第5章二次函數(shù)（拔尖必刷53題14種題型專項訓練）利用二次函數(shù)的性質(zhì)判多結論問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較四個字母的大小利用二次函數(shù)的最值求字母的值或取值范圍根據(jù)新定義求二次函數(shù)最值根據(jù)新定義求字母的值或取值范圍二次函數(shù)與函數(shù)、方程組、不等式綜合拋物線的平移、旋轉、對稱二次函數(shù)綜合問題-線段周長問題二次函數(shù)綜合問題-面積問題二次函數(shù)綜合問題-角度問題二次函數(shù)綜合問題-特殊三角形存在性問題二次函數(shù)綜合問題-特殊四邊形存在性問題二次函數(shù)綜合問題-相似三角形存在性問題二次函數(shù)綜合問題-全等存在性問題一．利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷多結論問題（共5小題）1．（2023上·湖北孝感·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（包含端點），頂點坐標為，有下列結論：①；②；③對于任意實數(shù)，總成立；④關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確結論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系、不等式，解題的關鍵是熟知頂點坐標以及二次函數(shù)的性質(zhì)．利用拋物線的對稱軸方程得到，則可對①進行判斷；利用拋物線與軸交于點得到，把代入得到，再利用得到，然后解不等式組可對②進行判斷；利用當時，有最大值得到（為任意實數(shù)），則可對③進行判斷；利用直線與拋物線只有一個交點可知與拋物線有兩個交點，則可對④進行判斷．【詳解】拋物線的頂點坐標為，拋物線的對稱性為直線，，，所以①正確；拋物線與軸交于點，，，拋物線與軸的交點在，之間（包含端點），，即，，所以②正確；當時時，有最大值，（為任意實數(shù)），即，所以③正確；拋物線的頂點坐標為，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物線有兩個交點，關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確．故選：A．2．（2023上·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、點、點，若點是拋物線上任意一點，有下列結論：①二次函數(shù)的最小值為；②若，則；③若，則；④一元二次方程的兩個根為和其中正確結論的是()A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；根據(jù)、兩點寫出拋物線的交點式化簡得，再配成頂點式，即可判斷①；當時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷②；利用二次函數(shù)的對稱性及增減性即可判斷③；由可知，，則可化為，，解方程即可判斷④．【詳解】解：拋物線解析式化成交點式為，即，配成頂點式得，當時，二次函數(shù)有最小值為，所以①正確；當時，，當，，所以②錯誤；點的坐標為，點關于直線的對稱點為，若，則或，所以③錯誤；由可知，，則可化為，，方程整理得：，解得，，所以④正確．所以①④正確．故選：B．3．（2023上·云南昆明·九年級云大附中校考期中）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點．其對稱軸為直線下列結論：①；②若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；③若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根．則；④滿足的x的取值范圍為．⑤對于任意實數(shù)m，總有；其中正確結論的個數(shù)為（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得，根據(jù)拋物線的對稱軸可推得，根據(jù)時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據(jù)點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；將方程整理后，可得，利用根的判別式求解，可得，故③正確；根據(jù)拋物線的對稱性可得二次函數(shù)必然經(jīng)過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確；根據(jù)當時，y有最大值，即對于任意實數(shù)m，總有，即，故⑤錯誤．【詳解】①∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線的對稱軸為直線，∴，由圖象可得時，，即，而，∴．故①錯誤；②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．故當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，∵，，即點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，故，故②正確；③整理可得，若無實數(shù)根，則，∵，∴即，故③正確；④∵函數(shù)圖象經(jīng)過，對稱軸為直線，∴二次函數(shù)必然經(jīng)過點，∴時，的取值范圍，故④正確；⑤由開口向下且對稱軸為直線，可知當時，y有最大值，即對于任意實數(shù)m，總有，即，故⑤錯誤．綜上，②③④正確，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置；常數(shù)項決定拋物線與軸交點；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2023上·云南昆明·九年級校考期中）如圖所示，已知拋物線和直線．我們規(guī)定：當取任意一個值時，對應的函數(shù)值分別為和．若，取和中較小值為；若，記．當時，；當時，道的增大而增大；使得大于的的值不存在；若，則．上述結論正確的是（填序號）．

【答案】②③/③②【分析】觀察函數(shù)圖象，可知：當時，拋物線在直線的下方，進而可得出當時，，結論錯誤；觀察函數(shù)圖象，可知：當時，拋物線在直線的下方，進而可得出當時，，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出隨的增大而增大，結論正確；利用配方法可找出拋物線的最大值，由此可得出：使得大于的的值不存在，結論正確；利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出當時的值，由此可得出：若，則或，結論錯誤；本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，，∴此時，故錯誤；當時，，∴此時，且此時隨的增大而增大，∴當時，隨的增大而增大，故正確；∵，∴的最大值為，∴大于的的值不存在，故正確；當時，，此時，當，即，解得；當時，，此時，當，即，解得，（舍去），∴使得的的值是或，故錯誤，綜上，正確的結論有，故答案為：．5．（2023上·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點．下面四個結論：①拋物線開口向下；②當時，取最小值；③當時，一元二次方程必有兩個不相等實根；④直線經(jīng)過點，，當時，的取值范圍是．所有正確結論的序號是．【答案】②④【分析】將點的坐標代入拋物線表達式，求出拋物線的表達式為畫出函數(shù)圖象，進而求解.【詳解】將點的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為函數(shù)圖象如下：

，故拋物線開口向上，故①錯誤，不符合題意；②拋物線開口向上，頂點為∴當時，y取最小值，故②正確，符合題意；③∵函數(shù)的最小值為，故時,直線和有一個或沒有交點，故一元二次方程無解或有兩個相等實根，故③錯誤，不符合題意；④觀察函數(shù)圖象，直線經(jīng)過點,當時，的取值范圍是故④正確，符合題意；故答案為:②④.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式(組)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是確定函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關系，確定不等式的解.二．利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較四個字母的大小（共7小題）1．若關于x的方程2x2-3x+m=2023的解為x1，x2(x1<A．x1<x2<C．x3<x【答案】B【分析】本題考查了拋物線與一元二次方程的交點．數(shù)形結合是解題的關鍵．由題意設直線y=2023-m與拋物線y=2x2-3x交于A、B兩點，直線y=2023-n與拋物線y=2x2-3x交于C、D【詳解】解：由題意知，2x2-3x=2023-m設直線y=2023-m與拋物線y=2x2-3x交于A、B兩點，直線y=2023-n與拋物線y=2x2-3x交于C、∵m<n<0，∴2023-m>2023-n，如圖，

