.14×[（3＋2）2－32]×＝3.14×[52－32]×＝3.14×16×＝3.14×（16×）＝3.14×4＝12.56（2）8×8－3.14×（8÷2）2＝8×8－3.14×16＝64－50.24＝13.76（3）6×6－3.14×（6÷2）2＝6×6－3.14×9＝36－28.26＝7.7419．百合花的面積是70.65平方米，玫瑰花的面積是42.39平方米?！痉治觥肯人愠鲞@個圓形花壇的半徑是多少，再根據圓的面積公式，算出這個花壇的面積是多少，根據百合花的占比乘上花壇面積，即可算出花壇里百合花的面積，再用花壇總面積減去百合花的面積，即可算出玫瑰花的面積?！驹斀狻?7.68÷2÷3.14＝12÷2＝6（米）3.14×＝3.14×36＝113.04（平方米）百合：113.04×＝70.65（平方米）玫瑰：113.04－70.65＝42.39（平方米）答：花壇里百合花的面積是70.65平方米，玫瑰花的面積是42.39平方米?！军c睛】此題考查了圓的周長公式和面積公式。20．113.04平方米【分析】根據圓環面積＝外圓面積－內圓面積，先求出圓形水池的半徑，圓形水池的半徑加上路寬就是外圓半徑，利用圓的面積公式，然后把數據代入公式解答?！驹斀狻繄A形水池