專題2.7二次函數圖象與系數的關系選填壓軸專項訓練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共30題，選擇題15題，填空題15題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對二次函數圖象與系數的關系的理解！一、單選題1．（2023春·河北邢臺·九年級校聯考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=?2，并與x軸交于A，B兩點，若OA=5OB，則下列結論：①abc>0；②(a+c)2?b2=0；③

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．（2023春·湖南長沙·九年級校考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（?1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論；①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3；③b+2a=0；④當y>0時，A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2023春·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點B在0,2與0,3之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2．下列結論：①abc>0；②9a+3b+c>0；③若點M12,y1，點5A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2023春·山東日照·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(4,0)①abc>0；②3a+c<0；③M?3,y1，N④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=a?5⑤對于任意實數m，總有am其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2023春·廣東惠州·九年級統考期中）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0圖象的對稱軸為直線x=?1，部分圖象如圖所示，下列結論中：①abc>0；②b2?4ac>0；③4a+c>0；④若t為任意實數，則有a?bt≤at2+b；⑤為圖象經過點1A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④6．（2023春·安徽蕪湖·九年級統考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c過點(?1,?1)，(0,1)，當x=?2時，與其對應的函數值y>1，下列結論：①abc>0；②a+b+c>7；③當x≥?12時，y隨x的增大而增大；④關于x的方程aA．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023春·山東德州·九年級統考期末）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，直線x=1是它的對稱軸，下列結論：①abc>0；②b2?4ac>0；③3a+c>0；④2a?b=0；⑤方程A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023春·山東威海·九年級校聯考期中）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點?1,0，對稱軸為直線x=2，下列結論：（1）4a+b=0；（2）9a+c>?3b；（3）7a?3b+2c>0；（4）若點A?3,y1、點B?12,y2、點C7,A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2023春·四川綿陽·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為x=?1，與x軸的一個交點在?3,0和?2,0之間，其部分圖象如圖所示，則下列結論：（1）b2?4ac>0；（2）2a=b；（3）點?72,y1、?3A．2 B．3 C．4 D．510．（2023春·湖南常德·九年級統考期末）二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖像如圖所示，對稱軸為直線x=12且經過點2,0．下列說法：①abc<0；②?2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若?12,yA．2 B．3 C．4 D．511．（2023春·天津和平·九年級天津一中校考期末）二次函數y=ax2+bx+c大致圖象如圖所示，其中頂點為（-2，-9a）下列結論：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a-bA．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤12．（2023春·遼寧朝陽·九年級校聯考期末）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的自變量xx…?2?1012…y=a…tm?2?2n…且當x=?12時，其對應的函數值①abc>0；②?2和3是關于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根；③對稱軸為x=?12A．0 B．1 C．2 D．313．（2023春·浙江金華·九年級統考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c都是常數，且a≠0）開口向上且過點A?1,0，Bm,0（1<m<2），小明得出下列結論：①b>0；②若?1,y1和1,y2都在拋物線上，則yA．4 B．3 C．2 D．114．（2023春·黑龍江綏化·九年級校考期末）已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸x=1A．2a+b=0 B．a>?C．△PAB周長的最小值是5+32 D．x=3是15．（2023春·陜西渭南·九年級校聯考期末）二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖像如圖所示，圖像過點?1,0，對稱軸為直線x=2，下列結論：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若點A?3,y1，點B?12,y2、點C72A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題16．（2023春·廣西貴港·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A，B兩點，y軸負半軸交于點C．