（新版）九年級數學上冊知識點歸納（北師大版）

（八下前情回顧）※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四

邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的亞為繾。

※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距

離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

第一章特殊平行四邊形

1菱形的性質與判定

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條

對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

2矩形的性質與判定

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫號牛。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱

圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形（根據定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

3正方形的性質與判定

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形,

有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形:

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖3所示）：

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

圖3

※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第二章一元二次方程

1認識一元二次方程

※只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為ox?+加+c=0（a、b、c為

常數，aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把依2+法+。=。g、b、c為常數，a^O）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次

項系數；b為一次項系數；c為常數項。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法〈即將其變為。+m)2=0的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項系數化成1;

③把常數項移到方程的右邊：

④兩邊加上一次項系數的一半的平方；

⑤把方程轉化成(x+in)2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

護—4ac

②…公式法x=—b+y、l(注意在找abc時須先把方程化為一般形式)

2a

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。(主要包括

“提公因式”和“十字相乘”)

5一元二次方程的根與系數的關系

※根與系數的關系：當b<4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；

當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

當b2-4ac<0時，方程無實數根0

※如果一元二次方程加+6x+c=0的兩根分別為xi、X2,則有：

bc

=

X|+%2=---a-X|-%2a—o

※一元二次方程的根與系數的關系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根X1、X2的對稱式的值，特別注意以下公式：

①夕才'二『三②=③

'x2x1x2

2=(石2

(Xj-x2)+x2)-4X1X2

2

④IXj-x21=yl(X[+X2)-4X^2⑤

2

(IFI+1%21)2=a+X2)-2X1X2+2IXjX2I

⑥X：+E=(x)+x)3+x)⑦其他能用+工2或無1工2表達的代數

2-3xix2(x[2

式。

(3)已知方程的兩根Xi、X2,可以構造一元二次方程：2(x+x)x+=0

X-)2x]x2

(4)己知兩數xi、xz的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程

2

X-(%,+x2)x+xlx2=0的根

6應用一元二次方程

※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數(在設未知數時，大多數情況

只要設問題為X；但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮)；②尋找等量

關系(一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方

程)。

※處理問題的過程可以進一步概括為：問題鬻->方程慧一解答

抽象檢驗

第三章圖形的相似

1成比例線段

一.線段的比

XI.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線

段的比AB:CD=m:n，或寫成色=

Bn

※叁四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即@=￡，那么這四條線段

bd

a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

X3.注意點：

①a:b二k,說明a是b的k倍；

②由于線段a、b的長度都是正數，所以k是正數；

③比與所選線段的長度單位無關，求出時兩條線段的長度單位要一致；

④除了a二b之外,a:bWb:a,巴與々互為倒數；；；.

ba

ac4CB

⑤比例的基本性質：若a:=-c；,則ad=be;若ad二be,則7=二

bdbd市ii

2平行線分線段成比例

XI.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

如圖2,It/11s//A,則——=――.

DEEF

二.黃金分割

※上如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果=變，那么稱線段AB被點C

ABAC

黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做.黃金比..

AC=0.618:1

2

派2.黃金分割點是最優美、最令人賞心悅目的點.

3相似多邊形

01.一般地，形狀相同的圖形稱為相似圖形.

※義對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多.邊形.相似多邊形對應邊的比叫做

相似比

XI.在相似多邊形中，最為簡單的就是相似三角形.

X2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角.彩.相似三角形對應邊的比叫做相似

※工全等三角形是相似三角的特例，這時相似比等于1.注意:證兩個相似三角形,與證兩

個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.

※人相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.

※民相似三角形周長的比等于相似比.

※儀相似三角形面積的比等于相似比的平方.

※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.

4探索三角形相似的條件

派2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.

BC

如圖2,h//I2//l：h貝11----=

DE~EF

※上相似三角形的判定方法:

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一邊H和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所

截得的三角形與原三角形相似.

①兩角對應相等；①一個銳角對應相等；

②兩邊對應成比例,且夾角相等；②兩條邊對應成比例：

③三邊對應成比例.a兩直角邊對應成比例；

b.斜邊和一直角邊對應成比例.