∴x1故選：B．2．（2023上·浙江·九年級期中）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，其中，將此拋物線向上平移，與x軸交于，兩點，其中，下面結論正確的是（

）A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和平移，分情況討論：或，根據(jù)拋物線與x軸兩交點關于對稱軸對稱，故得到交點橫坐標之間的關系．由對稱軸得到拋物線與x軸交點的橫坐標之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．【詳解】當時，如圖所示：

由圖象可得，∵拋物線，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，由∵，∴，，當時，如圖所示：

由圖象可得，∵拋物線∴拋物線的對稱軸為直線，∴，．故選：A．3．（2023上·四川南充·九年級統(tǒng)考期中）若關于x的方程的解為，關于x的方程的解為，且．則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了拋物線與一元二次方程的交點．數(shù)形結合是解題的關鍵．由題意設直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，則分別為兩點的橫坐標，分別為兩點的橫坐標，然后數(shù)形結合比較橫坐標的大小即可．【詳解】解：由題意知，，，設直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，則分別為兩點的橫坐標，分別為兩點的橫坐標，∵，∴，如圖，

∴，故選：B．4．（2023上·北京·九年級北京市師達中學校考階段練習）若是方程的兩個根，則實數(shù)，a，b的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為和為方程的兩根，所以滿足方程，再由已知條件、結合圖象，可得到，，，的大小關系．【詳解】用作圖法比較簡單，首先作出圖象，任意畫一個（開口向上的，與軸有兩個交點），再向下平移一個單位，就是，這時與軸的交點就是，，畫在同一坐標系下，很容易發(fā)現(xiàn)：．

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況，結合圖象得出答案是解決問題的關鍵．5．（2023上·浙江嘉興·九年級校考開學考試）已知二次函數(shù)，且，是方程的兩個根，則實數(shù)a，b，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為和為方程的兩根，所以滿足方程，再由已知條件、結合圖象，可得到，，a，b的大小關系．【詳解】解：用作圖法比較簡單，首先作出圖象，畫一個（開口向上的，與x軸有兩個交點），再向下平移一個單位，就是，這時與x軸的交點就是和，

畫在同一坐標系下，很容易發(fā)現(xiàn)：，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況，結合圖象得出答案是解決問題的關鍵．6．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知a＜0，，是方程的兩個根，且，，是拋物線與x軸的兩個交點橫坐標，且，則，，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，是方程的兩個根，且，可得的圖象如圖示，且，對稱軸為直線，而的形狀與的形狀相同，開口方向一致，與軸交于同一點，且對稱軸為直線，結合，則，從水平方向看的圖象是的圖象先向左平移得到的；可得的圖象如圖示；再結合圖象可得答案．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，且，∴的圖象如圖示，且，對稱軸為直線，

而的形狀與的形狀相同，開口方向一致，與軸交于同一點，且對稱軸為直線，∵，則，則，∴從水平方向看的圖象是的圖象先向左平移；∴的圖象如圖示；∴，故選C【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．7．（2021上·貴州黔南·九年級校考期末）已知函數(shù)y＝﹣(x﹣m)(x﹣n)+3，并且a，b是方程(x﹣m)(x﹣n)＝3的兩個根，則實數(shù)m，n，a，b的大小關系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b【答案】D【分析】令拋物線解析式中y=0，得到方程的解為a，b，即為拋物線與x軸交點的橫坐標為a，b，再由拋物線開口向下得到a<x<b時y大于0，得到x=m與n時函數(shù)值大于0，即可確定出m、n、a、b的大小關系．【詳解】函數(shù)y＝﹣(x﹣m)(x﹣n)+3，令y=0，得到(x﹣m)(x﹣n)=3的兩個根為a、b，當x=m或n時，y=3>0，∴實數(shù)m、n、a、b的大小關系為a<m<n<b，故選：D．【點睛】此題考查拋物線與坐標軸的交點，拋物線的對稱性，拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，正確理解m、n、a、b與拋物線解析式的關系是解題的關鍵．三．利用二次函數(shù)的最值求字母的值或取值范圍（共5小題）1．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）關于x的二次函數(shù)，在時的最大值與最小值的差大于15，則m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，再分情況列式求值，正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】當時，y有最小值，當時，函數(shù)y隨x的增大而增大；當時，函數(shù)y隨x的增大而減小，當時，，得(舍），或(舍）；當時，，得（舍），或（舍）；當時，，得；當時，，得故選：B．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）已知函數(shù)，當時，有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先將該函數(shù)的表達式化為頂點式，得出當時，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵，，∴當時，y有最小值2，把代入得：，解得：，∵當時，有最大值3，最小值2，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和增減性，以及求二次函數(shù)的最值的方法．3．（2023上·福建廈門·九年級校考階段練習）已知函數(shù)，當時，函數(shù)有最大值，最小值3，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)表達式可求出對稱軸，再根據(jù)函數(shù)圖象開口向下可得函數(shù)性質(zhì)，確定最值范圍即可求解．【詳解】解：，對稱軸為直線，當時，，當時，，因此時，，當時，隨值的增大而增大，當時，隨值的增大而減小，時，有最大值，最小值3，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，掌握性質(zhì)及圖象、運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．4（2023上·湖北·九年級校考周測）已知函數(shù)，且的取值范圍是．(1)若的最大值為6，求的取值范圍；(2)若的最大值為5，求的值；(3)求的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)當時，的最小值為；當時，的最小值為．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用配方法得到函數(shù)的頂點式，得到若的最大值為6，則可取1，據(jù)此計算即可求解；（2）若的最大值為5，則必取0或2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，進一步計算即可求解；（3）分別求得，，計算得到，分和兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：，若的最大值為6，則可取1，∴，解得；（2）解：若的最大值為5，即，解得或，則必取0或2，∴或，解得或；（3）解：∵，∴函數(shù)圖象開口向下，當時，，當時，，∴，當時，，∴的最小值為；當時，，∴的最小值為；綜上，當時，的最小值為；當時，的最小值為．5．（2023上·廣東廣州·九年級校考階段練習）已知二次函數(shù)：的圖象開口向上，且經(jīng)過點．(1)求的值（用含的代數(shù)式表示）：(2)若二次函數(shù)在時，的最大值為1，求的值；(3)將線段向右平移2個單位得到線段，二次函數(shù)向上平移個單位得到，若線段與拋物線僅有一個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)的值為(3)的取值范圍為【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點A、B的坐標代入即可；（2）根據(jù)拋物線圖像分析得在范圍內(nèi)，的最大值只可能在或處取得，進行分類討論①若時，②若，③，計算即可；（3）先利用待定系數(shù)法寫出直線的解析式，再寫出平移后的解析式，若線段與拋物線僅有一個交點，即方程在的范圍內(nèi)僅有一個根，得出拋物線在的范圍內(nèi)與軸僅有一個交點，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出只需當對應的函數(shù)值小于或等于0，且對應的函數(shù)值大于或等于0即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴，∴，∴．（2）解：由（1）可得，在范圍內(nèi)，的最大值只可能在或處取得；當時，，當時，，①若時，即時，得，∴，解得(符合題意)；②若，即時，得，此時，舍去；③，即時，得，∴，（舍去）．∴綜上范圍內(nèi)在可知，的值為；（3）解：設直線的解析式為，∵直線過點，，∴，解得：，∴，將線段向右平移2個單位得到線段，∴的解析式滿足，即，∵二次函數(shù)向上平移個單位得到，∴拋物線的解析式為，∴，又∵線段與拋物線在范圍內(nèi)僅有一個交點，即方程在的范圍內(nèi)僅有一個根，整理得在的范圍內(nèi)僅有一個根，即拋物線在的范圍內(nèi)與軸僅有一個交點，∵拋物線中，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，∵，∴拋物線，當時對應的函數(shù)值小于當時對應的函數(shù)值，∴只需當對應的函數(shù)值小于或等于0，且對應的函數(shù)值大于或等于0，拋物線在的范圍內(nèi)與軸僅有一個交點，即時，，解得，當時，，解得，綜上分析可知，的取值范圍為．【點睛】本題考查一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值、圖像與x軸的交點與方程的根的情況、熟練掌握二次函數(shù)的圖像知識是解題的關鍵四．根據(jù)新定義求二次函數(shù)最值（共3小題）1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最小值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】C【分析】分兩種情況討論：當，即時，當，即或時，并結合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：當，即時，，∵，∴當時，該函數(shù)的值最小，最小值為；當，即或時，，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∵，∴當時，該函數(shù)的值最小，最小值為；綜上所述，該函數(shù)的最小值為．故選：C【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．2．（2023下·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題目中所給的運算法則，分兩種情況：①當時，②當時，分別進行求解即可．【詳解】解：令,①當時，即時，，令，則w與x軸的交點坐標為，，∴當時，，∴（），∵y隨x的增大而增大，∴當時，；②當時，即時，，令，則w與x軸的交點坐標為，，∴當時，或，∴（或），∵的對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而減小，∵當時，，∴當時，；當，y隨x的增大而增大，∴當時，；∴當時，；綜上，的最大值為5．故選：C．【點睛】本題是新定義運算與二次函數(shù)相結合的題目，解題時要注意分情況討論，不要漏解．3．（2015·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）定義符合的含義為：當時，；當，，如：，．則的最大值是（）A．0 B．1 C． D．【答案】D【詳解】先求出兩個函數(shù)的交點坐標，再根據(jù)的定義解答即可．【分析】解：聯(lián)立，解得，，所以，的最大值是．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，讀懂題目信息，理解定義符號的意義并考慮求兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵五．根據(jù)新定義求字母的值或取值范圍（共6小題）1．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．如果函數(shù)是以4為上確界的有上界函數(shù)，則實數(shù)．

