三年（2019-2021）中考真題數學分項匯編（浙江專用）

專題16相似與位似

選擇題（共8小題）

1.（2021?紹興）如圖，樹AB在路燈。的照射下形成投影AC,已知路燈高PO=5,〃，樹影AC=3,〃，樹48

與路燈。的水平距離AP=4.5M,則樹的高度A8長是（）

310

C.-mD.一m

23

【分析】利用相似三角形的性質求解即可.

［解析］'.'ABZ/OP,

：./\CAB^/\CPO,

.ABAC

POPC

.AB3

??5-3+4.5’

：.OP=2(〃z),

故選：A.

2.（2021?溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心,位似比為2：3,點A,8的對應點分

別為點4',B'.若A3=6,則A'B'的長為（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根據位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可.

【解析】???圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3,AB=6,

??—fL、|J—,

AfBf3AtBr3

解得，4'B'=9,

故選：B.

3.（2021?溫州）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形4BC。如圖所示.過點。作。尸

的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結CG,延長3E交CG于點若AE=2BE,則2的

BH

值為（）

【分析】如圖，過點G作GTLCF交CF的延長線于T,設BH交CF于M,AE交DF于N.設BE=AN

=CM=O尸=a,則AE=3M=CF=￡>N=2a,想辦法求出8H,CG,可得結論.

【解析】如圖，過點G作GTJ_C尸交C尸的延長線于T,設8H交C尸于例，AE交。F于M設8E=AN

=CM=DF=a,則4E=8Af=C■尸=￡W=2a,

?.?四邊形ENFM是正方形，

:.NEFH=NTFG=45°,NNFE=NDFG=45°,

\"GTLTF,DF1DG,

：.NTGF=ZTFG=ZDFG=NDGF=45°,

：.TG=FT=DF=DG=a,

：.CT=3a,CG=V(3a)2+a2=V10a,

'：MH//TG,

:./\CMHs/\CTG,

：.CM：CT=MH：TG=1：3,

17

BH—2a+，

.CGVlOa3V10

??-7=,

BH-a7

3

故選：C.

4.(2020?嘉興)如圖，在直角坐標系中，△043的頂點為O(0,0),A(4,3),B(3,0).以點。為位

似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為］的位似圖形△OCD,則點C的坐標為()

44

A.(-1,-1)B.(一點-1)C.(-1,-pD.(-2,-1)

【分析】根據關于以原點為位似中心的對應點的坐標的關系，把4點的橫縱坐標都乘以-g即可.

【解析】???以點。為位似中心，位似比為3

而A(4,3),

點的對應點C的坐標為(一$-1).

故選：B.

5.(2020?溫州)如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CRLFG

于點R,再過點C作尸QLCR分別交邊。E,BH于點P,Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長為()

A.14B.15C.8V3D.6V5

PCCEEP1

【分析】如圖，連接EC,CH.設48交CH于J.證明△￡(7尸S/V/CQ,推出一=—=—=一，由

CQCHHQ2

產。=15,可得PC=5,C0=1O,由ECCH=\t2,推出4cBC=\：2,設BC=2a,證明

四邊形A4QC是平行四邊形，推出A3=CQ=10,根據AC12+BC2=A32,構建方程求出?4即可解決問題.

【解析】如圖，連接EC,CH.設A8交CR于J.

I四邊形ACDE,四邊形3C/H都是正方形，

：.NACE=NBCH=45°,

VZACB=90°,ZBCI=90°,

/.ZACE+ZACB+ZBCW=180°,NACB+NBC7=180°

C,。共線，A,C,/共線，E、C、”共線，

'：DE//AI//BH,

：.NCEP=NCHQ,

■:/ECP=NQCH,

:./XECPs^HCQ,

.PCCEEP1

…CQ~CH~HQ~2

?"。=15,

:.PC=5,CQ=10,

,:EC：CH=\-.2,

J.AC-.BC=1：2,設AC=a,BC=2a,

\"PQLCR,CR1AB,

：.CQ//AH,

?:AC"BQ,CQ//AB,

???四邊形ABQC是平行四邊形，

，A8=CQ=10,

'：AC2+BC1=AB2,

.?.5/=100,

:.a=2店（負根已經舍棄）,

，AC=2后，8c=4后

11

"：-AC-BC=

22

275x4/5,

/.CJ=^^=4

9

\JR=AF=AB=]()f

：?CR=CJ+JR=14,

故選：A.

