PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節基本不等式【課標解讀】【課程標準】1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)2.結合具體實例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.【核心素養】數學抽象、數學運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法利用基本不等式求最值是高考的重點,通常與函數、數列、解析幾何、導數等內容相結合,題型以選擇題、填空題為主,中低檔難度.預測2025年備考仍以選擇題、解答題為主,重點關注利用基本不等式進行大小判斷、求最值和求取值范圍的問題.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.基本不等式:ab≤a(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當且僅當a=b時,等號成立.(3)其中a+b2叫做正數a,b的算術平均數,ab叫做正數a,微點撥利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正數,如果積xy等于定值P,那么當x=y時,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正數,如果和x+y等于定值S,那么當x=y時,積xy有最大值14S2微點撥記憶口訣:兩正數的和定積最大,兩正數的積定和最小.常用結論1.ab≤(a+b2)2≤a2.常見求最值的模型模型一:mx+nx≥2mn(m>0,n>0,x>0),當且僅當x=n模型二:mx+nx-a=m(x-a)+nx-a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0,x>a),當且僅當模型三:xax2+bx+c=1ax+b+cx模型四:x(n-mx)=mx(n-mx)m≤1m·(mx+n-mx2)2=n24基礎診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號14231.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個不等式a2+b2≥2ab與a+b2≥ab成立的條件是相同的.(提示:(1)不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的條件是a>0,(2)函數y=x+1x(x>0)的最小值是2.(√提示:(2)由基本不等式可知y=x+1x≥2,當且僅當x=1時等號成立,故(2)正確(3)函數f(x)=sinx+4sinx的最小值為4.(×提示:(3)函數f(x)=sinx+4sinx(4)x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要條件.(√提示:(4)由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+2.(忽視等號成立的條件)函數y=x2+4x2-2(-1<x<0)的值域為(A.{y|y>2} B.{y|y≥2}C.yy≥3 【解析】選D.令t=x2,0<t<1,所以y=x2+4x2-2=t+4t-2,因為對勾函數y=t+4t在0<t<1上單調遞減,且沒有最大值,所以y=t+4t>1+41=5,所以y=3.(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】選BC.因為ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可變形為(x+y)2-1=3xy≤3x+y22,解得-2≤x+y≤2,當且僅當x=y由x2+y2-xy=1可變形為(x2+y2)-1=xy≤x2+y22,解得x2+y2因為x2+y2-xy=1變形可得x-y22+34y2=1,設x-y2=cosθ,32y13sinθ,y=23sinθ,因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ4.(人A必修第一冊P48習題2.2T1(2)變條件)函數y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

【解析】因為0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(3-2x)2]2=答案:9【核心考點·分類突破】考點一利用基本不等式求最值考情提示利用基本不等式求最值時應注意基本不等式成立的條件.高考時,一般不會直接應用基本不等式求最值,常常需要對題目進行“添加項”“換元”或“常數代換”后再利用基本不等式求最值.角度1直接法[例1](1)(2024·濱州模擬)若x>0,則fx=4x+9x的最小值為(A.4 B.9 C.12 D.21【解析】選C.因為x>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥24x·9x=12,當且僅當4x=9x,即x(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,則9a+13b的最小值為(A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.因為2a-b-2=0,所以2a-b=2,因為32a>0,3-b>0,所以9a+13b=32a+3-232a×3-當且僅當32a=3-b2a解題技法利用基本不等式求最值的條件必須滿足的三個條件為“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各項必須為正數.(2)“二定”:要求和的最小值,必須把構成和的兩項之積轉化成定值;要求積的最大值,則必須把構成積的因式的和轉化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值.角度2配湊法[例2](1)若x<23,則f(x)=3x+1+93xA.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3【解析】選C.因為x<23,所以3xf(x)=3x-2+93x-2+3=-[(2-3x)+9當且僅當2-3x=92-3x,即x(2)已知0<x<22,則x1-2【解析】因為0<x<22所以1-2x2>0,x1-2x2=22·2x1-2x2≤22·2x2+1-答案:2解題技法配湊法求最值的解題策略1.配湊法就是將相關代數式進行適當的變形,通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;2.對于一次二次或二次一次提醒:注意驗證等號取得的條件.角度3常數代換法[例3](1)(2024·昆明模擬)已知實數x>0,y>0,x+3y=2,則1x+1y的最小值為(A.3 B.1+3 C.2+32 D【解析】選D.因為x>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1當且僅當3yx=xy,即y=3-3(2)已知正數a,b滿足a+b=ab-1,則a+b的最小值為.