【答案】【詳解】解：的對稱軸為直線，當時，y的最大值為，∵為上確界，∴，∴(舍)；當時，y的最大值為，∵為上確界，∴，∴(舍)；當時，y的最大值為，∵為上確界，∴，∴；當時，y的最大值為，∵為上確界，∴，∴(舍)，綜上所述：的值為，故答案為：．【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關鍵．2．（2023·四川成都·校考三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點旋轉，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關于點P的相關函數(shù)．如果當時，函數(shù)關于點的相關函數(shù)的最大值為8，則m的值為．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點坐標，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉的性質(zhì)，求出其相關函數(shù)的表達式，最后根據(jù)對稱軸的不同位置，進行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點坐標為，設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)頂點坐標為，∴，，解得：，，∴設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)頂點坐標為，∴設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)為；①當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：，（舍）；②當時，時，當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對函數(shù)的頂點坐標連線中點為，根據(jù)對稱軸的不同位置進行分類討論．3．（2023上·北京西城·九年級北京市第三十五中學校考期中）在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：如果，那么稱點為點的“關聯(lián)點”．例如點的“關聯(lián)點”為點，點的“關聯(lián)點”為點．

(1)在點中，______________的“關聯(lián)點”在函數(shù)的圖象上；(2)如果一次函數(shù)圖象上點的“關聯(lián)點”是，求點的坐標；(3)如果點在函數(shù)的圖象上，其“關聯(lián)點”的縱坐標的取值范圍是，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)、(2)(3)【分析】（1）點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，將點的坐標代入函數(shù)，看是否在函數(shù)圖象上，即可求解；（2）當時，點，則；當時，點，則，解方程即可求解；（3）如圖為“關聯(lián)點”函數(shù)圖象：從函數(shù)圖象看，“關聯(lián)點”的縱坐標的取值范圍是，而，函數(shù)圖象只需要找到最大值（直線與最小值（直線直線從大于等于0開始運動，直到與有交點結束．都符合要求，只要求出關鍵點即可求解．【詳解】（1）點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，點的“關聯(lián)點”是，將點的坐標代入函數(shù)，得和在此函數(shù)圖象上，故答案為：、；（2）當時，點，則，解得：（舍去）；當時，點，，解得：，點；（3）如圖為“關聯(lián)點”函數(shù)圖象：

從函數(shù)圖象看，“關聯(lián)點”的縱坐標的取值范圍是，而，函數(shù)圖象只需要找到最大值（直線與最小值（直線直線從大于等于0開始運動，直到與有交點結束．都符合要求，即，解得：（舍去負值），觀察圖象可知滿足條件的的取值范圍為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，屬于創(chuàng)新題目，中考常考題型．4．（2023上·北京海淀·九年級北京市八一中學校考階段練習）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱這個函數(shù)為邊界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)：是邊界函數(shù)，其邊界值是2．?(1)函數(shù)①和②中是邊界函數(shù)的為（只填序號即可），其邊界值為；(2)如果函數(shù)的邊界值是a，且這個函數(shù)的最大值超過，求b的取值范圍；(3)如果函數(shù)是以為邊界值的邊界函數(shù)，直接寫出實數(shù)a的值．【答案】(1)②，0(2)(3)【分析】（1）根據(jù)邊界函數(shù)的定義即可進行判斷；（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得的取值范圍，結合“邊界值是a，且這個函數(shù)的最大值超過”即可求b的取值范圍；（3）分類討論、、三種情況即可求解．【詳解】（1）解：①∴①不是邊界函數(shù)．②，∴∴．∴②是邊界函數(shù)，邊界值為0．故答案為：②，0；（2）解：∵，y隨x值的增大而減小，∴當時，，∵邊界值是a，∴，∵函數(shù)的最大值超過，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴b的取值范圍為：（3）解：的對稱軸為直線，當時，y的最小值為，∴（舍去）；當時，y的最小值為，解得（舍去）；當時，y的最小值為，解得或（舍去）．綜上所述：a的值為．【點睛】本題以新定義題型出發(fā)，考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的相關知識點．掌握函數(shù)的相關結論是解題關鍵．5．（2023上·北京·九年級北京八十中校考階段練習）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．