6.（2020?紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的一邊

長為8c7九則投影三角板的對應邊長為（）

A.20cmB.\0cmC.ScmD.3.2cm

【分析】根據對應邊的比等于相似比列式進行計算即可得解.

【解析】設投影三角尺的對應邊長為xcm,

???三角尺與投影三角尺相似，

**?8：x=2：5,

解得x=20.

故選：A.

7.（2019?溫州）如圖，在矩形ABC。中，E為AB中點，以BE為邊作正方形BEFG,邊EF交CD于點H,

在邊BE上取點M使8M=BC,作MN〃BG交.CD于點、L,交FG于點N,歐凡里得在《幾何原本》中

利用該圖解釋了（a+b）（a-b）=?2-b2,現以點尸為圓心，FE為半徑作圓弧交線段。，于點P,連接

EP,記的面積為Si,圖中陰影部分的面積為S2.若點A，L,G在同一直線上，則占的值為（）

【分析】如圖,連接AL,GL,PF,利用相似三角形的性質求出a與b的關系，再求出面積比即可.

【解析】如圖，連接AL,GL,PF.

由題意：S矩形AMZJ尸S陰=/~f，PH=Va2—b2,

丁點A,L,G在同一直線上，AM//GN,

：.AAMLsAGNL,

,AMML

??GN~NL

?_a_+_b_____a_-_b

?.=,

a-bb

整理得a=3h,

.S]~(a-b)-y/a2-b22ab2VI

22

**S2-a-b-8b24'

故選：C.

8.(2019?杭州)如圖，在△ABC中，點￡>,E分別在AB和4c上，DE//BC,M為BC邊上一點(不與點

B,C重合），連接AM交。E于點N,則（)

DNNEDNNE

BM~MCMC~BM

?-rDNAN一「NEAN,DNNE

【分析】先證明△”什△口〃侍到病=—,再證明△ANES4MC侍y到菽=—,則嬴=—,

從而可對各選項進行判斷.

【解析】,:DN〃BM,

：.XADNsAABM、

.DNAN

-AM'

■:NE//MC,

.NEAN

99MC~AM"

.DNNE

BM一MC

故選：c.

二.填空題（共4小題）

9.（2021?嘉興）如圖，在直角坐標系中，△A3C與△。。石是位似圖形，則它們位似中心的坐標是（4,

2)

【分析】根據圖示，對應點所在的直線都經過同一點，該點就是位似中心.

【解析】如圖，

點G（4,2）即為所求的位似中心.

故答案是：（4,2）.

10.（2020?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格

點的三角形稱為格點三角形.如圖，已知Rt^ABC是6X6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與

對△ABC相似的格點三角形中.面積最大的三角形的斜邊長是」立

：：\A：

力…7

BC

【分析】根據的各邊長得出與其相似的三角形的兩直角邊之比為1：2,在6義6的網格圖形中

可得出與RtAABC相似的三角形的短直角邊長應小于4,在圖中嘗試可畫出符合題意的最大三角形，從

而其斜邊長可得.

【解析】：在中，AC=1,BC=2,

：.AB=V5,AC：BC=1：2,

與RtZ\ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2,

若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6X6網格圖形中，最長線段為6VL但此時畫出

的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4,

在圖中嘗試，可畫出￡）E=dT5,￡F=2V10,。尸=5位的三角形，

..叵_還_亞—4

,1-2-V5-VW，

/./XABCsADFE,

.?.NZ）EF=NC=90°,

,此時△OE尸的面積為：710x2^10^2=10,為面積最大的三角形，其斜邊長為：5夜.

故答案為：5聲.

