專題09三線八角及平行線的判定（4大考點+7種題型）思維導圖核心考點與題型分類聚焦考點一：同位角、內錯角、同旁內角(三線八角)考點二：平行線的定義考點三：平行線的基本性質考點四：平行線的三種判定方法題型一：同位角、內錯角、同旁內角題型二：平面內兩直線的位置關系題型三：用直尺、三角板畫平行線題型四：平行線基本性質的應用題型五：同位角相等兩直線平行題型六：內錯角相等兩直線平行題型七：同旁內角互補兩直線平行考點一：同位角、內錯角、同旁內角(三線八角)若直線a，b被直線所截：（1）同位角：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側的位置的角叫做同位角．（如）（2）內錯角：兩個角分別在截線的兩側，且在兩條直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角．（如）（3）同旁內角：兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內角．（如）112345678注意：三線八角是位置關系，數量上沒有確定的關系．考點二：平行線的定義同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線．考點三：平行線的基本性質（1）經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；（2）平行線之間的距離處處相等；（3）平行于同一條直線的兩直線平行（平行的傳遞性）．（4）同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行．（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離，平行線間的距離處處相等．考點四：平行線的三種判定方法兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單地說，同位角相等，兩直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單地說，內錯角相等，兩直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單地說，同旁內角互補，兩直線平行．題型一：同位角、內錯角、同旁內角【例1】．（2023下·上海普陀·七年級統考期中）如圖，的同位角是（

）

A． B． C． D．【變式1】．（2022下·上海閔行·七年級上海市七寶中學校考期中）下列圖形中，和是同位角的圖有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）如圖所示的5個角中，內錯角有對，同旁內角有對．

【變式3】．（2022下·上海楊浦·七年級校考期中）如圖：與成內錯角的是；與成同旁內角的是．【變式4】．（2023下·上海松江·七年級統考期中）如圖，一共有對同旁內角．題型二：平面內兩直線的位置關系【例2】．（2022下·上海·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．不相交的兩條直線叫做平行線B．同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直C．平角是一條直線D．過同一平面內三點中任意兩點，只能畫出3條直線【變式1】．（2023下·七年級單元測試）下列說法中，正確的個數是（

）．①兩條不相交的直線叫平行線；②經過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③連接兩點間的線段叫做兩點間的距離；④如果直線，，那么；⑤在同一平面內，如果直線，，那么．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】．（2021下·上海浦東新·七年級校考期中）下列說法中正確的是（

）A．同一平面內，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線B．過一點有且只有一條線平行于已知直線C．兩條直線的位置關系是相交、平行、垂直D．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離題型三：用直尺、三角板畫平行線【例3】．（2022下·上海靜安·七年級統考期中）按下列要求畫圖并填空

已知直線AB、CD相交于點O，點P為這兩條直線外一點

(1)過點P畫直線PE⊥AB，垂足為E(2)過點P畫直線PF⊥CD，垂足為F(3)過點P畫直線PM∥AB，交CD于點M(4)點P到直線CD的距離是線段的長(5)直線PM與AB間的距離是線段的長【變式1】．（2021下·上海奉賢·七年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，根據下列要求作圖并回答問題．(1)過點C畫直線lAB；(2)過點A分別畫直線BC和直線l的垂線段，垂足分別為點D、E，AE交BC千點F；(3)線段的長度是點A到BC的距離．（不要求寫畫法，只需寫出結論即可）【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）如圖，在中，

(1)畫出點A到邊的垂線，垂足為D．(2)過點A作的平行線．(3)點A到直線的距離是線段______的長度．【變式3】．（2021下·上海寶山·七年級校考期中）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C都在格點上．

(1)找一格點D，使得直線，畫出直線．(2)找一格點E，使得直線于點F，畫出直線，并注明垂足．題型四：平行線基本性質的應用【例4】．（2021下·上海靜安·七年級上海市市西初級中學校考期中）下列說法中，正確的是（

）A．點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線段B．點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線的長度C．在同一平面內，經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線D．在同一平面內，經過一點有且只有一條直線平行于已知直線【變式1】．（2021下·上海浦東新·七年級期中）下列語句正確的個數是（）（1）經過平面內一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）經過平面內一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（4）在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線也互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】．（2021下·上海楊浦·七年級統考期中）下列說法中，正確的有（）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②從直線外一點到直線的垂線段叫做點到直線的距離；③兩平行線間距離處處相等；④平行于同一直線的兩直線互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3】．（2022下·上海·七年級上外附中校考期末）已知直線a、b、c，滿足，，那么直線b、c的位置關系是．題型五：同位角相等兩直線平行【例5】．（2023下·上海虹口·七年級上外附中校考期末）下列各圖中，已知，則可以得到的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1】．（2023下·七年級單元測試）如圖，，，若使，則可將直線b繞點A逆時針旋轉度．【變式2】．（2022下·上海松江·七年級校考期中）如圖，已知，平分，平分，且，請填寫說明DE∥BF的理由的依據．解：因為平分，平分（已知）所以，（______）因為（已知）所以（______）因為（______）所以（______）所以DEBF（______）【變式3】．（2023下·上海徐匯·七年級上海市第二初級中學校考階段練習）如圖，已知平分平分，且，說明的理出．