※工平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三

角形相似.

5相似三角形的判定定理的證明

6利用相似三角形測高

7相似三角形的性質

8圖形的位似

第四章投影與視圖

A）三視圖

?主視圖一一從正面看到的圖左視圖一一從左面看到的圖俯視圖一一從上面看到的

圖

?畫物體的三視圖時，要符合如下原則：大小：長對正，高平齊，寬相等.

?虛實:在畫圖時,看的見部分的輪廓通常畫成實線,看不見部分的輪廓線通常畫成虛線.

B）投影

?物體在光線的照射下,會在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影現象.

?太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

-在同一時刻,物體高度與影子長度成比例.

?物體的三視圖實際上就是該物體在某一平行光線（垂直于投影面的平行光線）下的平行投

影.

?探照燈,手電筒,路燈,和臺燈的光線可以看成是從?點出發的光線,像這樣的光線所形成

的投影稱

為中心投影

?皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子.它們是中心投影。

C)視點、視線、盲區的定義以及在生活中的應用。

.眼睛所在的位置稱為視點，

.由視點發出的光線稱為視線，

.眼睛看不到的地方稱為盲區

第五章反比例函數

知識點1反比例函數的定義

一般地，形如y=K(k為常數，k#0)的函數稱為反比例函數，它可以從以下幾個

x

方面來理解：

U)X是自變量，y是X的反比例函數；

(2)自變量x的取值范圍是x力0的一切實數，函數值的取值范圍是y工0；

⑶比例系數kw0是反比例逐數定義的一個重要組成部分；

⑷反比例函數有三種表達式：

?y=-(k00),

x

②：.(kwO),

③x*y=k(定值)(k/0)；

kk

(5)函數y=—(kwO)與x=—(kwO)是等價的，所以當y是x的反比例函數時，

xy

X也是y的反比例函數。

(k為常數，kwO)是反比例函數的一部分，當k=0時，y=-,就不是反比例函數

x

了，由于反比例函數y=A(k^0)中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就

x

可以求出k的值，從而確定反比例函數的表達式。

知識點2用待定系數法求反比例函數的解析式

由于反比例函數y=K(kHO)中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就

x

可以求出k的值，從而確定反比例函數的表達式。

知識點3反比例函數的圖像及畫法

反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第

二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數中自變量函數中自變量xwO,函數值

ywO,所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但

永遠達不到坐標軸。

反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵指點；⑶連線。

再作反比例函數的圖像時應注意以下幾點：

①列表時選取的數值宜對稱選取；

②列表時選取的數值越多，畫的圖像越精確；

③連線時，必須根據自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成

折線：

④畫圖像時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。

知識點4反比例函數的性質

☆關于反比例函數的性質，主要研究它的圖像的位置及函數值的增減情況，如下表：

反比例函數y=-(kwO)

X

k的

k>0k<0

符號

JkV

圖像

1A

rx1

①X的取值范圍是xwO,y的取值①X的取值范圍是xwO,y的取

范圍是yw0值范圍是y工0

性質②當k>0時，函數圖像的兩個分②當k<0時，函數圖像的兩個分

支分別在第一、第三象限，在每個支分別在第二、第四象限，在每

象限內，y隨x的增大而減小。個象限內，y隨x的增大而增大。

注意：描述函數值的增減情況時，必須指出“在每個象限內……”否貝！，籠統地說，當k>0

時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。

反比例函數圖像的位置和函數的增減性，是有反比例函數系數k的符號決定的，反過來，由

反比例函數圖像（雙曲線）的位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。如丫=月在第

x

一、第三象限，則可知k>0°

☆反比例函數y=：（k#0）中比例系數k的絕對值|k|的幾何意義。

如圖所示，過雙曲線上任一點P（x,y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，

則同=同=兇?|乂=尸產,尸石=s矩形曲?