若點B（4，0），則下列結論中：①abc>0；②4a+b>0；③Mx1，y1與Nx2，y2是拋物線上兩點，若17．（2023春·福建泉州·九年級泉州五中校考期中）拋物線y=ax2+bx+c的最低點為13,m，其中?1<m<0，拋物線與x①abc>0；②(a+c)2<b2；③?318．（2023春·福建莆田·九年級校考期末）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），與y軸的交點為C，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論：①4ac?b2abc>0；②若點P（﹣2﹣t2，y1）19．（2023春·九年級課時練習）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，其中點B坐標為（3，0），頂點D的橫坐標為1，DE⊥x軸，垂足為E，下列結論：①當x<1時，y隨x增大而減小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④OCDE=3420．（2023春·九年級課時練習）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標為A（1，3），與x軸的一個交點為B（4，0），點A和點B均在直線y2=mx+n（m≠0）上．①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個交點是（-4，0）；④方程ax2+bx+c=?3有兩個不相等的實數根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集為1<x<4．其中正確的是．21．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖像過點A(3，0)，對稱軸為直線x＝1，給出以下結論：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y1),N(n2+2,22．（2023春·湖北武漢·九年級武漢市武珞路中學校考期中）已知二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a≠0）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=1，且與①abc>0；②a?b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一個常數）；④若方程ax2+bx+c=mx?2m（m是一個常數)的根為23．（2023春·九年級校考期末）拋物線y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖，有以下結論：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正確的為（填序號）．24．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，則下列結論：①abc<0；②b2?4ac4a

25．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結論：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中結論正確的有．26．（2023春·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中校考期末）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．下列結論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③當x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大；④當函數值y＜0時，自變量x的取值范圍是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正確的結論是．27．（2023春·九年級課時練習）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根，其中正確結論的個數為個．28．（2023春·浙江紹興·九年級校聯考期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A、B，頂點為C，對稱軸為直線x=1，給出下列結論：①abc<0；②若點C的坐標為(1,2)，則△ABC的面積可以等于2；③M(x1,y1),????N(x2,y專題2.7二次函數圖象與系數的關系選填壓軸專項訓練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共30題，選擇題15題，填空題15題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對二次函數圖象與系數的關系的理解！一、單選題1．（2023春·河北邢臺·九年級校聯考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=?2，并與x軸交于A，B兩點，若OA=5OB，則下列結論：①abc>0；②(a+c)2?b2=0；③

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據拋物線的開口方向，判定a＞0；對稱軸的位置，判定b＞0；拋物線與y軸的交點，判定c＜0，從而判定abc＜0；根據對稱軸是直線x=?2=?b2a，確定b=4a；根據OA=5OB，得OE=2OB，求出點【詳解】解：因為拋物線的開口方向，所以a>0；因為對稱軸是直線x=?2，所以x=?2=?b2a，因為拋物線與y軸的交點位于負半軸，所以c＜所以abc＜故①錯誤；因為OA=5OB，

所以，OE=2OB，所以OB=1，即B1,0所以a+b+c=0，所以c=?5a，所以(a+c)2所以9a+4c=9a?20a=?11a＜根據題意，得拋物線有最小值，且最小值為：y=4ac?b2所以am所以am所以am故選B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像及其性質、對稱軸、最值、拋物線與x軸的交點坐標等知識點，熟練掌握拋物線的性質，特別是對稱性和最值是解題的關鍵．2．（2023春·湖南長沙·九年級校考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（?1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論；①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3；③b+2a=0；④當y>0時，A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【分析】由拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個交點坐標為3，0由此即可判斷①②；根據?b【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=1，與∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為3，∴b2?4ac>0，即4ac<b2，方程ax故①②正確；∵?b∴b=?2a，即b+2a=0，故③正確；由函數圖象可知當y>0時，x的取值范圍是?1<x<3，當x<0時，y隨x增大而增大，故④錯誤，⑤正確；∴正確的一共有4個，【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與不等式的關系，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．