(1)函數(shù)①和②中是有上界函數(shù)的為________（只填序號即可），其上確界為________；(2)如果函數(shù)的上確界是b，且這個函數(shù)的最小值不超過，求a的取值范圍；(3)如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值，并求出此時函數(shù)的最小值．【答案】(1)：②，1(2)(3)；【分析】（1）分別求出兩個函數(shù)的最大值即可求解；（2）由題意可知：，再由，，，即可求的取值范圍；（3）當時，，可得（舍；當時，，可得（舍；當時，，可得；當時，，可得；當時，，求出其最小值即可．【詳解】（1）解：①，①無上確界；②，，②有上確界，且上確界為1，故答案為：②，1；（2），隨值的增大而減小，當時，，上確界是，，函數(shù)的最小值不超過，，，，，，的取值范圍為：；（3）的對稱軸為直線，當時，的最大值為，為上確界，，（舍；當時，的最大值為，為上確界，，（舍；當時，的最大值為，為上確界，，；當時，的最大值為，為上確界，，，故的值為．當時，，即，，故當時，有最小值．綜上所述：的值為；此時有最小值【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關鍵．6．（2023下·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校校考期末）定義：我們不妨把縱坐標是橫坐標2倍的點稱為“青竹點”．例如：點、……都是“青竹點”．顯然，函數(shù)的圖象上有兩個“青竹點”：和．(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打“√”，不存在“青竹點”的，請打“×”．

①________；

②________；

③________．(2)若拋物線（m為常數(shù)）上存在兩個不同的“青竹點”，求m的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當時，a的最小值為c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)題意得出關于的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關于m的不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意得出關于的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）解：①令，方程無解，∴函數(shù)圖像上不存在“青竹點”，故答案為：×；②令，解得：，，∴函數(shù)圖像上存在“青竹點”和，故答案為：√；③令，方程無解，∴函數(shù)圖像上不存在“青竹點”，故答案為：×；（2）解：由題意得，整理，得，∵拋物線（m為常數(shù)）上存在兩個不同的“青竹點”，∴，解得；（3）解：由題意得整理，得∵函數(shù)的圖像上存在唯一的一個“青竹點”，∴整理，得∴當時，a的最小值為，∵當時，a的最小值為c，∴∴，【點睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程的關系，一元二次方程根的判別式．六．二次函數(shù)與函數(shù)、方程組、不等式綜合（共5小題）1．（2023上·福建廈門·九年級校考期中）如圖，，兩點在二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像上．

(1)求的值和二次函數(shù)的解析式．(2)請直接寫出使時，自變量的取值范圍．【答案】(1)，二次函數(shù)的解析式為(2)【分析】本題考查一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用圖像法解不等式，（1）將代入可求出的值；將，代入可得關于，的方程組，求解即可；（2）結合圖像可得出符合的的值；熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圖像法解不等式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵點在一次函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∵，兩點在二次函數(shù)的圖像上，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∴，二次函數(shù)的解析式為；（2）由圖像可知，當時，二次函數(shù)的圖像在一次函數(shù)圖像的下方，∴當時，自變量的取值范圍是．故答案為：．2．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，而一次函數(shù)的圖象也經(jīng)過，兩點．(1)求k，b的值；(2)結合圖象直接寫出的解集．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關鍵是：（1）利用二次函數(shù)的解析式求得、點的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得、的值；（2）找到二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方（含交點）時自變量的范圍即可．【詳解】（1）解：中，令，則，，令，則，解得，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，，解得；（2）觀察圖象，的解集是．3．（2023上·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點，交軸坐標軸于點，交軸于點，

(1)填空：______，______；(2)設二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點為，求的長：(3)在同一坐標系中畫出直線，并直接寫出當在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）將點代入解析式，即可得出，進而令得出點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（2）根據(jù)題意，得出的坐標，進而勾股定理即可求解．（3）按照函數(shù)解析式運用描點法畫出圖象，觀察二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象，找到一次函數(shù)值高于二次函數(shù)值的部分，其對應自變量即是x取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象過點，∴，令，則解得：，∴，另一個交點坐標為，∴，故答案為：，．（2）解：由（1）可得，由，令，則，∴∴（3）解：，當，當過點畫出一次函數(shù)，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象如圖，

觀察函數(shù)圖象，當一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時，x的取值范圍是．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖象，勾股定理，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點等知識，熟練掌握各個知識點是解答關鍵．4．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）前面我們學習了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，積累了一定的學習經(jīng)驗，相信大家都掌握了探究函數(shù)圖象和性質(zhì)的路徑．下面是探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過程．閱讀并回答相關問題．列表：自變量x與函數(shù)y的對應值表．x……y……(1)①表格中的，．②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點，請在下面的平面直角坐標系中補充描點和點．③連線：請在下面的平面直角坐標系中用光滑曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象．(2)請寫出該函數(shù)圖象的一條性質(zhì)：．(3)運用該函數(shù)圖象，直接寫出方程的解是：．(4)若關于方程有個實數(shù)解，則實數(shù)的范圍是．【答案】(1)①，；②見解析；③見解析(2)函數(shù)的圖象關于軸對稱(3)或(4)【分析】本題考查了函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖像，利用數(shù)形結合解決問題．（1）①將、分別代入函數(shù)解析式中求出、即可；②根據(jù)坐標描點即可；③用光滑曲線順次連接各點即可畫出函數(shù)圖像；（2）觀察圖像即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像即可求解；（4）根據(jù)函數(shù)圖像即可求解．【詳解】（1）解：①當時，，當時，，故答案為：，；②③如圖：（2）根據(jù)圖象可知：函數(shù)的圖象關于軸對稱（答案不唯一），故答案為：函數(shù)的圖象關于軸對稱（答案不唯一）；（3）觀察函數(shù)圖象，可得方程的解是：或，故答案為：或；（4）觀察函數(shù)圖象可得，若關于的方程有個實數(shù)解，則實數(shù)的范圍是，故答案為：．5．（2023上·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）類比探究題：