☆反比例函數y=K（k工0）中，|k|越大，雙曲線y=K越遠離坐標原點；|k|越小，

XX

雙曲線y二人越靠近坐標原點。

x

☆雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線乂是軸對稱圖形，對稱軸是直線

y=x和直線y=—Xo

第六章概率的進一步認識

用樹狀圖或表格求概率

相關知識點鏈接：

頻數與頻率

頻數：在數據統計中，每個對象出現的次數叫做頻數，

頻率：每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。

概率的意義和大小：概率就是表示每件事情發生的可能性大小，即一個時間發生的可能性大

小的數值。必然事件發生的概率為1;不可能事件發生的概率為0：不確定事件發生的概率

在0與1之間。

【知識點1］頻率與概率的含義

在試驗中，每個對象出現的頻繁程度不同，我們稱每個對象出現的次數為頻數，而每個對象

出現的次數與總次數的比值為頻率，即頻率=上與

總次數

把刻畫事件A發生的可能性大小的數值，稱為事件A發生的概率。

【知識點2］通過實驗運用穩定的頻率來估計某一時間的概率

在進行試驗的時候，當試驗的次數很大時，某個事件發生的頻率穩定在相應的概率附近。

我們可以通過多次試驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的頻率。

【只是點3］利用畫樹狀圖或列表法求概率（重難點）

特殊平行四邊形核心知識點

正方形、矩形、菱形和平行四邊形四者之間關系

平行四邊形、菱形、矩形、正方形的有關概念

圖形定義

平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

菱形一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

矩形一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形

正方形一組鄰邊相等的矩形叫做正方形

平行四邊形、菱形、矩形、正方形的有關性質

圖形邊角對角線

平行四邊形對邊平行且相等對角相等，鄰角互補對角線互相平分

g乜小花兩對角線互相垂直平分，每一

菱形對邊平行，四條邊相等對角相等條對角線平分-組對角

矩形對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等

兩條對角線互相平分、垂直、

正方形對邊平行、四條邊都相等四個角都是直角相等，每一條對角線平分一組

對角

平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判別方法

圖形判別方法

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形3、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

5、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

菱形2、四條邊都相等的四邊形是菱形

3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

1、一個內角是直角的平行四邊形是矩形

矩形

2、對角線相等的平行四邊形是矩形

1、一組鄰邊相等的矩形是正方形

2、對角線互相垂直的矩形是正方形

正方形

3、有一個角是宜角的菱形是正方形

4、對角線相等的菱形是正方形

二、梯形常見的輔助線

1.延長兩腰交于一點

作用：使梯形問題轉化為三角形問題。若是等腰梯形則得到等腰三角形。

2.平移一腰

作用：使梯形問題轉化為平行四邊形及三角形問題。

3.作高

作用：使梯形問題轉化為直角三角形及矩形問題。

4.平移一條對角線

作用：(1)得到平行四邊形ACED,使CE=AD,BE等于上、下底的和

(2)等腰梯形時，S梯形ABCD二S^DBE

5.當有一腰中點時，連結一個頂點與一腰中點并延長交一個底的延長線。

作用：可得4ADEgaFCE,所以使S悌形ABCD=SMBF。

一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一個未知數，并且未知數的最高次數是

2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：+c=它的特征是:

等式左邊加一個關于未知數X的二次多項式，等式右邊是零，其中

叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數;

c叫做常數項。

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直

接開平方法。直接開平方法適用于解形如(x+a)2的一元二次方

程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當人20時，

x+a=±4b,x=-a±4b,當b<0口寸，方程沒有實數根。

2、配方法:

配方法的理論根據是完全平方公式/、:,把公式

中的a看做未知數x,并用x代替，則有爐±2"+/=*±份2。

配方法的步驟：先把常數項移到方程的右邊，再把二次項的系數化為

1,再同時加上1次項的系數的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二

次方程的一般方法。

一元二次方程or?+bx+c=0(〃w0)的求根公式：

-b±y/b2-4ac

x=---------(b2-4Aac>0)

2a

公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數分別代入，這里二次

項的系數為a,一次項的系數為b,常數項的系數為c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這

種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步驟：把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取

公因式，公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如

果可以，就可以化為乘積的形式

5、韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之

和二-b/a,二根之積=c/a也可以表示為xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用

韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數，在題目中很常用

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程0?+桁+G=0（〃=0）中，從-4碇叫做一元二次方程

