人教版七年級數學

第三章一元一次方程

3.1從算式到方程

3.1.1一元一次方程

基礎題

知識點1方程的定義

含有未知數的等式叫做方程.

1.下列各式中，是方程的是A

A.7x—3=3x+5B.4x-7

C.22+3=7D.2x<5

2,已知式子：①3—4=—1；②2x—5y；③l+2x=0；④6x+4y=2；⑤3x“一2x+l=0,其中是等式的有①③④⑤,

其中含有未知數的等式有③④⑤,所以是方程的有③④⑤.（填序號）

知識點2一元一次方程

只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1,等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.

3.（黔西南興仁縣期末）下列選項中，是一元一次方程的是A

A.2x=3xB.x—3=y—4

C.x+5D.X2+2X=5

4.如果方程（m-l）x+2=0是關于x的一元一次方程，那么m的取值范圍是B

A.m#OB.m#lC.m=—1D.m=0

5.（黔西南興義市月考）若3X"T—1=5是一元一次方程，則k=2.

知識點3方程的解

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解.

如：x=—2和x=3中，是方程5x—10=5的解的是x=3.

6.（梧州中考）一元一次方程4x+l=0的解是B

11

A.x=TB.x=-7

44

C.x=4D.x=—4

7.（遵義航天中學月考）在下列方程中，解是x=2的方程是D

A.3x=x+3B.—x+3=0

C.2x=6D.5x—2=8

8.在0,1,2,3中，是方程（x—g=-g的解.

9.寫出一個解為一看的一元一次方程：答案不唯一，如：x+==0.

知識點4列方程

10.（黔西南望謨縣期末）某中學七年級（5）班共有學生55人，當該班少一名男生時，男生的人數恰好為女生人

數的一半.設該班有男生x人，則下列方程中，正確的是A

A.2（x-l）+x=55B.2（x+l）+x=55

C.x—l+2x=55D.x+l+2x=55

11.李紅買了8個蓮蓬，付50元，找回38元.設每個蓮蓬的價格為x元，根據題意，列出方程為50—8x=38.

12.根據下列語句，列出方程：

(1)一個數x的3倍與9的和等于8；

⑵某數x的3倍比它的一半大2；

(3)一個數x的3倍比它的2倍多10；

(4)x的3倍與7的差比x的J少2.

解：(l)3x+9=8.

(2)3x—1x=2.

(3)3x-2x=10.

(4)1x—(3x—7)=2.

易錯點對一元一次方程的概念理解不透導致錯誤

13.若(m—2)x"-'=5是一元一次方程，則m的值為B

A.±2B.-2C.2D.4

中檔題

14.(黔西南興義市月考)若x=2是方程x+2a=4的解，則a的值是A

A.lB.-1C.2D.-2

15.(綏化中考)一個長方形的周長為30cm,若這個長方形的長減少1cm,寬增加2cm就可成為一個正方形,

設長方形的長為xcm,可列方程為D

A,x+1—(30—x)—2B.x+1—(15一x)—2

C.x-l=(30-x)+2D.x-l=(15-x)+2

16.(教材P83習題T3變式)檢驗下列各題括號內的值是否為相應方程的解：

(l)2x-3=5(x-3){x=6,x=4}；

解：x=6不是方程的解，

x=4是方程的解.

(2)4x+5=8x-3{x=3,x=2}.

解：x=3不是方程的解，

x=2是方程的解.

17.已知y=l是關于y的方程my-y+2的解，求m2-3m+l的值.

解：把y=l代入方程my=y+2,得m=3.

當m=3時，m2—3m+l=l.

18.(教材P80練習變式)根據下列問題，設未知數，列出方程：

(1)《文摘報》每份0.5元，《信息報》每份0.4元，小剛用7元錢買了兩種報紙共15份，他買的兩種報紙各

多少份？

(2)水上公園某一天共售出門票128張，收入912元，門票價格為成人每張10元，學生可享受六折優惠.這一

天出售的成人票與學生票各多少張？

解：(1)設買《文摘報》X份，則買《信息報》(15—X)份，根據題意列方程，得

0.5x+0.4(15—x)=7.

