第二章一元二次函數、方程和不等式習題課基本不等式的應用人教A版

數學必修第一冊課程標準1.能夠利用基本不等式求函數的最值(或值域)和代數式的最值.2.能夠利用基本不等式解決實際問題中的最值(或值域)問題.重難探究·能力素養速提升探究點一利用基本不等式求函數和代數式的最值角度1.通過變形后應用基本不等式求最值【例1—1】

求下列函數的最值,并求出相應的x值.規律方法利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數,改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數的單調性(在第三章學習).

A.5 B.6 C.7

D.8A11角度2.應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值【例1—3】

已知正數a,b滿足a+b=1,則

的最小值為

.

4變式探究1

將例1—3改為已知正數a,b,且

=4,則a+b的最小值為

.1A.9 B.8

C.7

D.6A★★【例1—4】

[2024河南高一單元檢測]正實數a,b滿足a+3b-6=0,1規律方法利用基本不等式求條件最值問題時,若所給條件為ax+by=1或可化為ax+by=1及

=1(其中a,b為常數,x,y為變量),可利用“1”的結構,將待求式子的結構進行調整,優化為可以直接利用基本不等式求最值的式子.變式訓練2★★[2024江蘇南京高一期中]已知非負數x,y滿足x+y=1,4角度3.含有多個變量的條件最值問題【例1—5】

若實數x>0,y>0,且滿足x+y=8-xy.(1)求xy的最大值;(2)求x+y的最小值.∴[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0,∴x+y≥4(當且僅當x=y=2時,等號成立).(方法2)由(1)可得x+y=8-xy≥8-4=4(當且僅當x=y=2時,等號成立),即x+y的最小值為4.規律方法含有多個變量的條件最值問題,一般方法是采取減少變量的個數,將問題轉化為只含有一個變量的函數的最值問題進行解決;如果條件等式中,含有兩個變量的和與積的形式,還可以直接利用基本不等式對兩個正數的和與積進行轉化,然后通過解不等式進行求解,或者通過構造一元二次方程,利用根的分布解決問題.變式訓練3(1)若正數x,y滿足x2+4xy-4=0,則x+y的最小值是(

)A(2)已知x>0,y>0,若x+3y+4xy=6,則x+3y的最小值為

.

3探究點二利用基本不等式解決實際應用中的最值問題【例2】

某養殖場要建造一個長方體無蓋養殖水池,其容積為3200m3,深為2m.已知池底每平方米的造價為15元,池壁每平方米的造價為12元,那么怎樣設計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?當且僅當x=40時,等號成立.故使水池長和寬都為40

m時總造價最低,為27

840元.規律方法

應用基本不等式解決實際問題的思路與方法(1)理解題意,設出變量并求出變量的取值范圍.(2)建立相應的函數關系,把實際問題抽象成求函數的最大值或最小值問題.(3)在取值范圍內,求出函數的最大值或最小值.(4)根據實際背景寫出答案.變式訓練4[蘇教版教材例題]如圖,一份印刷品的排版面積(矩形)為A,它的兩邊都留有寬為a的空白,頂部和底部都留有寬為b的空白.如何選擇紙張的尺寸,才能使紙的用量最少?學以致用·隨堂檢測促達標1234A.有最大值-6 B.有最小值6C.有最大值-2 D.有最小值2B12342.已知a,b均為正實數,且a+2b=3ab,則2a+b的最小值為(

)A.3 B.4 C.6 D.9A12343.已知x>0,y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為

.

12344.某電商自營店,其主打商品每年需要6000件,每年n次進貨,每次購買x件,每次購