專題10平行線的性質定理（2大考點+8種題型）思維導圖核心考點與題型分類聚焦考點一：平行線的性質定理考點二：綜合應用題型一：兩直線平行同位角相等題型二：兩直線平行內錯角相等題型三：兩直線平行同旁內角互補題型四：根據平行線的性質探究角的關系題型五：根據平行線的性質求角的度數題型六：根據平行線判定與性質求角度題型七：根據平行線判定與性質證明題型八：利用平行線間距離解決問題考點一：平行線的性質定理（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡記為：兩直線平行，同位角相等．（2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；簡記為：兩直線平行，內錯角相等．（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補； 簡記為：兩直線平行，同旁內角互補．考點二：綜合應用1．三個距離：兩點之間的距離；點到直線、射線、線段的距離；平行線間的距離．2．幾種角：余角：∠1+∠2=90°，補角：∠1+∠2=180°；鄰補角：∠1+∠2=180°(有一條公共邊和公共頂點)；對頂角；同位角、內錯角、同旁內角．3．可以用來推理的依據：同角的余角相等，同角的補角相等；對頂角相等；鄰補角的意義；角平分線的意義；垂直的意義；判定平行線的三個方法：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；平行線的三個性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；垂直于同一條直線的兩條直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；平行線間的距離處處相等；等量代換；等式的性質．4．幾個基本性質兩點之間，垂線段最短；垂線段最短；經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；經過直線外的一點有且只有一條直線平行于已知直線．題型一：兩直線平行同位角相等【例1】．（2023下·上海·七年級期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，還在原來的方向上平行前進，那么這兩次拐彎的角度應是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【變式1】．（2022下·七年級單元測試）如圖，將矩形紙條折疊，折痕為，折疊后點C，D分別落在點，處，與交于點G．已知，則的度數是（

）

A． B． C． D．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級統考期末）已知：如圖，，三角尺的直角頂點在直線b上，，的度數為．

【變式3】．（2021下·上海閔行·七年級校考期中）如圖，已知，垂足分別為點D、G，且，請說明與相等的理由．

【變式4】．（2021下·上海松江·七年級校考期中）已知：如圖，線、線是直線，，，．試說明．解：∵（已知），∴_________（

），∴（已知），∴_________（

），∵（已知），∴（

），即_________，∴_________（

），∴（

）．

【變式5】．（2022下·上海·七年級上外附中校考期末）如圖，已知∠B＝∠F，∠BAC+∠ADE＝180°，說明AFBC的理由．解：因為∠BAC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（______）．所以∠B＝∠______（______）．因為∠B＝∠F（已知），所以∠______＝∠______（______）．所以AFBC（______）．題型二：兩直線平行內錯角相等【例2】．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）如圖，已知，下列說法中正確的是（