(2)設出售成人票x張，則出售學生票(128—x)張，根據題意列方程，得

10x+60%X10(128-x)=912.

綜合題

19.在一次植樹活動中，甲班植樹的株數比乙班多20%,乙班植樹的株數比甲班的一半多10株.設乙班植樹x

(1)列兩個不同的含x的代數式，分別表示甲班植樹的株數；

(2)根據題意，列出含未知數x的方程；

(3)檢驗乙班、甲班植樹的株數是不是分別為25株和35株.

解：(1)根據甲班植樹的株樹比乙班多20%,得甲班植樹的株數為(l+20%)x；

根據乙班植樹的株數比甲班的一半多10株，得甲班植樹的株數為2(X-10).

(2)(l+20%)x=2(x-10).

(3)把x=25分別代入方程的左邊和右邊，得

左邊=(1+20%)X25=30,

右邊=2義(25-10)=30.

因為左邊=右邊，

所以x=25是方程(l+20%)x=2(x-10)的解.

這就是說乙班植樹的株數是25株，從上面檢驗過程可得，甲班植樹株數是30株，而不是35株.

3.1.2等式的性質

基礎題

知識點1等式的性質

(1)等式的性質1等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等.即：如果a=b,那么a±c=b土c.

(2)等式的性質2等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：如果a=b,那么ac=bc;

ab

也口果a=b(cWO),刃口么一=一.

cc

1.(遵義航天中學月考)下列等式變形中，錯誤的是D

人.由@=13,得a+5=b+5

ab

B.由a=b,得7

-3—3

C.由x+2=y+2,得x=y

D.由-3x=—3y,得*=-y

2.(遵義桐梓縣期末)在下列式子中，變形正確的是B

A.如果a=b,那么a+c=b—c

ab

B,如果a=b,那么］=可

C.如果a—b+c=0,那么a=b+c

D.如果5=4,那么a=2

3.如圖，兩個天平都平衡，則與2個球質量相等的正方體的個數為D

--|一1_I

ZS

\中，、用,

ZS

A.2B.3C.4D.5

4.在下列各題的橫線上填上適當的數或整式，使所得結果仍是等式，并說明根據的是等式的哪一條性質以及是

怎樣變形的.

XV

(1)如果一寸=卷，那么x=-2y,根據等式的性質2,兩邊乘一10；

1U0

(2)如果-2x=2y,那么x=-y,根據等式的性質2,兩邊除以一2；

⑶如果a=4,那么x=6,根據等式的性質2,兩邊乘去

(4)如果x=3x+2,那么x—3x=2,根據等式的性質1,兩邊減3x.

知識點2利用等式的性質解方程

解以X為未知數的方程，就是把方程逐步轉化為x=a(常數)的形式，等式的性質是轉化的重要依據.

5.把方程5=1變形為x=2,其依據是B

A.等式的兩邊同時乘3

B.等式的兩邊同時除以：

C,等式的兩邊同時減3

D,等式的兩邊同時加T

6.下列方程變形正確的是C

A?由;y=°，得y=4

3

B.由3x=-5,得*=一二

5

C,由3—x=—2,得x=3+2

D.由4+x=6,得x=6+4

7.（梧州中考）方程x—5=0的解是x=5.

8.由2x—l=0得到x=t，可分兩步，按步驟完成下列填空:

第一步：根據等式的性質1,等式兩邊加1,得到2x=l；

第二步：根據等式的性質2,等式兩邊除以2,得到x=*

9.（教材P83習題T4變式）利用等式的性質解方程：

（l）8+x=—5；

解：兩邊減8,得x=-13.

（2）4x=16；

解：兩邊除以4,得x=4.

(3)3x-4=U.

解：兩邊加4,得3x=15.

兩邊除以3,得x=5.

易錯點對性質理解不透致錯

10.有兩種等式變形：①若ax=b,則x=2②若x=&則ax=b.其中B

aa

A,只有①對B.只有②對

C,①②都對D.①②都錯

中檔題

11.（蘭州中考）己知2x=3y（yW0）,則下面結論成立的是A

12.（廣東中考）已知方程x―2y+3=8,則整式x-2y的值為A

A.5B.10C.12D.15

13.在等式3a—5=2a+6的兩邊同時減去一個多項式可以得到等式a=ll,則這個多項式是2a—5.

