專題03平面向量的數量積一．向量數量積的運算律1．（2324高一下·河南周口·月考）設向量，的夾角的余弦值為，，，則（

）A．23 B．23 C．27 D．272．（2324高一下·廣東東莞·月考）對任意向量，下列向量運算一定成立的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．3．（2324高一下·四川成都·期中）以下等式錯誤的是（

）A． B．C． D．4．（2324高一下·安徽·月考）（多選）下列關于平面向量的運算中，錯誤的是（

）A．B．C．D．若，則5．（2324高一下·江西·月考）（多選）已知是三個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二．坐標法求向量的數量積1．（1213高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2324高一下·重慶·期中）已知向量，，，若，則（

）A． B．24 C． D．123．（2324高一下·江蘇·月考）在中，滿足，則．4．（2324高一下·江蘇南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，點P在CD邊上，滿足，則（

）A． B．0 C． D．5．（2324高一下·甘肅天水·期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，M，N分別為線段BC，DC上的點，且，，則的值為.三．基底法求向量的數量積1．（2324高一下·天津·月考）在平行四邊形中，，，，點在上，滿足，則.2．（2324高一下·江蘇南京·期中）在平行四邊形中，，則（

）A．12 B．16 C．14 D．103．（2324搞一下·四川南充·月考）如圖，在邊長為3的正三角形中，，，則（

）A． B．3 C． D．24．（2324高一下·江西景德鎮·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點M為邊BC上的中點，則的值為（）A． B．6 C．8 D．125．（2324高一下·安徽·月考）如圖所示，中，，，，，則（

）A． B． C． D．四．向量的投影求解1．（2324高一下·吉林長春·期中）已知向量與的夾角為，則在上的投影向量的模為2．（2324高一下·云南·月考）已知向量，，則向量在方向上的投影向量的坐標為.3．（2324高一下·河北邢臺·期中）已知平面向量，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2324高一下·江蘇連云港·期中）已知向量，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2324高一下·山東淄博·期中）已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．五．利用數量積求向量夾角1．（2324高一下·天津·月考）已知與，它們的夾角為（

）A．90° B．45°或135° C．135° D．45°2．（2324高一下·河南·期中）在四邊形中，，且，則（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·遼寧·期中）已知向量，，，滿足（），且，若為，的夾角，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2324高一下·安徽安慶·月考）已知平面內非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為．5．（2324高一下·湖北·月考）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．六．根據向量夾角求參數1．（2324高一下·上海·月考）已知，若與夾角為銳角，則實數的取值范圍為．2．（2324高一下·江蘇鹽城·期中）設，且的夾角為鈍角，實數的取值范圍是.3．（2324高一下·江蘇南京·月考）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2324高一下·浙江·期中）已知向量，且與的夾角為．(1)求和；(2)若向量與所成的角是銳角，求實數的取值范圍．5．（2324高一下·河南濮陽·月考）已知向量，，向量滿足，且.(1)求的坐標；(2)若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.七．利用數量積求向量的模長1．（2324高一下·江西贛州·期中）已知向量，向量滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·山東青島·期中）如果，，，則的值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．134．（2324高一下·云南·月考）已知平面向量，則．5．（2324高一下·北京順義·期中）已知非零向量，，滿足：，，，，則．八．數量積與向量垂直關系1．（2324高一下·重慶璧山·月考）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·河北保定·月考）已知單位向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·廣東茂名·月考）已知向量，若，則.4．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知，，,的夾角，若，則．5．（2324高一下·山西運城·月考）已知向量，滿足，，.(1)求在上的投影向量；(2)若向量與垂直，求實數的值.九．向量數量積的最值與范圍1．（2324高一下·四川瀘州·期中）在梯形ABCD中，，，，E為的中點，F為上的動點（含端點），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·山西運城·月考）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4，點P為邊DE上的一個動點（含端點），則的取值范圍是.3．（2324高一下·安徽合肥·期中）如圖，某公園內有一塊邊長為2個單位的正方形區域市民健身用地，為提高安全性，擬在點處安裝一個可轉動的大型探照燈，其照射角始終為（其中，分別在邊，上），則的取值范圍.4．（2324高一下·遼寧朝陽·期中）已知|，，，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．45．（2324高一下·山西忻州·月考）已知，且，則的取值范圍是.十．向量的新定義問題1．（2324高一下·山東淄博·期中）已知兩個非零向量與的夾角為，我們把數量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（

）A． B．10 C． D．22．（2324高一下·福建福州·期中）（多選）定義:已知兩個非零向量的夾角為，把兩個向量的叉乘記作:，則以下說法正確的是（

）A．若，則B．C．若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D．若，則的最小值為3．（2324高一下·重慶璧山·月考）對任意兩個非零向量，，定義：(1)若向量，，求的值；(2)若單位向量，滿足，求向量與的夾角的余弦值；(3)若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數，求的取值范圍．4．（2324高一下·福建泉州·期中）設非零向量，并定義(1)若，求；(2)寫出之間的等量關系，并證明；(3)若，求證：集合是有限集.5．（2324高一下·甘肅天水·期中）對于數集，其中，.定義向量集.若對于任意，存在，使