(1)【舊知復習】一次函數(shù)和方程（組）以及不等式之間有著密切的聯(lián)系，通過一次函數(shù)圖象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程組的解等，所含的數(shù)學思想是_________，如圖1，直接寫出方程的解為_________；不等式的解集為_________；如圖2，寫出二元一次方程組的解為，不等式的解集為_________；(2)【類比應用】類比一次函數(shù)的學習，可以延伸到其他函數(shù)，通過圖象解決方程及不等式的問題．已知，如圖3，函數(shù)的圖象與x軸的交點為，則方程的解為_________；不等式的解集為_________；(3)【拓展拔高】如圖4，函數(shù)的圖象與過且平行于x軸的直線交于兩點，根據(jù)圖象求：①方程的解；②不等式的解集．【答案】(1)數(shù)形結合思想，，，(2)或1，(3)①方程的解為：或0；②不等式的解集為：或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)與不等式的解集的關系，涉及了函數(shù)思想以及類比思想：（1）利用數(shù)形結合思想解答，即可求解；（2）根據(jù)題意可得當時，或1，再利用數(shù)形結合思想解答，即可求解；（3）①根據(jù)題意可得當時，或0，即可求解；②觀察圖象可得當時，或，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：所含的數(shù)學思想是數(shù)形結合思想，觀察圖象得：當時，，∴方程的解為；當時，，∴不等式的解集為；觀察圖象得：當時，函數(shù)的圖象在的圖象的上方，∴不等式的解集為；故答案為：數(shù)形結合思想，，，（2）解：∵函數(shù)的圖象與x軸的交點為，∴當時，或1，∴方程的解為或1；觀察圖象得：當時，函數(shù)的圖象在x軸的上方，∴不等式的解集為；故答案為：或1；（3）解：①∵函數(shù)的圖象與過且平行于x軸的直線交于兩點，∴當時，或0，∴方程的解為或0；②觀察圖象得：當時，或，∴不等式的解集為或．七．拋物線的平移、旋轉、對稱（共5小題）1．（2023上·河南信陽·九年級校考階段練習）如圖．已知拋物線經(jīng)過三點，為坐標原點

(1)求此拋物線的解析式(2)若把拋物線向下平移個單位度，再向右平移個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點在內(nèi)．求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，采用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)交點式求解解析式即可得到答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移，數(shù)形結合，把拋物線向下平移個單位度，再向右平移個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點在內(nèi)，可轉化為的取值范圍在直線與直線、直線交點之間，求出處交點坐標即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過三點，，將代入得，解得，拋物線的解析式；（2）解：若把拋物線向下平移個單位度，則，頂點為，連接，作直線交軸、直線于，如圖所示：

設直線：，將代入表達式得，解得，直線：；當時，與直線的交點坐標為；與直線的交點坐標為；若把拋物線向下平移個單位度，再向右平移個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點在內(nèi)．的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、拋物線平移等知識，掌握二次函數(shù)表達式、直線表達式求法，數(shù)形結合，將問題轉化為直線與軸、直線交點相關問題是解決問題的關鍵．2．（2023上·重慶潼南·九年級校聯(lián)考期中）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點A、B的坐標為，(1)如圖1，求拋物線的解析式；(2)如圖1，點D在直線BC上方的拋物線上運動（不含端點B、C），連接DC、DB，當△BCD面積最大時，求出面積最大值和點D的坐標；(3)如圖2，將（1）中的拋物線向右平移，當它恰好經(jīng)過原點時，設原拋物線與平移后的拋物線交于點E，連接BE．點M為原拋物線對稱軸上一點，以B、E、M為頂點的三角形是直角三角形時，寫出所有符合條件的點M的坐標，并寫出求解點M的坐標的其中一種情況．【答案】(1)(2)，(3)，，，【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，是解題的關鍵．（1），代入，求出a和b的值，即可得出表達式；（2）過D作軸交于H，用待定系數(shù)法求出解析式為，設，則．得出，則當時，DH最大值為，再根據(jù)，即可解答；（3）先得出對稱軸為直線，平移后解析式為，聯(lián)立兩函數(shù)，求出，設，則表示出，，，然后進行分類討論：①當時，②當時，③時，，由此即可求解．【詳解】（1）解：把，代入，得，解這個方程組，得，∴該拋物線得表達式為；（2）解：如圖所示，過D作軸交于H，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴解析式為，設，則．則，當時，DH最大值為，，此時；（3）解：∵，∴拋物線向右平移一個單位長度后經(jīng)過原點，∵．∴對稱軸為直線，平移后解析式為，聯(lián)立兩函數(shù)得：，解得：，∴，設，則，，，①當時，，解得：，∴；②當時，，解得：，∴；③時，，解得：，∴，．綜上：，，，．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線的解析式為，與軸、軸分別交于點、點，拋物線經(jīng)過點，與直線交于點，點的橫坐標為，拋物線的對稱軸為．

(1)求拋物線的解析式；(2)動點在直線上方的拋物線上，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，當時，求值；(3)點是坐標平面內(nèi)一點，將繞點沿逆時針方向旋轉后，得到，點、、的對應點分別是點、、．若的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出此時點的橫坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)(3)點的橫坐標或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，直角三角形旋轉的性質(zhì)，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法，分別求出點、，點，再由對稱軸和點，求出拋物線的解析式．（2）由已知條件，得到，，，故而，所以，由此得到的值．（3）將繞點沿逆時針方向旋轉90°，點，在拋物線上時，設點的橫坐標為，點的橫坐標為，縱坐標相等，得到關系式求出；點，在拋物線上時，點的橫坐標為，縱坐標比大，得到關系式，再求出一個，得到答案．【詳解】（1）解：由已知得：拋物線與軸交于點令，，，直線經(jīng)過點，，直線的解析式為直線交于點，點的橫坐標為4，令，，，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為，解得，拋物線的解析式為．（2）由已知得：如圖，，

，軸，軸，，，在和中，，，，，，，即，解得．（3）由已知得：將繞點沿逆時針方向旋轉90°，直線與軸、軸分別交于點、點，軸，軸，設點的橫坐標為，如圖，點，在拋物線上時，點的橫坐標為，