V1

14.（黔東南期末）若x=l是關于x的方程3n--=l的解，則旦與.

15.有只狡猾的狐貍，它平時總喜歡戲弄人，有一天它遇見了老虎，狐貍說：“我發現2和5是可以一樣大的,

我這里有一個方程5x-2=2x—2.

等式兩邊同時加上2,得

5x—2+2=2x—2+2,①

即5x=2x.

等式兩邊同時除以x,得5=2.”②

老虎瞪大了眼睛，聽傻了.

你認為狐貍的說法正確嗎？如果正確，請說明上述①、②步的理由；如果不正確，請指出錯在哪里？并加以改

正.

解：不正確.

①正確，運用了等式的性質1.

②不正確，由5x=2x,兩邊同時減去2x,得5x—2x=0,即3x=0,所以x=0.

綜合題

16.能不能從(a+3)x=b—l得到x=與g，為什么？反之，能不能從x=口得到等式(a+3)x=b-l,為什么？

a+3a+3

解：當a=-3時，不能從(a+3)x=b—1得到x=1,因為0不能為除數.

能從x=M得到等式(a+3)x=b—l,這是根據等式的性質2,且從x==可知，a+3#0.

a十3a十3

3.2解一元一次方程(-)——合并同類項與移項

第1課時利用合并同類項解一元一次方程

基礎題

知識點利用合并同類項解簡單的一元一次方程

將方程中的同類項進行合并，把以x為未知數的一元一次方程變形為ax=b(a7O,a,b為已知數)的形式，然

后利用等式的性質2,方程兩邊同時除以a,從而得到x=2

a

如：解方程-7x+2x=9-4的步驟是：①合并同類項，得一5x=5：②系數化為1,得x=-l.

1.對于方程8x+6x—10x=8,合并同類項正確的是B

A.3x=8B.4x=8

C.—4x=8D.2x=8

2.方程x+2x=-6的解是D

A.x=0B.x=l

C,x=2D.x=-2

X

3.方程2x+x+-=210的解是C

A.x=20B.x=40

C.x=60D.x=80

4.下列各方程中，合并正確的是D

A,由3x-x=-l+3,得2x=4

B.由,x+x=-7—4,彳心=-3

上512131

C.由5—§=-x+三，得/n

D.由6x—4x=-1+1,得2x=0

5.解下列方程：

(l)6x—5x=3；

解：合并同類項，得x=3.

(2)-x+3x=7-l；

解：合并同類項，得2x=6.

系數化為1,得x=3.

⑶鴻=9；

解：合并同類項，得3x=9.

系數化為1,得x=3.

(4)6y+12y—9y=10+2+6.

解：合并同類項，得9y=18.

系數化為1，得y=2.

易錯點解方程時系數化為1時出錯

2

6.解方程：—TX+X=3.

解：合并同類項，得t=3.

系數化為1,得x=9.

中檔題

7.如果x=m是關于x的方程gx—m=l的解，那么m的值是C

A.OB.2C.-2D.-6

8.小明在做作業時，不小心把方程中的一個常數污染了看不清楚，被污染的方程為：2y—5=1一■,怎么辦？

小明想了想，便翻看了書后的答案，此方程的解為y=—*于是，他很快知道了這個常數，這個常數是工

9.解下列方程：

(1)0.3x—0.4x=0.6；

解：合并同類項，得一0.lx=0.6.

系數化為1,得x=-6.

(2)5x—2.5x+3.5x=-10；

解：合并同類項，得6x=-10.

系數化為1,得x=一亍

2

(3)x-rx=3+6；

5

解：合并同類項，得好=9.

5

系數化為1,得x=15.

(4)16x—3.5x—6.5x=7—(-5).

解：合并同類項，得6x=12.

系數化為1,得x=2.