"2+法+,=03"0）的根的判另1」式，通常用來表示，即△=〃—4碇

I當△＞（）時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

II當△=（）時，一元二次方程有2個相同的實數根；

III當△＜（）時，一元二次方程沒有實數根

四、一元二次方程根與系數的關系

如果方程—+"+c=0（〃工0）的兩個實數根是知馬，那么

x,+x,=--,X/=￡。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次

aa

方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相

反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應

用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次

項系數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二

次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方

程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算根的

判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式

法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但

是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌

握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。

第三章概率的進一步認識講義

一、本章知識結構圖

1

用樹狀圖或列表求概率

專題一用樹狀圖和列表法計算事件發生的概率

1、（2009年云南省）在一個不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍三種顏色

的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個，黃球有1個,

藍球有1個.現有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定

輸贏（贏的一方得電影票）.游戲規則是：兩人各摸1次球，先

由小明從紙箱里隨機摸出1個球，記錄顏色后放回，將小球搖勻,

再由小亮隨機摸出1個球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏,

否則小亮贏.這個游戲規則對雙方公平嗎？請你利用樹狀圖或列

表法說明理由.

/7\\/7\\

紅紅黃藍紅紅黃藍紅紅黃藍紅紅黃藍

或

一―第2次

第1次紅紅黃藍

紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，黃）（紅，藍）

紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，黃）（紅，藍）

黃（黃，紅）（黃，紅）（黃，黃）（黃，藍）

藍（藍，紅）（藍，紅）（藍，黃）（藍，藍）

由上述樹狀圖或表格知：所有可能出現的結果共有16種.

p（小明嬴）=9=3,p（小亮贏）

168168

???此游戲對雙方不公平，小亮贏的可能性大.

（說明：答題時只需用樹狀圖或列表法進行分析即可）

2、（2009年崇左）一只口袋中放著若干只紅球和白球，這兩種球除

了顏色以外沒有任何其他區別，袋中的球已經攪勻，蒙上眼睛從口袋

中取出一只球，取出紅球的概率是

4

（1）取出白球的概率是多少？

（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的紅球有多少只？

解：（1）P（取出白球）=1一P（取出儂）

13

一1

44

（2）設袋中的紅球有x只，則有

解得x=6

所以，袋中的紅球有6只.

【知識要點】

用樹狀圖和列表法計算涉及兩步實驗的隨機事件發生的概率.

【方法技巧】

列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結

果，適合于兩步完成的事件，概率問題要注意分清放回與不放回，結

果是完全不一樣的.

用頻率估計概率

專題二事件發生的頻率與概率之間的關系

1.在一個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除

顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率

穩定在0.3左右，則布袋中白球可能

有()

A、15個B、20個C、30個D、35

個

2.一個不透明的盒子中放有4張撲克牌，牌面上的數字分別3,

4,5,x,這些撲克牌除數字外都相同.甲、乙兩人每次同時

從盒子中各隨機摸出1張牌，并計算摸出的這2張牌面上的

數字之和.記錄后都將牌放回盒子中攪勻，進行重復實驗.實

驗數據如下表：

摸牌總次數1236901218243345

000000000

“和為9”出現的1912263581015

頻數4478290

“和為9”出現的0.10.40.40.40.20.30.30.30.30.3

頻率0570912433

解答下列問題：

(1)如果實驗繼續進行下去，根據上表數據，出現“和為9”的

頻率將穩定在它的概率附近，試估計出現“和為9”的概率；

(2)根據(1),若x是不等于3,4,5的自然數，試求x的值.

3.小明在操場上做游戲，他發現地上有一個不規則的封閉圖形

ABC.為了知道它的面積，小明在封閉圖形內劃出了一個半徑為1

米的圓，在不遠處向圈內擲石子，且記錄如下：

5瞅15。次300次

石子落在00內僧。。上）

mm144395

石子落在陰影內瞅數M1985186

依此估計此封閉圖形ABC的面積是米2.

