第二章直線和圓的方程單元檢測卷（難）

一、單選題.

1.（2021?浙江高二期末）圓。：/+/-2》+6），=0和圓O?:x2+y2-6x=0的公共弦4B的垂直平分線的

方程是（）

A.2x-3y+3=OB.2x-3y-5=0

C.3x-2y-9=0D.3x-2y+7=0

2.（2019?安徽高二期中（文））已知G：（x-iy+（y+l）2=l，圓g:（x-4『+（y-5）2=9,點、M,N分

別是圓G，圓G上的動點，尸為x軸上的動點，則歸的最大值是（）

A.7B.3石+4C.9D.2^5+2

3.（2020?福建莆田二中高一月考）曲線》=廬巨+1（-24x42）與直線丫=依-24+4有兩個不同的交點

時實數女的范圍是（）

<531「5）（\31（5、「3）

人?居MB.后，+叼C.匕旬D,心目七,+可

4.（2021?四川高二期末（理））已知圓￡+丁=1與直線ax+&y+l=0-（。，b為非零實數）相切，則

13

了+記的最小值為（）

A.10B.12C.13D.16

5.（2020?安徽安慶一中高二期中）已知點夕（1,0）及圓GV+y2=2,點〃,N在圓C上，若PM工PN,

則|MN|的取值范圍為

A.[0-1,6+1]B.12-2+'75]

C.12—6—1,2+61D.|^2—5/2—1,2+5/3J

6.（2021,全國高三其他模擬（理））阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262~190年）的著作《圓錐

曲線論》是古代世界光輝的科學成果，他證明過這樣一個命題：平面內與兩個定點距離的比為常數

Z（Z>（Uwl）的點的軌還是圓，后人把這個國稱為阿波羅尼斯圓，已知定點A（-2,0）、3（2,0）,動點C滿

足|AC|=2忸C],則動點C的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P,已知點。在圓尸上（點。在第一象

限），AO交圓戶于點E,連接￡8并延長交圓P于點尸，連接。F,當NDFE=30時，直線AO的斜率為（）

7.（2021?上海高二專題練習）設直線系M:xcos6+（y-2）sin6=l,04,42萬，對于下列四個命題：

（1）M中所有直線均經過一個定點；

（2）存在定點P不在M中的任意一條直線上：

（3）對于任意整數〃，“23,存在正”邊形，其所有邊均在M中的直線上；

（4）M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（）

A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）

8.（2021?江蘇高三專題練習）如圖，圓C與x軸相切于點T（1,O）,與丫軸正半軸交于兩點A、B（B在A

的上方），且|A@=2,過點A任作一條直線與圓O：/+y2=l相交于M、N兩點，訴+二方的值為（）

二、多選題.

9.（2021?全國高二課時練習）在AMC中，asinA+加inB—csinC=O,圓C：/+丁=1與直線/：

ax+by+c=O,則（）

A.AABC是直角三角形B.圓C與直線相離

C.圓C與直線相切D.圓C與直線相交

10.（2021?全國）已知圓C：x2+y2-"+2y+_L%2-%+i=o,下列說法正確的是（）

4

A.k的取值范圍是％>0

B.若％=4,過/（3,4）的直線與圓C相交所得弦長為2月，方程為12x—5y-16=O

C.若％=4,圓C與圓V+y2=i相交

12

D.若2=4,相>0,n>0,直線如一—1=0恒過圓。的圓心，則一十—28恒成立

mn

11.（2021?湖南）已知點Q（4,0）,過圓（x-4）?+y2=I6上的一動點P作圓（x-4）2+V=4的兩條切線以

、PB,切點分別為A、B,兩個切點A、8之間的線段AB稱為切點弦.則下列結論正確的是（）

A.PQ-LABB.|PA|=2>/3

C.\AB\=3-D.四邊形4P8Q的面積為4道

12.（2021?全國）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值；I（4#1）

的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，已知A（-4,2）,8（2,2）,點p

滿足百寸=2,設點P的軌跡為圓C,下列結論正確的是（）

A.圓C的方程是（x-4y+（y-2）2=16

TT

B.過點A向圓C引切線，兩條切線的夾角為§

C.過點A作直線/,若圓C上恰有三個點到直線/距離為2,該直線斜率為土史

5

D.在直線＞=2上存在異于A,B的兩點3,E,使得陰=2

\PE\

三、填空題.

