復習09概率一、隨機抽樣1.統計的相關概念名稱定義總體調查對象的全體稱為整體個體組成整體的每一個調查對象稱為個體樣本從總體中抽取的那部分個體稱為樣本一、有限樣本空間與隨機事件1.隨機試驗我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,常用字母表示.隨機試驗具有以下特點:（1）試驗可以在相同條件下重復進行;（2）試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個;（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但事先不能確定出現哪一個結果.2.試驗的樣本點和樣本空間項目定義字母表示樣本點我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點用表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間用表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有個可能結果則稱樣本空間為有限樣本空間3.三種事件的定義隨機事件我們將樣本空間的子集稱為隨機事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母表示.在每次試驗中,當且僅當中某個樣本點出現時,稱為事件發生必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發生,所以總會發生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發生,我們稱為不可能事件二、事件的關系和運算1.事件的包含關系定義一般地,若事件發生,則事件一定發生,我們就稱事件包含事件(或事件包含于事件)含義發生導致發生符號表示(或)圖形表示特殊情況如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,則稱事件與事件相等,記作2.并事件(或和事件)定義一般地,事件與事件至少有一個發生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中,或者在事件中,我們稱這個事件為事件與事件的并事件(或和事件)含義與至少有一個發生符號表示(或)圖形表示3.交事件(或積事件)定義一般地,事件與事件同時發生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件中,也在事件中,我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件(或積事件)含義與同時發生符號表示(或)圖形表示4.互斥事件(或互不相容事件)定義一般地,如果事件與事件不能同時發生,也就是說是一個不可能事件,即,則稱事件與事件互斥(或互不相容)含義與不能同時發生符號表示圖形表示5.對立事件定義一般地,如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為含義與有且僅有一個發生符號表示,圖形表示三、古典概型及概率性質1.概率對隨機事件發生可能性大小的度量(數值),稱為事件的概率,事件的概率用表示.2.古典概型一般地,如果隨機試驗的樣本空間的樣本點只有有限個(簡稱為有限性),而且可以認為每個樣本點發生的可能性相等(簡稱等可能性),則稱這樣的隨機試驗為古典概型試驗,其數學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.3.古典概型概率公式一般地,設試驗是古典概型,樣本空間包含個樣本點,事件包含其中的個樣本點,則定義事件的概率，其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數.4.概率的基本性質一般地,概率具有如下性質:性質1:對任意的事件,都有.性質2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即.性質3:如果事件與事件互斥,那么.如果事件兩兩互斥,那么事件發生的概率等于這個事件分別發生的概率之和,即性質4:如果事件和事件互為對立事件,那么性質5:如果,那么.性質6:設是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有.四、相互獨立對任意兩個事件與,如果成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.（1）如果與相互獨立,則與，與，與也相互獨立.（2）與相互獨立事件有關的概率的計算公式如下表:事件相互獨立概率計算公式同時發生同時不發生至少有一個不發生至少有一個發生恰有一個發生五、頻率與概率1.頻率的穩定性大量試驗證明,在任何確定次數的隨機試驗中,一個隨機事件發生的頻率具有隨機性.一般地,隨著試驗次數的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率.我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此,我們可以用頻率估計概率2.隨機模擬1.隨機數與偽隨機數像彩票搖獎那樣,把10個質地和大小相同的號碼球放入搖獎器中,充分攪拌后搖出一個球,這個球上的號碼就稱為隨機數.計算器或計算機產生的隨機數是按照確定的算法產生的,具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機數的性質,因此計算器或計算機產生的隨機數不是真正的隨機數,我們稱為偽隨機數.2.產生隨機數的常用方法：①用計算器產生;②用計算機產生;③抽簽法.3.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產生的隨機數來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的頻率來估計概率,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.考點01 事件的分類及表示【方法點撥】用樣本點表示隨機事件,首先弄清試驗的樣本空間,不重不漏列出所有的樣本點.然后找出滿足隨機事件要求的樣本點,從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件.