【知識要點】

通過實驗.理解當實驗次數較大時，實驗頻率穩定于理論概率附

近.并據此估計某一事件發生的概率.

請用列表或樹狀圖的方法求連續擲三次硬幣正面朝上的概率？

二、知識過關

L“一方有難，八方支援”，地震牽動著全國人民的心，漢中市某醫

院準備從甲、乙、丙三位醫生和A、B兩名護士中選出一位醫生和

一名護士支援災區.

（1）若隨機選一位醫生和一名護士，用樹狀圖（或列表法）表示所

有可能出現的結果；

（2）求恰好選中醫生甲和護士A的概率.

2、（2009賀州）一個不透明的布袋里裝有4個大小、質地均相同的

乒乓球，

每個球上面分別標有1,2,3,4.小林先從布袋中隨機抽取一個乒

乓球（不放回去），再從剩下的3個球中隨機抽取第二個乒乓球.

（1）請你列出所有可能的結果；

（2）求兩次取得乒乓球的數字之積為奇數的概率.

解：（1）根據題意列表如下：

1234

1(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)

由以上表格可知：有12種可能結果

（2）在（1）中的12種可能結果中，兩個數字之積為奇數的只有2

種，

所以，P（兩個數字之積是奇數）

126

3、（2009年山西省）某商場為了吸引顧客，設計了一種促銷活動：

在一個不透明的箱子里放有4個相同的小球，球上分別標有“0

元”、“10元”、“20元”和“30元”的字樣.規定：顧客在本商

場同一日內，每消費滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個球

（第一次摸出后不放回）.商場根據兩小球所標金額的和返還相

應價格的購物券，可以重新在本商場消費.某顧客剛好消費200

元.

（1）該顧客至少可得到元購物券，至多可得到元

購物券；

（2）請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購物券的

金額不低于30元的概率.

解：(1)10,50；

（2）解：解法一（樹狀圖）:

第一次o

第二次102030

和102030

從上圖可以看出，共有12種可能結果，其中大于或等于30元共有8

種可能結果，因此尸（不低于30元）=§=2.

123

解法二（列表法）：

第一Q

102030

第二次X

\

0^2030

101030^

202030

30304050

4、（2009年鐵嶺市）小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩

套不同品牌的運動服送給他們，小明和小亮都想先挑選.于是小明設

計了如下游戲來決定誰先挑選.游戲規則是：在一個不透明的袋子里

裝有除數字以外其它均相同的4個小球，上面分別標有數字1、2、3、

4.一人先從袋中隨機摸出一個小球，另一人再從袋中剩下的3個小

球中隨機摸出一個小球.若摸出的兩個小球上的數字和為奇數，則小

明先挑選；否則小亮先挑選.

（1）用樹狀圖或列表法求出小明先挑選的概率；

（2）你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

1—(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)—(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)—(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)—

第一次摸球1234

第二次摸球234134124123

(1,2)(1,3)(1,4;(1,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)

從表或樹狀圖可以看出所有可能結果共有12種，且每種結果發生的

可能性相同，符合條件的結果有8種，

：.P(和為奇數)=-

3

(2)不公平.

??,小明先挑選的概率是P(和為奇數)=2,小亮先挑選的概率是尸(和

3

為偶數)=；，

?,?不公平.

33

圖形的相似

1.比例線段的有關概念

在比例式0=￡（ab=c:d）中,。、d叫外項,b、內項,a、c叫前項仍、d叫

bd

后項，d叫第四比例項,如果反c,那么人叫做a、d的比例中項.

2.比例性質

①基本性質：—=—<=>ad=be

bd

②更比性質（交換比例的內項或外項）：

幺=§（交換內項）

cd

幺=￡（交換外項）

￡=￡_>Iba

bd4，（同時交換內外項）

ca

2=U（同時交換比的前項和后項）

C

②合比性質：包二出

bdbd

③善比性質：_=_=…=—（b+d+…+〃W0）=>------------------=—

bdnb+d+…+nb

3.黃金分割

在線段AB上，點。把線段A8分成兩條線段AC和8。（AC>8C）,如果

—,即AC2=A5X5C,那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線

ABAC

段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中

V5-1

AC=-——AB=0.618AB.

