考點04一元二次不等式與其他常見不等式解法6種常見考法歸類考點一解一元二次不等式（一）解不含參數的一元二次不等式（二）解含參數的一元二次不等式考點二解其他不等式（一）指數不等式（二）對數不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）絕對值不等式（六）高次不等式考點三由一元二次不等式的解確定參數考點四一元二次不等式的恒成立（有解）問題（一）一元二次不等式在R上的恒成立問題（二）一元二次不等式在某區間上的恒成立問題（三）給定參數范圍求范圍的恒成立問題（四）一元二次不等式在某區間有解問題考點五一元二次方程根的分布問題考點六一元二次不等式的實際應用1.一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是圖像法，充分體現了數形結合的思想.也可以利用口訣（大于取兩邊，小于取中間）解答.②當二次不等式時，可以畫圖，解不等式，也可以把二次項的系數變成正數，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意觀察分析的系數.②對于含有參數的不等式注意考慮是否要分類討論.③如果運用口訣解一元二次不等式，一定要注意使用口訣必須滿足的前提條件.④不等式的解集必須用集合或區間，不能用不等式，注意結果的規范性.2.解一元二次不等式的方法和步驟3.解含參數的一元二次不等式的步驟4.指對數不等式解指數不等式和對數不等式一般有以下兩種方法(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數或對數，先化為同底，再根據指數、對數的單調性轉化為代數不等式，底數是參數時要注意觀察分析是否要對其進行討論，并注意到對數真數大于零的限制條件.①當時,;②當時,;(2)對指互化法：如果兩邊不能化成同底的指數或對數時，一般用對指互化法.對數不等式兩邊取指數，轉化成整式不等式來解；指數不等式兩邊取對數，轉化成整式不等式來解.5．簡單分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等價于要求分子分母同號，即或，這樣就可以將分式不等式化為不等式組來求解.另一方面，分子分母同號也等價于（ax+b）(cx+d)>0，這就也能將分式不等式化為整式不等式求解.注：(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．6.絕對值不等式絕對值不等式的概念：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)(4)；；(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；解含有兩個絕對值形如的不等式，常用零點討論法和數形結合法.注意小分類求交大綜合求并.③平方法:如果絕對值的不等式的兩邊都是非負數，如：，可以使用平方法.④通過構造函數，利用函數的圖像求解，體現了函數與方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次項的次數高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法穿根法又稱“數軸標根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有著鬼斧神工的效果。將不等式進行移項，將其化為不等式右側為0的形式，即是的形式，并將的最高次冪項的系數化為正數的標準形式，具體步驟如下：（1）整理變形：將不等式化為標準形式后，對其進行因式分解，化為如下最簡形式：，其中：（2）標根∶將的n個不同根，在數軸上由小到大從左至右標出來。標根時，只需標出相對位置即可，這樣即將數軸分為了n+1個區間。（3）畫穿根線∶由最大根的右上方向左下方畫線，使其穿過數軸，再向左上方穿根劃線，由右向左依次畫連續曲線。畫線時若遇偶數根，即為偶數時，曲線彈回，不穿過該根。若為奇數時，則穿過該根。記住口訣"奇穿偶不穿"即可。（4）寫出解集∶如下圖所示，數軸下方曲線與數軸構成的區間即為的解集，數軸上方曲線與數軸構成的區間即為的解集。8.無理不等式的解法無理不等式一般利用平方法和分類討論解答.無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價于：或．9.由一元二次不等式的解確定參數（1）已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．（2）已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．（3）已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．（4）已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．10.一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；②已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．③含參數的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉化為函數值域求解．設f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.11.一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值(或范圍)；(2)轉化為函數值域問題，即已知函數f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.具體如下：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立注：①。②12.給定參數范圍求x范圍的恒成立問題的解法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數．即把變元與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍列式求解．13.一元二次方程的根的分布問題解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數值的正負，所對應的二次函數圖象的開口方向.考點一解一元二次不等式（一）解不含參數的一元二次不等式1．（2023·全國·模擬預測）設集合，，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．（3,4） C． D．2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，則（