13.（2021?鄂爾多斯市第一中學高一月考（文））已知定點“（0,2）、N（-2,0）,直線/：kx-y-2k+2=0

（%為常數），若點M、N到直線/的距離相等，則實數上的值是

14.（2021?廣西南寧三中高二月考（文））數學家歐拉在1765年發現，任意三角形的外心、重心、垂心

在同一條直線上，這條直線稱為“歐拉線”.已知的頂點A（2,0〉、8（0,4）,其“歐拉線”的直線方程

為x-y+2=0,則“13c的頂點C的坐標.

15.（2021?全國高二專題練習）舒騰尺是荷蘭數學家舒騰（1615-1660）設計的一種作圖工具，如圖，。是

滑槽的中點，短桿。N可繞。轉動，長桿MN通過N處的錢鏈與。N連接，上的栓子。可沿滑槽A8

滑動,當點。在滑槽A8內作往復移動時，帶動點N繞。轉動，點M也隨之而運動.記點N的運動軌跡為,

點M的運動軌跡為G.若ON=￡W=1,MN=3,過G上的點P向作切線，則切線長的最大值為

16.（2019?陜西西安市遠東一中高三期中（文））唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登

山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從

山腳下某處出發,先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系xOy中，設

軍營所在平面區域為｛（X,力9,河岸線所在直線方程為假定將軍從點3,）1）處出發，

422

只要到達軍營所在區域即回到軍營，當將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標為.最短總路程為

五、解答題.

17.（2021?江蘇省梅村高級中學高一月考）在氣象臺A正西方向300km處有一臺風中心，它正向東北方

向移動，移動速度的大小為40km/h,距臺風中心250km以內的地區都將受到影響，若臺風中心的這種移動

趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風的影響？如果會，大約多長時間后受到影響？持續時間有多長（精

確到Imin）?（參考數據：75=1.414,/a2.646）

18.（2020?江蘇南京市?金陵中學高一期中）已知圓M:（x-iy+y2=i,3（01）,

C（0,/-4）（0<r<4）,直線P8,PC都是圓M的切線，且點P在>軸右側.

(1)過點A的直線/被圓M截得的弦長為名，求直線/的方程;

(2)當f=l時，求點尸的橫坐標；

(3)求APBC面積的最小值.

19.(2021?江西省南城一中高一月考(理))如圖，在平面直角坐標系中，已知圓。：x2+y2=4,

點Q(0』)，過點P(0,4)的直線/與圓。交于不同的兩點AB(不在y軸上).

(1)若直線/的斜率為3,求|AB|；

(2)設直線QAQ8的斜率分別為加右，求證：占+&為定值，并求出該定值;

(3)設A8的中點為M,是否存在直線/,使得|MO|=?若存在，求出直線/的方程；若不存在,

說明理由.

20.(2021?湖南)已知圓M經過兩點人卜,6),8(2,2)且圓心用在直線丫=犬-2上.

(1)求圓M的方程；

(2)設E,尸是圓M上異于原點。的兩點，直線。4,。尸的斜率分別為勺，J且%「&=2,求證：直

線E/經過一定點，并求出該定點的坐標.

21.(2021?浙江永嘉中學高一期中)在直線/上任取不同的兩點4,B,稱而為直線/的方向向量與直線

/的方向向量垂直的非零向量稱為/的法向量，在平面直角坐標系中，已知直線乙是函數y=2x-4的圖象,

直線4是函數產一5+4的圖象.

(1)求直線/「和直線4所夾成的銳角的余弦值；

(2)已知直線4平分直線小與直線4所夾成的銳角，求直線4的一個方向向量的坐標；

(3)已知點尸(3,4),［是4與了軸的交點，萬是4的法向量.求存在萬上的投影向量的坐標(求出一個即可)，

并求點P到直線4的距離.