第2課時利用合并同類項解一元一次方程的實際問題

基礎題

知識點列方程解決“總量=各分量之和”問題

1.某數的3倍與這個數的2倍的和是30,這個數為C

A.4B.5C.6D.7

2.小王的媽媽買回一筐蘋果，小王吃了!，弟弟吃了!，還剩下4個蘋果，則媽媽買回的這筐蘋果共有些個.

3.等腰三角形的邊長如圖所示，若等腰三角形的周長為24,則a=&

4.已知3個連續偶數的和為36,則這三個偶數分別是10,12,14.

5.一條長1210m的水渠，由甲、乙兩隊從兩頭同時施工.甲隊每天挖130m,乙隊每天挖90m,則挖好水渠

需要幾天？

解：設需要x天才能挖好水渠，則

130x+90x=l210.

解得x=5.5.

答：挖好水渠需要5.5天.

6.（教材P88練習T2變式）麻商集團三個季度共銷售冰箱2800臺，第一季度銷售量是第二季度的2倍，第三

季度銷售量是第一季度的2倍，試問麻商集團第二季度銷售冰箱多少臺？

解：設麻商集團第二季度銷售冰箱x臺，則第一季度銷售量為2x臺，第三季度銷售量為4x臺.根據總量等于

各分量的和，得

x+2x+4x=2800.解得x=400.

答：麻商集團第二季度銷售冰箱400臺.

中檔題

7.（遵義航天中學月考）在排成每行七天的日歷表中取下一個3X3方塊.若所有日期數之和為189,則n的值

為A

A.21B.llC.15D.9

8.某人把360cm長的鐵絲分成兩段，每段分別做成一個正方形，已知兩個正方形的邊長之比是4：5,則這兩

個正方形的邊長分別是40cm,50cm.

9.（教材P87例2變式）有這樣一列數，按一定規律排列成1,2,4,8,16,其中某三個相鄰數的和是448,

則這三個數是64,128,256.

10.足球的表面是由若干個黑色五邊形和白色六邊形皮塊圍成的，黑白皮塊的數目比為3：5,一個足球表面一

共有32塊皮，黑色皮塊和白色皮塊各有多少？

解：設黑色皮有3x塊，白色皮有5x塊.根據“足球表面一共有32塊皮”，可得

3x+5x=32.

解得x=4.

所以3x=3X4=12,5x=5X4=20.

答：黑色皮有12塊，白色皮有20塊.

綜合題

11.（長沙中考改編）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初健步不為難，

次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意是，有人要去某關口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由

于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達目的地，求此人第六天走的路程.

解：設第一天走的路程為x里，則后面5天走得路程分別為：Jx里，1里，里，4里，裊里.根據題意,

得

則X+^x+7X+|x+-^7X+^7X=378.

解得x=192.

則白x=/義192=6.

答：此人第六天走的路程為6里.

第3課時利用移項解一元一次方程

基礎題

知識點利用移項解一元一次方程

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.

1解方程2x—5=3x—9時，移項正確的是B

A2x+3x=9+5B.2x—3x=-9+5

C2x—3x=9+5D.2x—3x—9—5

2解方程4x-2=3-x的步驟是C

①合并同類項，得5x=5；②移項,得4x+x=3+2；③系數化為1,得x=l.

A①②③B.③②①C.②①③D.③①②

3下列四組變形屬于移項的是D

X—2

A由一j—=3,得x-2=12

B由9x—3=x+5,得9x—3=5+x

C由5x=15,得x=3

D由l-7x=2-6x,得一7x+6x=2-l

4（海南中考）若式子x+2的值為1,則x等于B

A1B.-1C.3D.13

5若3x+6=4,則3x=4—6,這個過程是移項.

6解下列方程：

3

⑴4一町=7

3

解：移項，得一刷1=7—4.

□

3

合并同類項，得一即=3.

系數化為1,得m=-5.

（2）（黔西南興義市月考）2x—3=3x+4.

解：移項，得2x-3x=3+4.

合并同類項，得一x=7.

系數化為1,得x=-7.

易錯點解方程時，移項不變號或誤將不移動的項也變號

7.解方程：x—3=-gx—4.

解：移項，得x+，x=-4+3.

