第15講：指數函數【考點歸納】考點一、指數函數的概念考點二、求指數函數的解析式、函數值考點三、指數函數的圖象及應用考點四、指數型函數的定義域和值域考點五、指數型函數的單調性求參數考點六、比較大小考點七、簡單的指數不等式的解法考點八、指數函數的應用考點九、指數函數的最值問題考點十、指數函數的綜合【知識梳理】知識點一指數函數的定義一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.知識點二指數函數的圖象和性質指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性在R上是增函數在R上是減函數知識點三解指數方程、不等式簡單指數不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．知識點四指數型函數的單調性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數的性質(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域．(2)當a>1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0<a<1時，函數y＝af(x)與函數y＝f(x)的單調性相反．【例題詳解】題型一、指數函數的概念1．（2023高一·江蘇）給出下列函數：①；②；③；④；⑤．其中，指數函數的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指數函數的定義，對所給函數逐一判斷即可.【詳解】①中，的系數是－1，故①不是指數函數；②中，的指數是x＋1，不是自變量x，故②不是指數函數；③中，的系數是1，冪的指數是自變量x，且只有一項，故③是指數函數；④中，的底為自變量，指數為常數，故④不是指數函數．⑤中，底數，不是指數函數．綜上，指數函數的個數為1，故選：B.2．（2324高一上·青海西寧·期中）函數是指數函數，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根據指數函數的定義，即可證明.【詳解】由已知得，即得.故選：C3．（2223高三上·江蘇常州）若p：函數是指數函數，，則q是p的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據命題和指數函數的定義列方程解得，根據命題解得，再根據必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】命題p真，則，解得或2，又，∴；q為真，則或2，∴q是p的必要不充分條件.故選：C．題型二、求指數函數的解析式、函數值4．（2324高二上·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知指數函數且，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據函數值求出，再求函數值即可.【詳解】，故選：A.5．（2324高一上·吉林長春·期中）函數是指數函數，則有（

）A．或 B．C． D．，且【答案】B【分析】根據指數函數的知識求得正確答案.【詳解】由指數函數的概念，得且，解得．故選：B6．（2324高一上·全國·課后作業）若指數函數的圖象經過點，則．【答案】/【分析】采用待定系數法，結合指數函數所過點可求得函數解析式，代入即可.【詳解】設指數函數且，過點，，解得：，，.故答案為：.題型三、指數函數的圖象及應用7．（2324高一上·四川樂山·期中）函數的大致圖象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用函數的性質判斷函數圖象【詳解】依題意，可得，則為奇函數，且當時，，則A，B，C均不正確，故選：D．8．（2324高一上·福建漳州·期中）函數的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數的奇偶性，再由及當時函數值的特征判斷即可.【詳解】函數的定義域為且，故為偶函數，函數圖象關于軸對稱，因為，故排除C、D；當時，故排除A.故選：B9．（2324高三上·湖南·階段練習）函數的圖象大致為（

）A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據函數的奇偶性、定義域、正負性，結合指數函數的單調性進行判斷即可.【詳解】由，所以該函數的定義域為，顯然關于原點對稱，因為，所以該函數是偶函數，圖象關于縱軸對稱，故排除選項AC，當時，，排除選項B，故選：D題型四、指數型函數的定義域和值域10．（2324高一上·安徽·期中）若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用定義域和值域的關系，結合復合函數定義域的知識分析即可.【詳解】解：函數的定義域為，令，解得，故函數的定義域為故選：C11．（2324高一上·天津紅橋·階段練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次函數、指數函數性質求指數復合函數的值域.【詳解】由，則，所以的值域為.故選：C12．（2324高一上·河北·階段練習）已知，（）的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分情況討論時，時，及時分段函數的值域，再根據集合間的關系列不等式，解不等式.【詳解】若，當時，在上單調遞減，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數的值域滿足，則，解得；若，當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數的值域，滿足，成立；若，當時，在上單調遞增，此時，則，又不成立，所以此時不成立；綜上所述：，故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是對進行分類討論，同時結合函數單調性和基本不等式求解相關函數值域，最后得到不等式組，解出即可.