22.（2021?江西省南豐縣第二中學高一學業考試）已知圓C:/+（y-4）2=4,直線

/:（3〃?+l）x+（l-機）y-4=0.

（1）求直線/所過定點/的坐標；

（2）求直線/被圓C所截得的弦長最短時用的值及最短弦長；

（3）已知點M（-3,4）,在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M）,滿足：對于圓C上任一

點P,都有\P扁M為\一常數，試求所有滿足條件的點/V的坐標及該常數.

第二章直線和圓的方程單元檢測卷（難）

一、單選題

1.（2021?浙江高二期末）圓。1：/+/-2》+6），=0和圓Q:Y+y2-6x=0的公共弦AB的垂直平分線的

方程是（）

A.2x-3y+3=0B.2x-3y-5=0

C.3x-2y-9=0D.3x-2y+l=0

【答案】C

【詳解】

解：圓。］+y2-2x+6y=。的圓心a（1,-3）,

圓Q：/+）/-63=0的圓心。2（3,。），

所以。02的中點坐標為（甘\誓），即（2,-|）,

_0-（-3）_3

%。』一_JTj__i

所以兩圓的公共弦AB的垂直平分線即是圓心。0?所在的直線：y+|3=j3（x-2）,即3x-2y-9=0,

故選：C.

2.（2019?安徽高二期中（文））已知G：（x-iy+（y+l）2=l，圓G：（x-4y+（y-5）2=9,點M,N分

別是圓G，圓G上的動點，尸為x軸上的動點，則|PMT/W|的最大值是（）

A.7B.3石+4C.9D.2y/5+2

【答案】C

【詳解】

解：由題意可知，圓G的圓心G（L-i），半徑為1，

圓a的圓心G（4,5）,半徑為3,

要使得歸取最大值，需的值最大，1PM的值最小.

其中|PN|的最大值為|PG|+3,|PM的最小值為歸端-1

則網卡必的最大值為（|PCJ+3）-（歸。-1）=|股|-W￡|+4

點G（4,5）關于X軸的對稱點G'（4,-5）,

2

|PC』一|PCj=\pc'\-\PCt\<=，（4一1『+（-5+1）=5,

所以歸川-歸⑼的最大值為5+4=9.

故選：C.

3.（2020?福建莆田二中高一月考）曲線+I（_24X42）與直線y=^-2%+4有兩個不同的交點

時實數人的范圍是（）

A?（53]后B.[「透5+4、C.匕（1旬31D.心1正5卜、匕「3，+叼、

【答案】A

【詳解】

由題意得，yul+Em即/+（）」1）2=4（丫21）,其表示以（0,1）為圓心，2為半徑的圓的上半部分，而

y=A（x-2）+4表示經過定點P（2,4）的一條動直線，如卜.圖所示，當直線與半圓相切于點B時，由t且=2

收+1

得怎B=5S，又點冬一捕八則厚人二4-:1^^二；3，由圖可知即即…即弓53

12L—\—L）4124

4.（2021?四川高二期末（理））已知圓f+丁=1與直線〃x+屜＞，+i=o（a,b為非零實數）相切，則

我1+方3的最小值為（）

A.10B.12C.13D.16

【答案】D

【詳解】

因為圓V+y2=[與直線av+向？+1=0相切，

lo+o+il

所以%==L=l,所以/+3從=1,

>Ja2+3h2

所以《+搟=("2+3〃)儀+旬=10+率+/210+6^5=16，

取等號時片=〃=[,

13

所以/+乒的最小值為16.

故選：D.