3．（2023春·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點B在0,2與0,3之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2．下列結論：①abc>0；②9a+3b+c>0；③若點M12,y1，點5A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】結合圖象，可得a<0，b>0，c>0，可得abc<0，即可判斷①；根據對稱軸，可得二次函數與x軸另一個交點為5,0，將x=3代入二次函數，可得9a+3b+c>0，即可判斷②；根據二次函數的性質，因為12?2>52?2，故y1<y2，即可判斷③；根據二次函數與y軸的交點B在0,2與0,3之間，可得2<c<3，用a表示出【詳解】解：根據圖象可得，a<0，c>0，∵對稱軸為x=2，∴?b2a=2∴abc<0，故①錯誤，根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x可得二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x當x=3時，9a+3b+c>0，故②正確；∵12∴y根據二次函數與y軸的交點B在0,2與0,3之間，可得2<c<3，當x=?1時，a?b+c=a+4a+c=5a+c=0，即c=?5a，∴2<?5a<3，解得?3∴c?3a=?5a?3a=?8a>0，故⑤正確，綜上所述，②④⑤正確，正確結論有3個．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．4．（2023春·山東日照·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(4,0)①abc>0；②3a+c<0；③M?3,y1，N④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=a?5⑤對于任意實數m，總有am其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及與x軸y軸的交點，綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，則a>0，對稱軸x=?b2a=1，則b=?2a<0，c<0所以①正確；拋物線對稱軸為x=1，與x軸的一個交點為(4,0)，則另一個交點為(?2,0)，于是有4a?2b+c=0，聯立4a?2b+c=0b=?2a，解得c=?8a3a+c=3a?8a=?5a<0，所以②正確；拋物線的解析式為y=axM?3,y1∴y∴y1?所以③錯誤；若關于x的一元二次方程axaxax∴Δ∵a>0，∴0<a<1所以④正確；拋物線與x軸有兩個不同交點，因此關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0對于任意實數m，總有a故⑤正確．綜上所述，正確的結論有：①②④⑤．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的圖象與系數之間的關系是正確判斷的前提．5．（2023春·廣東惠州·九年級統考期中）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0圖象的對稱軸為直線x=?1，部分圖象如圖所示，下列結論中：①abc>0；②b2?4ac>0；③4a+c>0；④若t為任意實數，則有a?bt≤at2+b；⑤為圖象經過點1A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④【答案】A【分析】利用拋物線開口方向得到a>0，利用拋物線的對稱軸方程得到b=2a>0，利用拋物線與y軸的交點位置得到c<0，則可對①進行判斷；利用拋物線與x軸交點個數可對②進行判斷；利用x=1時得到a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可對③進行判斷；利用二次函數當x=?1時有最小值可對④進行判斷；由于二次函數y=ax2+bx+c與直線y=2的一個交點為12,2，利用對稱性得到二次函數y=ax【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線的對稱軸為直線x=即?b∴b=2a>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c<0，∴abc<∵拋物線與x軸交于兩點，∴b故②正確；∵x=1時，y>0，∴a+b+c>0，而b=2a，∴3a+c>0，∵a>0，∴4a+c>0，所以③正確；∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=∴當x=?1∴a?b+c≤at即a?bt≤at所以④正確；∵圖象經過點12,2時，方程ax∴二次函數y=ax2+bx+c與直線y=2∵拋物線的對稱軸為直線x=∴二次函數y=ax2+bx+c與直線y=2即x1=?5∴x∴正確的有②③④．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于(0,c)6．（2023春·安徽蕪湖·九年級統考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c過點(?1,?1)，(0,1)，當x=?2時，與其對應的函數值y>1，下列結論：①abc>0；②a+b+c>7；③當x≥?12時，y隨x的增大而增大；④關于x的方程aA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①拋物線y=ax2+bx+c過點(?1,?1)，(0,1)，表示出c=1，a=b?2，當x=?2時，與其對應的函數值y>1，表示出b>4，從而判斷abc>0；②a+b+c=b?2+b+1=2b?1，根據b>4，即可求出a+b+c>7；③表示出對稱軸x=?b2b?2=?121?2b=【詳解】①∵拋物線y=ax2+bx+c過點(?1,?1)∴c=1，a?b+c=?1，∴a=b?2，∵當x=?2時，與其對應的函數值y>1，∴4a?2b+1>1，∴4b?2?2b+1>1，解得：∴a=b?2>0，∴abc>0，故①正確；②∵a=b?2，c=1，∴a+b+c=b?2+b+1=2b?1，由（1）得：b>4∴2b?1>7，∴a+b+c>7故②正確；③由（1）得：a=b?2，c=1，∴y=a∴對稱軸是x=?