）．A． B． C． D．3．（2023·內蒙古包頭·二模）設集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6（二）解含參數的一元二次不等式4．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式5．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式：．6．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．7．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．8．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．9．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．10．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.11．（2023·全國·高三專題練習）已知，若，解關于x的不等式；12．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．13．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式恰有1個正整數解，則的取值范圍是___________.14．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式的解集中恰有3個整數，則實數的取值范圍為_________.考點二解其他不等式（一）指數不等式15．（2023·浙江寧波·統考二模）若集合，，則（

）A． B． C． D．16．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．17．（2023·全國·高三專題練習）設全集為，集合，則（

）A． B．C．或 D．（二）對數不等式18．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．19．（2023·全國·模擬預測）若集合，，則（

）A． B．C． D．20．（2023·江西鷹潭·二模）設集合，集合，則（

）A． B． C． D．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件22．（2023·全國·高三專題練習）設集合，則（

）A． B． C． D．（三）分式不等式23．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集是_____.24．（2023·安徽·校聯考三模）已知集合，，則集合的非空真子集的個數為（

）A．14 B．15 C．30 D．6225．（2023春·上海嘉定·高三統考階段練習）不等式的解集為______.26．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則________．27．（2023·上海·統考模擬預測）不等式的解集是__________.（四）根式不等式28．（2023·陜西西安·西安市東方中學校考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．29．（2023·全國·高三對口高考）不等式的解集為________30．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．（五）絕對值不等式31．（2023·天津·天津市寧河區蘆臺第一中學校聯考模擬預測）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．32．（2023·河北邯鄲·統考二模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．33．（2023·上海浦東新·統考二模）已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．34．（2023·甘肅酒泉·統考三模）已知．(1)若，求的取值范圍；(2)若不等式的解集為，求實數的取值范圍．35．（2023·四川遂寧·統考三模）已知函數，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若對任意，都存在，使得，求實數的取值范圍．（六）高次不等式36．（2023·全國·高三專題練習）解不等式：37．（2023·全國·高三專題練習）不等式的的解集是______38．（2023·全國·高三專題練習）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)39．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學校考期中）不等式的解集為______.40．（2022秋·江蘇泰州·高一靖江高級中學校考階段練習）不等式的解集為____________．考點三由一元二次不等式的解確定參數41．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．42．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或43．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為44．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知關于的的解集是，則（

）A．B．C．關于的不等式的解集是D．的最小值是45．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．46．（2023·北京海淀·101中學校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（

）A．B．C．若關于x的不等式的解集為，則D．若關于x的不等式的解集為，且，則47．（2023·全國·高三對口高考）關于的不等式的解集為，且，則________．48．（2023·上海寶山·統考二模）已知函數（且），若關于的不等式的解集為，其中，則實數的取值范圍是_________．49．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．450．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（

）A． B．C． D．考點四一元二次不等式的恒成立（有解）問題一元二次不等式在R上的恒成立問題51．（2023·高三課時練習）已知關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．52．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是________．53．（2023·山東濰坊·統考一模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件54．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或55．【多選】（2023·全國·高三專題練習）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．56．（2023·全國·高三專題練習）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．57．（2023·陜西榆林·統考三模）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．58．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為空集，則的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或59．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象都在軸的上方，求實數的取值范圍(

)A． B．C． D．（二）一元二次不等式在某區間上的恒成立問題60．（2023·全國·高三專題練習）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.61．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．62．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學校考期末）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．63．（2023·全國·高三專題練習）若對于任意，都有成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．（三）給定參數范圍求范圍的恒成立問題64．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是_____.65．（2023·全國·高三專題練習）已知當時，恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．66．（2023·全國·高三專題練習）函數，若恒成立，則實數x的取值范圍是___________．67．（2023·全國·高三專題練習）已知時，不等式恒成立，則x的取值范圍為__________．68．（2023·全國·高三專題練習）若命題“”為假命題，則實數x的取值范圍為（