11.（2019?臺州）如圖，直線八〃/2〃/3,A,B,C分別為直線/i，儲/3上的動點，連接AB,BC,AC,線

段AC交直線/2于點D設直線/1，/2之間的距離為如直線/2,/3之間的距離為小若/ABC=90°,

m225

BD=4,且一=則m+n的最大值為二~.

n3-3一

B7n

【分析】延長48交八于E,根據已知條件得到==——，求得CE=10,ZCBE=90°,設/7i=Zr,〃

CEm+n

=3JG構造以GE1為直徑的半圓，則點8在其弧上運動，易知8GW8'G'=5,得到3xW5,由加+〃=

5爛易于是得到結論.

【解析】延長A8交八于E,

..7712

■=1

n3

"。=4,

ACE=10,

???/A8C=90°,

：.ZCBE=90°,

設/H=2x,n=3xf

構造以CE為直徑的半圓，則點8在其弧上運動，易知BGWB'G'=5,

即3xW5,

525

/.x<,.,加+〃=5爛芋

,25

*'?tn+n的最大值為二~.

3

故答案為：y

12.（2020?溫州）如圖，在河對岸有一矩形場地ABC。，為了估測場地大小，在筆直的河岸/上依次取點￡,

F,N,使AE，/,BF_U,點、N,A,8在同一直線上.在尸點觀測A點后，沿尸N方向走到M點，觀測

C點發現N1=N2.測得15米,FM=2米,MN=8米，NANE=45°,則場地的邊AB為15魚米,

BC為207^米.

【分析】根據已知條件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE=EN=15+2+8=25（米），BF

=FN=2+8=10（米），于是得到27=15魚（米）；過C作C”_U于從過B作PQ〃/交AE

于P,交CH于Q,根據矩形的性質得到PE=8尸=。，=10,PB=EF=15,BQ=FH,根據相似三角形

的性質即可得到結論.

【解析】VAE±Z,BF±l,

；/ANE=45°,

.?.△ANE和是等腰直角三角形，

：.AE=EN,BF=FN,

；.EF=15米，FM=2米，MN=8米，

；.AE=EN=15+2+8=25（米），BF=FN=2+8=IO（米）,

：.AN=25&（米），8N=10&（米），

:.AB=AN-BN=\5a（米）；

過C作C4_L/于”，過8作PQ〃/交月￡于P,交CHTQ,

：.AE//CH,

???四邊形PEHQ和四邊形PEFB是矩形，

；?PE=BF=QH=10,PB=EF=15,BQ=FH,

VZ1=Z2,NAEF=NCHM=90°,

/.XNEFsXCHM,

.CHAE255

??"M~EF~IS~3

???設M〃=3x,CH=5x,

9：CQ=5x-10,BQ=FH=3x+2,

?；NAPB=NABC=NCQB=90°,

???ZABP+ZPAB=/ABP+/CBQ=90°,

：.ZPAB=ZCBQ9

：.△APBs^BQC,

?APPB

??筋=而

?*_15

3x+2Sx—10

，x=6,

：.BQ=CQ=20,

：.BC=20/2（米），

方法二：VZANE=45°,

???NABP=450,

：.ZCBQ=45°,

:?CQ=BQ,

9：CQ=5x-10,BQ=FH=3x+2,

/.5x-10=3x+2,

，x=6,

：.BQ=CQ=20f

:.BC=20a（米），

故答案為：15近，20V2.

D

三.解答題（共9小題）

13.（2021?杭州）如圖，銳角三角形A8C內接于。0,NA4c的平分線AG交。0于點G,交BC邊于點F,

連接BG.

（1）求證：AABG^AAFC.

（2）已知A8=〃，AC=AF=b,求線段FG的長（用含“，人的代數式表示）.

（3）已知點E在線段AF上（不與點A,點F重合），點。在線段AE上（不與點A,點E重合），ZABD

=NCBE,求證：BG2=GE,GD.

【分析】（1）根據NBAC的平分線AG交OO于點G,知NBAC=N胡C,由圓周角定理知/G=NC,

即可證△ABGs/\AFC；

（2）由（1）知竺=竺，由AC=A尸得AG=A8,即可計算FG的長度；

AFAC

（3）先證△OG8S/\8GE,得出線段比例關系，即可得證8G2=GE?GO.

