第六章標志變異指標第一節標志變異指標概述平均指標是將總體內各單位某數量標志值的差異抽象化,用以反映標志值的一般水平。但是,標志值之間的這種差異畢竟是客觀存在的,它們之間差異程度的大小,會直接影響平均數對各標志值的代表性高低。因此,要全面認識社會經濟現象的數量狀況,在研究平均指標的同時,還必須對總體各單位數量標志值之間的差異程度給予研究。

1標志變異指標定義：

反映同質總體各單位標志值之間的差異程度的指標,稱標志變異指標，也稱標志變動度。

標志變異指標,是統計研究中廣泛應用的一種綜合指標,用以測定標志變動程度,反映現象內部的數量變化情況。

2標志變異指標和平均指標關系：標志變異指標和平均指標互相對應,分別從兩個不同的側面反映總體的數量特征。平均指標是反映總體各單位標志值的集中趨勢,即反映的是總體各單位標志值的共性。標志變異指標反映總體單位標志值的離散趨勢,反映的是它們之間的差異性。平均指標與標志變異指標是總體次數分布的兩個重要特征值,只有兩者結合運用,才能全面地分析社會經濟問題。3標志變異指標的作用有:(1)標志變異指標是衡量平均數代表性大小的重要依據。標志變異指標大小與平均指標代表性大小成反比關系。(2)標志變異指標可以用來反映現象的穩定性和均衡性。

(3)標志變異指標是影響和計算抽樣誤差的一個重要因素,也是計算相關系數的重要依據。4二、標志變異指標的種類標志變異指標有絕對指標和相對指標之分。絕對指標是用于反映平均水平相同的總體變量值的離散程度的。其計量單位和總體各變量值的計量單位相一致。包括：極差、平均差、方差和標準差。相對指標即離散系數,包括有:極差系數、平均差系數、方差系數和標準差系數。通過離散系數可以對比不同平均水平的總體變量值的離散程度。5第二節標志變異指標的計算一、極差R極差是指總體各單位的標志值中,最大標志值與最小標志值之差。它是標志值變動的最大范圍,也稱全距,是測定標志變動的最簡單的指標。其計算公式如下全距R

=最大標志值-最小標志值如果統計資料是組距式變量數列,則全距可按下式近似計算：全距=最高組的上限-最低組的下限全距越大,平均數的代表性越低;全距越小,平均數的代表性越高。

6對全距的評價及應用全距的計算只考慮了兩個極端值大小,不考慮中間各項標志值變動程度如何。因此,用全距測定標志變異程度是粗略的,只能概括地說明某種標志值變動的最大范圍,還不能準確測量標志值之間差異程度大小。特別是對于平均水平不同的數列,無法用全距進行對比。在實際工作中,全距被廣泛用于檢查產品質量的穩定性和進行質量控制。

7二、平均差平均差是總體中各單位標志值與平均數離差的絕對值的算術平均數。在統計分析中,把總體單位的標志值與平均數之差,叫離差,離差的平均數就是平均差。由于離差有正負之分,各個標志值與平均數的離差總和恒等于0,即。為此,在計算平均差時,采用離差絕對值計算。81.簡單平均差

簡單平均差用于未分組的變量資料,它是根據所有標志值計算的。平均差越大,平均數代表性越低。平均差越小,平均數代表性越高。

92.加權平均差

加權平均差適用于已分組變量數列。對于組距式變量數列,以組中值代表各組變量值。

10三、方差和標準差1.方差和標準差的概念方差是總體各單位變量值與其算術平均數的離差平方和的算術平均數,用符號

表示。標準差(也稱均方差)是方差的平方根,用符號σ表示。112.計算公式方差和標準差也分別有簡單式和加權式兩種。如果所掌握資料未經分組,則方差和標準差的計算采用簡單式；12如果為分組資料,計算方差和標準差則采用加權式。方差加權式:標準差加權式:方差、標準差大,說明平均數代表性小;方差、標準差小,說明平均數代表性大。

13方差和標準差與極差、平均差相比更具有普遍意義,它既消除了極端值的影響,又避免了代數運算的障礙,是測量離散程度最常用的指標。方差和標準差相比,由于方差的計量單位為平方單位不宜于直觀比較,因此,在社會經濟統計中標準差比方差及其他離散程度的絕對指標的應用更廣泛些。

143.方差、標準差的簡捷算法上述計算方差、標準差的公式比較麻煩,統計實踐中常用以下簡捷法進行計算,即方差等于變量平方的平均數減去變量平均數的平方,標準差等于變量平方的平均數減去變量平均數的平方再開平方。公式如P90

15四、離散系數極差、平均差、方差和標準差這些測量離散程度的指標在計算中都與其變量數列的平均水平的高低有關。因此,使用這些指標時則要求兩變量數列的平均數相同。在實踐中,有些變量數列水平或性質不同,單憑以上絕對指標就難以判斷平均數的代表性,這時就需要計算離散系數,才能比較變量數列差異程度的大小。