）A． B． C． D．（四）一元二次不等式在某區間有解問題69．（2023·全國·高三專題練習）若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．71．（2023·全國·高三專題練習）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是______．72．（2023·全國·高三專題練習）已知命題“，”是真命題，則實數的取值范圍（

）A． B．C．） D．73．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式的解集不為空集，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點五一元二次方程根的分布問題74．（2023·全國·高三專題練習）關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（

）A．B． C． D．75．（2023·全國·高三專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．76．（2023·全國·高三專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．77．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區間，之內，則實數的取值范圍為______．78．（2023·全國·高三專題練習）已知方程有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都大于2，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．79．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）已知關于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數和最小值是（

）A．-2 B． C． D．180．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數根的必要條件是m∈{m|m>1}81．（2023·全國·高三專題練習）為何值時，關于的方程的兩根：（1）為正數根；（2）為異號根且負根絕對值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間.82．（2023·高三課時練習）設命題：方程有兩個不相等的正根；命題：方程無實根．若與中有且只有一個是真命題，求實數的取值范圍．83．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的方程在上有實數根，且滿足，則的取值范圍是__________．考點六一元二次不等式的實際應用84．（2023·全國·高三專題練習）某文具店購進一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．85．（2023·全國·高三專題練習）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．86．（2023·全國·高三專題練習）某地每年銷售木材約20萬，每立方米的價格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．87．（2023·全國·高三專題練習）某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價相應地提高比例為，同時預計年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預計的年利潤與投入成本增加的比例的關系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應在什么范圍內？考點04一元二次不等式與其他常見不等式解法6種常見考法歸類考點一解一元二次不等式（一）解不含參數的一元二次不等式（二）解含參數的一元二次不等式考點二解其他不等式（一）指數不等式（二）對數不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）絕對值不等式（六）高次不等式考點三由一元二次不等式的解確定參數考點四一元二次不等式的恒成立（有解）問題（一）一元二次不等式在R上的恒成立問題（二）一元二次不等式在某區間上的恒成立問題（三）給定參數范圍求范圍的恒成立問題（四）一元二次不等式在某區間有解問題考點五一元二次方程根的分布問題考點六一元二次不等式的實際應用1.一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是圖像法，充分體現了數形結合的思想.也可以利用口訣（大于取兩邊，小于取中間）解答.②當二次不等式時，可以畫圖，解不等式，也可以把二次項的系數變成正數，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意觀察分析的系數.②對于含有參數的不等式注意考慮是否要分類討論.③如果運用口訣解一元二次不等式，一定要注意使用口訣必須滿足的前提條件.④不等式的解集必須用集合或區間，不能用不等式，注意結果的規范性.2.解一元二次不等式的方法和步驟3.解含參數的一元二次不等式的步驟4.指對數不等式解指數不等式和對數不等式一般有以下兩種方法(1)同底法：如果兩邊能化為同底的指數或對數，先化為同底，再根據指數、對數的單調性轉化為代數不等式，底數是參數時要注意觀察分析是否要對其進行討論，并注意到對數真數大于零的限制條件.①當時,;②當時,;(2)對指互化法：如果兩邊不能化成同底的指數或對數時，一般用對指互化法.對數不等式兩邊取指數，轉化成整式不等式來解；指數不等式兩邊取對數，轉化成整式不等式來解.5．簡單分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等價于要求分子分母同號，即或，這樣就可以將分式不等式化為不等式組來求解.另一方面，分子分母同號也等價于（ax+b）(cx+d)>0，這就也能將分式不等式化為整式不等式求解.注：(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．6.絕對值不等式絕對值不等式的概念：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)(4)；；(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；解含有兩個絕對值形如的不等式，常用零點討論法和數形結合法.注意小分類求交大綜合求并.③平方法:如果絕對值的不等式的兩邊都是非負數，如：，可以使用平方法.④通過構造函數，利用函數的圖像求解，體現了函數與方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次項的次數高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法穿根法又稱“數軸標根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有著鬼斧神工的效果。