【例1】下列事件中，必然事件的個數是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在標準大氣壓下，水在時結冰；③從標有1，2，3，4的4張號簽中任取一張，恰為1號簽；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】對于①，因為2028年8月18日，不能確定北京市是否下雨，所以2028年8月18日，北京市不下雨為隨機事件，故為隨機事件；對于②，在標準大氣壓下，水在結冰而不是在時結冰，故為不可能事件；對于③，因為從標有1,2,3,4的4張號簽中任取一張，不能確定是否為1號簽，所以從標有1,2,3,4的4張號簽中任取一張，恰為1號簽，故為隨機事件；對于④，因為向量的模大于等于0，所以向量的模不小于0，故為必然事件.綜上：①③為隨機事件，②為不可能事件，④為必然事件．故選：B.【例2】指出下列試驗的條件和結果：(1)某人射擊一次命中的環數；(2)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，任取1個球；(3)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，一次任取2個球．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）條件為射擊一次；結果為命中的環數：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11種．（2）條件為從袋中任取1個球；結果為，，，，共4種．（3）條件為從袋中一次任取2個球；若記表示一次取出的2個球是和，則試驗的全部結果為，，，，，，共6種．【變式11】下列事件中，確定性現象的個數為（

）①三角形內角和為；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內角和小于；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【詳解】對①：三角形內角和為，故為確定性現象；對②：三角形中大邊對大角，大角對大邊，故為確定性現象；對③：對任意兩內角的和可能小于，也可能等于，或大于，故為隨機現象；對④：三角形中任意兩邊的和大于第三邊，故為確定性現象．所以確定性現象的個數為3.故選：C.【變式12】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；(5)科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現．【答案】(1)隨機事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)隨機事件(5)不可能事件【詳解】（1）購買一注福利彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件.（2）所有三角形的兩邊之和大于第三邊，所以是必然事件.（3）空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存下去，所以是不可能事件.（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四張標簽中任一張，所以是隨機事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現，所以是不可能事件.【變式13】甲、乙兩人做出拳游戲（錘、剪、布），用表示結果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳.(1)寫出樣本空間；(2)用集合表示事件“甲贏”；(3)用集合表示事件“平局”.【答案】(1){(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}(2){(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}(3){(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}【詳解】（1）＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．（2）記“甲贏”為事件A，則{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．（3）記“平局”為事件B，則{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．考點02 事件的關系和運算【方法點撥】（1）事件的包含與相等可以從集合的角度理解,事件的包含關系就是集合間的子集與真子集的關系；（2）進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現的全部結果,必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.【例3】（多選）拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】記{有枚硬幣正面向上}，，則，對于選項A：因為，故A錯誤；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，故C正確；對于選項D：因為，故D正確；故選：CD.【例4】試驗：連續拋擲一枚骰子2次，觀察每次出現的點數.①事件A表示隨機事件“2次擲出的點數之和為5”；②事件B表示隨機事件“2次擲出的點數之差的絕對值為2”；③事件C表示隨機事件“2次擲出的點數之差的絕對值不超過1”；④事件D表示隨機事件“2次擲出的點數之和為偶數”.試用樣本點表示下列事件，并指出樣本點的個數.(1)(2)(3).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）用（i，j）表示拋擲的結果，其中i表示第一次拋擲的點數，j表示第二次拋擲的點數，則該試驗的樣本空間Ω=（1因為表示“2次擲出的點數之和為5且點數之差的絕對值不超過1”，所以={（2，3），（3，2）}，樣本點的個數為2.（2）因為表示“2次擲出的點數之差的絕對值為2且點數之和為偶數”，所以={（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6，4）}，樣本點的個數為8.（3）因為表示“2次擲出的點數之差的絕對值為2或2次擲出的點數之差的絕對值不超過1”，所以={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1）}，樣本點的個數為24.