【解析】因為a+b=ab-1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2=1+2b-1+(b-1)+1=2+(b2+2(b-1)·2b-1=2+22答案:2+22解題技法常數代換法求最值的步驟(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數).(2)把確定的定值(常數)變形為1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除,進而構造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.角度4消元法[例4](2024·煙臺模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

【解析】方法一(換元消元法):由已知得9-(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,當且僅當x=3y,即x=3,y=1時取等號.即(x+3y)2令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值為6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+=9+3y2=3(1+y)+121+y-6≥2=12-6=6,當且僅當3(1+y)=121+y,即y=1,x=3時取等號,所以x+3y答案:6解題技法利用消元法、換元法求最值的方法(1)消元法,即根據條件建立兩個量之間的函數關系,然后代入代數式轉化為函數的最值求解.有時會出現多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.(2)換元法,求較復雜的式子的最值時,通常利用換元法將式子恰當變形,簡化式子,再利用基本不等式求解.角度5由條件等式求a+b或ab的取值范圍或最值教考銜接教材情境·研習·典題類[例5](必修第一冊P58T5變形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,則ab的取值范圍為.

【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab-3,又a,b>0時,a+b≥2ab,所以ab-3≥2ab,所以(ab)2則(ab-3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤-1(舍去),所以ab≥3,則ab≥9,當且僅當a=b=3時,等號成立,所以ab的取值范圍為[9,+∞).解法二(換元法):令ab=t(t>0),則a=tb(t>0),代入ab=a+b整理得b2+(3-t)b+t=0,因為該方程有正根,所以Δ即t≥9或t所以ab的取值范圍為[9,+∞).答案:[9,+∞)解題導思看問題雙變量求范圍問題提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]從結構特征上看,聯想到基本不等式法.利用a+b≥2ab與ab=a+b+3建立關于ab的不等式,求解ab的取值范圍.[思路②]從方程角度上分析,聯想到換元法.令ab=t(t>0),與ab=a+b+3聯立建立關于b(或a)的一元二次方程,根據方程有正根,建立關于t的不等式求解t的范圍,從而求出ab的取值范圍.高考鏈接(2023·全國乙卷)已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是()A.1+322 B.4 C.1+32 D【解析】選C.解法一(換元法):令x-y=t,則x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0,因為存在實數y,則Δ≥0,即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,化簡得t2-2t-17≤0,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值為1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b由已知得(x-2)2+(y-1)2=9,所以92==(x-2當且僅當x-2=1-y,即x=4+32y=2-322或x=4-3即92≥x-y-122則|x-y-1|≤32,所以1-32≤x-y≤1+32,故x-y的最大值為1+32.[溯源點評]從命題情境角度上,高考真題與教材題目“形似”,都考查了二元二次方程相關的知識.從解題方法上看“法同”,通過構造變形采用基本不等式法和換元法求解.體現了高考試題對于同一考點可以變換角度與變換題型進行考查.對點訓練1.(2024·曲靖模擬)已知0<x<5,則x5-A.1 B.2 C.52 D.【解析】選C.因為0<x<5所以x5-x2=x當且僅當x2=5-x2,即x=10所以x5-x2.若正數x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.方法一:由條件得y=x5由x>0,y>0知x>35從而3x+4y=3x+4x5x-3=3x+4x-35+12當且僅當3x-35即x=1,y=12時取等號故3x+4y的最小值為5.方法二:對原條件式轉化得3x+1則3x+4y=153x+1當且僅當12yx=3xy,x+3y=5xy,即x=1,y=12時取等號.故33.已知ab>0,a+b=1,則a+4bab【解析】因為ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba答案:9考點二基本不等式的綜合應用[例6](1)對任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,則實數a的最大值為()A.2 B.22 C.4 D【解析】選B.因為對任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn因為mn+2nm≥2當且僅當mn=2nm,即m=所以a≤22,故實數a的最大值為2(2)已知正數x,y滿足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,則實數m的取值范圍是.