【解答】（1）證明：平分/8AC,

/84G=ZFAC,

又,??NG=NC,

△ABGs—

（2）解：由（1）知，△ABGS/\AFC,

.ABAG

?.,

AFAC

*：AC=AF=hf

A8=AG=〃，

：.FG=AG-AF=a-b；

(3)證明：VZCAG=ZCBG,NBAG=NCAG,

:./BAG=/CBG,

?//ABD=NCBE,

：.NBDG=NBAG+/ABD=/CBG+/CBE=NEBG,

又,：NDGB=/BGE,

:ADGBS^BGE,

GDBG

???~_—,

BGGE

：.BG2=GE'GD.

14.(2020?衢州)如圖，△ABC內接于。。，AB為。。的直徑，A8=10,AC=6,連接OC,弦A。分別交

OC,8c于點E,F,其中點￡是4。的中點.

(1)求證：ZCAD=ZCBA.

(2)求OE的長.

【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可.

CEAC

（2）證明△AECSABCA,推出一=—,求出七C即可解決問題.

ACAB

【解答】（1）證明：??工￡：=。區。。是半徑，

：.AC=CD,

：.ZCAD=ZCBA.

(2)解：?.?A8是直徑,

ZACB=90°,

'：AE=DE,

：.OC±AD,

ZAEC=90°，

ZAEC=ZACB,

△\ECs[XBCX、

CEAC

AC-AB"

CE6

6"10,

CE=3.6,

1

OC=^AB=5,

OE=OC-EC=5-3.6=1.4.

15.(2020?寧波)【基礎鞏固】

(1)如圖1,在△ABC中，。為AB上一點，ZACD=ZB.求證：

【嘗試應用】

(2)如圖2,在EL43C。中，E為BC上一點,F為CD延長線上一點,/BFE=NA.若3/=4,BE=3,

求AD的長.

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形A8CO中，￡是A8上一點，尸是△48C內一點，EF//AC,AC=2EF,ZEDF=1z

BAD,AE=2fDF=5,求菱形ABC。的邊長.

DrDCr

(2)證明△BF￡'S/\8CF,得出比例線段——=—,BF2=BE-BC,求出BC,則可求出AO.

BCBF

(3)分別延長EF,0c相交于點G,證得四邊形AEGC為平行四邊形，得出AC=EG,CG=AE,ZEAC

EDEF

=NG,證明△EDFs/^EGD,得出比例線段——=—,則可求出。G,則答案可求出.

EGDE

【解析】(1)證明：ZA=ZA,

：./XADC^/XACB,

ADAC

?.—~'=,>

ACAB

：.AC2=AD'AB.

(2)?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又?：NBFE=乙4,

二NBFE=ZC,

又,：ZFBE=/CBF,

:.叢BFES/\BCF,

.BFBE

BCBF

:.BF2=BE?BC,

:四邊形A8CZ）是菱形，

J.AB//DC,NBAC=；NBA￡>,

'JAC//EF,

四邊形AEGC為平行四功形,

：.AC=EG,CG=AE,ZEAC=ZG,

1

VNEDF=^ZBAD,

:?/EDF=/BAC,

:./EDF=NG,

又；/DEF=/GED,

；.4EDFs/\EGD,

.EDEF

??1~~~~~~>

EGDE

：.DE1=EF-EG,

又,：EG=AC=2EF,

：.DE1=2EF1,

：.DE=y[2EF,

「DGDE

又；--=—?

DFEF

:.DG=V2DF=5V2,

：.DC=DG-CG=5&-2.

16.(2020?金華)如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，分別

過08,OC的中點。，E作AE,A￡>的平行線，相交于點F,已知08=8.

(1)求證：四邊形AEFO為菱形.

(2)求四邊形AEF。的面積.

(3)若點P在x軸正半軸上(異于點。)，點。在y軸上，平面內是否存在點G,使得以點A,P,Q,

G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，試說明理由.

備用圖

【分析】(I)根據鄰邊相等的四邊形是菱形證明即可.

(2)連接DE,求出△AQE的面積即可解決問題.