2

4.平行線分線段成比例定理

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖:

h//b//h.貝1)絲=DEABDEBCEF

BCEF~AC~7)F'~AC~~DF

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的廷長線）所

得的對應線段成比例.

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的

對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

5.相似三角形的判定

①兩角對應相等，兩個三角形相似；②兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角

形相似；

③三邊對應成比例，兩三角形相似.

6.相似三角形的性質

①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；

②相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似

比；

③相似三角形周長的比等于相似比；面積的比等于相似匕的平方.

7.六種相似基本模型：

9.中位線

1）三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段.

三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中

點的線段的長是對應中線長的』.

3

2）梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段.

梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊和的一半.

10.位似

①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個

點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似

比又稱為位似比.

②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.

新版北師大版九年級數學上冊第五章視圖與投影

知識要點

I.主要概念：

（1）圓柱的主視圖是矩形,左視圖是矩形，俯視圖是圓。

（2）圓錐的主視圖是三角形；左視圖是三角形；俯視圖是圓，還要畫上圓心。

（3）球的主視圖是圓；左視圖是圓；俯視圖是圓。

（4）投影：物體在光線的照射下，會在地面或墻上留下它的影子，這就是投影現象。

（5）平行投影：太陽光線可以看成是平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行

投影。

（6）中心投影：由一點發出的光線形成的投影是中心投影。

（7）視點：眼睛的位置稱為視點。

（8）視線：由視點出發的線稱為視線。

（9）盲區：視線看不到的地方稱為盲區。

2.主要原理：

（1）畫視圖時，看得見的部分的輪廓通常畫成實線，看不見部分的輪廓線通常畫成虛

線。

（2）我們在畫三視圖時，主、左視圖的高要相等；俯、左視圖的寬要相等。

（3）在同一時刻，不同物體的影子與它們的高度是成比例的。

（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物體的影子由正西、北偏西、正北、北偏東、正東

的方向移動。

（5）當投影光線與投影面垂直時，形成的投影就是物體的正投影。

【典型例題】

例I.如圖，畫出正三棱柱在這兩種位置時的視圖。

位置（一）位置（二）

解：圖中正三棱柱在位置（一）時的三視圖如下圖所示。

俯視圖

圖中正三棱柱在位置（二）時的三視圖如下圖所示:

主視圖左視圖俯視圖

例2.如圖所示，畫出下列物體的三視圖。

(1)