，解得；如圖，點，在拋物線上時，點的橫坐標為，縱坐標比大，

，解得．故點的橫坐標或．4．（2023上·湖北襄陽·九年級校聯(lián)考期中）已知拋物線，為拋物線的頂點．(1)如圖，若，拋物線經(jīng)過點．求拋物線的解析式；若在直線下方的拋物線上有點，當最大時，求點的坐標；(2)將拋物線繞頂點旋轉，新拋物線（如圖示例）交軸、兩點，連接點與（）中的點，若直線與軸的交點落在線段之間，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；；(2)或．【分析】（）待定系數(shù)法求解析式即可；把面積轉化為二次函數(shù)求最值即可；（）利用一次函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵拋物線點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；由得：拋物線的解析式為，當時，，則點，設直線解析式為，代入得：，解得：，∴直線解析式為，如圖，拋物線上取一點，過作軸于點，交于點，設，則∵點在直線下方，∴，∴，，，，當時，最大，此時，∴點；（2）將拋物線繞頂點旋轉后解析式為，當時，，解得：，∴點，，當時，，∴點，同上理求出解析式為，∵，∴，當時，，即直線與軸交點為，∵直線與軸的交點落在線段之間，∴，解得：或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023上·安徽黃山·九年級統(tǒng)考期中）定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)拋物線的頂點坐標為，它的“同軸對稱拋物線”為；(2)如圖，在平面直角坐標系中，第四象限的點B是拋物線上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線的對稱軸對稱的點、，連接BC、、、．當四邊形為正方形時，求a的值．

【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點式圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像變換，正方形的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的頂點式圖像與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)頂點式的性質(zhì)直接寫出坐標即可，再由“同軸對稱拋物線”定義得出答案．（2）寫出點的坐標，再由對稱軸求出點，然后結合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）解：；.（2）解：∵點B是拋物線上一點，點B、B'關于該拋物線的對稱軸對稱，∴點B'也在拋物線上，∵拋物線的對稱軸為直線，

且點B的橫坐標為1，∴點B'的橫坐標為3，

∴，當四邊形為正方形時，則，

由題意可知，B、C關于x軸對稱且點B在第四象限，∴點B的縱坐標為∴點B的坐標為.

把點B的坐標代入，解得八．二次函數(shù)綜合問題-線段周長問題（共3小題）1．（2023上·甘肅定西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線交x軸于點，交y軸交于點B，對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若在拋物線上存在一點D，使的面積為8，請求出點D的坐標．(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題；（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點，對稱軸是直線列出方程組，解方程組求出、的值即可；（2）設，列出方程即可解決問題；（3）因為點與點關于直線對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接與交于點，則點即為所求，求出直線與的交點即可．【詳解】（1）由題意得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）設，由（1）可解得：點，對稱軸是直線，，由題意，∴，當時，，解得或，∴或，當時，，方程無解，綜上所述，或．（3）∵點A與點C關于對稱，連接與交于點P，則，當點三點共線時，點P即為使最小，最小為，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，點C的坐標為，與y軸的交點為，∴設直線的解析式為：，，解得，∴直線的解析式為：，則直線與的交點坐標為：∴點P的坐標為：．2．（2023上·寧夏固原·九年級校考期中）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點P是拋物線對稱軸上的一動點，當?shù)闹荛L最小時，求出點P的坐標；(3)點Q在x軸上，且，請直接寫出點Q的坐標.【答案】(1)解析式為，點的坐標為；(2)點的坐標為；(3)點坐標為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出n，利用對稱性C、D關于對稱軸對稱即可求出點D坐標；（2）A，P，D三點在同一直線上時的周長最小，求出直線的解析式即可解決問題；（3）分兩種情形①作交x軸于點Q，此時，滿足條件；②設線段的垂直平分線交于E，直線與x的交點為，此時，滿足條件，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線，點與點關于拋物線的對稱軸對稱，點的坐標為；（2）解：連接，如圖，

點與點關于拋物線的對稱軸對稱，，，為定值，，當值最小，即三點在同一直線上時的周長最小，由解得，，在的左側，，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當時，，當?shù)闹荛L最小時，點的坐標為；（3）解：如圖，

①作交軸于點，此時，滿足條件．，，由待定系數(shù)法易得，直線的解析式為，直線的解析式為，令得，．②設線段的垂直平分線交于，直線與的交點為，此時，滿足條件，作軸于點F，則，∵，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴線段的垂直平分線經(jīng)過點F，以及的中點，∵線段過G、F兩點，可得其解析式為，由解得，，直線的解析式為，令得到，．綜上所述，點坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、最小值問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用對稱解決最短問題，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．3．（2023上·河北張家口·九年級張家口東方中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，，，點P是直線下方拋物線上的一個動點．過點P作軸，交直線于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，則的最小值是________；(3)求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出點C的坐標為，根據(jù)、B關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線的對稱軸上，得出，根據(jù)，兩點之間線段最短，當點A、M、C在同一直線上時，最小，即最小，求出最小值即可；（3）求出直線的解析式為，設，其中，則，求出，得出當時，取得最大值．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，將點A，的坐標代入，得，解得：，∴．（2）解：把代入得：，∴點C的坐標為，∵、B關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線的對稱軸上，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴當點A、M、C在同一直線上時，最小，即最小，∴的最小值為的長，∵，∴的最小值為．故答案為：．

（3）解：設直線的解析式為，將點A，的坐標代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，設，其中，則，∴，∴當時，取得最大值，即的最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是數(shù)形結合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．九．二次函數(shù)綜合問題-面積問題（共2小題）1．（2023上·新疆省直轄縣級單位·九年級校考階段練習）拋物線過，兩點，與y軸相交于點C，點C、D關于拋物線的對稱軸對稱．

(1)求拋物線的解析式及D點坐標；(2)在直線下方的拋物線上存在點P，使的面積最大，求出最大面積；(3)當時，函數(shù)的最小值為5，求t的值．【答案】(1)，(2)的面積為(3)或時，函數(shù)的最小值為5【分析】（1）利用交點式直接寫出解析式，根據(jù)C，D兩點關于二次函數(shù)的對稱軸對稱寫出D點坐標即可；（2）過P作軸，交直線于點F，根據(jù)，將面積轉化為二次函數(shù)求最值即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，將x的取值范圍分為在對稱軸的同側和兩側進行分類討論求解即可；【詳解】（1）解：由題意得：；，對稱軸為：，點C，D關于拋物線的對稱軸對稱，；（2）解：如圖，過P作軸，交直線于點F，連接，，