161.離散系數的概念離散系數V是標準差與平均數之比。離散系數主要用于比較不同水平的變量數列的離散程度及平均數的代表性。離散系數小說明平均數的代表性大,反之離散系數大,平均數的代表性就小。離散系數指標有:極差系數、平均差系數、方差系數、標準差系數等

172.計算公式:

極差系數:

平均差系數:

方差系數:

標準差系數:

通常所講的離散系數就是指標準差系數。18五、是非標志的平均數和標準差在統計中,有時把總體的全部單位分為兩個組:一組為具有某一標志表現的單位組,另一組為不具有某一標志表現的單位組。

一般用“1”表示具有某種標志表現,用“0”表示不具有某種標志表現。因此,通過1和0把不能用數值表示的標志(也成為品質標志)就可以轉化為可以用數值表示的是非標志。

19設總體單位數為N，具有某種特征的單位數為N1，不具有該種特征的單位數為N0，若再假設具有某種特征的單位數占總單位數的比重(即成數)為p(p=N1/N)，不具有該種特征的單位數占總單位數的比重（成數）為q(q=N0/N)，則有：

N=N1+N0

p+q=(N1/N)+(N0/N)=1p=1-q

或q=1-pp表示具有某種標志表現的單位數在總體單位數中占的比重,也稱為成數;q表示不具有某種標志表現的單位數在總體單位數中占的比重,同樣也成為成數,兩個成數之和等于1

20是非標志的平均數和標準差的計算見表

是非標志值次數標志總量離差離差平方離差平方乘權數100

合計

-

-

+是非標志的平均數=p

是非標志的標準差σ=qp21第三節偏態和峰度的測定一、偏態的測定偏態指非對稱分布的偏斜狀態。這里主要介紹皮爾遜偏態系數和中心矩偏態系數測定法。(一)皮爾遜偏態系數測定法皮爾遜偏態系數測定法是利用算術平均數與眾數或中位數的距離來測定偏態的。在次數分布完全對稱的情況下,算術平均數、中位數和眾數完全相等。而在偏態分布中,三者之間盡管存在著差異,但中位數始終處在算術平均數和眾數中間。因此,算術平均數與眾數之間的距離可以作為測定次數分布偏態的尺度

22偏態=算術平均數-眾數()如果＞,這種偏態叫做正偏態或右偏態;反之,當<時,就叫做負偏態或左偏態。由于偏態的絕對數是以原來變量數列的計量單位表示的,因此不能直接用來比較具有不同性質的變量數列的偏態。為此,需要把偏態的絕對數與相應的標準差相比,以消除計算單位的影響,計算一個相對數,以表示偏斜的程度,叫偏態系數或偏斜度,用來反映數列分布的非對稱程度。

23(二)中心矩偏態系數測定法中心矩指各個變量值與平均數的離差的K次方的平均數,也稱中心動差。其計算公式為:

24當k=1時,，稱為一階中心動差,這時=0,即離差之和;當k=2時,,稱為二階中心動差,這時,即方差;當k=3時,,稱為三階中心動差;當k=4時,,稱為四階中心動差。中心矩偏態系數就是用三階中心動差除以標準差的三次方計算的,用表示,計算公式為:

25二、峰度的測定峰度是頻數分布的另一特征。它是指數據分布的曲線與正態分布曲線相比較,曲線頂端尖峭的程度,統計上常用峰度系數表示。峰度用四階中心距除以標準差的四次方來度量,其計算公式為:26頻數分布的峰度

27第四節描述性統計指標的計算機實現算術平均數、中位數、眾數、最小值、最大值、全距、方差、標準差、偏態系數、峰度系數等都是描述數據特征最常用的的統計指標,有時也稱為統計量。下面我們使用spss軟件,計算各描述性統計指標并繪制直方圖及正態曲線圖。28考試成績（分）65-7575-8585-95合計學生人數（人）35210已知10人小組某門課成績資料如下：一、操作步驟

(1)打開數據文件“成績.sav”,可以看到如圖界面。

變量定義窗口(VariableView)

29(2)計算各描述統計量。①點擊Analyze→DescriptiveStatistics→Frequencies,出現Frequencies對話框,將左面的成績變量選定,然后點擊中間的按鈕,使之進入右邊的變量框中。Frequencies對話框

30②選擇對話框左下角DisplayFrequencyTables表示顯示頻數分布表,點擊Statistics按鈕,彈出Frequencies:Statistics對話框,將需要計算的統計量選定;然后點擊Charts按鈕彈出對話框,選定圖形種類,選擇Histograms,如需畫正態曲線,則選擇WithNormalCurve,點擊OK,則輸出需要顯示的統計量與圖形。