答：兩個物體的三視圖如圖（a）（b）

例3.圖1是底面為等腰直角三角形的三棱柱俯視圖，畫出它們主視圖和左視圖。

例4.某校墻邊有甲、乙兩根木桿。

（1）某一時刻甲木桿在陽光下的影子如圖（1）所示，你能畫出此時乙木桿的影子嗎？

（2）當乙木桿移動到什么位置時，其影子剛好不落在墻上？

（3）在你所畫的圖形中有相似的三角形嗎？為什么？

1）（2）

解答：（1）如圖（2）,作直線：過E作DD，的平行線，交AD所在直線于EL則

BE'就是乙木桿的影子；

（2）平移由乙桿、乙桿的影子和太陽光線所構成的圖形（即△BEED,直到其影子的

頂端E，抵達墻角為止；

（3）△ADD'與△BEE'相似。

例5.（山西省中考題）如圖，小明想測量電線桿AB的高度，他發現電線桿的影子恰好

落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD與地面成30°角,且此

時測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度約為米（結果保留兩位有效數

字，V2?1.41,V3?1.73）o

Ar

I________

BCFE

解答：延長BC、AD,二線交于點E,過點D作DF_LBE于點F,貝ijBE為旗桿AB的

影子。

VZDCF=30°,CD=4m

ADF=-CD=2m,/.CF=VCD2-DF2=2V3

2

VZABC=ZDFE=90°，NE=NE,

ARDF

AAABE^ADFE,A—=—

BEFE

???在同一時刻兩物體的物高與影長成比例，?A??R空=1；

BE2

設AB=x米，貝ijBE=2x米

.DFDF21

**EF-BE-BC-CF-2x-10-2732

*.x=7+V3?7+1.73?8.7（米）

答：電線桿的高度約為8.7米。

例6.如圖所示，路燈下某公路護欄AB的影子為ABL某果樹CD的影子為CD,請畫

出電線桿EF的影子。

FBD

EAB'CD1

解答：如圖所示，作直線B'B、D'D,交于點O,連結OF并延長交AE于F,EF即

為EF的影子。

例7.同一時刻，一棵樹和一竿旗的影子如圖所示，這是白天還是夜晚，請畫出小明此刻

的影子。

解：是夜晚，分別過小樹及其影了頂端，旗桿及其影了頂端作直線交點為O,過。點

及小明頭部頂點作直線，此直線與地面交于點B,設小明立足點為A,則AB是小明的影子。

例8.與一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花和一棵樹。晚上，幕

墻反射路燈燈光形成了那盆花的影子，樹影是路燈燈光形成的，如下圖所示，你能確定此時

路燈光源的位置嗎？

解：過盆花及其影子頂端作直線，作反射面法線，作N2=N1,得光線人過樹及其影

子頂端作直線心，兩線交點O,則。處為燈光位置。

例9.小明、小剛在同一座樓的四層、六層。他們樓前有一商店，他們的同學小江在下面

喊，小明說，小江在哪兒呢？小剛說我看到小江啦！請問此時小江在什么位置？

解：將六樓處設為點A,四樓處設為點A\商店頂部一點設為點B,過A、B,A\B

分別作直線交地面于C、D兩點，如圖所示。小江在CD區域內。

真題演練

一、選擇題

1.如圖（1）所示，所對應的物體還是圖（2）所示中的（）

主視圖俯視圖

2.如圖（3）所示的空心幾何體的俯視圖是圖（4）中的（）

圖（4）

3.物體在太陽光的照射下，不同的時刻會發生的現象是（）

A.影子的大小不變，方向在變

B.影子的大小在變，方向不變

C.影子的大小、方向都在變

D.影子的大小、方向都不變

4.強強和亮亮在路燈下走，本來很高的強強的影長卻比矮的亮亮的影子短，因為（）

A.強強離路燈近B.亮亮離路燈近

C.強強和亮亮分別在路燈的兩旁D.路燈比強強高

5.貨車司機的駕駛室一般都設計得較高,而且盡量靠前，這是為了（）

A.接觸到更好的陽光B.看得更遠

C.減小因車頭擋住視線產生的盲區D.空氣更新鮮

6.下列投影中，不屬于中心投影的是（）

A.晚上路燈下小孩的影子

B.汽車燈光照射下行人的影子

C.陽光下沙灘上人的影子

D.舞臺上一束燈光下演員的影子

7.小明拿了一張正方形卡片，使卡片面與墻面平行，這時發現墻面上形成了卡片的影子,

則下列關于其影子的敘述正確的是（）

A.墻上形成的影子的形狀和大小一定與卡片相同

B.墻上形成的影子有可能比卡片小

C.墻上形成的影子比卡片大或小都有可能

D.墻上形成的影子有可能比卡片大

8.一個幾何體的主視圖和左視圖都是相同的長方形，府視圖為圓，則這個幾何體為（）

A、圓柱B、圓錐C、圓臺D、球

9.從早上太陽升起的某一時刻開始到晚上，旭日廣場的旗桿在地面上的影子的變化規律是

（）

A、先變長，后變短B、先變短，后變長

C、方向改變，長短不變D、以上都不正確

10.在相同的時刻，物高與影長成比例.如果高為1.5米人測竿的影長為2.5米，那么影長為

30米的旗桿的高是（）

A、20米B、16米C、18米D、15米

11.下列說法正確的是（）

A、物體在陽光下的投影只與物體的高度有關

B、小明的個了比小亮高，我們可以肯定，不論什么情況，小明的影了??定比小亮的影了?

長.

C、物體在陽光照射下，不同時刻，影長可能發生變化，方向也可能發生變化.

D、物體在陽光照射下，影子的長度和方向都是固定不變的.

12.關于盲區的