題型五、指數型函數的單調性求參數13．（2324高一上·重慶·期末）若函數是上的單調遞增函數.則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求分段函數的兩段均遞增，且左側函數值不大于右側函數值，列出不等式，計算即可.【詳解】因為函數在上單調遞增，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A14．（2324高一上·福建福州·期末）設函數（且）在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數函數及復合函數的單調性計算即可.【詳解】易知，顯然在上單調遞增，在上單調遞減，因為在區間上單調遞增，結合復合函數的單調性可知，且，所以.故選：A15．（2324高一上·福建漳州·期末）若函數是增函數，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】確定，，得到，當時，，得到，解得答案.【詳解】當時，單調遞增，且；當時，，，函數單調遞增，且，解得；當時，，，.函數單調遞增，則，解得；同理可得：當時，，，函數單調遞增，且，解得；綜上所述：.故選：B.題型六、比較大小16．（2324高一下·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據的單調性判斷，根據的單調性判斷，進而得到答案.【詳解】因為在第一象限為增函數，，所以，因為在第一象限為增函數，，所以，所以，故選：B.17．（2324高一上·云南昆明·期末）若，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據指數函數性質判斷即可.【詳解】因為在R上單調遞增，所以，因為在R上單調遞減，所以，所以，即.故選：B.18．（2324高一上·河南漯河·階段練習）已知函數，，且，則下列結論中，必成立的是（

）A．，， B．，，C． D．【答案】D【分析】根據函數的單調性即可結合函數圖象求解ABD，利用作差法可得,進而得，即可求解C.【詳解】由于函數在區間上是減函數，在為增函數，由于，而，因此，，無法確定正負，如故，AB錯誤，D正確，由于，則，故，當且僅當時等號成立，又因為不等于0，則等號無法取到，因此，又，所以，由于，，在為增函數，因此故,故C錯誤，故選：D．題型七、簡單的指數不等式的解法19．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡集合，由交集的概念即可求解.【詳解】因為集合，，所以.故選：D20．（2324高一上·江蘇無錫·期末）已知函數為上的奇函數，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指數函數單調性求解不等式得解.【詳解】函數為上的奇函數，當時，，則當時，，有，顯然，不等式轉化或，解得或，所以不等式的解集為.故選：C21．（2324高一上·廣東潮州·期末）已知函數，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數的奇偶性及其在上的單調性，將所求不等式變形為，解之即可.【詳解】因為函數的定義域為，且，所以，函數為偶函數，則不等式等價于，因為函數、在上均為增函數，當時，單調遞增，所以，，可得，解得，故原不等式的解集為.故選：A.題型八、指數函數的應用22．（2324高一上·浙江寧波·期末）某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規律，根據試驗數據可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長率生長.若經過周后，該植物的長度是原來的倍，則再經過周，該植物的長度大約是原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】設植物原來的長度為，由已知可得出，求出的值，利用指數運算可求得結果.【詳解】設植物原來的長度為，經過周后，該植物的長度為原來的倍，即，即，即，再過周后該植物的長度為.因此，再經過周，該植物的長度大約是原來的倍.故選：C.23．（2324高一上·重慶云陽·階段練習）第1次從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿，第2次再從該容器中倒出，又用水填滿；…．若要使容器中的純酒精不足，則至少要連續進行以上操作（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】B【分析】計算出4次后，容器中的純酒精小于，得到答案.【詳解】進行1次后，容器中的純酒精為；進行2次后，容器中的純酒精為；進行3次后，容器中的純酒精為；進行4次后，容器中的純酒精為．故連續進行4次后，容器中的純酒精不足．故選：B24．（2023·四川宜賓·一模）某種病毒的繁殖速度快、存活時間長，a個這種病毒在t天后將繁殖到個．已知經過4天后病毒的數量會達到原來的2倍．且再過m天后病毒的數量將達到原來的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據指數式的運算求解.【詳解】由題可知，，所以，經過天，數量變為原來的16倍，即，則有，解得，故選:C.題型九、指數函數的最值問題25．（2223高一上·天津南開·期末）已知函數，，若對任意的，總存在使得成立，則實數k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的單調性求出兩函數的最大值，然后由題意可知，再解關于的不等式可求得結果.【詳解】當時，單調遞減，則，當時，單調遞減，則，所以當時，，所以，因為在上單調遞增，所以，因為對任意的，總存在使得成立，所以，所以，解得，故選：C26．