將不等式進行移項，將其化為不等式右側為0的形式，即是的形式，并將的最高次冪項的系數化為正數的標準形式，具體步驟如下：（1）整理變形：將不等式化為標準形式后，對其進行因式分解，化為如下最簡形式：，其中：（2）標根∶將的n個不同根，在數軸上由小到大從左至右標出來。標根時，只需標出相對位置即可，這樣即將數軸分為了n+1個區間。（3）畫穿根線∶由最大根的右上方向左下方畫線，使其穿過數軸，再向左上方穿根劃線，由右向左依次畫連續曲線。畫線時若遇偶數根，即為偶數時，曲線彈回，不穿過該根。若為奇數時，則穿過該根。記住口訣"奇穿偶不穿"即可。（4）寫出解集∶如下圖所示，數軸下方曲線與數軸構成的區間即為的解集，數軸上方曲線與數軸構成的區間即為的解集。8.無理不等式的解法無理不等式一般利用平方法和分類討論解答.無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價于：或．9.由一元二次不等式的解確定參數（1）已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．（2）已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．（3）已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．（4）已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．10.一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；②已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．③含參數的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉化為函數值域求解．設f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.11.一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值(或范圍)；(2)轉化為函數值域問題，即已知函數f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.具體如下：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立注：①。②12.給定參數范圍求x范圍的恒成立問題的解法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數．即把變元與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍列式求解．13.一元二次方程的根的分布問題解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數值的正負，所對應的二次函數圖象的開口方向.考點一解一元二次不等式（一）解不含參數的一元二次不等式1．（2023·全國·模擬預測）設集合，，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．（3,4） C． D．【答案】B【分析】根據集合的包含關系列出關于a的不等式組即可.【詳解】由已知可得，集合，，因為，所以，（注意端點值是否能取到），解得，故選：B．2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集運算知識即可求出的值.【詳解】，.故選：C.3．（2023·內蒙古包頭·二模）設集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化簡集合A、B，根據交集的結果求參數即可.【詳解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故選：C（二）解含參數的一元二次不等式4．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式【答案】答案見解析【分析】討論大小關系求一元二次不等式的解集.【詳解】由，可得或，則：當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；5．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式：．【答案】答案見解析.【分析】對分三種情況討論得解.【詳解】由得或.當，即時，不等式解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為．綜上：時，不等式解集為；時，解集為；時，解集為．6．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．【答案】【分析】根據原不等式中參數的范圍判斷其對應一元二次方程根的大小，進而確定不等式的解集即可.【詳解】依題意，且，所以，且，解得，所以原不等式的解集為．7．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．【答案】答案見解析【分析】討論參數a，結合一元二次不等式的解法求解集即可.【詳解】當時，原不等式為，解集為；當時，原不等式為，解集為；當時，原不等式為，若，即時，解集為或；若，即時，解集為；若，即時，解集為或；綜上，解集為；解集為；解集為或；解集為；解集為或.8．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．【答案】答案見解析【分析】根據一元二次不等式對應二次函數的開口方向，并討論符號求解集即可.【詳解】由對應函數開口向上，且，當，即時，恒成立，原不等式解集為；當，即或時，由，可得，所以原不等式解集為；綜上，解集為；或解集為.9．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．【答案】見解析【分析】一元二次不等式，討論開口方向即可.【詳解】方程：且解得方程兩根：；當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：綜上所述,當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：10．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.【答案】答案見解析【分析】（1）對分五種情況討論得解；（2）對分五種情況討論得解；（3）對分五種情況討論得解；（4）對分三種情況討論得解；（5）對分六種情況討論得解；（6）對分五種情況討論得解；（7）對分四種情況討論得解.【詳解】（1）當時，不等式為，解集為；時，不等式分解因式可得當時，故，此時解集為；當時，，故此時解集為；當時，可化為，又解集為；當時，可化為，又解集為.