高級中學名校試卷PAGEPAGE3河北省保定市十校2024屆高三三模數學試題一、選擇題1.已知復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗設，則.因為，則，可得，解得，即，所以復數在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A.2.已知橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.3.若集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，當時，，符合，當時，由，解得，所以，因為，所以，解得.綜上可得的取值范圍為.故選：D4.設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當時，可能在內或者內，故不能推出且，所以充分性不成立；當且時，設存在直線，，且，因為，所以，根據直線與平面平行的性質定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件.故選：C.5.三人被邀請參加同一個時間段兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（）A.8種 B.12種 C.16種 D.24種〖答案〗B〖解析〗第一種情況，只有兩人參加晚會，有種去法；第二種情況，三人參加晚會，有種去法，共12種去法.故選：B.6.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（）A.為直角三角形 B.為銳角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無法確定〖答案〗A〖解析〗由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因為，所以，.故選：A.7.已知0是函數的極大值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，令，可得或，當，即時，令，得或；令，得；所以，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，滿足題意；當，即時，恒成立，則在上單調遞增，沒有極值點，不滿足題意；當，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值點，不滿足題意；綜上，，即的取值范圍為.故選：A.8.假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，則，所以是首項為和公差均為的等差數列，所以，所以，所以.故選：C.二、選擇題9.已知函數，則（）A.是偶函數； B.是周期為的周期函數；C.在上單調遞增； D.的最小值為.〖答案〗AD〖解析〗因為，所以是偶函數，故A正確；易知，故B錯誤；當時，，因為，所以在上單調遞減，又單調遞增，所以在上單調遞減，故C錯誤；易知，所以是周期為的周期函數，當時，，顯然時，時，則的最小值為，故D正確.故選：AD10.設，是雙曲線的兩條漸近線，若直線與直線關于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由題可知經過第二、四象限，經過第一、三象限，設的傾斜角為.當時，則，即，，即，所以.當時，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：CD.11.在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（）A.存在某個位置，使得B.存在某個位置，使得直線平面C.四棱錐體積的最大值為D.當時，線段長度的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗設點A在平面上的投影為，即，而當時，平面，所以平面，平面，所以，這種情況顯然存在，故A正確；若平面，平面，平面平面，所以，顯然矛盾，故B錯誤；設，，則點A到的距離為，，，要使得四棱錐的體積最大，則，此時四棱錐的體積，，在上單調遞減，且當時，.令，，則，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故，即四棱錐體積的最大值為，C正確.過A，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，，又，所以.因為二面角的大小為，所以與的夾角為120°.設，，則，，，，，所以，所以.故當時，有最小值28，故線段長度的最小值為，D正確.故選：ACD三、填空題12.的展開式中的系數為___________.〖答案〗〖解析〗由，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數為.故〖答案〗為：.13.已知奇函數的定義域為，，且，則在上的零點個數的最小值為___________.〖答案〗9〖解析〗由，可得的圖象關于點對稱，又是奇函數，所以，則的周期為3，所以，，而，則.故在上的零點個數的最小值為9.故〖答案〗為：9.14.設，則的最大值為___________.〖答案〗2〖解析〗設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故〖答案〗為：2.四、解答題15.已知，函數的圖象在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因，所以，則.因為，所以切點坐標為，所以的圖象在點處的切線方程為.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上單調遞增.令，解得，所以在上單調遞減，又，，，所以在上的值域為.16.教練統計了甲12次投籃訓練的投籃次數和乙8次投籃訓練的投籃次數，得到如下數據：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投籃次數的方差，乙8次投籃次數的方差.（1）求這20次投籃次數的平均數與方差.（2）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.已知第一次投籃的人是甲，且甲、乙總共投籃了3次，表示甲投籃的次數，求的分布列與期望.解：（1）甲12次投籃次數的平均數，乙8次投籃次數的平均數.這20次投籃次數的平均數，方差.（2）的可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列為123.17.如圖，在三棱柱中，,四邊形為菱形，，.（1）證明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.（1）證明：設為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為菱形，即.（2）解：因為平面平面，且平面平面，，所以平面；以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設.則，，，，，可得，，.設平面的法向量為，則令，則，，可得.設平面的法向量為，則令，則，，可得.，故二面角的正弦值為.18.“完全數”是一類特殊的自然數，它的所有正因數的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數”需要用到函數，記函數，為的所有正因數之和.（1）判斷28是否為完全數，并說明理由.（2）已知，若為質數，證明：為完全數.（3）已知，求，的值.（1）解：28的所有正因數為1，2，4，7，14，28，因為，所以28是完全數.（2）證明：的正因數為，，，，，，，，，，，所以為完全數.