（2223高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在區間上有恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】“在區間上，恒成立”等價于“在區間上，”，分別討論和，得到關于的不等式，即可求解出結果．【詳解】“在區間上，恒成立”等價于“在區間上，”當時，在上單調遞增，此時，在處取得最小值，即，解得，故；當時，，即，解得，故．綜上，實數的取值范圍是．故選：C27．（2122高二上·新疆省直轄縣級單位·階段練習）已知函數，，若，，使得，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原問題等價于，使得，利用函數的單調性求出最大值即可求解.【詳解】解：，使得，等價于，，由對勾函數的單調性知在上單調遞減，所以，又在上單調遞增，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.題型十、指數函數的綜合28．（2324高一上·陜西寶雞·期末）已知函數是指數函數．(1)求的表達式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明.【答案】(1)(2)是偶函數，證明見解析【分析】（1）由指數函數定義即可列方程求解；（2）由偶函數定義即可判斷并得證.【詳解】（1）函數是指數函數，且，，可得或舍去，（2）是偶函數

,證明如下：，，，是偶函數．29．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函數，．(1)當時，求函數的值域；(2)設函數，若對任意，存在，使得，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根據二次函數的性質求解即可；（2）對任意，存在，使得，則，即，在上恒成立，再利用分離參數法求解即可.【詳解】（1）當時，，，令，因為，則，所以，其中，則時，，時，，即，所以的值域為；（2）由，，設，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，而函數為增函數，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，因為對任意，存在，使得，則，所以，在上恒成立，令，因為，則，即在上恒成立，則在上恒成立，因為函數在上單調遞增，故，所以，即．【點睛】關鍵點點睛：解決本題第二問的關鍵是轉化為，在上恒成立.30．（2324高一上·四川遂寧·期末）已知是定義在上的奇函數，當時，．(1)求的值；(2)求在上的解析式；(3)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用奇函數的性質求得，從而得解；（2）利用奇函數的性質，結合對稱性即可得解；（3）將不等式轉化為恒成立問題，再利用指數函數的單調性即可得解.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數，所以，又當時，＝，所以，解得，所以.（2）由（1）得，當時，，當時，，所以，又，所以在上的解析式為.（3）因為當時，，所以由，得，整理得，令，根據指數函數單調性可得是減函數，所以，所以，故實數的取值范圍是.【點睛】結論點睛：（1）若函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，則在上單調遞增；（2）若函數在區間上單調遞減，函數在區間上單調遞減，則在上單調遞減；【專項訓練】一、單選題31．（2324高一下·青海海東）已知函數的圖象過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的圖象過點，求出a的值，即可求得答案.【詳解】由題意可知，所以，故選：C.32．（2324高二下·云南大理·期中）函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據題意，利用函數的定義域，以及時，且，結合選項，即可求解.【詳解】由函數，可得函數的定義域為，且，故排除B,C,當時，且，排除A.故選：D.33．（2324高一下·上?！て谥校┮阎猘、，，則下列不等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據不等式的性質即可求解ABC，根據指數函數的單調性即可求解D.【詳解】對于A，由于，所以，A正確，對于B，由，則，故B正確，對于C，，滿足，但，故C不一定成立，對于D，由于為單調遞減函數，所以，則，D正確，故選：C34．（2324高一上·浙江杭州·期末）設函數.若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照從內到外的原則，先計算的值，再代入，即可求出的值.【詳解】由于函數，且，則，且，所以，即，得.故選：B.35．（2324高一上·安徽安慶·期末）已知關于的不等式（其中）在R上恒成立，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知不等式化為，結合函數在上單調性，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題意得原不等式可化為，因，所以在上恒成立，又函數在上單調遞增，且，當時，；當時，．于是且，于是，，，故選：D．36．（2324高一上·湖北武漢·期末）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，，已知函數，則函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對分離常數得到，即可研究函數的值域，進而根據高斯函數定義求解即可.【詳解】，因為，所以，所以，即，所以，即，所以.故選：C37．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知，若命題“，或”為真命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段討論x的取值范圍，結合命題的真假列出相應不等式，最后綜合即可得答案.