5.（2020?安徽安慶一中高二期中）已知點P（l,0）及圓C：x2+y2=2,點在圓C上，若PM工PN,

則|MV|的取值范圍為

A.[6-1,百+1]B.12-+

C.12-1,2+6]D.|^2—A/2—1,2+5/3J

【答案】A

【詳解】

解：由題意，設點機八；的中點為。（％y）,

因為用小孫所以直角三角形胸斜邊的中線等于斜邊的一半，即忸0|=券,

又由垂徑定理有竽=必2,

所以葉,即|P球=|OM|2-|OD|2,

則有(x-1)2+y2=2-+y2),化簡得r-x+y2=g,即+y2=當

所以點。的軌跡為以（3，°）為圓心，亭為半徑的圓，

所以由圓的性質有|0P|.=且-1,1。尸1=3+，，

Ilimn22Imax]?

X|MN|=2|PD|,

所以N"m=/T，KC=G+1，

所以|M/V|的取值范圍為[6-1,6+1],

故選：A.

6.（2021?全國高三其他模擬（理））阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262~190年）的著作《圓錐

曲線論》是古代世界光輝的科學成果，他證明過這樣一個命題：平面內與兩個定點距離的比為常數

%仕>0#*1）的點的軌還是圓，后人把這個國稱為阿波羅尼斯圓，已知定點A（-2,0）、B（2,0）,動點C滿

足|AC=2忸C|,則動點C的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P,已知點。在圓P上（點。在第一象

限），AD交圓P于點￡,連接￡8并延長交圓P于點尸，連接DF,當NDFE=30時，直線A￡）的斜率為（）

.x/39R726「石n9

131344

【答案】A

【詳解】

如圖所示，設動點。（乂》，則J（X+2『+y2=2“X_2）2+y2,

化簡可得X2+/-yX+4=0,化為標準方程可得圓尸：[-1J+V4.

因為/。q￡=2/。F￡=60,\PE]=\PD\,則ADPE為等邊；角形,

4>/3

過圓心P作PG_LQE于點G,則|PG|=|PEkin60=竽，sinZPAG=^=^-_V3

-4

73

所以cos/PAG=—>所以砥°=tan/PAG=-^=,

4V1313

4

故選：A.

7.（2021?上海高二專題練習）設直線系用：xcos，+（y-2）sin6?=l,O<0<2TT,對于下列四個命題:

（1）"中所有直線均經過一個定點；

（2）存在定點戶不在M中的任意一條直線上；

(3)對于任意整數〃，n>3,存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上;

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

【答案】A

【詳解】

因為點(0,2)到直線系M:xcosO+(y-2)sin0=l(0<0<2句中每條直線的距離”=及。笠:工彳萬=1,直

線系"：題05。+(尸2同110=1(04。《2萬)衣示圓/+(>-2)；!=1的切線集合.

(1)由于直線系表示圓f+(y-2)2=l的所有切線，其中存在兩條切線平行，所有M中所有直線均經過一

個定點不可能，故(1)不正確；

(2)存在定點戶不在M中的任意?條直線匕觀察知點M(0,2)符合條件，故(2)正確；

(3)由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數〃(“23),存在正”變形，其所有

邊均在M的直線上，故(3)正確；

(4)如下圖，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如一類是△BCD,顯然這兩類三角形

的面積不相等，故(4)不正確.

8.(2021?江蘇高三專題練習)如圖，圓C與x軸相切于點7(1,0),與>軸正半軸交于兩點A、B(B在A

的上方)，且|4?|=2,過點A任作一條直線與圓O:/+y2=l相交于兩點，不+焉的值為()

【答案】C

【詳解】

如圖，取A8的中點E,連接C8、CE,

因為|A曰=2,點E是弦A8的中點，所以忸E|=l,CEYAB,

則|CE|=1,|BC|=7|￡C|2+|B￡|2=42,圓C的半徑r=忸1=忘，

故C（l,a）,圓C的標準方程為（x-iy+（y-五/=2,

x=0屋=0

聯立]g）Ry一河b解得k&rA（°,&T，B（O,VM，

設點N（AO，%）,則片+y：=l,

NB|J"：+[%—（0+1）[J*：+-2（血+】）%+（&+1）

蜘Jx：+[%_（&-?]+-2（收T）%+（&-1）

4+272-2（72+1）^（垃+1）（21-2%）I2

_^4_20_2（應K應-加也-2%jMl2+1'=>/2+1,

\MB\

同理可得扁r

故牌爵"

1=2五,

V2+1

故選：C.