由（1）得：b>4，∴0<∴?2<∴?1<由（1）得：a=b?2>0，∴拋物線y=ax∵拋物線y=ax2∴當x≥?12時，y隨故③正確④∵關于x的方程a∴x1=由（1）得：a=b?2，c=1，∴x==故④正確故選：D【點睛】本題考查二次函數系數的取值范圍，對稱軸，一元二次方程的解，解題的關鍵是表示出a，b，c之間的關系．7．（2023春·山東德州·九年級統考期末）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，直線x=1是它的對稱軸，下列結論：①abc>0；②b2?4ac>0；③3a+c>0；④2a?b=0；⑤方程A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據二次函數的圖象與性質求出a<0，b>0，c>0進而可判斷①；根據根的二次函數與坐標軸的交點可判斷②；根據特殊點的函數值和二次函數的對稱性可判斷③；對稱軸為直線【詳解】①拋物線的開口向下：a<0，對稱軸為直線x=?b∵拋物線與y軸交于正半軸：c>0；∴abc<②∵拋物線與x軸有兩個交點：b2③∵對稱軸為直線x=1，∴x=?1與x=3∵x=1時，y<0，∴x=3時，9a+3b+c<0，∵b=?2a，∴9a?6a+c<0，∴3a+c<0，故③錯誤；④對稱軸為直線x=?b2a=1⑤∵頂點坐標：1,3，∴當且僅當x=1時，ax2+bx+c=3，∴ax2+bx+c?3=0有兩個相等的實數根．故⑤正確；⑥由圖可知：a+b+c>0,a?b+c<0，∴a+c2?b2=∴a+c2<b2綜上：正確的是②⑤⑥，共3個．故選C．【點睛】本題考查根據二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．8．（2023春·山東威海·九年級校聯考期中）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點?1,0，對稱軸為直線x=2，下列結論：（1）4a+b=0；（2）9a+c>?3b；（3）7a?3b+2c>0；（4）若點A?3,y1、點B?12,y2、點C7,A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據拋物線的對稱軸為直線x=2，則有4a+b=0；觀察函數圖象得到當x=3時，函數值大于0，則9a+3b+c>0，即9a+c>?3b；由圖象過點?1,0，知a?b+c=0，易得c=?5a，再根據拋物線開口向下得a<0，可得7a?3b+2c=9a<0；利用拋物線的對稱性得到C'?3,y【詳解】解：∵x=?b∴4a+b=0，故①正確；由函數圖象可知，當x=3時，y>0，即：9a+3b+c>0，∴9a+c>?3b，故②正確；∵圖象過點?1,0，∴a?b+c=0又∵4a+b=0∴b=?4a，∴a+4a+c=0，即：c=?5a∴7a?3b+2c=7a+12a?10a=9a∵拋物線開口向下，∴a<0，∴7a?3b+2c=9a<0，故③錯誤，∵拋物線的對稱軸為直線x=2，∴C7,y∵A∴y而?3＜∴y隨x的增大而增大，∴y1y=a則：方程a(x+1)(x?5)=0的兩根為x=?1或x=5，交拋物線與x的兩交點的橫坐標，過y=?3作x軸的平行線，直線y=?3與拋物線的交點的橫坐標為方程的兩根，依據函數圖象可知：x1【點睛】本題主要考查的是二次函數的圖象與系數的關系、拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數的性質以及數形結合是解題的關鍵．9．（2023春·四川綿陽·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為x=?1，與x軸的一個交點在?3,0和?2,0之間，其部分圖象如圖所示，則下列結論：（1）b2?4ac>0；（2）2a=b；（3）點?72,y1、?3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由拋物線與x軸有兩個不相同的交點結合根的判別式即可得出（1）正確；根據拋物線的對稱軸為x=?1，即可得出b=2a，即（2）正確；根據拋物線的對稱性找出點(?134,y3)在拋物線上，再結合拋物線對稱軸左邊的單調性，即可得出（3）錯誤；由x=?3時，y<0，即可得出3a+c<0，結合b=2a，即可得出（4）正確；由方程at2+bt+a=0中Δ=b2?4a?a=0【詳解】解：由函數圖象可知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴關于x的方程ax∴Δ=∴（1）正確；∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)∴?b∴2a=b，∴（2）正確；∵拋物線的對稱軸為x=?1，點(5∴(?13∵?72<?134∴y1∴（3）錯誤；∵當x=?3時，y=9a?3b+c<0，且b=2a，∴9a?3×2a+c=3a+c<0，∴6a+2c=3b+2c<0，∴（4）正確；∵b=2a，∴方程at2+bt+a=0∴拋物線y=at2+bt+a∵圖中拋物線開口向下，∴a<0，∴y=at即at∴（5）正確．∵a+c2?b2∴a+c2?b由圖象可知：c>0，∵a<0，∴c?a>0，∵3a+c<0，∴3a+cc?a∴a+c2即a+c∴（6）錯誤．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數與不等式以及拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是逐一分析6條結論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，但過程較為繁瑣，解決該題型題目時，熟練掌握二次函數的圖象是關鍵．10．（2023春·湖南常德·九年級統考期末）二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖像如圖所示，對稱軸為直線x=12且經過點2,0．下列說法：①abc<0；②?2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若?12,yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先根據拋物線開口向下、與y軸的交點位于y軸正半軸a<0,c>0，再根據對稱軸可得b=?a>0，由此可判斷結論①；將點2,0代入二次函數的解析式可判斷結論②③；根據二次函數的對稱軸可得其增減性，由此可判斷結論④；利用二次函數的性質可求出其最大值，由此即可得判斷結論⑤．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸的交點位于y軸正半軸，∴a<0,c>0，∵拋物線的對稱軸為x=?b∴b=?a>0，∴abc<0，則結論①正確；將點2,0代入二次函數的解析式得：4a+2b+c=0，則結論③錯誤；將a=?b代入4a+2b+c=0得：?2b+c=0，則結論②正確；∵拋物線的對稱軸為x=1∴x=32和x=?1又∵當x≥12時，y隨x的增大而減小，且∴y由函數圖像可知，當x=12時，y取得最大值，最大值為∵m≠1∴14b+c>a綜上，正確的結論有①②⑤，共3個．【點睛】本題主要考查了利用二次函數的圖像判斷式子的符號、二次函數的性質等知識點，從函數圖像上得到相關信息是解題的關鍵．11．（2023春·天津和平·九年級天津一中校考期末）二次函數y=ax2+bx+c大致圖象如圖所示，其中頂點為（-2，-9a）下列結論：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a-bA．