【詳解】當時，，無論取何值，均符合題意；當時，，只需，解得或；當時，，由題中條件可得，只需對于恒成立，當時，不符合題意；當時，圖象為開口向上的拋物線，不能滿足對恒成立，不符合題意；當時，的2個根為，需滿足，結合，可得，綜合上述可知的取值范圍是，故選：B.38．（2324高一上·寧夏石嘴山·期中）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】探討函數的奇偶性、單調性，再利用性質求解不等式即得.【詳解】函數的定義域為R，，即函數是R上的偶函數，當時，，函數在上單調遞增，則在上單調遞減，在上單調遞增，又在上單調遞增，因此在上單調遞增，而不等式，于是，兩邊平方得，解得，所以所求不等式的解集為.故選：B二、多選題39．（2324高一上·安徽淮南·期末）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．的定義域為B．是奇函數C．是偶函數D．對任意的，【答案】CD【分析】根據指數函數的性質，結合奇函數、偶函數的定義逐一判斷即可.【詳解】A：由，所以該函數的定義域為，因此本選項結論不正確；B：因為，所以有，因此是偶函數，所以本選項不正確；C：由上可以確定本選項正確；D：，當時，，而，于是有，當時，，而，于是有，綜上所述：對任意的，，因此本選項正確，故選：CD40．（2324高一上·江蘇常州·期末）若函數（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據圖象的性質可得：，即可求解.【詳解】函數（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據圖象的性質可得：，即，故選：BD.41．（2324高一上·江蘇泰州·期末）已知函數，若的值域為，則實數的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分別求出值域，根據值域的并集為建立不等式，逐項判斷即可.【詳解】當時，單調遞增，其值域為，當時，單調遞增，其值域為，由題意的值域為，所以，所以，記，且，在一個坐標系內作出函數圖象，如圖：

因為，所以，又因為，所以，所以，要使，則，因為，所以，因為，所以，所以，結合選項可知，實數的值可以是，.故選：BD42．（2324高一上·湖北荊州·期末）已知函數，則（

）A．不關于原點對稱B．C．在上單調遞減D．的解集為【答案】AC【分析】先求出函數定義域檢驗選項A；代入求出檢驗選項B；結合復合函數單調性檢驗選項C；結合函數單調性解不等式檢驗選項D．【詳解】由，得，即定義域為，不關于原點對稱，故A正確；因為，，所以，B錯誤；當時，，函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞減，在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，故C正確．對于D，由B知圖象關于對稱，所以在區間上單調遞減，所以在區間和上單調遞減．又時，，所以，時，．①當，即時，由得，解得，即；②當時，不等式組無解，不合題意；③當，即時，，，不合題意；④當，即時，，，符合題意．綜上所述，的解集為,,，D錯誤．故選：AC．【點睛】函數圖象常見對稱性：（1）若，則的圖象關于對稱；（2）若，則的圖象關于對稱.三、填空題43．（2324高一下·貴州遵義·階段練習）不等式的解集是.【答案】【分析】將原不等式轉化為，結合指數函數的單調性即可求解.【詳解】由題意知，，又指數函數在R上單調遞增，所以，解得，即原不等式的解集為.故答案為：44．（2324高一下·上?！るA段練習）已知函數的圖象經過定點，則.【答案】1【分析】根據指數函數過定點的性質，列出相應方程，即可求得答案.【詳解】由題意知函數的圖象經過定點，故,解得,故,故答案為；145．（2324高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數為奇函數，則實數．【答案】【分析】設，利用奇函數的定義可得出，結合指數運算可得出實數的值.【詳解】設，則，可得，即函數的定義域為，則，即，即，解得.故答案為：.46．（2324高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知定義在上的偶函數和奇函數滿足，且在上恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】由函數的奇偶性求出，不等式變為在上恒成立問題，求出的最大值即可.【詳解】因為，①得，又和分別為偶函數和奇函數，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，設，則只需，易知在上為增函數，，所以，故答案為：.四、解答題47．（2324高一上·上?！ぜ倨谧鳂I）已知函數，其中.(1)求，并計算的值；(2)作出該函數的圖象，并求函數的值域.【答案】(1)；0；(2)作圖見解析，【分析】（1）直接代入式子計算、即可；（2）結合指數函數性質分離常數法求函數值域，結合函數的單調性作出的圖象.【詳解】（1），；（2）由（1）知，，，所以為奇函數，圖象關于原點對稱，且，為增函數，因為，所以，得函數的值域為.的圖象如下圖，48．（2324高一上·河南洛陽·期末）已知函數是奇函數．(1)求的定義域及實數a的值；(2)用單調性定義判定的單調性．【答案】(1)定義域為，(2)在、上單調遞減【分析】（1）借助奇函數的性質計算即可得；（2）借助函數單調性的定義作差判斷即可得.【詳解】（1）由：，得，所以的定義域為，因為是奇函數，則，即，即，所以，則，所以；（2），，則，當時，，，，則，即，所以在上單調遞減，當，，，，則，即，所以在上單調遞減，故在、上單調遞減.49．（2324高一上·安徽宿州·期末）已知函數是定義在R上的奇函數，其圖象經過點．(1)求實數，的值并指出的