二、多選題

9.（2021?全國高二課時練習）在AABC中，asinA+6sinB—csinC=0,圓C：/+>2=1與直線/：

ax+by+c=0,則（）

A.AABC是直角三角形B.圓C與直線相離

C.圓。與直線相切D.圓。與直線相交

【答案】AC

【詳解】

因為asinA+6sin3-csinC=0,所以由正弦定理得，+82—1=0,即才+62=],所以^ABC是直角三角

形；圓心以0,0）到直線/：ax+6y+c=0的距離"=7=可萍=1=八故圓C：爐+”=1與直線/：ax+

by+c=0相切.

故選：AC

10.（2021?全國）已知圓C：/+丁一日+2〉+1%2-&+1=0,下列說法正確的是（）

4

A.A的取值范圍是我〉0

B.若4=4,過河（3,4）的直線與圓C相交所得弦長為26,方程為12x-5y-16=O

C.若&=4,圓C與圓V+y2=l相交

12

D.若k=4,m>0,n>0,直線小一”）」1=0恒過圓C的圓心，則一+—28恒成立

mn

【答案】ACD

【詳解】

對于A,方程表示圓可得（-%）2+4-4（；%2_k+]）>0,

解得k>0,故A正確；

對于B,若k=4,可得圓方程：（x—2p+（y+l）2=4,

過M（3,4）的直線與圓C相交所得弦長為26,

則圓心（2,-1）到直線的距離為1,當直線的斜率不存在時，x=3,滿足條件，故B不正確;

對于C,（x-2）2+（y+l）2-4,圓心（2,-1）,半徑｛=2,

圓廠+=1,圓心為（0,0）,半徑4=1，

兩圓心的距離為｛-4=1<小22+（-1）2=右<｛+々=3,兩圓相交，故C正確；

對于D,直線儂-”yT=0恒過圓C的圓心，

可得242+鹿一1=0=>2"/+〃=1.

當且僅當，〃=!，〃=!時取等號，故D正確.

42

故選：ACD.

11.（2021?湖南）已知點。（4,0）,過圓（x-4y+V=i6上的一動點尸作圓（x—4）?+y2=4的兩條切線以

、PB,切點分別為A、B,兩個切點A、8之間的線段A8稱為切點弦.則下列結論正確的是（）

A.PQA.ABB.|PA|=2x/3

C.\AB\=3D.四邊形AP8Q的面積為

【答案】ABD

【詳解】

因為Q（4,o）為兩已知圓的圓心，由幾何性質可知1%卜|「目，|。4|=|。即，所以PQLAB,故選項A正確;

因為|P@=4,|4口=忸。|=2,所以|PB|=|PA|=J|QP|2-|QA『=2百,故選項B正確；

|AO|1

因為sin44尸。=屈=5,又NAPQ為銳角，所以NAPQ=30",同理可得NBPQ=30,所以NAP3=60。，

則△AP8為等邊三角形，所以卜卻=26,選項C錯誤；

SAPBQ-2sMpQ-1PA|,|AQ|=4>Q,選項D正確.

故選：ABD.

12.（2021?全國）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值彳（4#1）

的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系X。），中，已知A（T,2）,8（2,2）,點p

滿足IP扁AI=2,設點P的軌跡為圓C,下列結論正確的是（）

A.圓C的方程是（x—4），（y—2）2=16

7T

B.過點A向圓C引切線，兩條切線的夾角為§

C.過點A作直線/,若圓C上恰有三個點到直線/距離為2,該直線斜率為士姮

5

PD

D.在直線y=2上存在異于A'B的兩點＞E,使得正=2

【答案】ABD

【詳解】

因為A（Y,2）,B（2,2）,點尸滿足周=2,

J(x+4)，(y-2)2

設點p（x,y）,則—2,

化簡得：x2+y2-8x-4>,+4=0,即(x-4)2+('-2)?=16,故A正確;

