第二節平面向量的坐標運算與數量積坐標形式下的向量運算考向聚焦平面向量的坐標運算是高考的一個重點,主要考查方向有:(1)圍繞線性運算、共線向量及數量積的運算命題;(2)通過坐標運算證明兩個向量平行等位置關系.此外平面向量的坐標運算作為工具也時常出現在解析幾何、三角函數等問題中.本節內容多以選擇、填空題考查,難度較小,所占分值5分左右1.(年重慶卷,理6,5分)設x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|等于()(A)5 (B)10 (C)25 (D)10解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)=2y,∴y=-2,∴a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),∴|a+b|=32+(-答案:B.2.(年廣東卷,理3,5分)若向量BA→=(2,3),CA→=(4,7),則(A)(-2,-4) (B)(3,4)(C)(6,10) (D)(-6,-10)解析:BC→=BA→+AC→=BA答案:A.3.(年北京卷,理10)已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b與c共線,則k=.

解析:a-2b=(3,3),∵a-2b與c共線,∴3=3k,∴k=1.答案:14.(年陜西卷,理11)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=.

解析:a+b=(1,m-1),∵(a+b)∥c,又c=(-1,2),∴1×2-(-1)×(m-1)=0,得m=-1.答案:-1若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則有x1y2-x2y1=0.向量的數量積及應用考向聚焦數量積是高考的重點也是熱點考查內容,考查方向主要體現在:(1)直接利用數量積定義計算求解;(2)利用數量積求兩向量的夾角;(3)利用平面向量的數量積解決有關向量垂直問題;(4)利用數量積求解向量模的問題.另外在解答題中,向量的數量積與三角函數交匯,與解析幾何交匯也是高考命題的關注點,前4種情況往往以客觀題的形式出現,難度在中檔以下,所占分值為5分左右備考指津訓練題型:(1)數量積公式的直接應用以及數量積公式的變形應用,特別需要關注數量積的兩種表達形式;(2)數量積在與其他知識相結合時常常通過數量積的運算以后,已知條件才明朗5.(年天津卷,理7,5分)已知△ABC為等邊三角形,AB=2.設點P,Q滿足AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈R,若BQ→·CP(A)12 (B)(C)1±10解析:BQ→·CP→=(BA→+AQ→)·(=[BA→+(1-λ)AC→]·[CA→+=BA→·CA→-λAB→2+(λ-1)AC→2+λ=2×2×cos60°-4λ+4(λ-1)+λ(1-λ)×2×2cos60°=-2+2λ-2λ2=-32∴4λ2-4λ+1=0,∴(2λ-1)2=0,∴λ=12.故選答案:A.6.(年湖南卷,理7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·BC→=1,則BC=((A)3 (B)7 (C)22 (D)23解析:如圖,在△ABC中,因為AB→·=|AB→||BC→|cos(所以|BC→|cosB=-1由余弦定理可得32=22+BC2-2·2·BC·cosB=4+BC2+2,BC2=3,BC=3,故選A.答案:A.在△ABC中,要注意兩向量的夾角與三角形內角的關系,另外要注意與正、余弦定理結合使用.7.(年廣東卷,理8,5分)對任意兩個非零的平面向量α和β,定義αβ=α·ββ·β,若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈(0,π4),且ab和ba都在集合{n2|n(A)12 (B)1 (C)32解析:由題意知ab=a·bb·b=|a||bba=b·aa·a=|b||a|cosθ|a以上兩式相乘,得:cos2θ=14n1n2∵θ∈(0,π4),∴22<cosθ<1,12<cos∴12<14n1n2<1,2<n1n又n1,n2∈Z,∴n1=1,n2=3或n1=3,n2=1,由|a|≥|b|>0,知:ab≥ba>0,∴n1=3,∴ab=n12=答案:C.新概念題,以向量為載體,考查三角函數、集合、不等式,是一道難度較大的考題,綜合性強.8.(年廣東卷,理3)若向量a,b,c滿足a∥b且a⊥c,則c·(a+2b)等于()(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:∵a∥b且a⊥c,∴b⊥c,從而a·c=0,b·c=0,∴c·(a+2b)=c·a+c·2b=0.故選D.答案:D.9.(年全國新課標卷,理10)已知a與b均為單位向量,其夾角為θ,有下列四個命題p1:|a+b|>1?θ∈[0,2πp2:|a+b|>1?θ∈(2π3,p3:|a-b|>1?θ∈[0,π3p4:|a-b|>1?θ∈(π3,π其中的真命題是()(A)p1,p4 (B)p1,p3 (C)p2,p3 (D)p2,p4解析:|a+b|>1?|a+b|2>1?a2+b2+2|a||b|cosθ>1,∴cosθ>-12又∵θ∈[0,π],∴θ∈[0,2π∴p1為真命題,故p2為假命題.又|a-b|>1?|a-b|2>1?a2+b2-2|a||b|cosθ>1,∴cosθ<12又∵θ∈[0,π],∴θ∈(π3,π∴p4為真命題,故p3為假命題.故選A.答案:A.10.(年遼寧卷,理10)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為()(A)2-1 (B)1 (C)2 (D)2解析:由題意(a-c)·(b-c)≤0可化為a·b-a·c-b·c+c2≤0,即a·c+b·c≥1,所以|a+b-c|=a=3-2(答案:B.11.(年遼寧卷,理8)平面上O,A,B三點不共線,設OA→=a,OB→=b,則(A)|a|(C)12|解析:∵a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos∠AOB,∴cos∠AOB=a·S△OAB=12|a||b|sin∠=12|a||b|1-cos=12答案:C.12.(年新課標全國卷,理13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