設直線的解析式為：，則，解得：，，設，則，當時，的面積最大：；（3）解：，當時，函數(shù)值最小：；時，函數(shù)的最小值為5，在對稱軸的同側．當時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，當時，函數(shù)值最小：，解得：或（舍）；當，即時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，當時，函數(shù)值最小：，解得：或（舍）；綜上，或時，函數(shù)的最小值為5；【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)最值的求法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于壓軸題．2．（2023上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線過點，，且它的對稱軸為直線．

(1)求此拋物線的表達式；(2)若點B是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，當?shù)拿娣e為15時，求B的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設，運用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點H，則，可得到，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案；【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，把點，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為，（2）解：∵點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，

∴設，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點，則，∴，∵的面積為15，∴，解得：，∴點B的坐標為．十．二次函數(shù)綜合問題-角度問題（共2小題）1．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預測）綜合與探究拋物線與軸交于A，兩點（點A在點的左側），與軸交于點．已知點A的坐標為，點的坐標為，是線段上的一個動點，點從點出發(fā)沿方向向點A移動，運動速度為每秒2個單位長度，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，設點的運動時間為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標．(2)如圖1，當時，作直線，是直線上方拋物線上一點，連接，，是拋物線對稱軸上的一個動點．當?shù)拿娣e最大，且是等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，連接，，是否存在某一時刻，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)．點的坐標為(2)點的坐標為或或或或(3)存在，【分析】（1）把，代入解析式求解即可得到解析式，再令即可得到答案；（2）當時，求出D點坐標，求出直線解析式，過點作軸于點，交直線于點，過點作于點，設，表示出，根據(jù)面積最大得到點坐標，再結合是等腰三角形分類討論即可得到答案；（3）過點作，交的延長線于點，過點作軸于點，證明，得到K點坐標，結合列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：把，分別代入，得解得∴拋物線的函數(shù)表達式為，當時，．解得，，∴點的坐標為；（2）解：點的坐標為或或或或，當時，，∴．把代入，得，∴點的坐標為，設直線的函數(shù)表達式為，把，分別代入，得解得，∴直線的函數(shù)表達式為，如解圖，過點作軸于點，交直線于點，過點作于點，設，則，∴，∴，∵，，∴當時，的面積最大．當時，，∴點的坐標為，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，設點的坐標為，∴，，①當時，，∴，解得，②當時，，∴，解得，③當時，，∴，解得，綜上所述，點的坐標為或或或或；（3）解：存在，如解圖，過點作，交的延長線于點，過點作軸于點，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴點的坐標為，設直線的函數(shù)表達式為，把，分別代入，得解得，∴直線的函數(shù)表達式為，設點的坐標為，∵點在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴點的橫坐標為，∴；【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合運用中的特殊三角形，特殊角及最大面積題，解題的關鍵是設出點的坐標根據(jù)特殊關系列式求解．2．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知B點的坐標為，C點的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)圖1中，點P為拋物線上的動點，且位于第二象限，過P，B兩點作直線l交y軸于點D，交直線于點E．是否存在這樣的直線l：以C，D，E為頂點的三角形與相似？若存在，請求出這樣的直線l的解析式；若不存在，請說明理由．(3)圖2中，點C和點關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線上，且，求M點的橫坐標．【答案】(1)(2)(3)的橫坐標為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）存在直線l，證明得到，求出A點坐標即可求出D點坐標，再利用待定系數(shù)法求直線解析式即可；（3）連接，，作交BC于H，求出，進一步可求出或，分情況討論，即可求出M的橫坐標為或．【詳解】（1）拋物線過兩點，∴，解得：，∴函數(shù)解析式為：；（2）存在直線l使得以C，D，E為頂點的三角形與相似，當時，以C，D，E為頂點的三角形與相似，∴，在和中，，∴，∴，解，得：（不符合題意，舍去），，∴，∴，設過，的解析式為，則，解得：，∴直線BD的解析式為：；（3）連接，作交于，∵拋物線對稱軸為直線：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴或，當，如圖：

由點的坐標得，直線解析式為：，解方程，解得：或3（舍去），∴M的橫坐標為；當，如圖：

同理可得，直線解析式為：，解方程，解得：（舍去）或，∴M的橫坐標為，綜上所述：的橫坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，難度較大，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求拋物線解析式，掌握勾股定理，正切函數(shù)．十一．二次函數(shù)綜合問題-特殊三角形存在性問題（共3小題）1．（2023上·廣東江門·九年級校考期中）如圖所示，已知拋物線與軸相交于兩點，與軸相交于點，其中點的坐標是，頂點為點，連接，拋物線的對稱軸與軸相交于點．

(1)求的值；(2)求的度數(shù)；(3)在拋物線對稱軸的右側部分上是否存在一點，使得是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，和【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）由于拋物線的解析式中只有一個未知數(shù)，因此只需將點的坐標代入拋物線中即可求出的值．（2）首先表示出拋物線的頂點式，就可以求出點的坐標，然后過點作的垂線，在中根據(jù)、、三點的坐標求出和長度相等，得出的度數(shù)；（3）分三種情況，，，，利用二次函數(shù)的對稱性以及利用線段垂直平分線的性質(zhì)求出的坐標．【詳解】（1）解：拋物線過點，，；（2）由（1）可知該拋物線的解析式為，此拋物線的對稱軸，拋物線的頂點，過點作，則，，所以，，，又，，；（3）存在．①延長交拋物線于點，則軸，所以正好是點關于的對稱點時，有，得出點坐標；由得，點坐標為，對稱軸為．②若以為底邊，則，設點坐標為，根據(jù)兩點間距離，得，即．又點在拋物線上，，即，解得：，，應舍去；，則點坐標，．③當時，只能在點左邊的拋物線上，所以不考慮；符合條件的點坐標為，和．

2．（2023上·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，拋物線與軸交于點，（在的右側），與軸交于點．

(1)分別寫，的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的周長最小，求點的坐標；(3)點是拋物線對稱軸上的一點，點是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以為腰的等腰直角三角形時，請求出點的坐標．【答案】(1)(2)(3)點M的坐標為或或【分析】（1）令，則，求出方程的解即可；（2）先求出點C的坐標和拋物線的對稱軸，如圖所示，作點C關于直線的對稱點E，連接，則點E的坐標為，根據(jù)軸對稱最短路徑可知與拋物線對稱軸的交點即為點Q；（3）分兩種情況當和當兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：令，則，解得，∴；（2）解：∵拋物線解析式為，與y軸交于點C，∴拋物線對稱軸為直線，點C的坐標為如圖所示，作點C關于直線的對稱點E，連接，則點E的坐標為，