因為AC=8,R=4,所以sinW=￡=（，則]=解得a=￡,故B正確；

2AC2263

易知直線的斜率存在，設直線/：履-丫+奴+2=0,因為圓C上恰有三個點到直線/距離為2,則圓心到直線

的距離為：d=-f^==2,解得％=±姮，故C錯誤；

x/P+115

/、/、J（x-/7?）2+（y-2）2

假設存在異于A,B的兩點。（〃?,2）,E（n,2）,則當----=Lr=2,

J（i）~+（y-2）-

化簡得：f+j+百電.4），+苑二魯^=0,因為點。的軌跡方程為：x2+/-8x-4y+4=0,所以

3fZH=12[m=-4/、/、

“22s解得A或。（舍去）,故存在。12,2.6,2,故D正確；

4〃--"+12,[〃=6\n=2

---------------=4ii

I3

故選:ABD

三、填空題

13.（2021?鄂爾多斯市第一中學高一月考（文））已知定點M（O,2）、N（-2,0）,直線/：kx-y-2k+2=0

（%為常數），若點M、N到直線/的距離相等，則實數％的值是.

【答案】1或;

【詳解】

,,2-0,

當直線〃/MV時，滿足條件，=0（2）=，

或是當宜線/經過線段MV的中點時，滿足條件，MN的中點坐標是（-14）,

代入直線方程得，-k-\-2k+2=Q,得k=

所以實數人的值是1或g.

故答案為：1或！

14.(2021?廣西南寧三中高二月考(文))數學家歐拉在1765年發現，任意三角形的外心、重心、垂心

在同一條直線上，這條直線稱為“歐拉線”.已知AABC的頂點4(2,0)、8(0,4),其“歐拉線”的直線方程

為x-y+2=0,則AABC的頂點C的坐標.

【答案】(-4,0)

【詳解】

/2+4+、

設C(m,n),由重心坐標公式得“ABC的重心為——,

2+4+〃

代入歐拉線方得手一手+2=。，整理得〃?一"+4=0①,

因為線段A8的中點為(1,2),心三=-2,所以A3的中垂線的斜率為;,

0—2/

所以線段48的中垂線方程為y-2=；(x-l),即x-2y+3=0,

x-2y+3=0|x=-l

聯立,解得尸］

x—y+2=0

所以，的外心坐標為(T1),則+1)'+(〃-1)'=J(2+11+:②,

聯立①②解得二；或m=0

7?=4

當加=0,〃=4時，點B、C兩點重合，舍去.

所以，機=T,n=0,即“ABC的頂點C的坐標為(-4,0).

故答案為：(-4,0).

15.(2021?全國高二專題練習)舒騰尺是荷蘭數學家舒騰(1615-1660)設計的一種作圖工具，如圖，。是

滑槽A3的中點，短桿。N可繞。轉動，長桿MN通過N處的較鏈與QV連接，MN上的栓子。可沿滑槽A8

滑動.當點。在滑槽A3內作往復移動時，帶動點N繞。轉動，點M也隨之而運動.記點N的運動軌跡為C1,

點M的運動軌跡為C?.若QN=￡)N=1,MN=3,過G上的點尸向G作切線，則切線長的最大值為

ADB

VM

【答案】715

【詳解】

以滑槽AB所在的直線為X軸，。為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示.

因為|QV|=1，所以點N的運動軌跡G是以。為圓心，半徑為1的圓，其方程為f+y2=i.

設點N的坐標為(cos。,sin6),由于|ON|=|￡W|=1,易得。(2cos，,0),

山|MN|=3可得而7=3詬，設M(x,y),

則(x—cosay-sing)=3(cosa-sine),解得M(4cos6,-2sin。),

所以點M的運動軌跡C?是橢圓，其方程為江+廣=1.

164

222

設C2上的點P(4cosa,2sintz),則依尸『=16coscr+4sina=4+12cos?<16,

則切線長為4折斤=后,即切線長的最大值為厲.