解析:主要考查數量積及向量的模的運算.∵<a,b>=45°,|a|=1,|2a-b|=10,∴(2a-b)2=10即4|a|2-4|a||b|cos45°+|b|2=10,∴|b|2-22|b|-6=0,∴|b|=32.答案:3213.(年江蘇數學,9,5分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若AB→·AF→=2,則AE→·BF→解析:本題考查平面向量的數量積的坐標計算.以A點為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立直角坐標系,則AB→=(2,0),AE→=(設F(t,2),AF→∵AB→·AF→=2t=2,∴AE→·BF→=(2,1)(1-2,2)=答案:2本題給出了向量問題的新的背景,立意新穎.14.(年北京卷,理13,5分)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則DE→·CB→的值為;DE→·DC→解析:由題意,可建立如圖所示的坐標系,則D(0,0),C(0,1),B(1,1),A(1,0),E(1,y),且0≤y≤1.∴DE→·CB→=(1,y)·(1,0)=1+0DE→·DC→=(1,y)當y=1時,DE→·DC答案:11運用坐標法處理數量積是一種比較簡單的方法.15.(年浙江卷,理15,4分)在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則AB→·AC→=解析:不妨設△ABC為等腰三角形,則AM⊥BC.AB→·AC→=(AM→+MB→)·(AM→+MC→)=答案:-1616.(年上海數學,理12,4分)在平行四邊形ABCD中,∠A=π3,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿足|BM→||BC→|=|解析:設|BM→||BC→|因為AM→=AB→+BM→=ABAN→=AD→+DN→=BC→-x所以AM→·AN→=(AB→+xBC→)(BC→=AB→·BC→-xAB→2+AB→2+xBC→2-x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,因為0≤x≤1,所以2≤AM→·AN→答案:[2,5]17.(年安徽卷,理14,5分)若平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值是.

解析:本題考查向量的模和數量積的相關知識.|2a-b|≤3?4a2+b2≤9+4a·b,4a2+b2≥4|a|·|b|≥-4ab?9+4a·b≥-4a·b?a·b≥-98∴a·b的最小值是-98答案:-918.(年安徽卷,理13)已知向量a、b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為.

解析:由(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+2cos<a,b>-8=-6知cos<a,b>=12,故a與b的夾角為π答案:π19.(年江蘇卷,10)已知e1,e2是夾角為2π3的兩個單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,則實數k的值為解析:∵a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=ke12+(1-2k)e1·e2-2e22=k|e1|2+(1-2k)|e1||e2|·cos<e1,e2=k+(1-2k)×cos2π=2k-52∴k=54答案:520.(年天津卷,理14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|PA→+3PB→|的最小值為解析:法一:如圖建立平面直角坐標系,設C(0,b),則B(1,b),又A(2,0),設P(0,y),則PA→+3PB∴|PA→+3PB→|2=25+(3b-4y)∴當3b-4y=0,即y=34|PA→+3PB→|∴|PA→+3PB法二:設DP→=xDC→(0<x<1),則PC→∴PA→=DA→-DP→=DAPB→=PC→+CB→=(1-x)DC∴PA→+3PB→=52∴|PA→+3PB→|2=254DA→2+2×52×(3-4x)DA→·DC當且僅當x=34時取“=”∴|PA→+3PB答案:521.(年江蘇卷,15)在