【變式21】（多選）一批產品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產品中任意抽取5件，給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【詳解】對于A選項，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；對于B選項，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；對于C選項，事件A和B不可能同時發生，即事件，故C錯誤；對于D選項，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯誤．故選：AB．【變式22】擲一枚骰子，下列事件：擲出奇數點，擲出偶數點，點數小于.則①；②.【答案】擲出點擲出點【詳解】因為擲出奇數點，擲出偶數點，點數小于，所以擲出點，擲出點.故答案為：擲出點；擲出點.【變式23】擲一枚骰子，觀察其向上的點數，可能得到以下事件：“出現1點”；“出現2點”；“出現4點”；“出現5點”；“出現的點數不大于1”；“出現的點數小于5”；“出現奇數點”；“出現偶數點”.請判斷下列兩個事件的關系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.【答案】＝【詳解】（1）因為“出現的點數小于5”包含出現1點，出現2點，出現3點，出現4點四種情況，所以事件B發生時，事件H必然發生，故.（2）“出現偶數點”包括出現2點，出現4點，出現6點三種情況，所以事件發生時，事件必然發生，故，（3）“出現奇數點”包括出現1點，出現3點，出現5點三種情況，所以事件發生時，事件必然發生，故.（4）“出現的點數不大于1”只包括出現1點一種情況，即事件A與事件G相等，故.故答案為：，，，＝考點03 古典概型【方法點撥】計算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點的總個數n；②求出事件A所包含的樣本點個數;③代入公式求出概率.【例5】甲、乙、丙三名同學相互做傳球訓練,第一次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一個人,則次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據題意次傳球總的傳球路線種數為種,滿足題意的有:甲乙甲乙甲、甲乙甲丙甲、甲乙丙乙甲、甲丙甲乙甲、甲丙甲丙甲、甲丙乙丙甲,共有種,所以次傳球后球在甲手中的概率為.故選:C.【例6】一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數的前提下，為估計口袋中黃球的個數，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據上述數值，估計口袋中大約有黃球（

）個．A． B． C． D．【答案】B【詳解】設黃球的個數為，由古典概型的概率公式可得，解得.故選：B.【變式31】對數的發明是數學史上的重大事件，它可以改進數字的計算方法、提高計算速度和準確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數x，y，則為整數的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，從集合M，N中各任取一個數x，y，基本事件總數.為整數包含的基本事件有，，，，共4個為整數的概率為.故選：C.【變式32】從集合中任取兩個數，則這兩個數的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從集合中任取兩個數所有可能結果有、、、、、、、、、共個，其中滿足兩個數的和不小于的有、、、、、、、共個，所以這兩個數的和不小于的概率.故選：C【變式33】在①高一或高二學生的概率為；②高二或高三學生的概率為；③高三學生的概率為這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.已知某高中的高一有學生600人，高二有學生500人，高三有學生a人，若從所有學生中隨機抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學生人數的比例情況，從高一和高三的所有學生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人是高三學生的概率.【答案】(1)300(2)【詳解】（1）選①.依題意，從所有學生中隨機抽取1人，抽到高一或高二學生的概率為，解得，所以a的值為300.選②.依題意，從所有學生中隨機抽取1人，抽到高一或高三學生的概率為，解得，所以a的值為300.選③.依題意，從所有學生中隨機抽取1人，抽到高三學生的概率為，解得，所以a的值為300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一?高三學生的人數由（1）知，高一?高三學生人數比為2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出從抽取的6人中任取2人的所有情況高一的4人記為a，b，c，d，高三的2人記為A，B，則從這6人中任取2人的所有情況為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15種.第三步：列出至少有1人是高三學生的情況抽取的2人中至少有1人是高三學生的情況有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9種.第四步：根據古典概型的概率公式得解至少有1人是高三學生的概率為.考點04 互斥與對立的辨別【方法點撥】設事件與所含的結果組成的集合分別為.①若事件件與互斥,則集合;②若事件件與對立,則集合且.【例7】書架上有2本數學書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（