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】①拋物線對稱軸在y軸左側，則ab同號，而c＜0②x=2時，y③5a④y=ax⑤若方程|ax2+bx+c【詳解】解：∵頂點為（-2，-9a），設二次函數表達式為：y①拋物線對稱軸在y軸左側，則ab同號，而c＜0，則abc②函數在y軸右側與x軸的交點（1，0），當x=2時，y③5a④y=ax+5x-1+1，相當于由原拋物線y=a⑤若方程|ax2+bx根據一元二次方程根與系數的關系得：其兩個根的和為-ba=同理當ax2+bx+c+1=0故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸交點，一元二次方程根與系數的關系、根的判別式等，關鍵是熟練掌握二次函數圖象的性質．12．（2023春·遼寧朝陽·九年級校聯考期末）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的自變量xx…?2?1012…y=a…tm?2?2n…且當x=?12時，其對應的函數值①abc>0；②?2和3是關于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根；③對稱軸為x=?12A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用待定系數法將點(0,?2)，(1,?2)代入解析式求出a+b=0，c=?2，再結合二次函數圖象與已知信息當x=?12時，y>0得出a>0，進而判斷①結論；根據二次函數對稱軸x=?b2a進而判斷③結論；由二次函數的軸對稱性進而判斷②結論；利用待定系數法將點(?1,m)，(2,n)代入解析式得出【詳解】∵二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c當x=0時，y=c=?2，當x=1時，y=a+b+c=?2，∴a+b=0．∵當x=?12時，其對應的函數值∴二次函數開口向下，a<0．∵a<0，b>0，c<0，∴abc>0．（①結論符合題意）∵x=?2時，y=t，∴?2是關于x的方程ax∵對稱軸x=?b2a=?∴?2和3是關于x的方程ax∵x=?1時，y=a?b?2=m，x=2時，y=4a+2b?2=n，∴m+n=a?b?2+4a+2b?2=5a+b?4=4(a?1)．∴m+n<?4．（④結論不符合題意）∴正確的結論有2個．【點睛】本題考查二次函數的性質與圖象的理解與綜合運用能力．二次函數y=ax2+bx+c的圖象是拋物線，拋物線是軸對稱圖形．對稱軸x=?b2a．二次項系數a決定拋物線的開口方向與大小．如果a>0，當x<?b2a時，y隨x的增大而減小，當x>?b2a時，y隨x的增大而增大．如果a<0，當x<?b2a13．（2023春·浙江金華·九年級統考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c都是常數，且a≠0）開口向上且過點A?1,0，Bm,0（1<m<2），小明得出下列結論：①b>0；②若?1,y1和1,y2都在拋物線上，則yA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據拋物線的開口以及對稱軸即可判斷①③，根據拋物線上的點離對稱軸的距離越遠，其函數值越大，即可判斷②，將方程轉化為ax2+bx+c【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c都是常數，且a≠0）開口向上且過點A?1,0，∴對稱軸為直線x=m?12，又對稱軸為x=?b∴∵1<m<2∴1?m<0∵a>0∴b=故①不正確，②∵對稱軸為直線x=m?12，∵1?m?12?1,y1和∴y故②正確，∵對稱軸為直線x=m?12，∴0<m?1∴0<?b∴a>?b>0，由拋物線過點A?1,0，則a?b+c=0∴a?b+c<a+a+c=2a+c，∴2a+c>0，故③正確，∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c都是常數，且a≠0）開口向上且過點A?1,0，設拋物線y=ax2+bx+c若方程ax?m即ax2+bx+c∴Δ=即b2故選B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，一元二次方程根的判別式，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．14．（2023春·黑龍江綏化·九年級校考期末）已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸x=1A．2a+b=0 B．a>?C．△PAB周長的最小值是5+32 D．x=3是【答案】A【分析】根據對稱軸方程求得a、b的數量關系即可判斷A；根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3，則x=3時，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值即可判斷C．【詳解】A．根據圖象知，對稱軸是直線x=-b2a=1，則b=-2a，即2a+bB．根據圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3,0)，∴x=3時，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∴2a+3=-a，∵拋物線開口向下，則a<0，∴2a+3=-a＞0，∴a>-32C．點A關于x=1對稱的點是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個交點，連接BA′與直線x=1的交點即為點P，則△PAB的周長的最小值是(BA′+AB)的長度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，∴AB=10，BA′=32即△PAB周長的最小值為10+32D．根據圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標為(3,0)，所以x=3是ax故選C．【點睛】本題考查了二次函數綜合題，涉及二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的性質及兩點之間線段最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．15．（2023春·陜西渭南·九年級校聯考期末）二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖像如圖所示，圖像過點?1,0，對稱軸為直線x=2，下列結論：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若點A?3,y1，點B?12,y2、點C72A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】①正確，根據對稱軸公式計算即可．②錯誤，利用x=-3時，y<0，即可判斷，③正確．由圖像可知拋物線經過(-1，0)和(5，0)列出方程組求出a、b即可判斷．