第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年安徽省蚌埠二中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=1+i，其中i為虛數(shù)單位，則z=(

)A.i B.?i C.1+i D.1?i2.△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么△ABC的斜二測(cè)平面直觀圖△A′B′C′的面積為(

)A.34 B.38 C.3.已知l，m表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列說法正確的是(

)A.若l//α，且l//β，則α//β

B.若α⊥β，l⊥β，m//α，則m//l

C.若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β

D.若α⊥β，l⊥β，l?α，則l//α4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+3cosA.33 B.?33 5.根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是(

)A.a=8，b=16，A=30°，有兩解

B.b=18，c=20，B=60°，有一解

C.a=30，b=25，A=150°，有一解

D.a=5，c=2，A=90°，無解6.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，側(cè)面面積為45π，母線長(zhǎng)為25,O為底面圓心，A，B為底面圓O上的兩點(diǎn)，且∠AOB=π3A.510 B.?510 7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)在區(qū)間[0,π3]A.1 B.2 C.3 D.48.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA1?sinA=1+cos2Bsin2B，則2asinC+5cA.23 B.62 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(2x?π3)+1，下列結(jié)論正確的是A.(π6,0)是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

B.函數(shù)f(x)在(0,π6)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x)圖像可由函數(shù)g(x)=2cos2x+1的圖像向右平移5π12個(gè)單位得到

10.已知a≠e,|e|=1，滿足：對(duì)任意t∈R，恒有A.a?e=0 B.e?(a?11.如圖，若正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段A.直線AC1與平面ABCD的夾角的余弦值為63

B.當(dāng)E與D1重合時(shí)，異面直線AE與BF所成角為π3

C.平面C1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若tanθ=2，則sinθ(cosθ?sinθ)=______．13.已知三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的體積為V，記上底面A1B1C1、下底面ABC的面積分別為S1，S14.△ABC中，AB=AC=8，延長(zhǎng)線段AB至D，使得∠A=2∠D，則BD+BC的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知|a|=2,|b|=3，且a?b=?4．

(1)若(a+kb)⊥16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖像如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式及對(duì)稱中心；

(2)求函數(shù)f(x)在[π12,π2]上的值域．

(3)先將f(x)的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的12倍，再向左平移π12個(gè)單位后得到17.(本小題15分)

如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC=90°．

(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)設(shè)DO=2，圓錐的側(cè)面積為3π18.(本小題17分)

如圖，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinC+3acosC?3(b+c)=0，D為線段BC上一點(diǎn)，且BD=2DC．

(1)求角A；

(2)若AD=3，求19.(本小題17分)

已知三棱錐P?ABC的棱AP、AB、AC兩兩互相垂直，且AP=AB=AC=43．

(1)若點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P?MN?A的余弦值；

(2)若以頂點(diǎn)P為球心，8為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐P?ABC的表面相交，試求交線長(zhǎng)是多少？

答案解析1.A

【解析】解：∵(1?i)z=1+i，

∴z=1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=i．2.D

【解析】解：正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，故面積為34，而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系S直觀圖S原圖=24，3.D

【解析】解：對(duì)于A：若l//α且l//β，則α//β或α與β相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若α⊥β，l⊥β，則l//α或l?α，又m//α，

當(dāng)l//α，則l與m平行或相交或異面，

當(dāng)l?α，則l與m平行或異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若m⊥α，m⊥n，則n//α或n?α，

又n//β，所以α//β或α與β相交(不垂直)或α⊥β，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若α⊥β，l⊥β，則l//α或l?α，又l?α，所以l//α，故D正確．

故選：D．

根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可．

本題考查空間中線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4.D

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=sinφ+3cosφ=2sin(φ+π3)=0，

所以φ+π3=kπ，k∈Z，解得φ=kπ?π3，k∈Z，

tanφ=tan(kπ?5.C

【解析】解：對(duì)于A，由正弦定理有，asinA=bsinB，解得sinB=bsinAa=16×128=1，則B=90°，此時(shí)三角形有唯一解，錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由正弦定理有，bsinB=csinC，解得sinC=csinB6.A

【解析】解：設(shè)底面半徑為r，又母線長(zhǎng)為l=25，側(cè)面面積為45π，

所以πrl=45π，即πr×25=45π，解得r=2，

則OP=(25)2?22=4，

取OP、OB、AB的中點(diǎn)E、G、F，連接EG、GF、EF、OF，

則EG/?/PB且EG=12PB=5，GF//OA且GF=12OA=1，OF=22?12=3，

所以∠EGF為直線OA與PB所成角(或補(bǔ)角)，

又EF=OE2+OF2=22+(3)7.B

【解析】解：0≤x≤π3，則ωx?π3∈[?π3,π3ω?π3]，

①若π3ω?π3≤π2，即0<ω≤52時(shí)，f(x)在[0,π3]單調(diào)遞增，

f(x)max=f(π3)=sin(π3ω?π3)=ω8.C

【解析】解：cosA1?sinA=1+cos2Bsin2B=2cos2B2sinBcosB=cosBsinB，得cosB?cosBsinA=sinBcosA，

即cosB=sinBcosA+cosBsinA=sin(B+A)=sinC，

△ABC中，cosB=sinC>0，由1?sinA≠0，則A≠π2，C≠π2?B，所以C=π2+B，

sinA=sin(π?B?C)=sin[π?B?(π2?B)]=sin(π2?2B)=cos2B，

9.BC

【解析】解：A選項(xiàng)：由f(x)=2sin(2x?π3)+1，令2x?π3=kπ，k∈Z，解得x=π6+k2π，k∈Z，所以其對(duì)稱中心為(π6+k2π,1)，所以(π6,0)不是其對(duì)稱中心，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：令2kπ?π2≤2x?π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ?π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π12,kπ+5π12]，k∈Z，又(0,π6)?[kπ?π12,kπ+5π12]，k∈Z，故B正確；