）A．“至少有1本數學書”和“都是語文書”B．“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”D．“至多有1本數學書”和“都是語文書”【答案】C【詳解】對于A：“至少有1本數學書”和“都是語文書”是對立事件，故不滿足題意對于B：“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”可以同時發生，故不滿足題意對于C：“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”互斥但不對立，滿足題意對于D：“至多有1本數學書”和“都是語文書”可以同時發生，故不滿足題意故選：C【點睛】本題考查互斥而不對立的兩個事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，是基礎題．【例8】撲克牌中的秘密撲克牌有54張，52張正牌表示一年有52個星期，2張副牌中的大貓代表太陽，小貓代表月亮；黑桃、紅桃、方塊、梅花表示春、夏、秋、冬四季，紅色牌代表白晝，黑色牌代表黑夜；每一季13個星期與撲克牌每一花色13張正好一致，52張牌的點數相加是364，再加上小貓的一點，是365，與一般年份天數相同；如果再加上大貓的一點，那就正好是閏年的天數.撲克牌的K、Q、J共有12張，既表示一年有12個月，又表示太陽在一年中經過12個星座.現從52張撲克牌（除去大貓和小貓）中任抽1張.問題（1）“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”是不是互斥事件，是不是對立事件？【答案】（1）是互斥事件，不是對立事件；（2）是互斥事件，也是對立事件；（3）不是互斥事件，也不是對立事件.【解析】（1）根據互斥事件和對立事件的定義判斷，“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”不可能同時發生的，不能保證其中必有一個發生；（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”不可能同時發生，但其中必有一個發生；（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，不互斥．【詳解】(1)“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”，即“抽出紅桃”與“抽出方塊”，這是不可能同時發生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“黑桃”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.(2)“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”，即“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們是互斥事件，也是對立事件.(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽出的牌點數為10，因此，二者不是互斥事件，也不是對立事件.【點睛】本題考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎題．緊緊抓住能不能同時發生，以及是否是非此即彼．【變式41】（多選）一個不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中任意取出兩個球.設事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結論錯誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件【答案】ABD【詳解】袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中取出兩個球，取球的方法有如下幾種:①取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球;③取出的兩球一黑一白.事件R包括①③兩種情況，∴事件P是事件R的子事件，故A中結論不正確;事件Q與事件R互斥且對立，故C中結論正確，D中結論不正確;事件P與事件Q互斥，但不對立，故B中結論不正確.故選：ABD.【變式42】一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲一次，設事件表示向上的一面出現奇數點，事件表示向上的一面出現的點數不超過3，事件表示向上的一面出現的點數不小于4，則（

）A．與是互斥而非對立事件 B．與是對立事件C．與是互斥而非對立事件 D．與是對立事件【答案】D【詳解】事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.因為出現點數或，所以與不互斥也不對立.因為，，所以與是對立事件.故選：D【點睛】本題主要考查互斥事件和對立事件，熟練掌握互斥和對立事件的概念為解題的關鍵，屬于簡單題.【變式43】從一堆產品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數與次品件數，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【答案】①不是對立事件；②不是對立事件；③不是對立事件．【詳解】依據互斥事件的定義，即事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發生，因此它們是互斥事件，又因為它們的和事件不是必然事件，所以它們不是對立事件；同理可以判斷②中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件；③中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件．【點睛】本題考查了互斥事件、對立事件，掌握互斥事件與對立事件的關系是解題的關鍵，屬于基礎題.考點05 求互斥事件與對立事件的概率【方法點撥】利用隨機數表進行抽樣的具體步驟:①給總體中的每個個體編號;②在隨機數表中隨機抽取某行【例9】袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個，它們除顏色外完全相同，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.【答案】/0.25/0.25【詳解】設事件A，B，C，D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”，則事件A，B，C，D兩兩互斥，根據題意，得，解得，，，故答案為：，，【例10】若事件為兩個互斥事件，且，有以下四個結論，其中正確的結論是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【詳解】事件為兩個互斥事件，，，故①正確；事件為兩個互斥事件，則，，故②錯誤；，故③正確；，故④正確，綜上，①③④正確，故選：A．