(3)首先證明AK=3￡>K,①當AP為菱形的一邊，點。在x軸的上方，有圖2,圖3兩種情形.②當

AP為菱形的邊，點。在x軸的下方時，有圖4,圖5兩種情形.③如圖6中，當AP為菱形的對角線時,

有圖6一種情形.分別利用相似三角形的性質求解即可.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

'JAE//DF,AD//EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

；四邊形A80C是正方形，

：.AC=AB=OC=OB,乙4CE=/AB￡>=90°,

,:E,。分別是。C,08的中點，

：.CE=BD,

.?.△CAE也△ABO(SAS),

：.AE=AD,

二平行四邊形尸。是菱形.

(2)解：如圖1中，連接

,*,S^ADB—SAACE=2x8X4=16,

SA￡OD=1X4X4=8,

S^AED=SE方形ABOC-2SAABD-S^EOD=M-2X16?8=24,

??S菱形AEFO=2SA4EE>=48.

(3)解：如圖1中，連接AR設AF交DE于K,

9：OE=OD=4,OK1DE,

:.KE=KD,

0K=KE=KD=2五,

???AO=8&

???AK=6&,

:,AK=3DK,

①當A尸為菱形的一邊，點。在工軸的上方，有圖2,圖3兩種情形：

如圖2中，設AG交PQ于"過點”作軸于M交AC于M,設AM=f.

菱形以QGs菱形ADFE,

:.PH=3AH,

，：HN〃OQ,QH=HP,

：.ON=NP,

???〃N是△尸。。的中位線，

：.ON=PN=S-1,

■:/MAH=NPHN=900-NAHM,ZPNH=ZAMH=90°,

:AHMAsAPNH,

,AMMHAH1

…NH~PN~PH~3

:.HN=3AM=3i,

:.MH=MN-NH=8-3t,

*：PN=3MH,

：.S-t=3(8-3r),

?*-t=2.

：.OP=2ON=2(8-力=12,

:.P(12,0).

如圖3中，過點”作軸于/,過點P作PN_Lx軸交出于M延長B4交/N于M.

AMMHAH1

---=----=—=一，設MH=i,

HNPNHP3

:.PN=3MH=3t,

AB=3f-8,

???川是△OP。的中位線，

?,.OP=2IH.

:.H1=HN,

A8+r=9/-24,

，=4,

AOP=2HI=2(8+r)=24,

：.P(24,0).

②當AP為菱形的邊，點。在x軸的下方時，有圖4,圖5兩種情形：

如圖4中，QH=3PH,過點H作“M_LOC于M,過。點尸作「MLM”于M

,??M”是△Q4C的中位線，

1

：.MH=^AC=49

同法可得：叢HPNs叢QHM,

.NPHNPH1

~MQ~QH~3

.14

；.PN=^HM=§,

4

：?OM=PN=/設HN=f,則MQ=33

U：MQ=MC,

c4

?-3z=8-w，

?20

../=可

：.OP=MN=4+t=~,

.?.點P的坐標為（至，0）.

9

如圖5中，QH=3PH,過點H作“MLv軸于M交力C于/,過點。作QMLHM于M

；由是AACQ的中位線，

：.CQ=2HI,NQ=CI=4,

同法可得：APMHSAHNQ,

114

---

333

設PM=r,則HN=3r,

,:HN=HI,

.4

??3f=8+可,

28

于

o

???OP=OM-PM=QN-PM=4-t=全

③如圖6中，當AP為菱形的對角線時，有圖6一種情形:

圖6

過點“作軸于于點M,交48于/,過點、P作PN上HM于N.

x軸，AH=HP,

：.AI=IB=4f

；?PN=1B=4,

同法可得：APNHsAHMQ,

.P/VHNPH1

HM~MQ~HQ~3

:.MH=3PN=\2,HI=MH-M/=4,

???川是△AB尸的中位線,

:?BP=21H=8,

0P=0B+BP=\6,

：.P(16,0),

568

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(12,0)或(24,0)或(工，0)或%,0)或(16,0).

99

17.(2020?杭州)如圖，在△ABC中，點。，E,尸分別在A8,BC,AC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：/\BDEs4EFC.

,AF1

(2)設n———)

FC2

①若BC=12,求線段BE的長；

②若AEFC的面積是20,求AABC的面積.