）

A． B．C． D．【變式1】．（2022下·上海·七年級上海市文來中學校考期中）如圖：已知，，試說明的理由．【變式2】．（2020下·上海金山·七年級統考期中）如圖，已知，，說明的理由．【變式3】．（2021下·上海·七年級校考期中）如圖，已知，BD//EF，那么∠B與∠1相等嗎？為什么？【變式4】．（2022下·上海·七年級專題練習）已知：如圖，△ABC求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：如圖，作BC的延長線CD，過點C作CE∥AB，∵CE∥AB，∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．題型三：兩直線平行同旁內角互補【例3】．（2023下·上海松江·七年級統考期中）如圖，已知，，，求的度數．（請寫出過程依據）【變式1】．（2023下·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，已知，，，，求的度數．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級校考期中）如圖，已知，，、分別是和的角平分線，試完成下列填空：說明．解：因為（已知）所以（____________）因為（已知）所以______（兩直線平行，同旁內角互補）所以（____________）因為、分別是和的角平分線（已知）所以，（____________）所以______（等式性質）因為（已知）所以（兩直線平行，內錯角相等）所以（____________）所以（____________）【變式3】．（2022下·上海·七年級期中）如圖，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，試說明：∠ABH+∠CHB＝180°．【變式4】．（2022下·上海·七年級校聯考期末）如圖所示，、之間是一座山，一條高速公路要通過、兩點，在地測得公路走向是北偏西如果、兩地同時開工，那么在地按北偏東多少度施工，才能使公路在山腹中準確接通？為什么？題型四：根據平行線的性質探究角的關系【例4】．（2021下·上海·七年級上海市南洋模范初級中學校考期中）如圖，已知，，于點，那么與有什么數量關系？為什么？【變式1】．（2023下·上海·七年級專題練習）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數量關系，并說明理由．【變式2】．（2023下·上海·七年級專題練習）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側，點P是直線EF上一動點（不與點E，F重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關系（不要求證明）．【變式3】．（2023下·七年級單元測試）（1）問題發現：如圖①，直線，連結，可以發現請把下面的證明過程補充完整：證明：過點作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）．（2）拓展探究：如果點運動到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：．（3）解決問題：如圖③，，是與之間的點，直接寫出，，之間的數量關系．【變式4】．（2021下·上海金山·七年級統考期中）已知直線，A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點P．(1)如果P點在C，D之間運動時，問，，有怎樣的數量關系？請說明理由．(2)若點P在C，D兩點的外側運動時（P點與C，D不重合），試探索，，之間的關系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）【變式5】．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，已知直線，直線與直線，分別交于點和點，在直線上存在一點．(1)若點在點與點之間運動，那么，，有怎樣的數量關系？請說明理由．(2)若點在兩點的外側運動（點與點不重合），試探索，，之間的關系（請直接寫出答案）．【變式6】．（2021下·上海靜安·七年級上海市市北初級中學校考期中）已知：四邊形，（如圖1），點P在直線上運動，點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上，若記，，分別為，，．

(1)如圖2，當點P在線段上運動時，寫出，，之間的關系并說出理由．

(2)如果點P在線段的延長線上運動，探究，，之間的關系，并說明理由．【變式7】．（2022下·上海·七年級專題練習）探究并嘗試歸納：(1)如圖1，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線形成一個角∠A，試求∠1+∠2+∠A的度數，請加以說明．(2)如圖2，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線增加一個折，形成兩個角∠A和∠B，請直接寫出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如圖3，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個折，就增加一個角．當形成n個折時，請歸納并寫出所有角與∠1、∠2的總和：【結果用含有n的代數式表示，n是正整數，不用證明】題型五：根據平行線的性質求角的度數【例5】．（2022下·上海·七年級期末）如圖，直線DE經過點A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度數．【變式1】．（2022下·上海寶山·七年級校考階段練習）如圖，已知∠A的兩邊與∠D的兩邊分別平行，且∠D比∠A的3倍少20°，求∠D的度數．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級統考期中）已知：如圖，，度，度，求∠C的度數．【變式3】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）如圖，，，是的角平分線，求的度數．

【變式4】．（2022下·上海·七年級期中）如圖，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，(1)求∠BAC的度數；(2)求∠PAG的度數．【變式5】．（上海普陀·七年級統考期中）如圖，已知，，點P是射線上一動點（與點A不重合），，分別平分和，分別交射線于點C，D．(1)求的度數；(2)當點P運動時，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規律；(3)當點P運動到某處時，，求此時的度數．【變式6】．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）長江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在筆直且平行的長江兩岸河堤上安置了兩盞激光探照燈如下圖所示．光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉．