綜上有，時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為（2）把化簡得，①當時，不等式的解為②當，即，得，此時，不等式的解為或③當，即，得或，當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為，④當，得，此時，，解得且，綜上所述，當時，不等式的解為，當時，不等式的解為，當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為且，當時，不等式的解為或，（3），，①時，，可得；②時，可得若，解可得，或；若，則可得，當即時，解集為，；當即時，解集為，；當即時，解集為.（4）不等式可化為.①當時，，解集為，或；②當時，，解集為；③當時，，解集為，或.綜上所述，當時，原不等式的解集為，或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為，或.（5）當時，不等式即，解得.當時，對于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的兩根為.綜上可得，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（6）原不等式可變形為.①當時，則有，即，解得；②當時，，解原不等式得或；③當時，.（i）當時，即當時，原不等式即為，該不等式無解；（ii）當時，即當時，解原不等式得；（iii）當時，即當時，解原不等式可得.綜上所述：①當時，原不等式的解集為；②當時，原不等式的解集為；③當時，原不等式的解集為；④當時，原不等式的解集為；⑤當時，原不等式的解集為.（7）（1）當a=0時，原不等式可化為-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集為{x|x<2}.（2）當a>0時，原不等式可化為，對應方程的兩個根為x1=，x2=2.①當0<a<1時，>2，所以原不等式的解集為或；②當a=1時，=2，所以原不等式的解集為{x|x≠2}；③當a>1時，<2，所以原不等式的解集為或.（3）當a<0時，原不等式可化為，對應方程的兩個根為x1=，x2=2，則<2，所以原不等式的解集為.綜上，a<0時，原不等式的解集為；a=0時，原不等式的解集為{x|x<2}；0<a≤1時，原不等式的解集為或；當a>1時，原不等式的解集為或.11．（2023·全國·高三專題練習）已知，若，解關于x的不等式；【答案】答案見解析【分析】根據題意求出，用把表示出來，然后對分類討論，結合一元二次不等式的解法即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；12．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合；根據充分不必要條件的定義可知；解一元二次不等式，分別討論，和的情況，根據包含關系可求得結果.【詳解】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，，當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，若，則需；綜上所述：實數的取值范圍為.故選：A.13．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式恰有1個正整數解，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】先解帶有參數的一元二次不等式，再對進行分類討論，使得恰有1個正整數解，最后求出的取值范圍【詳解】不等式等價于.令，解得或.當時，不等式的解集為，要想恰有1個正整數解，則；當時，不等式無解，所以不符合題意；當時，不等式的解集為，則.綜上，的取值范圍是.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式的解集中恰有3個整數，則實數的取值范圍為_________.【答案】【分析】結合已知條件，對參數進行分類討論即可求解.【詳解】由題意，，①若，則不等式的解為：，因為不等式的解集中恰有3個整數，所以；②若，則不等式無解，不滿足題意；③若，則不等式的解為：，因為不等式的解集中恰有3個整數，所以.綜上所述，實數的取值范圍為.故答案為：.考點二解其他不等式（一）指數不等式15．（2023·浙江寧波·統考二模）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對值不等式求出集合、再解指數不等式求出集合，最后根據交集的定義計算可得.【詳解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故選：B16．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次不等式和指數不等式解法可得集合，，再根據交集、補集運算即可得出結果.【詳解】由可得集合，根據指數函數單調性可得，即，所以；因此；根據交集運算可得故選：C17．（2023·全國·高三專題練習）設全集為，集合，則（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根據指數函數的性質求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據并集、補集的定義計算可得.【詳解】解：由，即，所以，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，所以；故選：B（二）對數不等式18．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，根據集合的交集運算可得答案.【詳解】由題可得，故，解可得，則,故，故選：C19．（2023·全國·模擬預測）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由絕對值不等式及對數不等式求兩個集合，在用交集運算即可.【詳解】由題意得或，，所以．故選：C．20．（2023·江西鷹潭·二模）設集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次不等式與對數不等式分別求解集合，再求交集即可.【詳解】，，故.故選：B21．（2023·全國·高三專題練習）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用對數不等式的解法，結合充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】由，得，即，于是有，解得，因為“”不能推出“”，故充分性不成立；因為“”能推出“”，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.22．（2023·全國·高三專題練習）設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得集合，計算.【詳解】由，解得且，故集合且，由，解得，所以，所以．故選：C（三）分式不等式23．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集是_____.【答案】（﹣1，2）【分析】根據分式的運算性質，結合一元二次不等式的解集性質進行求解即可.【詳解】，故答案為：（﹣1，2）24．（2023·安徽·校聯考三模）已知集合，，則集合的非空真子集的個數為（