【分析】（1）由平行線的性質得出/￡）EB=NFCE,ZDBE=ZFEC,即可得出結論；

BEAF1

（2）①由平行線的性質得出而=—=即可得出結果；

pr2

②先求出二=不易證△EFCS/^BAC,由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結果.

【解答】（1）證明：???OE〃4C,

:./DEB=NFCE,

■:EF〃AB,

:?/DBE=/FEC,

:?△BDEs^EFC；

(2)解：@9：EF//AB,

.BEAF_1

EC~FC~2

■;EC=BC-BE=12-BE,

.BE1

'*12-FE-2

解得：BE=4；

AF1

@V—=一，

FC2

.FC2

??=一,

AC3

?:EF"AB,

:?△EFCSXBAC,

??."=(t)2=(2)2=4

S“BC4c39

99

S^ABC=0/\EFC=4x20=45.

18.(2020?杭州)如圖，在正方形ABC。中，點E在3C邊上，連接AE,ND4E的平分線AG與CQ邊交

CE

于點G,與2c的延長線交于點F.設丁=入(A>0).

EB

(1)若A8=2,入=1,求線段CF的長.

(2)連接EG,若EGJ_A凡

①求證：點G為CO邊的中點.

②求入的值.

【分析】（1）根據48=2,入=1,可以得到8E、CE的長，然后根據正方形的性質，可以得到AE的長,

再根據平行線的性質和角平分線的性質，可以得到E尸的長，從而可以得到線段CF的長；

（2）①要證明點G為8邊的中點，只要證明AAOG絲△FGC即可，然后根據題目中的條件，可以得

到△AQG絲的條件，從而可以證明結論成立；

②根據題意和三角形相似，可以得到CE和仍的比值，從而可以得到人的值.

【解析】（1）:在正方形A8C￡＞中，AD//BC,

:.ZDAG=ZF9

又YAG平分ND4E,

???ZDAG=ZEAGf

：?4EAG=4F,

：.EA=EFf

VAB=2,ZB=90°，點E為3C的中點，

：.BE=EC=\,

：.AE=7AB2+BE?=V5,

：.EF=V5,

：.CF=EF-EC=y/5-1；

(2)①證明：?：EA=EF,EGLAF,

:.AG=FG9

在△AOG和△FCG中

(ZD=NGCF

\^AGD=乙FGC，

MG=FG

：.^ADG^/XFCG(A4S),

:?DG=CG,

即點G為。的中點；

②設CD=2a,則CG=a,

由①知，CF=DA=2a,

VEG±AF,ZGCF=90°,

AZEGC+ZCGF=90°,ZF+ZCGF=90°,ZECG=ZGCF=90°,

???NEGC=NF,

:.AEGCS^GFC,

.ECGC

?,GC~FCf

,:GC=a,FC=2a,

￡￡_1

?e?~~~=~,

FC2

,EC1

??=一,

GC2

113

EC=*BE=BC-EC=2a-]a=乃,

19.(2019?紹興)如圖，矩形ABCQ中，AB=a,BC=b，點M,N分別在邊AB,CD上，點E,F分別在

邊BC,ADk,MN,EF交于點P,記％EF.

(1)若a：6的值為1,當MNLEF時，求k的值.

(2)若a：b的值為今求我的最大值和最小值.

(3)若上的值為3,當點N是矩形的頂點，ZMPE=60°,MP=EF=3尸E時，求a：。的值.

【分析】(1)作E”_L8c于”，MQJ_C。于Q,設“交A/N于點O.證明△"/￡：且△MQN(A4S),即

可解決問題.

(2)由題意：2a^MN<V5a,a^EF<V5a,當MN的長取最大時，E尸取最短，此時人的值最大最大值

l_2%

=V5,當MN的最短時，E/7的值取最大，此時攵的值最小，最小值為《一.

MNEFPNPF

(3)連接FN,ME.由k=3,MP=EF=3PE,推出——=—=3,推出——=—=2,tljAP/VF^A

PMPEPMPE

NFPN

PME,推出一=—=2,ME//NF,設PE=2勿，則尸產=4m，MP=6/n,NP=T2m,接下來分兩種情

MEPM

形①如圖2中，當點N與點。庖合時，點M恰好與8重合.②如圖3中，當點N與C重合，分別求解

即可.