故答案為：厲.

16.(2019?陜西西安市遠東一中高三期中(文))唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登

山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從

山腳下某處出發,先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系x0y中，設

軍營所在平面區域為｛(%。"曠Wf9,河岸線所在直線方程為假定將軍從3點1J)處出發，

422

只要到達軍營所在區域即回到軍營，當將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標為.最短總路程為

【詳解】

設Hg修)關于直線x+2廣4K的對稱點為P'5,ri),

1

n-1

f(9=T21

m=一,

m——10

則2解得

17

31n=一

m+—n+—10

——2-+2x—2--4=0,

22

因為從點尸到軍營總路程最短,所以A為線段與直線戶2了-44)的交點，

_17

聯立F=21X，得片I(4-2力，解得片黃.

x+2y-4=0,255

所以“將軍飲馬”的最短總路程為J(0y+(U)2-叵二”,故答案為普，府T5

V10102105510

五、解答題

17.(2021?江蘇省梅村高級中學高一月考)在氣象臺A正西方向300km處有一臺風中心，它正向東北方

向移動，移動速度的大小為40km/h,距臺風中心250km以內的地區都將受到影響，若臺風中心的這種移動

趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風的影響？如果會，大約多長時間后受到影響？持續時間有多長(精

確至Ulmin)?(參考數據：0*1.414,"=2.646)

【答案】氣象臺將受臺風影響，大約2小時后，氣象臺A所在地將遭受臺風影響，大約持續6個半小時.

【詳解】

解：以氣象臺為坐標原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸建立平面直角坐標系，則現在臺風中心

的坐標為(-300,0),

根據題意，可知，"、時后，8的坐標為(-300+40fcos45o,40rsin45。)，

即卜300+20伍20"),

因為以臺風中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內的點將遭受臺風影響,

所以8在圓上或圓內時，氣象臺將受臺風影響.

所以令|AB|4250,即（-300+20扃（20扃2卜25（）2,

整理得16r-l200f+27540，解得"比二5/<t<U正+5",

44

所以1.994/48.61,

故大約2小時后，氣象臺A所在地將遭受臺風影響，大約持續6個半小時.

18.（2020?江蘇南京市?金陵中學高一期中）已知圓M:（x-iy+y2=i,B（0j）,

C（0,/-4）（0<r<4）,直線PRPC都是圓〃的切線，且點尸在y軸右側.

（1）過點A的直線/被圓M截得的弦長為6,求直線/的方程；

（2）當f=l時，求點尸的橫坐標；

（3）求面積的最小值.

【答案】（1）x=g或24x+10y_37=0：（2）3；（3）y.

【詳解】

解：（1）由題意知，圓心M到直線/的距離?'

V42

①當直線/的斜率不存在時，/：x=g,滿足圓心M到直線/的距離等于3；

②當直線/的斜率存在時，設斜率為A,貝Wy-|=（x-g）,即履-y+?=0,圓心M到直線）的距離

L±

,k+21,解得％=-胃12，則/:24x+10y-37=0；

J—+i2

綜上得，直線/的方程為X=；或24x+10y-37=0

（2）當t=i時，此時以o［），c（o,-3）,又因為直線尸8,尸c都是圓用的切線，且點尸在y軸右側.

易得PB:y=l；且尸C斜率存在，設為"，

則PC:y—nx-3,即nr-y-3=0,

M到直線PC距離注里=1,解得〃=”

Vn'+13

44

則尸C:y=§x—3,把y=l代入y=§x—3,解得x=3,

則戶的橫坐標為3；

(3)因為BC=4為定值，且6、C在y軸上，

所以要求△心C面積的最小值，即求P的橫坐標的絕對值的最小值,

設點P的橫坐標為X,,,

由題知，直線PB,PC的斜率皆存在，

設PB的斜率為機，plijPB:y=mx+t,即〃zx-y+t=O.

\m+t\,|一產

因為尸B與圓M相切，所以片=^=1,得〃?=」.