）A．14 B．15 C．30 D．62【答案】D【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由集合B中元素的條件得到集合B，再求集合，由集合中元素的個數，判斷非空真子集的個數.【詳解】不等式解得，由，得集合，則集合，所以集合，集合中有6個元素，所以集合的非空真子集的個數為．故選：D．25．（2023春·上海嘉定·高三統考階段練習）不等式的解集為______.【答案】【分析】根據分式不等式的解法，即可得到結果.【詳解】因為，即，解得，所以不等式的解集為故答案為:26．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則________．【答案】【分析】根據分式不等式的解法求解即可.【詳解】解：原不等式等價于，化簡得，所以，又等價于，解得：所以，故答案為：．27．（2023·上海·統考模擬預測）不等式的解集是__________.【答案】或【分析】分別在，，時去分母，化簡不等式求其解.【詳解】因為，所以當時，，解得，所以，當時，，解得，所以，當時，，解得，滿足條件的不存在，所以不等式的解集是或，故答案為：或.（四）根式不等式28．（2023·陜西西安·西安市東方中學校考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解一元二次不等式與根式型不等式，兩個集合取并集即可.【詳解】由題意知，，，∴故選：A.29．（2023·全國·高三對口高考）不等式的解集為________【答案】【分析】通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可．【詳解】由得，解得，所以解集是．【點睛】本題主要考查無理不等式的解法．30．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用無理不等式的解法及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，解得或，所以或，所以或.故選：B.（五）絕對值不等式31．（2023·天津·天津市寧河區蘆臺第一中學校聯考模擬預測）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合、、，再求交集可得答案.【詳解】因為，所以，又因為，所以.故選：D.32．（2023·河北邯鄲·統考二模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解絕對值不等式求出集合，再求出集合，最后根據補集、交集的定義計算可得.【詳解】由，得，所以，不等式的解集為，所以，所以或，所以；故選：A.33．（2023·上海浦東新·統考二模）已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．【答案】B【分析】解出不等式的解集，判斷“”和“”之間的邏輯推理關系，即得答案.【詳解】解，當時，即，則，此時解集為，當時，即，則，此時解集為，當時，即，則，此時解集為，故“”成立時，等價于；當“”成立時，等價于，故成立時，不一定推出成立，反之成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B34．（2023·甘肅酒泉·統考三模）已知．(1)若，求的取值范圍；(2)若不等式的解集為，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由可得，分類討論，，三種情況，將原不等式轉化為不含絕對值的不等式求解即可；（2）根據題意得到，從而得到關于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出結果.【詳解】（1）由可得，當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，顯然不成立；當時，原不等式可化為，解得；所以的取值范圍為或；（2）因為，當且僅當時等號成立，所以由不等式的解集為，可得，解得．故實數的取值范圍是．35．（2023·四川遂寧·統考三模）已知函數，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若對任意，都存在，使得，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論去絕對值，即可得到本題答案；（2）利用絕對值三角不等式求出的最小值，然后結合基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】（1）解：當時，，因為，當時，即，；當時，即，；當時，即，，綜上可得不等式的解集為（2）解：，當且僅當時取等號，，又，且，，當且僅當，即，時等號成立，所以根據題意可得，解得或，的取值范圍是．（六）高次不等式36．（2023·全國·高三專題練習）解不等式：【答案】或【分析】由“數軸穿根法”即可求得答案.【詳解】不等式可化為，如圖于是，該不等式的解集為：或.37．（2023·全國·高三專題練習）不等式的的解集是______【答案】：【詳解】：則或【考點定位】本題考查將分式不等式等價轉化為高次不等式、考查高次不等式的解法38．（2023·全國·高三專題練習）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)或(2)(3)或或(4)或(5)或【分析】（1）（2）把分式不等式轉化為一元二次不等式直接求解；（3）（4）（5）利用“穿針引線法”解高次不等式.【詳解】（1）可化為，解得：或，所以原不等式的解集為：或.（2）可化為，解得：，所以原不等式的解集為：.（3）對于不等式，用“穿針引線法”如圖示：所以原不等式的解集為：或或.（4）對于不等式，可化為用“穿針引線法”如圖示：所以原不等式的解集為：或.（5）可化為：，用“穿針引線法”如圖示：所以原不等式的解集為：或.39．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學校考期中）不等式的解集為______.【答案】【分析】將不等式變形為，利用數軸標根法得到不等式的解集.【詳解】解：不等式，即，方程的根有（2重根），，，，（2重根），按照數軸標根法可得不等式的解集為.故答案為：40．（2022秋·江蘇泰州·高一靖江高級中學校考階段練習）不等式的解集為____________．【答案】【分析】由高次不等式奇穿偶回的性質即可求解.【詳解】因為，所以，即，由高次不等式的性質可知：不等式解集為：故答案為：考點三由一元二次不等式的解確定參數41．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關系，列出根與系數的關系，得到的關系，代入不等式化簡求解.【詳解】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故選：D42．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由題意知1和3為方程的兩個根，由韋達定理可得，，且，則不等式等價于，即，由此即可寫出答案.【詳解】因為關于的一元二次不等式的解集為，所以1和3為方程的兩個根，由韋達定理有：，所以，，且，則，等價于，即，故不等式的解集為.故選：C.43．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】B【分析】根據解集形式確定選項A錯誤；化不等式為即可判斷選項B正確；設，則，判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.【詳解】解：因為關于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；由題得，所以為.所以選項B正確；設，則，所以選項C錯誤；不等式為，所以選項D錯誤.故選：B44．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知關于的的解集是，則（