(1)如果兩燈同時開始轉動，光線和光線旋轉時間為秒，①如圖1，請用含的代數式表示光線轉動的角度，即_________°；用含的代數式表示光線轉動的角度，即_________°．②如圖2，當光線與光線垂直，垂足為H時，求的值．(2)如果光線先轉動20秒，光線才開始轉動，在光線第一次到達之前，求光線旋轉幾秒時，與光線平行？【變式7】．（2021下·上海·七年級期中）（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．（2）應用：如圖2，ABCD，點在、之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點、分別在直線、上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連接、．若，則度（請直接寫出答案）．【變式8】．（2021下·上海浦東新·七年級校考期中）請回答下列各題．(1)探究：如圖1，AB∥CD∥EF，試說明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)應用：如圖2，AB∥CD，點F在AB、CD之間，FE與AB交于點M，FG與CD交于點N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，則∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如圖3，直線CD在直線AB、EF之間，且AB∥CD∥EF，點G、H分別在直線AB、EF上，點Q是直線CD上的一個動點，且不在直線GH上，連結QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ＋∠EHQ＝度（請直接寫出答案）．【變式9】．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數量關系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大小．題型六：根據平行線判定與性質求角度【例6】．（2022下·上海·七年級期末）閱讀并填空：如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度數．解：因為∠1＝∠3（已知），所以_______（同位角相等，兩直線平行）．所以∠2______．因為∠2＝57°（已知），所以______＝57°（等量代換）．因為∠4+_____＝180°（鄰補角的意義），所以∠4＝_____°（等式性質）．【變式1】．（2023下·上海·七年級統考期中）如圖，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點E作，得（）因為（已知）（所作）所以（）．得（兩直線平行，同旁內角互補）所以．（等式性質）即．因為（已知）所以．（等式性質）【變式2】．（2023下·上海松江·七年級統考期末）如圖，已知點分別在的邊上，，，，求：的度數．

【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，燈A射線自順時針旋轉至便立即回轉至原位置，燈B射線自順時針旋轉至便立即回轉至原位置，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A、燈B每秒分別轉動、，且a，b滿足．已知，且．(1)求a，b的值；(2)如果兩燈同時轉動，在燈A射線第一次轉到之前，兩燈射出的光線交于點C，且，求的度數；(3)如果燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達之前，A燈轉動幾秒．兩燈的光線互相平行？【變式4】．（2022下·上海楊浦·七年級校考期中）已知：直線分別與直線，相交于點，，平分，，，分別為直線和線段上的點．(1)如圖，平分，若，求的度數．(2)如圖，平分交于點，于點，當在直線上運動（不與點重合）時，探究與的關系，并證明你的結論．【變式5】．（2022下·上海寶山·七年級校考階段練習）已知AB∥CD，點M為平面內的一點，∠AMD＝90°．(1)當點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數量關系（寫出說理過程）；(2)當點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數量關系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．題型七：根據平行線判定與性質證明【例7】．（2023下·上海楊浦·七年級統考期末）如圖，已知，．試說明的理由．

【變式1】．（2023下·上海奉賢·七年級校考期中）請將下列證明過程補充完整：如圖，于D，于G，，說明平分的理由．

證明：因為于D，于G（已知）所以（_________________）所以（_________________）所以（_________________）所以_________（_________________）又因為（已知）所以___________．（等量代換）所以平分．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級校考期中）如圖，已知，，．說明的理由．

【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，，，直線與，的延長線分別交于點E、F，試說明：．

【變式4】．（2023下·上海寶山·七年級校考期中）如圖，已知，，垂足分別為點，，試說明的理由．

【變式5】．（2023下·上海普陀·七年級統考期末）已知：如圖，在中，點D、G分別在邊、上，且，F在的延長線上，E在上，如果，說明的理由．

解：因為（已知），所以（______）所以______（______）．因為______（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）．因為（已知），所以______（等式性質）．所以（等量代換）．【變式6】．（2023下·上海楊浦·七年級統考期末）如圖，已知，，，試說明的理由．

解：因為（已知），所以（______）．因為（已知），所以______（______）．因為（已知），所以（______）即．所以______．所以（______）．【變式7】．（2021下·上海浦東新·七年級上海市建平實驗中學校考期中）（1）如圖a所示，，且點E在射線與之間，請說明的理由．（2）現在如圖b所示，仍有，但點E在與的上方．請嘗試探索，，三者的數量關系．并說明理由．【變式8】．（2023下·上海松江·七年級統考期中）填空，并把證明過程補充完整．如圖，已知中，、、分別是、、邊上的點，點是線段上的點，且，求證：．證明：點是線段上的點，______，已知，______．請補充證明過程，并寫出過程依據【變式9】．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）如圖，已知在中，為邊上一點，，交邊于點，且，，請說明的理由．