【變式51】已知從某班學生中任選兩人參加農場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．【答案】【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.【變式52】擲一枚骰子的試驗中，出現各點的概率均為，事件表示“出現小于5的偶數點”，事件表示“出現小于5的點數”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發生的概率為.【答案】【詳解】依題意可知，事件與事件為互斥事件，且，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了對立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，屬于基礎題.【變式53】為了備戰第33屆夏季奧林匹克運動會（2024法國巴黎奧運會），中國奧運健兒刻苦訓練，成績穩步提升．射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環數的概率如下表：命中環數10環9環8環7環概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環或10環的概率；(2)至少命中8環的概率；(3)命中不足8環的概率．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“射擊一次，射中9環或10環”為事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）設“射擊一次，至少命中8環”的事件為B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環”是事件B：“射擊一次，至少命中8環”的對立事件，即表示事件“射擊一次，命中不足8環”，根據對立事件的概率公式得.考點06 求獨立事件的概率【方法點撥】求相互獨立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據互斥事件的概率計算公式求出結果.【例11】某班元旦晚會中設置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結束；②抽取3次完成游戲為一等獎，抽取4次完成游戲為二等獎.則甲同學獲得二等獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記第i次取到的是紅球為事件，則二等獎的概率為.故選：C【例12】如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】元件都不正常的概率，則元件至少有一個正常工作的概率為，而電路是通路，即元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發生，所以這個電路是通路的概率.故選：B【變式61】學生甲想參加某高中校藍球投籃特長生考試，測試規則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄取；③若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不預錄取.已知學生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設學生甲每次投進與否互不影響.則學生甲共投籃三次就結束考試得概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記事件表示“甲在罰球線處投籃，第次投進”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進，事件表示“甲共投籃三次就結束考試”.則，故選：B【變式62】某疾病全球發病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，未患病者判定為陽性的概率為，患病者判定為陽性的概率為，某人檢測成陽性包含兩種情況：①非患者檢測為陽性的概率為；②患者檢測為陽性的概率為，所以某人檢測成陽性的概率為．故選：D.【變式63】某高校強基計劃入圍有3道面試題目，若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．李想同學答對每道題目的概率都是0.6，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的．(1)求李想第二次答題通過面試的概率；(2)求李想最終通過面試的概率.【答案】(1)0.24；(2)0.936.【詳解】（1）記李想同學第i次抽到題目并答對的事件為，，李想第二次答題通過面試的事件為，，所以李想第二次答題通過面試的概率為0.24.（2）李想沒有通過面試的事件，且，所以李想最終通過面試的概率為.考點07 判斷是否為獨立事件【方法點撥】事件的獨立性的判斷:①定義法:事件相互獨立?；②由事件本身的性質直接判定兩個事件的發生是否相互影響；【例13】盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】D【詳解】依題意得，，，故A項錯誤；，，故B項錯誤；，故C項錯誤；，，故D項正確.故選：D.【例14】下面所給出的兩個事件與相互獨立嗎?(1)拋擲一枚骰子，事件“出現1點”，事件“出現2點”；(2)先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，事件“第一枚出現正面”，事件“第二枚出現反面”；(3)在裝有2紅1綠三個除顏色外完全相同的小球的口袋中，任取一個小球，觀察顏色后放回袋中，事件“第一次取到綠球”，“第二次取到綠球”．【答案】(1)不是相互獨立事件(2)相互獨立(3)相互獨立【詳解】（1）因為，又事件發生，事件就不會發生，即，所以與不是相互獨立事件．（2）擲兩枚質地均勻的硬幣的可能結果為：正正、正反、反正、反反，所以，又，所以，所以與相互獨立．（3）因為，且，所以，所以與相互獨立．或（由于每次取球觀察顏色后放回，故事件的發生對事件發生的概率沒有影響，所以與相互獨立．）【變式71】（多選）有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件：為偶數，：為偶數，C：，則（