④錯誤，利用函數圖像即可判斷．⑤正確，利用二次函數與二次不等式關系即可解決問題．【詳解】①正確：∵-b所以4a+b=0．故①正確．②錯誤：∵x=-3時，y<0，∴9a-3b+c<0，∴9a+c<3b，故②錯誤．③正確，由圖像可知拋物線經過(-1，0)和(5，0)，∴a-b+c=025a+5b+c=0解得b=-4a，c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，∵a<0，∴8a+7b+2c>0，故③正確．④錯誤，∵點A(-3，y1)、點B(-12，y2)、點C(72，y∵3.5-2=1.5，2-(-0.5)=2.5，∴1.5<2.5點C離對稱軸的距離近，∴y3>y2，∵a<0，-3<-0.5<2，∴y1<y2∴y1<y2<y3，故④錯誤．⑤正確．∵a<0，∴(x+1)(x-5)=-3a即(x+1)(x-5)>0，故x<-1或x>5，故⑤正確．∴正確的有三個，故選B．【點睛】本題考查拋物線和x軸交點的問題以及二次函數與系數關系，靈活掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵，學會利用圖像信息解決問題，屬于中考常考題型．二、填空題16．（2023春·廣西貴港·九年級統考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A，B兩點，y軸負半軸交于點C．若點B（4，0），則下列結論中：①abc>0；②4a+b>0；③Mx1，y1與Nx2，y2是拋物線上兩點，若【答案】4【分析】根據圖象得出a<0，c<0，b>0，可判斷①；再由圖象可得對稱軸在直線x=2右側，可得?b2a>2，可判斷②；再根據二次函數在y軸右側的增減性，判斷③；根據拋物線對稱軸為直線x=3，得出b=?6a，再利用作差法判斷④；最后根據AB≥3，則點A的橫坐標大于0且小于等于1，得出當x=1時，a+b+c≥0，當x=4時，16a+4b+c=0，變形為a=4b+c?16【詳解】解：由拋物線圖象可知，拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸右側，∴a<0，∴b>0，∴abc>0，故①正確；∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A∴對稱軸在直線x=2右側，即?b∴2+b∵a<0，∴4a+b>0，故②正確；∵Mx1，y1與Nx2，y2是拋物線上兩點，由圖象可得拋物線y=ax2+bx+c∴y1>y若拋物線的對稱軸是直線x=3，∴?b2a=3∴am?3∴a(m?3)(m+3)≤b(3?m)，故④正確；由AB≥3得，0<x當x=1時，a+b+c≥0，當x=4時，16a+4b+c=0，∴a=4b+c∴4b+c整理得4b+5c≥0，∴4b+3c≥?2c，∵c<0，?2c>0，∴4b+3c>0，故⑤正確；綜上所述，正確的有4個，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是能根據圖象得出二次函數表達式各項系數的符號．17．（2023春·福建泉州·九年級泉州五中校考期中）拋物線y=ax2+bx+c的最低點為13,m，其中?1<m<0，拋物線與x①abc>0；②(a+c)2<b2；③?3【答案】①②③【分析】畫出大致圖形，再結合二次函數的性質分析即可．【詳解】∵y=ax2+bx+c的最低點為13,m，其中∴函數圖像大致如圖所示：∵拋物線y=ax2+bx+c∴a>0，y=ax∴b=?23a<0∴abc>0，故①正確；∵拋物線與x軸交于點x1∴當x=1時，y=a+b+c<0；當x=?1∴(a+c)2∴(a+c)2故②正確；∵m=19∴?1<∵a+b+c<0∴0<?a?b?c∴?1<整理得：8a+6b<9∵b=?∴a=?∴8×(?32∴?故③正確；∵拋物線y=ax2+bx+c的最低點為∴直線y=?1與y=ax∴關于x的方程ax故④錯誤．綜上所述，正確的有①②③．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，數形結合是解題的關鍵．18．（2023春·福建莆田·九年級校考期末）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），與y軸的交點為C，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論：①4ac?b2abc>0；②若點P（﹣2﹣t2，y1）【答案】②③/③②【分析】本題只需逐個判斷；①需要先判斷Δ，a，b，c的符號，然后確定4ac?b②可以先找到點P關于拋物線的對稱軸對稱的點，再利用二次函數增減性比較函數值；③可以利用對稱軸和點A坐標找到a，b，c之間的關系，從而簡化不等式cx④假設存在這樣的點B，取AC的中點D，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知BD=12AC，設出點B【詳解】解：①由圖可知二次函數y＝ax∴Δ=∴4ac?b又∵拋物線的開口向下，對稱軸在y軸左邊，∴a<0,b<0．又∵拋物線與y軸交點在原點上方，∴c>0，∴4ac?b∴①錯誤，不符合題意；②因為對稱軸是直線x＝﹣1，∴P(?2?t2，y1又∵a<0,b<0，∴當x>﹣1時，y隨著x的增大而減小．又∵?1<t∴y1∴②正確，符合題意；③∵二次函數y＝ax2+bx+c∴a+b+c=0，?b2a∴b=2a,c=?3a，又∵cx∴?3ax又∵a<0，∴?3x∴(3x+1)(x?1)<0，∴3x+1>0x?1<0，解得?或3x+1<0x?1>0∴cx2+bx+a∴③正確，符合題意；④取AC的中點D，由③可知b=2a,c=?3a，∴二次函數解析式可化為y=ax∴點C坐標為(0,?3a)．又∵A（1，∴D(12,假設在對稱軸上存在一點B(?1,m)，使得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，則有BD=(?1?12∴(?1?整理得：m2+3am+2=0，其中∴當Δ=9a2?8≥0，即a≤?2∴當?223當a≤?223∴④不一定存在這樣的點B，不符合題意．綜上所述：一定正確的是：②③．故答案為：②③．【點睛】本題考查了二次函數a，b，c，Δ的符號判定，二次函數的圖像與性質，一元二次不等式的解集，直角三角形存在性問題，掌握轉化思想是本題解題的關鍵．19．