Q

合并同類項，得或=-1.

2

系數化為1,得x=-*

中檔題

8.（黔東南期末）已知x=l是關于x的方程a（x—2）=a+3x的解，則a的值等于B

A.|B.-|

D--4

9.下列方程中與2x-4=x+2的解相同的方程為D

A.3x+4=xB.x—2=3C.3x+6=0D.x+l=2x—5

4

10.某同學在解方程5x—l=?x+3時，把■處的數字看錯了，解得x=一于則該同學把■看成了D

128

A.3B.—--C.-8D.8

11.對于有理數a,b,規定運算※的意義是：aXb=a+2b,則方程3xXx=2—x的解是x=*

12.解下列方程：

(1)(遵義仁懷市期末)3x+6=31—2x；

解：移項，得3x+2x=31—6.

合并同類項，得5x=25.

系數化為1,得x=5.

,、14

(2)x—2=rx+-

14

解：移項，得x—?=2+鼻.

合并同類項，W1x=y.

系數化為1,得x=5.

綜合題

13.當m為何值時，關于x的方程4x—2m=3x+l的解是x=2x—3m的解的2倍？

解：因為關于x的方程x=2x—3m的解為x=3m,

所以關于x的方程4x—2m=3x+l的解是x=6m.

將x=6m代入4x—2m=3x+1,得

24m—2m=18m+l.

移項、合并同類項，得4m=1.

所以m=".

第4課時利用移項解一元一次方程的實際問題

基礎題

知識點根據”表示同一個量的兩個不同式子相等”列方程

1.甲廠庫存鋼材100噸，每月用去15噸；乙廠庫存鋼材82噸，每月用去9噸.經過m個月，兩廠剩余鋼材相

等，則m的值應為B

A.2B.3C.4D.5

2.(教材P88問題2變式)有一籃蘋果平均分給幾個人，若每人分2個，則還余下2個蘋果，若每人分3個，則

還少7個蘋果，設有x個人分蘋果，則可列方程為D

A.3x+2=2x+7B.2x+2=3x+7

C.3x—2=2x—7D.2x+2=3x—7

3.某部隊開展植樹活動，甲隊35人，乙隊27人，現另調28人去支援，使甲隊人數與乙隊人數相等，則應調

往甲隊的人數是也，調往乙隊的人數是我.

4.幾個人共同種一種樹苗，如果每人種10棵，那么剩下6棵樹苗未種；如果每人種12棵，那么缺6棵樹苗，

參加種樹的有2人.

5.(教材P91習題T5變式)小華的媽媽在25歲時生了小華，現在小華媽媽的年齡是小華的3倍多5歲，求小華

現在的年齡.

解：設小華現在的年齡為x歲，則媽媽現在的年齡為(x+25)歲.根據題意，得

x+25=3x+5.

解得x=10.

答：小華現在的年齡為10歲.

中檔題

6.(遵義正安縣期末)中國古代問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我一只，我的羊數就是你的

羊數的2倍”.乙回答說：“最好還是把你的羊給我一只，我們羊數就一樣了”.若設甲有x只羊，則下列方程正確

的是C

A.x+l=2(x—2)B.x+3=2(x—1)

x+1

C.x+l=2(x-3)D.x-l=~^-+l

7.“棲樹一群鴉，鴉數不知數，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹.請你仔細數，鴉樹各幾

何？”在這一問題中，若設樹有x棵，通過分析題意，鴉的只數不變，則可列方程：3x+5=5(x-l).

8.甲、乙兩人同時從A地出發去B地，甲騎自行車，騎行速度為10km/h,乙步行，行走速度為6km/h.當甲

到達B地時，乙距B地還有8km.甲走了多長時間？A,B兩地的路程是多少？

解：設甲走了xh,則A,B兩地的路程是10xkm.根據題意，得

10x=6x+8.解得x=2.

則1Ox=20.

答：甲走了2h,A,B兩地的路程是20km.

9.小明到書店幫同學買書，售貨員告訴他，如果用20元錢辦理“購書會員卡”，將享受八折優惠.