）A． B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】ACD【詳解】對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨立，故C正確；對D：，則，故與相互獨立，故D正確；故選：ACD.【變式72】同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數為奇數，事件B：乙骰子點數為偶數，事件C：甲、乙骰子點數相同．下列說法正確的有（

）A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件C相互獨立 D．【答案】BC【詳解】由題意，得，，，對于A，當甲為奇數點，且乙為偶數點時，事件可以同時發生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對立，故A錯誤；對于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨立，故B正確；對于C，，又，故事件A與事件C相互獨立，故C正確；對于D，由上知，，故D錯誤．故選：BC．【變式73】一個袋子中裝有標號為1，2，3，4，5的5個球，除標號外沒有其他差異．(1)采取不放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設事件“兩次摸出球的標號之和大于5”，寫出等可能性的樣本空間并求事件發生的概率；(2)采取有放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設事件“第一次摸出球的標號是奇數”，設事件“第二次摸出球的標號是偶數”，那么事件與事件是否相互獨立？【答案】(1)樣本空間見解析，(2)相互獨立【詳解】（1）5球中不放回的摸出2球，這個實驗的樣本空間，其中，事件，其中所以.（2）5球中不放回的摸出2球，這個實驗的樣本空間，其中，事件，其中，，其中，事件，,所以，，,因為，所以事件與事件相互獨立.考點08 頻率與概率【方法點撥】頻率是事件發生的次數與試驗總次數的比值,利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量,當很大時,頻率總是在一個穩定值附近擺動,這個穩定值就是概率.【例15】兩名同學在一次用頻率估計概率的試驗中統計了某一結果出現的頻率，繪制出統計圖如圖所示，則符合這一結果的試驗是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率；C．轉動如圖所示的轉盤，轉到數字為奇數的概率；D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．【答案】D【詳解】根據統計圖可知，實驗結果在0.33附近波動，即其概率，選項A，擲一枚硬幣，出現正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；選項B，擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率為，故此選項不符合題意；選項C，轉動如圖所示的轉盤，轉到數字為奇數的概率為，故此選項不符合題意；選項D，從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為，故此選項符合題意；故選：D【例16】對一批西裝進行了多次檢查，并記錄結果如下表：抽取件數50100150200300400檢出次品件數579152130檢出次品頻率(1)根據表中數據，計算并填寫每次檢出次品的頻率；(2)從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經驗概率是多少？(3)如果要銷售1000件西裝，至少要額外準備多少件正品西裝以供買到次品的顧客調換？【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.【詳解】（1）利用頻率的計算公式可得，每次次檢出次品的頻率即為當次檢出次品件數除以本次抽取件數，所以從左到右的6次檢測對應的頻率分別為：，，，，，所以，對應的頻率表格如下：抽取件數50100150200300400檢出次品件數579152130檢出次品頻率0.10.070.060.0750.070.075（2）從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經驗概率約為6次檢出次品頻率的穩定值，即，所以抽到次品的經驗概率約為；（3）由（2）可知，銷售1000件西裝大約有件次品，所以，應當準備75件正品西裝以供買到次品的顧客調換.【變式81】一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數目，小明將100顆黑色圍棋子放入其中，充分攪拌后隨機抽出了20顆，數得其中有5顆黑色圍棋子，根據這些信息可以估計白色圍棋子的數目為顆．【答案】300【詳解】設白色圍棋子的數目為n，則由已知可得，解得，即白色圍棋子的數目大約有300顆．故答案為：300.【變式82】欲利用隨機數表從00，01，02，…，59這些編號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機數表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為【答案】10【詳解】從隨機數表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位編號有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4個被抽取的樣本的編號為10.故答案為：10【變式83】某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖所示），并規定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域（不考慮指針落在分界線上的情況）就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統計數據．轉動轉盤的次數n1001502005008001000落在“鉛筆”區域的次數m68111136345564701落在“鉛筆”區域的頻率(1)計算并完成表格；(2)請估計，當n很大時，落在“鉛筆”區域的頻率將會接近多少？(3)假如你去轉動該轉盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？