由軸對稱的性質(zhì)可知，∴的周長，要使的周長最小，則最小，即最小，∴當A、Q、E三點共線時，最小，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，當時，，∴點Q的坐標為；（3）解：如圖1所示，當點P在x軸上方，時，過點P作軸，過點M作于F，過點B作于E，∵是以為腰的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，

∴，設點P的坐標為，∴，∴，∴點M的坐標為，∵點M在拋物線上，∴，

∴，解得或（舍去），∴點M的坐標為；同理：當點P在x軸下方，時可以求得點M的坐標為；如圖2所示，當點P在x軸上方，時，過點B作軸，過點P作于E，過點M作于F，設點P的坐標為，同理可證，∴，∴點M的坐標為，∵點M在拋物線上，∴，∴，解得或（舍去），∴點M的坐標為；如圖3所示，當點P在x軸下方，時，

同理可以求得點M的坐標為；綜上所述，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，點M的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與x軸交點，二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．3．（2023下·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線關于直線對稱，且經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一點為B．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為直線上方的拋物線上的一點，過點P作軸于M，交于Q，求的最大值，并求此時P點的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上找一點D，使是以為直角邊的直角三角形，請求出點D的坐標．【答案】(1)(2)，此時點(3)在拋物線的對稱軸上存在點D，使為直角三角形，點D的坐標為或【分析】（1）先求得A，B，C的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設點坐標為，則點的坐標為，由，即可求解；（3）分、，兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：令，解得：，即點A的坐標為．∵A、B關于直線對稱，∴點B的坐標為．令，則，∴點C的坐標為，∵拋物線經(jīng)過點A、B、C，∴有，解得：．故拋物線解析式為；（2）∵軸，設點坐標為，∴點的坐標為，∴，∴當時，，此時點；（3）假設存在，設D點的坐標為．由兩點間的距離公式可知：，，，為直角三角形分兩種情況：①，此時有，即：，解得：，此時點D的坐標為；②，此時有，即：，解得：，此時點D的坐標為；綜上可知：在拋物線的對稱軸上存在點D，使為直角三角形，點D的坐標為或．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式、直角三角形的性質(zhì)、線段長度的計算方法等，分類求解是本題解題的關鍵．十二．二次函數(shù)綜合問題-特殊四邊形存在性問題（共3小題）1．（2023上·安徽合肥·九年級校考期中）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線經(jīng)過點、，與y軸交于點C．頂點為點D．在線段下方的拋物線上有一動點P．(1)求拋物線和直線的函數(shù)表達式：(2)過點P作垂直于直線．交于點Q，求的最大值；(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以A、C、M、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點G的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為(2)的最大值為(3)存在，滿足條件的點G的坐標為或或【分析】1）先把點A和點B的坐標代入，求出a和b的值，即可得出拋物線的解析式為，進而得出，再設直線的解析式為，將點A和點C的坐標代入求出k和b的值，即可得出直線的解析式為；（2）作軸交于點H，垂足為點M，通過證明，得出，則，設點，則，得出，則當時，取得最大值為，即可求出的最大值；（3）設，，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行分類討論即可：當為平行四邊形的邊時；當為平行四邊形的對角線時．【詳解】（1）解∶∵拋物線經(jīng)過點、，∴，解得∴拋物線的解析式為，令，可得，∴，設直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖，作軸交于點H，垂足為點M，∵，，∴，則，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，則，∴，設點，則，∴，∵，．∴當時，取得最大值為，∴的最大值為．（3）解：存在．理由∶拋物線的解析式為，對稱軸為直線，如圖，設，．當為平行四邊形的邊時，則有，解得或，∴或，當為平行四邊形的對角線時，∴，∴，綜上所述，滿足條件的點G的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟；正確畫出輔助線，構造相似三角形，掌握相似三角形對應邊成比例，以及平行四邊形對角線互相平分，平行四邊形對邊相等．3．（2023上·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點作軸交于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，將原拋物線向左平移4個單位長度得到拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點，使以點，為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)的最大值為，(3)存在，或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線表達式即可；（2）設的解析式為，待定系數(shù)法解得的解析式為；設，則，其中，，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解作答即可；（3）由題意知，平移后函數(shù)解析式為，聯(lián)立得，解得，，即；由為原拋物線對稱軸上的一點，設，，由題意知，以點，為頂點的四邊形為矩形，分以為邊，以為對角線兩種情況求解：①當以為邊，時，則，為對角線，，，，由勾股定理得，，即，解得，，則，由，的中點坐標相同，可得，計算求解可得點坐標；同理對當以為邊，當時，則，為對角線；②當以為對角線，時，，為對角線；分別計算求解即可．【詳解】（1）解：將和代入，得，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：設的解析式為，將和代入得，，解得，，∴的解析式為；點在拋物線上，軸交于點，設，則，其中，∴，∵，∴當時，最大，最大值為，此時點的坐標是；（3）解：由題意知，，∴平移后函數(shù)解析式為，聯(lián)立得，解得，，∴；∵為原拋物線對稱軸上的一點，∴設，，由題意知，以點，為頂點的四邊形為矩形，分以為邊，以為對角線兩種情況求解：①當以為邊，時，則，為對角線，∴，，，由勾股定理得，，即，解得，，∴，∵，為對角線，∴，的中點坐標相同，∴，解得，，∴；當以為邊，當時，則，為對角線，同理，即，解得，，∴，∵，的中點坐標相同，∴，解得，，∴；②當以為對角線，時，，為對角線，∴，，，由勾股定理得，，即，整理得，，解得，或，∴，當時，∵，中點相同，∴，解得，，∴；當時，∵，中點相同，∴，解得，，∴；綜上所述，存在點，且或或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與線段綜合，二次函數(shù)與特殊的平行四邊形綜合，勾股定理等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并分類討論是解題的關鍵．3．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與x軸交于點A，點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接，點P為線段上一個動點（不與點C，B重合），過點P作軸交拋物線于點Q．(1)直接寫出點A和點B的坐標；(2)設P的橫坐標為t，請用含t的式子表示線段的長，并求出線段的最大值；(3)已知點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內(nèi)一點，當線段取得最大值時，是否存在這樣的點M，N，使得四邊形是菱形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點A、B的坐標分別為：、(2)，當時，的最大值為4(3)點M的坐標為或【分析】（1）令，即可求解；（2）由，即可求解；（3）當四邊形是菱形時，則，即可求解．【詳解】（1）解：令，解得：或4，故點A、B的坐標分別為：、（2）解：設直線的表達式為：，將點B