【解析】由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x當且僅當4xy=9yx,即x由題意得,(x+y)min<m2-24m,即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.答案:(-∞,-1)∪(25,+∞)解題技法利用基本不等式求解綜合問題的求解策略(1)當基本不等式與其他知識相結合時,往往是提供一個應用基本不等式的條件,然后利用常數代換法求最值.(2)求參數的值或取值范圍時,一般需要結合題目特征,分離參數,利用基本不等式確定等號成立的條件,從而得到參數的值或取值范圍.對點訓練1.(多選題)實數x,y滿足xy+3x=30<x<12,若3x+1y-3<mA.-3 B.-2 C.4 D.5【解析】選AD.因為實數x,y滿足xy+3x=3(0<x<12),則x=3y+3,由0<3y+3所以3x+1y-3=y+3+1y-3當且僅當y=4時,等號成立,所以m2-2m>8,即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.2.(2024·潮州模擬)正實數x,y滿足1x+4y=2,且不等式x+y4≥m2-m恒成立,則實數m【解析】因為不等式x+y4≥m2-m所以(x+y4)min因為x>0,y>0,且1x+4所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2當且僅當2xy=y8x,即x=1,y=4時,等號成立,所以(x+即(m+1)(m-2)≤0,解得-1≤m≤2.答案:-【加練備選】若?x∈12,2,使得2x2-λx+1<0成立是假命題,則實數λA.22 B.23 C.4 D.5【解析】選A.因為原命題為假命題,所以其否定:?x∈12,2,2x2即?x∈12,2,λ≤2x又2x+1x≥22x·1x=22(當且僅當2x=1x,即x=22時取等號),所以λ考點三基本不等式的實際應用[例7]某公司購買了一批機器投入生產,若每臺機器生產的產品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機器運轉時間t(單位:年,t∈N*)的關系為s=-t2+23t-64,要使年平均利潤最大,則每臺機器運轉的時間t為()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.由題意得,年平均利潤y=st=-t-64t+23=-t+64t+23≤-2t·64t+23=7,當且僅當t解題技法有關函數最值的實際問題的解題技巧(1)根據實際問題建立函數的解析式,再利用基本不等式求得函數的最值.(2)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.(3)解應用題時,一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(4)在應用基本不等式求函數最值時,若等號取不到,可利用函數的單調性求解.對點訓練某校生物興趣小組為開展課題研究,分得一塊面積為32m2的矩形空地,并計劃在該空地上設置三塊全等的矩形試驗區(如圖所示).要求試驗區四周各空0.5m,各試驗區之間也空0.5m.則每塊試驗區的面積的最大值為m2.

【解析】設矩形空地的長為xm,則寬為32xm,設試驗區的總面積為Sm2,所以S=(x-0.5×4)·(32x-0.5×2)=34-x-64x≤34-2x·64x=18,當且僅當x=64x答案:6【加練備選】已知圓錐的母線長為2,側面積為S,體積為V,則VS取得最大值時圓錐的體積為(A.2π3 B.42π3 C.2【解析】選D.設圓錐底面半徑為r,高為h,由題意可得母線l=2,所以圓錐的側面積為S=πrl=2πr,且h=l2-r2=4-r2,所以圓錐的體積為V=13πr2h=13πr2·4-r2,則VS=13πr24-r22πr=16r4-r2≤1【重難突破柯西不等式】柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式,除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外,柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中,借助柯西不等式的技巧可以達到事半功倍的效果.1.柯西不等式的代數形式設a,b,c,d均為實數,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立.推廣:設a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn…+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個實數k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.2.柯西不等式的向量形式設α,β為平面上的兩個向量,則|α||β|≥|α·β|,當且僅當β是零向量,或存在實數k,使α=kβ時,等號成立.3.柯西不等式的三角不等式設x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實數,則(x1≥(x類型一利用柯西不等式求最值[例1](1)(2023·浙江模擬)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,則sinx的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.1【解析】選C.由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny,由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(sinx=2+2sinx當且僅當(sinx+1)siny=cosycosx時取等號,所以(2-sinx)2≤2+2sinx,即sin2x-6sinx+2≤0,解得3-7≤sinx≤1,所以sinx的最小值為3-7.(2)函數f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時A.5,215 B.3,215 C.13,6113 D.【解析】選A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)所以25-x+x-4≤5,當且僅當2x-4=故函數f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時x的值分別為解題技法柯西不等式求解最值的策略關鍵是構建條件與結論之間的聯系,通過合理的恒等變形與配湊轉化,使之符合柯西不等式的結構,利用柯西不等式來轉化所求的代數關系式,聯系條件來確定對應的最值問題.對點訓練1.已知x>0,y>0,x24+y2=1,則22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2當且僅當x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y答案:22.函數y=22-x+2x【解析】因為y=22-x+2x-3=2-x(2-x當且僅當2-x=2x-3所以函數y的最大值為3.答案:3類型二利用柯西不等式證明不等式[例2](1)若直線xa+yb=1過點M(cosα,sinα),則(A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.1a2+1b2≤1 D.【解析】選D.由柯西不等式,得[(1a)2+(1b)2](cos2α+sin2α)≥(cosαa+當且僅當sinαa=又因為點M在直線xa+yb=1上,即cosαa+sinαb(2)已知a1,a2,b1,b2為正實數,求證:(a1b1+a2b2)·(a1b1+a2b2)≥(a1【證明】(a1b1+a2b2)(a1b1+a2b2)=[(a1b1)2+(a2b2)≥(a1b1·a1b1+a2b2·a2b當且僅當b1=b2時,等號成立.解題技法柯西不等式證明不等式成立的策略(1)結合所要證明的不等式,引入一次線性關系式進行配湊,利用柯西不等式加以轉化,并利用不等式的性質與恒等變形來證明對應的不等式成立;(2)通過巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的轉化,并結合基本不等