【答案】(1)答案見解析；(2)0.7；(3)0.7.【詳解】（1）通過計算可得：轉動轉盤的次數n1001502005008001000落在“鉛筆”區域的次數m68111136345564701落在“鉛筆”區域的頻率0.680.740.680.690.7050.701（2）當n很大時，落在“鉛筆”區域的頻率將會接近0.7.（3）由表格可知，隨著轉動轉盤次數越來越大，頻率越來越穩定在0.7附近，所以，獲得鉛筆的概率約是0.7.考點09 概率與統計的綜合【例17】某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續航里程數”，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的數據，得到他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”.從年齡在歲以下的客戶中抽取位歸為組，從年齡在歲（含歲）以上的客戶中抽取位歸為組，將他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”整理成如下莖葉圖:注：“實際平均續航里程數”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數的比值.(1)分別求出組客戶與組客戶“實際平均續航里程數”的平均值；(2)在兩組客戶中，從“實際平均續航里程數”大于的客戶中各隨機抽取位客戶，求組客戶的“實際平均續航里程數”不小于組客戶的“實際平均續航里程數”的概率(3)試比較兩組客戶數據方差的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)；(2)(3)組客戶“實際平均續航里程數”的方差大于組客戶“實際平均續航里程數”的方差【詳解】（1）由莖葉圖可知：組客戶“實際平均續航里程數”的平均值；組客戶“實際平均續航里程數”的平均值.（2）組客戶中，“實際平均續航里程數”大于的客戶的續航里程數分別為；組客戶中，“實際平均續航里程數”大于的客戶的續航里程數分別為；從兩組客戶中各抽取位客戶，則有，，，，，，，，共種情況；其中滿足組客戶的“實際平均續航里程數”不小于組客戶的“實際平均續航里程數”的情況有，，，共種情況；所求概率.（3）方法一：組客戶“實際平均續航里程數”的方差；組客戶“實際平均續航里程數”的方差；，即組客戶“實際平均續航里程數”的方差大于組客戶“實際平均續航里程數”的方差；方法二：根據莖葉圖可知：組客戶“實際平均續航里程數”的數據相較于組客戶“實際平均續航里程數”的數據更集中在其平均數附近，即組客戶數據整體更加穩定，組客戶“實際平均續航里程數”的方差大于組客戶“實際平均續航里程數”的方差.【例18】為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學生某周末的學習時間進行了調查，將所得數據整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據直方圖所提供的信息：(1)①求該班學生周末的學習時間不少于20小時的人數；②用分層抽樣的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立學習小組，再從該小組派3人接受檢測，求檢測的3人來自同一區間的概率.(2)①估計這40名同學周末學習時間的25%分位數；②將該班學生周末學習時間從低到高排列，那么估計第10名同學的學習時長；【答案】(1)①人，②(2)①小時，②小時【詳解】（1）①由圖可知，該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率為，則40名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數為人．②由圖可知，則40名學生中周末的學習時間在的人數為人，則40名學生中周末的學習時間在的人數為人，從中用分層抽樣抽取6人，即周末的學習時間在的有4人，周末的學習時間在的有2人，再從中選派3人接受檢測，設檢測的3人來自同一區間的事件為A，則;（2）①學習時間在5小時以下的頻率為，學習時間在10小時以下的頻率為，所以25%分位數在區間內，則，所以這40名同學周末學習時間的25%分位數為8.75小時．②第10名是40名同學的25%，因而問題相當于求25%分位數，也就是估計第10名同學的學習時長為8.75小時．【變式91】某保險公司決定每月給推銷員確定個具體的銷售目標，對推銷員實行目標管理.銷售目標確定的適當與否，直接影響公司的經濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

求：(1)根據圖中數據，求出月銷售額在小組內的頻率，并根據直方圖估計，月銷售目標定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務.(2)該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經驗，求選出的推銷員來自不同小組的概率.(3)第一組中推銷員的銷售金額的平均數為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數，方差.【答案】(1)0.12，17萬元(2)(3)平均數，方差【詳解】（1）月銷售額在小組內的頻率為，若要使的推銷員完成月銷售額目標，則意味著的推銷員不能完成月銷售額目標，根據題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為，和及三組的頻率之和為，故估計月銷售目標應定為萬元；（2）第一組3人記為，第七組2人，則選取2位推銷員有共10種情形，“選取2位推銷員介紹銷售經驗，求選出的推銷員來自不同小組”記為事件M，則事件M包含有共6種情形，所以；（3）第一組3人，第七組2人，則這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數為，方差.