C選項(xiàng)：由g(x)=2cos2x+1=2sin(2x+π2)+1，向右平移5π12可得10.BC

【解析】解：不妨設(shè)OE=e=(1,0),OA=a,OT=te=(t,0)，

則|a?te|=|OA?OT|=|TA|，其幾何意義為定點(diǎn)A到x軸上的動(dòng)點(diǎn)T的距離，

顯然當(dāng)AT⊥x軸時(shí)，|TA|取得最小值，

若對(duì)任意t∈R，恒有|a?te|≥|a?e|，即|TA|≥|OA?OE|=|EA|，

所以EA⊥x軸，

所以(a?e)⊥e，即e?(a?e)=011.ACD

【解析】解：對(duì)于A，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，有CC1⊥平面ABCD，

所以直線AC1與平面ABCD所成的角就是∠CAC1，且CC1⊥AC，

又由正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，

所以AC=22,AC1=23，

則cos∠CAC1=ACAC1=2223=63，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，當(dāng)E與D1重合時(shí)，由于EF=2,B1D1=22，可知此時(shí)F為B1D1的中點(diǎn)，

如上圖，連接BC1，C1F，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

易由AB//C1D1且AB=C1D1，可得四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以AD1//BC1，

所以異面直線AE與BF所成角就是∠C1BF或其補(bǔ)角，

由于BB1⊥平面A1B1C1D1，B1F?平面A1B1C1D1，

所以B1B⊥B1F，

則BF=BB12+FB12=4+2=6，

又因?yàn)锽C1=22,C1F=2，

所以cos∠C1BF=C1B2+B12.?2【解析】解：因?yàn)閠anθ=2，

所以sinθ(cosθ?sinθ)=sinθcosθ?sin2θ=sinθcosθ?sin2θsin213.17【解析】解：根據(jù)題意可得小三棱錐與大三棱錐的相似比為1：2，

∴小三棱錐的高與三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的高相等，

∴三棱錐B?A1B1C1的體積與三棱臺(tái)上面的小三棱錐的體積相等，

又小三棱錐與大三棱錐的體積比為1：8，

∴小三棱錐的體積為三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的體積的17，

∴三棱錐B?A1B1C1的體積為14.18

【解析】解：如圖所示，

設(shè)∠A=2∠D=2θ，

在△ABC中，由AB=AC=8，則∠ABC=∠ACB=π?∠A2=π2?θ，

再由正弦定理得BCsinA=ABsin∠ACB，則BC=8sin2θcosθ=16sinθ，

又在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠D，

即ADsin(π?θ?2θ)=8sinθ，則AD=8sin3θsinθ=8(sinθcos2θ+sin2θcosθ)sinθ=8(4sinθcos2θ?sinθ)sinθ=32co15.解：(1)若(a+kb)⊥a，則(a+kb)?a=0，即a2+k(a?b)=0，可得22?4k=0，解得k=1；

(2)由(【解析】(1)根據(jù)兩個(gè)向量垂直的條件，建立關(guān)于k的等式，解之可得實(shí)數(shù)k的值；

(2)先利用向量模的公式與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，求出|a+b|與b?(a16.解：(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖像，

可得A=2,34?2πω=5π12+π3，故ω=2．

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，2×5π12+φ=π2+2kπ,k∈Z，

由于|φ|<π，

所以φ=?π3；

故有f(x.)=2sin(2x?π3)．

令2x?π3=kπ,k∈Z，解得x=π6+kπ2,k∈Z．

故函數(shù)f(x)對(duì)稱中心為(π6+kπ2,0),k∈Z．

另解：根據(jù)圖像可得：(?π3,0)是f(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，

故函數(shù)的對(duì)稱中心為(kπ2?π3,0),k∈Z．

(2)∵x∈[π12,π2]，

∴2x?π3【解析】(1)直接利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的對(duì)稱中心；

(2)利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域；

(2)利用函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.解：(1)連接OA，OB，OC，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，

所以AB=BC=AC．

O是圓錐底面的圓心，所以：OA=OB=OC，

所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2，

所以△APB≌△BPC≌△APC，

由于∠APC=90°．

所以∠APB=∠BPC=90°

所以AP⊥BP，CP⊥BP，AP，PC?平面APC，

由于AP∩CP=P，

所以BP⊥平面APC，

由于BP?平面PAB，

所以：平面PAB⊥平面PAC．

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，

所以l=2+r2．

由于圓錐的側(cè)面積為3π，

所以【解析】(1)首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出AP⊥BP，CP⊥BP，進(jìn)一步求出二面角的平面角為直角，進(jìn)一步求出結(jié)論．

(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．18.解：(1)∵asinC+3acosC?3(b+c)=0，

由正弦定理可得sinAsinC+3sinAcosC?3(sinB+sinC)=0，

即sinAsinC+3sinAcosC?3sin(A+C)?3sinC=0，

∴sinAsinC+3sinAcosC?3sinAcosC?3cosAsinC?3sinC=0，

∴sinAsinC?3cosAsinC?3sinC=0，

∵A∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinA?3cosA=3，∴sin(A?π3)=32，

又A?π3∈(?π3,2π3)，∴A?π3=π3，∴A=2π3．

(2)∵BD=2DC，