\lrn~+12t

I—產?_4)2

所以P8:y=」-x+/.同理可得小:y=>二x+f-4.

2tZ(f-4)

I-/2

)=-----x+f

2r-8r

由，L解得中

2

-----------x+r-4.r-4/+l■

)'=2(/-4)

2t2-4/+1?1

貝lj-=-2---=1+-—.

/f—4/r-4t

23

因為0</<4,所以0>/—4/NT,所以二工公,華.

當f=2時，此時S“=gxgx4若.

所以APBC面積的最小值為號.

19.(2021?江西省南城一中高一月考(理))如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：X2+/=4,

點Q(O，D,過點尸(。，4)的直線/與圓。交于不同的兩點A3(不在y軸上).

(1)若直線/的斜率為3,求⑷;

(2)設直線QAQB的斜率分別為配內，求證：尢+&為定值，并求出該定值；

(3)設A8的中點為M,是否存在直線,,使得|M0|=半|MQ|?若存在，求出直線/的方程；若不存在,

說明理由.

【答案】(1)生叵；(2)證明見解析，定值為0；(3)不存在，理由見解析.

5

【詳解】

(1)由直線/的斜率為3,可得直線/的方程為y=3x+4,

|4|4

所以圓心O到直線/的距離為=指'所以|AB|=2

(2)由題設可知直線/必定存在，故可設直線/的方程為》="+4,

代入圓。:爐+>2=4可得方程(1+公卜2+8在+12=0(*)

設A(X|,yJ,8(孫力)，則X|+X2=J^T，為“2=潢7，

心公=皿+===+—=2八3仕+1，

X]x2X]x2IX]x2?

3x~~'k

=2k+=2k+—=2k+(-2k)=0,

x/12

i+k2

所以K+&為定值，定值為0.

(3)設點M(x(),%),由|NO|=,可得：2|用O『=3|MQ「,

即2（x；+y；）=3［x；+（%-l）］，化得：片+#-6%+3=0,

因為M為AB的中點，由(2)可得/=土產=*，^=^+4=-^,

乙1十K,1IK,

所以+3=0,即女4一2公一5=（）,

所以公=?即左=±姮.

33

又由（2）的（*）可得△=（8Q2_4-（1+公）/2>0,解得％2>3,

所以42=：不符合題意，所以不存在符合條件的直線/.

20.(2021?湖南)已知圓加經過兩點A0,6)，8(2,2)且圓心M在直線y=x-2上.

(1)求圓M的方程；

(2)設E,尸是圓M上異于原點。的兩點，直線OE,。尸的斜率分別為勺，k2>且&=2,求證：直

線EF經過一定點，并求出該定點的坐標.

【答案】(1)(X-2)2+/=4；(2)證明見解析，定點(-4,0).

【詳解】

(1)設圓”的方程為：(尢-4)2+(*-6)2=戶(廣>0),

(3_力+(6_4=產卜=2

由題意得：(2-a)2+(2-fr)2=r2="=0,

b=a-2r=2

圓M的方程：（x-2『+y2=4.

（2）設直線"：y=kx+b,

由.（無一2）+）'.4n（［+/卜2+（2岫—4）x+Z?2=0,

y=kx+b、'

△=（2奶-4）2-4（1+公）/=4（4-4妨-62）＞0=4妨+從＜4,

設E（x”y3網肛％）,…=',J）,"2=占’

yy（3+。）（仇+〃）k2xx+kb^x+x）+b2

??k]k）—2}2x2

x}x2%馬x}x2

-妨（2奶-4）+〃（l+公）4k+h

=2,

b2b2b

l+H

：.4k=b,代入丫=履+6得y=Z(x+4),

直線所必過定點(-4,0).

21.(2021?浙江永嘉中學高一期中)在直線/上任取不同的兩點4,B,稱荏為直線/的方向向量與直線

/的方向向量垂直的非零向量稱為/的法向量，在平面直角坐標系中，已知直線4是函數y=2x-4的圖象,

直線4是函數y=-1+4的圖象.

(1)求