【變式92】為迎接第二屆湖南旅發大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據直方圖，估計這次知識能力測評的平均數；(2)用分層隨機抽樣的方法從，兩個區間共抽取出4名學生，再從這4名學生中隨機抽取2名依次進行交流分享，求第二個交流分享的學生成績在區間的概率；(3)學校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學甲乙進行現場知識搶答賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得1分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【答案】(1)分(2)(3)甲最終獲勝的可能性大；理由見解析【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，根據平均數的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數：分.（2）解：由頻率分布直方圖，可得的頻率為，的頻率為，所以用分層隨機抽樣的方法從，兩個區間共抽取出4名學生，可得從抽取人，即為，從中抽取人，即為，從這4名學生中隨機抽取2名依次進行交流分享，有，共有12個基本事件；其中第二個交流分享的學生成績在區間的有：，共有3個，所以概率為.（3）解：甲最終獲勝的可能性大.理由如下：由題意，甲至少得1分的概率是，可得，其中，解得，則甲的2分或3分的概率為：，所以乙得分為2分或3分的概率為，因為，所以甲最終獲勝的可能性更大.【變式93】某學校開展組織學生參加線上環保知識競賽活動，現從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據圖形，請回答下列問題：(1)若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數；(2)以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數以及中位數；(3)若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優秀等級的概率為，乙復賽獲優秀等級的概率為，甲、乙是否獲優秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率．【答案】(1)2(2)平均數71，中位數(3)【詳解】（1）由，得，因為（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；（2）平均數．因為在內共有80人，則中位數位于內，設中位數為，，解得；（3）法一：記“至少有一位同學復賽獲優秀等級”為事件A，則．至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率為．法二：記“至少有一位同學復賽獲優秀等級”為事件A，，至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率為．一、單選題1．某籃球運動員進行投籃訓練，連續投籃兩次，設事件A表示隨機事件“兩次都投中”，事件B表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機事件“至少有一次投中”，則下列關系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據題意可得：事件A表示表示“兩次都投中”；事件B表示“兩次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項A正確；事件B和事件D是對立事件，故，所以選項B正確；事件表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件表示“兩次都未投中”、“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故選項C錯誤；事件表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項D正確；故選：C.2．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的為（

）A．與互為對立事件 B．與互斥C．與相等 D．【答案】D【詳解】因為拋擲兩枚質地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以A、B、C錯誤，D正確，故選：D.3．保險柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個數字組成，假設一個人記不清自己的保險柜密碼，只記得密碼全部由奇數組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開鎖的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】密碼全部由奇數組成且按照遞增順序排列的結果有：，，共5個，它們等可能，最多輸入2次就能開鎖的事件A，它是輸入1次能開鎖的事件，第2次輸入才能開鎖的事件的和，它們互斥，，，則，最多輸入2次就能開鎖的概率是.故選：C4．拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數為i”，其中，“向上的點數為奇數”，則下列說法正確的是（

）A．與B互斥 B． C．與相互獨立 D．【答案】D【詳解】對于A，，，與B不互斥，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，與不能同時發生，是互斥事件，不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，，，，故D正確.故選：D.5．已知甲袋中有標號分別為1，2，3，4的四個小球，乙袋中有標號分別為2，3，4，5的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數”，則（

）A．與相互獨立 B．與是互斥事件 C．與是對立事件 D．與相互獨立【答案】D【詳解】由題意可得基本事件總數為，設，，，，由題意可得與可以同時發生，故不是互斥事件，故B錯誤；易知與不同時發生，即與為互斥事件，但不是對立事件，比如當發生時與均不發生，故C錯誤.又，則，，從而與不相互獨立，與相互獨立，故A錯誤，D正確.故選：D二、多選題6．下列事件是隨機事件的是（）A．函數的圖象關于直線對稱B．某人給其朋友打，卻忘記了朋友號碼的最后一個數字，就隨意撥了一個數字，恰巧是朋友的號碼C．函數是定義在R上的增函數D．若，則a，b同號【答案】BCD【詳解】A選項，此事件為必然事件；B選項，忘記朋友的號碼最后一位，隨意撥打個號碼就是朋友的號碼，這件事情在一次試驗中可能發成也可能不發生，所以為隨機事件；C選項，由于與的關系不確定，所以函數在R上不一定為增函數，所以此事件為隨機事件；D選項，當時，有兩種可能，一種可能是a，b同號，即，另