解：因為（已知），所以_________（__________________）．即_________．因為（已知），所以_________（兩直線平行，同位角相等）．因為（已知），所以_________（等量代換）．所以（__________________）．題型八：利用平行線間距離解決問題【例8】．（2023下·上海楊浦·七年級統考期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知直線，點A、B在直線上，點C、D在直線上，與交于點E．與的面積相等嗎？為什么？

解：作，垂足為，作，垂足為．又因為（已知），所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【變式】．（上海黃浦·七年級統考期中）（1）如圖1，已知直線，在直線上取兩點，為直線上的兩點，無論點移動到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請問應該怎么改進呢？寫出設計方案，并在圖中畫出相應圖形并簡述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區域為王爺爺的，右邊區域為李爺爺的。現在準備把兩家田地之間的小路改為直路，請你用有關的幾何知識，按要求設計出修路方案，并在圖中畫出相應的圖形，說明方案設計理由。（不計分界小路與直路的占地面積）．

一、單選題1．（2023下·上海·七年級統考期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定的是（

）

A．； B．； C．； D．.2．（2023下·上海浦東新·七年級上海市進才中學校考期末）如圖，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余的角共有（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個3．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角的大小可能（

）A．相等或互補 B．相等 C．互補 D．以上都不對4．（2023下·上海·七年級期中）如圖，，a、b被c所截，得到的依據是（）A．兩直線平行，同位角相等B．兩直線平行，內錯角相等C．同位角相等，兩直線平行D．內錯角相等，兩直線平行5．（2023下·上海浦東新·七年級校考期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，其中，，，當且點在直線的上方時，如果三角板的直角邊與邊平行，那么的度數為（

）．

A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或1206．（2023下·上海·七年級期中）如圖，若，用含、、的式子表示x，應為（）A． B． C． D．二、填空題7．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）如圖，已知直線被直線所截，，且，，那么°．

8．（2023下·上海徐匯·七年級統考期末）如圖，已知，點P是直線上的點，，，那么的度數是度．

9．（2023下·上海寶山·七年級統考期末）如圖，直線、被直線所截，如果，，那么．

10．（2023下·上海虹口·七年級上外附中校考期末）如圖，，則∠B、∠C、∠D的關系是．

11．（2021下·上海松江·七年級校考期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的是，第二次拐彎處的角是，第三次拐彎處的是，這時道路恰好是和第一次拐彎之前的道路平行，則．12．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，于A點，過A點作，若，則．13．（2023下·上海·七年級統考期中）如圖，已知，平分，，那么．

14．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）如圖，在梯形中，，點分別在邊上，如果，，那么．

15．（2023下·上海閔行·七年級統考期末）我們規定車輛在轉彎時的轉彎角是車輛原行駛路線與轉彎后路線所成的角的外角．如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時，在點B、C和D處的轉彎角分別是、和，且，則、和之間的數量關系是．

16．（2023下·上海徐匯·七年級統考期末）如圖，已知船在觀測站的北偏東方向上，且在觀測站的北偏西方向上，那么的度數是．

17．（2023下·上海浦東新·七年級校考期中）如圖，直線，、、、之間的數量關系是．

18．（2021下·上海徐匯·七年級校考期中）已知，如圖，四邊形中，，點E在線段上，為線段上一點，過點作，交直線于點．將沿翻折，使點的對應點落在線段上，當時，的度數是．

三、解答題19．（2023下·上海閔行·七年級統考期中）已知：如圖，與互補，，試說明．解：因為與互補所以（）所以（）又因為（）所以（等式性質）即所以（）所以（）20．（2023下·上海松江·七年級統考期中）如圖，已知，請你說明為什么．解：______（請添寫輔助線說明），所以______，因為已知，即，所以__