(1)請問在這次買書中，小明在什么情況下辦會員卡與不辦會員卡一樣？

(2)當小明買標價為200元的書時，怎樣做合算，能省多少錢？

解：(1)設小明在買x元的書的情況下辦會員卡與不辦會員卡一樣.則

x=20+80%x.解得x=100.

答：小明在買100元的書的情況下辦會員卡與不辦會員卡一樣.

(2)20+200X80%=180(元).

200-180=20(元).

答：當小明買標價為200元的書時，應辦理會員卡，能省20元錢.

綜合題

10.(黔西南興義市月考)我市為減少霧霾天氣采取了多項措施，如對城區主干道進行綠化.現計劃把某一段公路

的一側全部栽上銀杏樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔5米栽1棵，那么樹苗缺21

棵；如果每隔6米栽1棵，那么樹苗正好用完.設原有樹苗x棵，則根據題意列出方程正確的是A

A.5(x+21-l)=6(x-l)

B.5(x+21)=6(x-l)

C.5(x+21-l)=6x

D.5(x+21)=6x

3.3解一元一次方程(二)一一去括號與去分母

第1課時利用去括號解一元一次方程

基礎題

知識點利用去括號解一元一次方程

如果括號外的因數是正數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同；如果括號外的因數是負數，

去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相反.

1.將方程2x—3(4—2x)=5去括號，正確的是C

A.2x—12—6x=5B.2x—12—2x=5

C.2x-12+6x=5D.2x-3+6x=5

2.方程2(x—3)+5=9的解是B

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

3,解方程4(x—2)=2(x+3),去括號，得4x—8=2x+6.移項，得4x—2x=6+8.合并同類項，得2x=14.系

數化為1,得x=7.

4,解下列方程：

(1)(黔西南興仁縣期末)2(x—1)+1=0；

解：去括號，得2x—2+1=0.

移項、合并同類項，得2x=l.

系數化為1,得x=*

(2)3—(5-2x)=x+2.

解：去括號，得3-5+2x=x+2.

移項，得2x—x=2—3+5.

合并同類項，得x=4.

易錯點去括號時漏乘某些項或弄錯符號，導致錯解

5.解方程：2(3-4*)=1-3②一1).

解：去括號，得6-4x=l—6x-l.(第一步)

移項，得一4x+6x=l—1—6.(第二步)

合并同類項，得2x=-6.(第三步)

系數化為1,得x=-3.(第四步)

以上解方程正確嗎？若不正確，請指出錯誤的步驟，并給出正確的解答過程.

解：第一步錯誤.正確的解答過程如下：

去括號，得6—8x—1-6x+3.

移項，得一8x+6x=l+3—6.

合并同類項，得一2x=-2.

系數化為1,得x=l.

中檔題

6.下列是四個同學解方程2(x—2)—3(4x—1)=9的去括號的過程，其中正確的是A

A.2x-4-12x+3=9

B.2x-4-12x-3=9

C.2x-4-12x+l=9

D.2x—2—12x+1—9

7.若5m+4與一(m—2)的值互為相反數，則m的值為D

八13

A.-lB.1C.--D.--

8.對于非零的兩個有理數a,b,規定ab=2b—3a,若1(x+l)=l,則x的值為B

A.-lB.1C.；1

?5

9解下列方程:

(1)(遵義湄潭縣期末)4(3x—2)—(2x+3)=-l；

解：去括號，得12x—8—2x—3=-1.

移項,得12x-2x=8+3—L

合并同類項，得10x=10.

系數化為1,得x=l.

(2)(黔西南望謨縣期末)4(y+4)=3-5(7-2y)；

解：去括號，得4y+16=3—35+10y.

移項、合并同類項，得-6y=-48.

系數化為1,得y=8.

15

⑶(梧州中考)/+2(不+1)=8+X.

15

解:去括號,得那+]x+2=8+x.

移項、合并同類項，得2x=6.

系數化為1,得x=3.

綜合題

10.若方程3(2x—2)=2—3x的解與關于x的方程6—2k=2(x+3)的解相同，求k的值.

解：由3(2x—2)=2—3x,解得x=￡.