【解析】(1)如圖1中，

D

BHEC

圖1

作EH1.BC于H,MQ_LC￡)于Q,設EF交MN于點O.

,??四邊形ABC。是正方形，

：.FH=AB,MQ=BC,

■:AB=CB,

:?FH=MQ,

?：EF1MN,

:?/EON=90°,

,：ZECN=90°,

???NMNQ+NCEO=180°,NFEH+/CEO=T8U°

:"FEH=NMNQ,VZEHF=ZMQN=90°,

:.叢FHE%AMQN(AAS),

:.MN=EF,

：.k=MN：EF=l.

(2),?Z：b=\：2,

??b=2a,

由題意：2aWMNWy/5afaWEFW炳a,

???當MN的長取最大時，E尸取最短，此時女的值最大最大值=遮，

275

當MN的最短時，EF的值取最大，此時攵的值最小，最小值為《一,

(3)連接FMME.

<k=3,MP=EF=3PE,

MNEF

???___—_____—_Ja,

PMPE

PNPF

：.—=—=2,?.?NFPN=/EPM,

PMPE

:ZNFsRPME,

NFPN

，，—，“一2ME//NF,

ME一PM-

設PE=2，〃，則尸F=4"?,MP=6m,NP=l2m,

①如圖2中，當點N與點。重合時，點M恰好與8重合.作于”.

圖2

■:NMPE=NFPH=60°,

.PH=2m,FH=2V3m,DH=\Om,

,aABFHV3

"b~AD~HD~5'

②如圖3中，當點N與C重合，作EHLMN于H.則PH=m,HE=V3w,

圖3

HC=PH+PC=13m,

43

lanNHCE=^=聆討

ME//FC,

ZMEB=NFCB=NCFD,

ZB=ZD,

△MEBs^CFD,

aCD2MB273

b~BC~BC~13

V32-73

綜上所述，a：b的值為、■或黃.

20.（2019?臺州）如圖，正方形ABCZ）的邊長為2,E為AB的中點，P是區4延長線上的一點，連接PC交

AO于點凡AP=FD.

(1)求—的值；

AP

(2)如圖1,連接EC,在線段EC上取一點M,使EM=EB,連接MF,求證：MF=PF；

(3)如圖2,過點E作EMLCD于點N,在線段EN上取一點Q,使AQ=AP,連接BQ,BN.將△AQB

繞點A旋轉，使點。旋轉后的對應點。'落在邊4。上.請判斷點B旋轉后的對應點B是否落在線段BN

上，并說明理由.

圖1圖2

APAF

【分析】(1)設AP=FD=a,通過證明△AFPs△。尸c,可得—=——，可求AP的值，即可求AF的

CDFD

值，則可求解；

(2)在CD上截取￡)H=AF,由“SAS”可證△B4F絲△”￡>「，可得PF=FH,由勾股定理可求CE=EP=

V5,可得CM=C”=J5-1,由“SAS”可證△尸CM絲△尸CH,可得FM=FH=PF；

(3)以A原點，A8為y軸，A力為x軸建立平面直角坐標系，用待定系數法可求8N解析式，即可求

用坐標，計算的長度，即可判斷點B旋轉后的對應點8是否落在線段&V上.

【解析】(1)設4尸=尸￡>=〃，

.-2-a,

?.?四邊形ABC力是正方形

：.AB//CD

：./\AFP^/\DFC

.APAF

CD-FD

即g=—

2a

V5—1

：.AP=FD=y[5-],

：.AF=AD-DF=3-V5

.AFV5-1

"AP~2

(2)在CO上截取￡W=AF

,：AF=DH,ZPAF=ZD=90°,AP=FD,

：./\PAF^/\FDH(SAS)

：.PF=FH,

'：AD=CD,AF=DH

：.FD=CH=AP=y/5-\

?點E是AB中點，

：.BE=AE^l=EM

：.PE=PA+AE=V5

EC1=B修+Bd=1+4=5,

：.EC=