2024-2025學年福建省泉州市部分地區高二上學期開學考試數學試卷【滿分：150】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.復數在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量,滿足,,則()A.-1 B.2 C.15 D.193.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關亞冬會知識的競賽活動.已知該班男生30人，女生20人.按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進行一輪答題.相關統計情況如下：男生答對題目的平均數為10，方差為1；女生答對題目的平均數為15，方差為0.5，則這10人答對題目的方差為()A.6.8 B.6.9 C.7 D.7.24.已知m，n是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則5.為了加深師生對黨史的了解,激發廣大師生知史愛黨,知史愛國的熱情,某校舉辦了“學黨史,育文化的黨史知識競賽,并將1000名師生的競賽成績（滿分100分,成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法錯誤的為()A.a的值為0.005 B.估計這組數據的眾數為75分C.估計這組數據的第85百分位數為85分D.估計成績低于60分的有250人6.在中,,,M,N為線段上（不包含端點）不同的兩個動點.若,則()A.3 B.4 C.6 D.77.某人拋擲一枚質地均勻的骰子一次,記事件“出現的點數為奇數”,“出現的點數不大于3”,事件“出現點數為3的倍數”,則下列說法正確的是()A.A與B互為對立事件 B.C. D.8.在正三棱柱中,,,O為BC的中點,M,N分別為線段,AM上的動點,且,則線段MN的長度的取值范圍為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得補部分分，有選錯的得0分.9.已知圓,直線,直線l與圓C交于A,B兩點,則()A.直線l恒過定點B.當時,最長C.當時,弦AB最短D.最短弦長10.已知向量，，則下列結論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則向量a與向量b的夾角的余弦值為D.若，則向量b在向量a上的投影向量為11.在菱形ABCD中,,,將沿對角線BD折起,使點A至點P（P在平面ABCD外）的位置,則()A.在折疊過程中,總有B.存在點P,使得C.當時,三棱錐的外接球的表面積為D.當三棱錐的體積最大時,三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，已知，，，，則直線與所成角的余弦值為______.13.已知互不相等的4個正整數從小到大排序為x，y，z，6.若這4個數據的極差是中位數的2倍，則這4個數據的第75百分位數為________.14.在圓臺中,圓的半徑是2,母線,圓是的外接圓,,,則三棱錐體積最大值為___________．四、解答題：本題共5分，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖,在中,,點E為中點,點F為上的三等分點,且靠近點C,設.(1)用,表示,;(2)如果,,且,求.16.（15分）甲,乙兩人進行圍棋比賽,采取積分制,規則如下:每勝1局得1分,負1局或平局都不得分,積分先達到2分者獲勝;若第四局結束,沒有人積分達到2分,則積分多的一方獲勝;若第四周結束,沒有人積分達到2分,且積分相等,則比賽最終打平.假設在每局比賽中,甲勝的概率為,負的概率為,且每局比賽之間的勝負相互獨立.（1）求第三局結束時乙獲勝的概率;（2）求甲獲勝的概率.17.（15分）如圖,在三棱臺中,,,,側棱平面,點D是棱的中點.（1）證明：平面;（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.（17分）某校高一年級開設有羽毛球訓練課，期末對學生進行羽毛球五項指標(正手發高遠球、定點高遠球、吊球、殺球以及半場計時往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.（1）由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計考核得分的第60百分位數：（2）為了提升同學們的羽毛球技能，校方準備招聘高水平的教練.現采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在內的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求兩人得分分別來自和的概率：（3）現已知直方圖中考核得分在內的平均數為75，方差為6.25，在內的平均數為85，方差為0.5，求得分在內的平均數和方差.19.（17分）在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并加以解答.已知的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若___________.（1）求角B;（2）若,點D在外接圓上運動,求的最大值.