把X*代入方程6—2k=2(x+3),得

OO

6—2k=2X(g+3).解得k=—~

第2課時利用去括號解一元一次方程的實際問題

基礎題

知識點去括號解方程的應用

1.甲、乙兩人騎自行車同時從相距65千米的兩地相向而行，2小時相遇，若乙每小時比甲少騎2.5千米，則乙

每小時行C

A.20千米B.17.5千米C.15千米D.12.5千米

2.麗水市為打造“浙江綠谷”品牌，決定在省城舉辦農副產品展銷活動.某外貿公司推出品牌產品“山山牌”

香菇、“奇爾”惠明茶共10噸前往參展，用6輛汽車裝運，每輛汽車規定滿載，且只能裝運一種產品.因包裝限制,

每輛汽車滿載時能裝香菇1.5噸或茶葉2噸.問裝運香菇、茶葉的汽車各需多少輛？

解：設裝運香菇的汽車需x輛.根據題意，得

1.5x+2(6—x)=10.解得x=4.

所以6—x=2.

答：裝運香菇、茶葉的汽車分別需要4輛和2輛.

3.(黃岡中考)在紅城中學舉行的“我愛祖國”征文活動中，七年級和八年級共收到征文118篇，且七年級收到

的征文篇數是八年級收到的征文篇數的一半還少2篇，求七年級收到的征文有多少篇？

解：設七年級收到的征文有x篇，則八年級收到的征文有(118-x)篇，依題意，得

(x+2)義2=118—x,解得x=38.

答：七年級收到的征文有38篇.

中檔題

4.(武漢中考改編)某公司為獎勵在趣味運動會上取得好成績的員工，計劃購買甲、乙兩種獎品共20件.其中甲

種獎品每件40元，乙種獎品每件30元.如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元.問甲、乙兩種獎品各購買了多少

件？

(D若設甲種獎品購買了x件，請完成下面的表格；

件數單價金額

甲種獎品X件每件40元40x元

乙種獎品(20—x)件每件30元30(20—x)元

(2)列出一元一次方程，解決問題.

解：根據題意，得

40x+30(20-x)=650.

解得x=5.

則20-x=15.

答：購買甲種獎品5件，乙種獎品15件.

5.(教材P94例2變式)一架飛機在兩城市之間飛行，風速為24km/h,順風飛行需要2h50min,逆風飛行需

要3h.求無風時飛機的飛行速度和兩城之間的航程.

解：設無風時飛機的飛行速度為xkm/h,則順風時飛行的速度為(x+24)km/h,逆風飛行的速度為(x—24)km/h.

根據題意，得

17

—(x+24)=3(x—24).解得x—840.

6

則3(x-24)=2448.

答：無風時飛機的飛行速度為840km/h,兩城之間的航程為2448km.

6.（荷澤中考）食品安全是關乎民生的問題，在食品中添加過量的添加劑對人體有害，但適量的添加劑對人體無

害且有利于食品的儲存和運輸.某飲料加工廠生產的A,B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑

2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克.已知270克該添加劑恰好生產了A,B兩種飲料共100瓶，問A,B兩種飲料各

生產了多少瓶？

解：設A飲料生產了x瓶，則B飲料生產了（100—x）瓶.根據題意，得

2x+3（100-x）=270.解得x=30.

則100—x=70.

答：A飲料生產了30瓶，B飲料生產了70瓶.

第3課時利用去分母解一元一次方程

基礎題

知識點1利用去分母解一元一次方程

去分母的方法：依據等式的性質2,方程兩邊各項都乘所有分母的最小公倍數，將分母去掉.

V—21+3x

1.(遵義仁懷市期末)解方程=-----三~=1時，去分母后，下列各式中正確的是D

36

A.2(x—2)—1+3x=6

B.2x-2-l+3x=6

C.2(x—2)—(1+3x)—1

D.2(x-2)-(l+3x)=6

2,下列方程中變形正確的是B

①3x+6=0變形為x+2=0；

②2x+8=5-3x變形為x=3；

YV

魅+鼻=4去分母得3x+2x=24；

④(x+2)—2(x—1)=0去括號得x+2—2x—2=0.