解：平分（已知），，（

）．同理，又，（已知）______________，又（已知），______________（

），（

）．【變式4】．（2021下·上海靜安·七年級上海市市北初級中學校考期中）如圖，，和分別平分和，，請完成的說理過程．

解：和分別平分和（已知），（

）又（已知）____________（等量代換）（已知）________________________（等量代換）（

）．【變式5】．（2021下·上海徐匯·七年級校考期中）如圖所示，已知，垂足為，，垂足為，，試說明直線與平行．

解∶∵，垂足為B，垂足為D，(已知)，∴____，____(_____)即，，又∵(___)，∴____=____(___)，∴(___)．【變式6】．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線，相交于點，平分，平分，，垂足為，那么，請說明理由．題型六：內錯角相等兩直線平行【例6】．（2022下·上海·七年級專題練習）如圖，能推斷的是（）A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠3＝∠1+∠2【變式1】．（2022下·上海·七年級上海市文來中學校考期中）如圖所示，已知，，，下列條件中，能得到AB∥CD的是（

）A． B． C． D．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）如圖，下列推論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式3】．（2022下·上海寶山·七年級校考階段練習）如圖所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么∥，判斷依據是．【變式4】．（2022下·上海·七年級專題練習）如圖，點在上，已知，平分，平分．請說明的理由．解：因為(已知)，(______)，所以(______)．因為平分，所以(______)．因為平分，所以______，得(等量代換)，所以______(______)．【變式5】．（2021下·上海靜安·七年級上海市市北初級中學校考期中）如圖：已知直線與相交于點O，，，試說明的理由．

【變式6】．（2022下·上海·七年級專題練習）已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2．求證：BE∥CF．證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC（已知）∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°（）即∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°又∵∠1＝∠2（）∴＝（）∴BE∥CF（）【變式7】．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線、交于點O，，分別平分和，已知，且．(1)求的度數；(2)試說明的理由．題型七：同旁內角互補兩直線平行【例7】．（2023下·陜西西安·七年級校考期中）如圖，已知，，直線和平行嗎？為什么？AI【變式1】．（2023上·黑龍江綏化·七年級校考階段練習）請將下列證明過程補充完整：已知：如圖，平分，平分，且求證：．證明：∵平分，∴．∵平分（已知），∴______（角的平分線的定義）．∴（______）．即．∵（已知），∴______（______）．∴（______）．【變式2】．（2022下·上海·七年級階段練習）如圖：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么圖中哪兩條直線平行？為什么？解：∵∠1＝∠3（），∠1＝120°（已知）∴∠3＝（）∵∠2＝60°（已知）∴∠3+∠2＝180°（）∴∥（）【變式3】．（2022下·上海·七年級專題練習）如圖，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，請說明AB//EF的理由．【變式4】．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考階段練習）如圖，的平分線交于E，交于點F，且．

(1)試說明：．(2)若，求的度數．一、單選題1．（2024下·全國·七年級假期作業）下列說法正確的是（

）A．兩條不相交的直線是平行線B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行C．平行于同一條直線的兩條直線平行D．在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交、垂直三種2．（2024下·全國·七年級假期作業）下列各圖中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·黑龍江綏化·七年級校考階段練習）如圖，如果與、與分別互補，那么（

）A． B． C． D．4．（2023下·七年級課時練習）如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023上·四川巴中·七年級四川省巴中中學校考階段練習）如圖所示，有下列五種說法：①和是同位角；②和是內錯角；③和是同旁內角；④和是同位角；⑤和是同旁內角；其中正確的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤6．（2024下·全國·七年級假期作業）已知與是同旁內角．若，則的度數是（

）A． B． C．或 D．不能確定二、填空題7．（2023上·江蘇·七年級專題練習）如果，那么．8．（2023下·黑龍江綏化·七年級校考期中）如圖，的同旁內角是，的內錯角是，的同位角是．

9．（2023下·山東濟寧·七年級統考期中）如圖，在，，，，和中，同位角對數為a，內錯角對數為b，同旁內角對數為c，則．

10．（2023下·黑龍江牡丹江·七年級統考期末）如圖，寫出能判定的一個條件（寫出一個即可）．11．（2024下·全國·七年級假期作業）小友把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊，在同一條直線上，可以得到．12．（2023上·吉林長春·七年級校考期末）一節數學實踐課上，老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線、，并要說出自己做法的依據．小奇、小妙兩位同學的做法如圖：小奇說：“我做法的依據是：同位角相等，兩直線平行．”則小妙做法的依據是．13．（2023上·黑龍江綏化·七年級校考階段練習）如圖，對于下列條件：①；②；③；④；其中一定能判定的條件有（填寫所有正確條件的序號）．14．（2023下·河南焦作·七年級校考階段練習）如圖，有下列說法：①能與構成同旁內角的角的個數有2個，②能與構成同位角的角的個數有2個；③能與構成同旁內角的角的個數有4個。其中正確結論的序號是.

三、解答題15．（2021下·福建龍巖·七年級龍巖初級中學校考階段練習）如圖，如果，求證：；．觀察下面的解答過程，補充必要的依據或結論．

證明：∵（已知），（______________），∴（_______________），又∵（已知），∴（____________）（等式的性質）∴（_______________）又∵（_____________），∴（等式的性質）∵（已知），∴，∴（___________________________）16．（2022上·黑龍江綏化·七年級統考期末），，．與平行嗎？為什么？

解：．，，即．又，且，∴．理由是：．