答案以及解析1.答案：D解析：因為,所以,所以,復數z在復平面內所對應的點為,所以,復數z在復平面內所對應的點位于第四象限.故選:D.2.答案：D解析：因為,,所以.故選：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，則抽取的時候分層比為.則10個人中男女分別抽取了6人和4人.這10人答對題目的平均數為.所以這10人答對題目的方差為.故選：A.4.答案：D解析：對于A，當時，過n作平面，使，則，因為，，所以，所以，故A正確；對于B，由線面垂直的性質知B正確；對于C，因為，，所以，又，所以，故C正確；對于D，當，時，n可能在平面內，故D錯誤.故選D.5.答案：C解析：根據頻率分布直方圖可知:,即,故A正確;由圖易得在區間,的人最多,故可估計這組數據的眾數為75,故B正確;,故成績低于60（分）的有250人,即D正確;由圖中前四組面積之和為:,圖中前五組面積之和為:,故這組數據的第85百分位數在第五組數據中,設這組數據的第85百分位數為m,則有,故,即估計這組數據的第85百分位數為86分,故C錯誤.故選:C.6.答案：C解析：因為,,所以,,設,,則,又,且,不共線,則,所以.7.答案：C解析：拋擲一枚質地均勻的骰子,出現的點數構成的樣本空間為,則,對于A,事件A,B可同時發生,故不是對立事件,A錯誤,對于B,,,,故B錯誤,對于C,,C正確,對于D,,,D錯誤,故選:C8.答案：D解析：取的中點Q,連接OQ,如圖,以O為坐標原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,則,,,.因為M是棱上一動點,設,且,所以,.因為,所以.令,,則,.又函數在上為增函數,所以線段MN的長度的取值范圍為.9.答案：AC解析：直線方程可化為,當,,故直線l恒過定點,A正確;易知圓心,半徑,顯然當直線l過圓心時,最長,則,故B錯誤;當時,此時弦AB最短,即,故C正確;當時,則弦長,故D錯誤.故選:AC10.答案：AC解析：若，則，解得，故A正確；若，則，解得，故B錯誤；若，則.又，所以向量a與向量b的夾角的余弦值為，故C正確；若，則.又，所以向量b在向量a上的投影向量為，故D錯誤.故選AC.11.答案：AC解析：如圖所示,取PC的中點E,連接BE,DE,則,,因為,BD,平面BDE,所以平面BDE,又平面BDE,所以,A項正確;在菱形ABCD中,,,所以,當沿對角線BD折起時,,所以不存在點P,使得,B項錯誤;當PC=1時,將正四面體補成正方體,根據正方體的性質可知,三棱錐的外接球就是該正方體的外接球,因為正方體的各面的對角線長為1.所以正方體的棱長為,設外接球的半徑為R,則,所以三棱錐的外接球的表面積,C項正確;當三棱錐的體積最大時,取BD的中點O,連接PO,OC,易知平面BCD,則,又,所以,D項錯誤.故選:AC.12.答案：解析：因為，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.13.答案：/解析：易知這4個數據的極差為，中位數為，即可得，所以；又因為正整數x，y，z互不相等且，可得，，；由為正數，因此這4個數據的第75百分位數為第三個數和第四個數的平均數，即，則這4個數據的第75百分位數為4.5.故答案為：4.514.答案：解析：如圖,設圓,半徑分別為,,則,由正弦定理,,解得,設圓臺的高為h,則,在中,取,,由余弦定理,,即得,即得,當且僅當時取等號.因三棱錐的體積為,即時,三棱錐的體積的最大值為.故答案為：15.答案：(1),(2)解析：(1)因為,所以,;(2)因為,所以,所以,由,可得,又,所以,所以.16.答案：（1）（2）解析：（1）設事件A為“第三局結束乙獲勝”由題意知,乙每局獲勝的概率為,不獲勝的概率為.若第三局結束乙獲勝,則乙第三局必定獲勝,總共有2種情況:(勝,不勝,勝),(不勝,勝,勝).故（2）設事件B為“甲獲勝”.若第二局結束甲獲勝,則甲兩局連勝,此時的概率.若第三局結束甲獲勝,則甲第三局必定獲勝,總共有2種情況:(勝,不勝,勝),(不勝,勝,勝).此時的概率.若第四局結束甲以積分獲勝,則甲第四局必定獲勝,前三局為1勝2平或1勝1平1負,總共有9種情況:(勝,平,平,勝),(平,勝,平,勝),(平,平,勝,勝),(勝,平,負,勝),(勝,負,平,勝),(平,勝,負,勝),(負,勝,平,勝),(平,負,勝,勝),(負,平,勝,勝).此時的概率若第四局結束甲以積分獲勝,則乙的積分為0分,總共有4種情況:(勝,平,平,平),(平,勝,平,平),(平,平,勝,平),(平,平,平,勝).此時的概率故17.答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明：以A為坐標原點,以,,所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,根據題意可得,,,,,,,,設平面的法向量為,則,令,即,,則,,,平面.（2）由（1）知,,設平面的法向量為,則,令,即,,即,由（1）知,,,設平面的法向量為,則,令,即,.即,設平面與平面的夾角為,則,平面與平面的夾角的余弦值為.18.答案：（1），85；（2）；（3）得分在內的平均數為81，方差為26.8.解析：（1）由題意得：，解得，設第60百分位數為x，則，解得，第60百分位數為85.（2）由題意知，抽出的5位同學中，得分在的有人，設為A、B，在的有人，設為a、b、c.則樣本空間為，.設事件“兩人分別來自和，則，，因此，所以兩人得分分別來自和的概率為.（3）由題意知，落在區間內的數據有個，落在區間內的數據有個.記在區間的數據分別為，，，，平均分為，方差為；在區間的數據分別為為，，，，平均分為，方差為；這20個數據的平均數為，方差為.由題意，，，，，且，，則.根據方差的定義，由，可得故得分在