A.①④B.①③C.①②③D.①③④

Of——5Q—9+

3.要將方程「彳上十—>=3的分母去掉，在方程的兩邊最好是乘英.

?J0

0Rx+052x—1

4.(濱州中考)依據下列解方程=~的過程，請在前面的括號內填寫變形步驟，在后面的括號內填

U.40

寫變形依據.

解：原方程可變形為QV以—I—尸=9%V二—(1分數的基本性質)

去分母，得3(3x+5)=2(2x—l).(等式的性質2)

去括號，得9x+15=4x—2.(去括號法則或乘法分配律)

(移項),得9x-4x=-15—2.(等式的性質1)

合并同類項，得5x=-17.

(系數化為1)，得x=一裝17.(等式的性質2)

□

5,解下列方程：

,.x+3x+1

⑴—f一丁=1;

解：去分母，得2x+6—3x—3=6.

移項、合并同類項，得一x=3,

解得x=-3.

3x+l5x—1

(2)(黔東南期末)

4

解：去分母，得3(3x+l)-2(5x-l)=12.

去括號,得9x+3—10x+2=12.

移項，得9x-10x=12-2—3.

合并同類項，得一x=7.

系數化為1,得x=-7.

知識點2去分母解方程的應用

6.(黔西南望謨縣期末)某項工程甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成

此項工程，若設甲一共做了x天，則所列方程為B

7.某中學組織七年級學生參觀，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座

客車，則多出一輛，且其余客車恰好坐滿.試問：

(1)七年級學生人數是多少？

(2)原計劃租用45座客車多少輛？

解：(1)設七年級人數是x人，根據題意，得

V---15V

而+1,解得x=240.

OU

答：七年級學生人數是240人.

(2)(240-15)+45=5(輛).

答：原計劃租用45座客車5輛.

易錯點去分母時，漏乘不含分母的項

VY---1

8.在解方程鼻=1一一丁時，去分母后正確的是C

35

A.5x=l—3(x—1)B.x=l—(3x—1)

C.5x=15-3(x-l)D.5x=3-3(x-l)

中檔題

1+Ox

9.某書上有一道解方程的題：+l=x,口處在印刷時被油墨蓋住了，查后面的答案知這個方程的解是x

=-2,那么□處應該是數字B

10.某班組每天需生產50個零件才能在規定的時間內完成一批零件任務，實際上該班組每天比計劃多生產了6

個零件，結果比規定的時間提前3天并超額生產120個零件，若設該班組要完成的零件任務為x個，則可列方程為

C

x+120x

R——―:——=3

50—50+6=35050+6

3一^^=

5050+650+650

11.若規定a*b=^^(其中a,b為有理數)，則方程3*X=］的解是x=L

12.解下列方程：

X-1x+24-x

(-1)-3~—■67-2o-，；

解：去分母，得2(x—l)—(x+2)=3(4—x).

去括號，得2x—2—x—2=12—3x.

移項，得2x—x+3x=2+2+12.

合并同類項，得4x=16.

系數化為1,得x=4.

2x+l5x-l

(2)(黔西南興仁縣期末)1;

36

解：去分母，得2(2x+l)—(5x—1)=6.

去括號，得4x+2—5x+l=6.

移項、合并同類項，得一x=3.

系數化為1,得x=-3.

/\x+l萬2x—1

⑶-=6———；

解：去分母，得3(x+l)=36-2(2x-l).

去括號，得3x+3=36—4x+2.

移項，得3x+4x=-3+36+2.

合并同類項，得7x=35.

系數化為1,得x=5.

,、x0.17-0.2x

(4)---------------

'"0.70.03

解：原方程可化為孚一匚膽

1.

去分母，得30x-7(17-20x)=21.

去括號，得30x-119+140x=21.

移項、合并同類項，得170x=140.

系數化為1,得x=m.

13.(遵義正安縣期末)某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后

溯江而上到C地下船，共乘船4小吐已知A,C兩地相距10千米(C地在A地上游),船在靜水中的速度為7.5千米

/時.求A,B兩地間的距離.

解：設A,B兩地