（2023春·九年級課時練習）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，其中點B坐標為（3，0），頂點D的橫坐標為1，DE⊥x軸，垂足為E，下列結論：①當x<1時，y隨x增大而減小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④OCDE=34【答案】③④⑤【分析】①根據拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，判定當x<1時，y隨x增大而增大；②根據a<0，?b2a=1，得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3時，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根據?b2a>0，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根據3a+c=0，得到c=-3a，推出OCDE=c4ac?b24a=cc?a=?3a?3a?a=34；⑤根據拋物線y=a【詳解】①當x<1時，y隨x增大而減小，∵拋物線頂點D的橫坐標為1，∴對稱軸為直線x=1，∵拋物線開口向下，∴當x<1時，y隨x增大而增大，∴不正確；②a+b<0，∵?b∴b=-2a>0，∴a+b=a-2a=-a>0，∴不正確；③3a+b+c>0，∵x=3時，y=9a+3b+c=0，b=-2a，∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,∵b>0，∴3a+b+c>0，∴正確；④OCDE∵b=-2a，3a+c=0，∴c=-3a，OC=====3∴正確；⑤當a<?23時，∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，其中點B∴A(-1,0)∴設拋物線解析式為y=a(x+1)(x?3)=ax當a<?23時，-3∴正確．故答案為，③④⑤．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，解決此類問題的關鍵是熟練掌握圖象開口與a的關系，圖象與y軸交點與c的關系，對稱軸與a、b的關系，圖象與x軸的交點特征．20．（2023春·九年級課時練習）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標為A（1，3），與x軸的一個交點為B（4，0），點A和點B均在直線y2=mx+n（m≠0）上．①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個交點是（-4，0）；④方程ax2+bx+c=?3有兩個不相等的實數根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集為1<x<4．其中正確的是．【答案】①④/④①【分析】根據二次函數的性質、方程與二次函數的關系、函數與不等式的關系，利用數形結合，一一判斷即可．【詳解】解：①由拋物線對稱軸為直線x=-b2a=1，從而b=-2a，則2a+b②拋物線開口向下，與y軸相交與正半軸，則a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②錯誤；③由拋物線對稱性，與x軸的一個交點B（4，0），則另一個交點坐標為（-2，0），故③錯誤；④方程ax2+bx+c=-3從函數角度可以看作是y=ax2+bx+c與直線y=-3求交點，從圖象可以知道，拋物線頂點為（1，3），則拋物線與直線有兩個交點，故方程ax2+bx+c=-3有兩個相等的實數根，故④正確；⑤由圖象可知，當x=-1時，y1=a-b+c>0；當x=4時，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤錯誤；⑥由圖象可知，當x<1或x>4時，一次函數圖象在二次函數圖象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集為x<1或x>4，故⑥錯誤．故答案為：①④．【點睛】本題考查二次函數的性質、方程與二次函數的關系、函數與不等式的關系等知識，解題的關鍵是利用數形結合方法解答．21．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖像過點A(3，0)，對稱軸為直線x＝1，給出以下結論：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y1),N(n2+2,【答案】①②④【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，再根據對稱軸方程可判斷b與0的關系，從而可判斷①，由對稱軸方程可得：當x=1時，函數取最大值，可判斷②，由n2+2＞n2+1≥1，可得M(n2+1,【詳解】解：∵拋物線開口向下，a＜0；∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b＞0；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；∴當x=1時，y最大，即a+b+c≥ax∵n2+2∴M(n2+1,y1∴y1＞y∵拋物線的對稱軸是x=1，與x軸的一個交點是（3，0），∴拋物線與x軸的另個交點是（-1，0），把（3，0）代入y=ax∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b=?2a，∴9a?6a+c=0，解得，c=?3a．∴y=ax∴頂點坐標為(1,?4a)，由圖像得當0＜y≤?4a時，-1＜x＜3，其中x為整數時，x=0，1，2，又∵x=0與x=2時，關于直線x=1軸對稱當x=1時，直線y=p恰好過拋物線頂點．所以p值可以有2個．故④正確；故答案為①②④．【點睛】本題考查的是拋物線的圖像與各項系數的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，二次函數的圖像與一元二次方程的整數根的情況判斷，掌握以上知識是解題的關鍵．22．（2023春·湖北武漢·九年級武漢市武珞路中學校考期中）已知二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a≠0）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=1，且與①abc>0；②a?b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一個常數）；④若方程ax2+bx+c=mx?2m（m是一個常數)的根為【答案】②③④【分析】①根據拋物線的開口方向、對稱軸、與x軸的交點來判斷a、b、c的正負情況即可；②由圖像可知，當x=?1時，y<0，即可求出a?b+c<0；③比較x=1和x=m時y的大小，即可得出結論；④將方程的解轉化為拋物線y=ax2+bx+cy【詳解】①因為拋物線開口向下，所以a<0；因為拋物線對稱軸為1，所以?b2a>0，所以b>0；因為拋物線對稱軸為1，且拋物線與x軸的一個交點在點（-1，0）和（0，0）之間，所以拋物線與y軸的交點在y的正半軸，所以c>0②由圖像可知，當x=?1時，y<0，所以a?b+c<0，故②正確；③當x=1時，y=a+b+c；當x=m時，y=am∵x=1為拋物線的對稱軸，且拋物線開口向下∴當x=1，y取最大值即a+b+c≥a∴a+b≥m(am+b)，故③正確；④設直線y=mx?2m，其過固定點（2，0），方程ax2+bx+c=mx?2m的根即為拋物線y=a由圖像可知，拋物線y=ax2+bx+cy與直線y=mx?2m故答案為：②③④【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像性質，二次函數與方程之間的轉換，利用特殊值代入法求特殊的式子等知識點．23．（2023春·九年級校考期末）拋物線y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖，有以下結論：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正確的為（填序號）．【答案】①②⑥．