（3）解：的正因數為，，，，，，，，，，，，，，，，所以.因為，所以.19.已知為坐標原點，經過點的直線與拋物線交于，（，異于點）兩點，且以為直徑的圓過點.（1）求的方程；（2）已知，，是上的三點，若為正三角形，為的中心，求直線斜率的最大值.解：（1）設，，，聯立方程得，則，.因為以為直徑的圓過點，所以，則，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）設，，.不妨設，，按逆時針順序排列.①當有一邊斜率不存在時，另一頂點為，不妨設，則，.與拋物線的方程聯立得，，中心.②當三邊的斜率都存在時，，.又，所以，化簡可得，同理可得，，三式相加得.因為，，是上的三點，所以，又，所以.設，則，，代入上式得.又①也滿足，所以的軌跡方程為.當，直線的斜率為，當且僅當時，直線的斜率取得最大值.當時，直線的斜率.綜上，直線斜率的最大值為.河北省保定市十校2024屆高三三模數學試題一、選擇題1.已知復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗設，則.因為，則，可得，解得，即，所以復數在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A.2.已知橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.3.若集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，當時，，符合，當時，由，解得，所以，因為，所以，解得.綜上可得的取值范圍為.故選：D4.設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當時，可能在內或者內，故不能推出且，所以充分性不成立；當且時，設存在直線，，且，因為，所以，根據直線與平面平行的性質定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件.故選：C.5.三人被邀請參加同一個時間段兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（）A.8種 B.12種 C.16種 D.24種〖答案〗B〖解析〗第一種情況，只有兩人參加晚會，有種去法；第二種情況，三人參加晚會，有種去法，共12種去法.故選：B.6.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（）A.為直角三角形 B.為銳角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無法確定〖答案〗A〖解析〗由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因為，所以，.故選：A.7.已知0是函數的極大值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，令，可得或，當，即時，令，得或；令，得；所以，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，滿足題意；當，即時，恒成立，則在上單調遞增，沒有極值點，不滿足題意；當，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值點，不滿足題意；綜上，，即的取值范圍為.故選：A.8.假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，則，所以是首項為和公差均為的等差數列，所以，所以，所以.故選：C.二、選擇題9.已知函數，則（）A.是偶函數； B.是周期為的周期函數；C.在上單調遞增； D.的最小值為.〖答案〗AD〖解析〗因為，所以是偶函數，故A正確；易知，故B錯誤；當時，，因為，所以在上單調遞減，又單調遞增，所以在上單調遞減，故C錯誤；易知，所以是周期為的周期函數，當時，，顯然時，時，則的最小值為，故D正確.故選：AD10.設，是雙曲線的兩條漸近線，若直線與直線關于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由題可知經過第二、四象限，經過第一、三象限，設的傾斜角為.當時，則，即，，即，所以.當時，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：CD.11.在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（）A.存在某個位置，使得B.存在某個位置，使得直線平面C.四棱錐體積的最大值為D.當時，線段長度的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗設點A在平面上的投影為，即，而當時，平面，所以平面，平面，所以，這種情況顯然存在，故A正確；若平面，平面，平面平面，所以，顯然矛盾，故B錯誤；設，，則點A到的距離為，，，要使得四棱錐的體積最大，則，此時四棱錐的體積，，在上單調遞減，且當時，.令，，則，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故，即四棱錐體積的最大值為，C正確.過A，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，，又，所以.因為二面角的大小為，所以與的夾角為120°.設，，則，，，，，所以，所以.故當時，有最小值28，故線段長度的最小值為，D正確.故選：ACD三、填空題12.的展開式中的系數為___________.〖答案〗〖解析〗由，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數為.故〖答案〗為：.13.已知奇函數的定義域為，，且，則在上的零點個數的最小值為___________.〖答案〗9〖解析〗由，可得的圖象關于點對稱，又是奇函數，所以，則的周期為3，所以，，而，則.故在上的零點個數的最小值為9.故〖答案〗為：9.14.設，則的最大值為___________.〖答案〗2〖解析〗設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故〖答案〗為：2.四、解答題15.已知，函數的圖象在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因，所以，則.因為，所以切點坐標為，所以的圖象在點處的切線方程為.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上單調遞增.令，解得，所以在上單調遞減，又，，，所以在上的值域為.16.教練統計了甲12次投籃訓練的投籃次數和乙8次投籃訓練的投籃次數，得到如下數據：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投籃次數的方差，乙8次投籃次數的方差.（1）求這20次投籃次數的平均數與方差.（2）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.已知第一次投籃的人是甲，且甲、乙總共投籃了3次，表示甲投籃的次數，求的分布列與期望.解：（1）甲12次投籃次數的平均數，乙8次投籃次數的平均數.這20次投籃次數的平均數，方差.（2）的可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列為123.17.如圖，在三棱柱中，,四邊形為菱形，，.（1）證明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.（1）證明：設為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面平面，