【分析】由拋物線的開口向上可知a>0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上可得c>0，由此判定①正確；由4a-b和對稱軸為x=-?b2a=-2，則a、b同號，即b>0，然后即可判定⑤錯誤；由拋物線與x軸有兩個交點得到b【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，∵與y軸的交點為在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴①正確；∵對稱軸為x＝?b2a＝﹣1，得2a＝∴a、b同號，即b＞0，∴abc＞0，∴⑤錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴④錯誤；當x＝1時，y＝a+b+C＞0，∴②正確；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴③錯誤；∵a﹣b+c＜0，4a＝b，∴c＜3a，∴4a＞c，∴⑥正確．故填空答案：①②⑥．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定以及靈活運用數形結合思想是解答本題的關鍵.24．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，則下列結論：①abc<0；②b2?4ac4a

【答案】①③④【詳解】（1）∵拋物線開口向下，∴a<0，又∵對稱軸在y軸的右側，∴b>0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，∴abc<0，即①正確；（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2又∵a<0，∴b2（3）∵點C的坐標為(0，c)，且OA=OC，∴點A的坐標為(?c，0)，把點A的坐標代入解析式得：ac∵c>0，∴ac?b+1=0，即③正確；（4）設點A、B的坐標分別為(x1，0)、(x2∵拋物線與x軸交于A、B兩點，∴x1，x∴x1∴OA·OB=?x綜上所述，正確的結論是：①③④.25．（2023春·九年級課時練習）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結論：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中結論正確的有．【答案】①②③④【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：由拋物線的開口向下知a＜0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上，得c＞0，對稱軸為x=?b∵a＜0，∴2a+b＜0，而拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，當x=2時，y=4a+2b+c＜0，當x=1時，a+b+c=2．∵4ac?b∴4ac-b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，則2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a-b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，上面兩個相加得到6a＜-6，∴a＜-1．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數等．26．（2023春·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中校考期末）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．下列結論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③當x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大；④當函數值y＜0時，自變量x的取值范圍是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正確的結論是．【答案】①④⑤．【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及二次函數與一元二次方程的關系，逐項判斷即可．【詳解】解：拋物線過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．∴x＝?b2a＝2，與即，4a+b＝0，故①正確；當x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正確；當x＜2時，y的值隨x值的增大而增大，因此③不正確；拋物線與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此當函數值y＜0時，自變量x的取值范圍是x＜﹣1或x＞5，故④正確；當x＝3時，y＝9a+3b+c＞0，當x＝4時，y＝16a+4b+c＞0，∴25a+7b+2c＞0，又∵a＜0，∴8a+7b+c＞0，故⑤正確；綜上所述，正確的結論有：①④⑤，故答案為：①④⑤．【點睛】本題主要考查二次函數圖像性質,解決本題的關鍵是要熟練掌握二次函數圖像性質.27．（2023春·九年級課時練習）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根，其中正確結論的個數為個．【答案】3【分析】由拋物線與x軸有兩個交點得到b2?4ac>0；由拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=?1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間，所以當x=1時，y<0，則a+b+c<0；由拋物線的頂點為D(?1,2)得a?b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=?1得b=2a，所以c?a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=?1時，二次函數有最大值為2，即只有x=?1【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b∵頂點為D(?1,2)，∴拋物線的對稱軸為直線x=?1，∵拋物線與x軸的一個交點A在點(?3,0)和(?2,0)之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間，∴當x=1時，y<0，∴a+b+c<0，所以②正確；∵拋物線的頂點為D(?1,2)，∴a?b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b=2a，∴a?2a+c=2，即c?a=2，所以③正確；∵當x=?1時，二次函數有最大值為2，即只有x=?1時，ax∴方程ax綜上所述，共有3個正確結論，故答案為：3．【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線，當a>0，拋物線開口