）A．B．C．關于的不等式的解集是D．的最小值是【答案】AB【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關系，結合韋達定理可求得，，，由此可確定AB正確；結合一元二次不等式的解法可知C錯誤；將化為，根據對勾函數單調性可確定，知D錯誤.【詳解】對于A，的解集為，，且和是方程的兩根，A正確；對于B，由A得：，，，，B正確；對于C，由得：，即，解得：，即不等式的解集為，C錯誤；對于D，，，在上單調遞增，，D錯誤.故選：AB.45．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可知，再利用中間量，根據與之間的關系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關系.【詳解】由題可得：，.由，，設，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.46．（2023·北京海淀·101中學校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（

）A．B．C．若關于x的不等式的解集為，則D．若關于x的不等式的解集為，且，則【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關系以及韋達定理，基本不等式進行求解即可.【詳解】由題意，所以正確;對于:，當且僅當，即時成立,所以正確;對于,由韋達定理，可知，所以錯誤;對于,由韋達定理，可知，則，解得，所以正確,故選：.47．（2023·全國·高三對口高考）關于的不等式的解集為，且，則________．【答案】/【分析】先解二次不等式得到關于的表達式，再代入即可求得值.【詳解】因為由，得，解得，所以，，所以，所以．故答案為：.48．（2023·上海寶山·統考二模）已知函數（且），若關于的不等式的解集為，其中，則實數的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據題意結合指數函數性質判斷出，，且的解集為，根據一元二次不等式和相應方程的關系可得，結合b的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意知若，即，∴，∴當時，；當時，，∵的解集為，∴，，且的解集為，∴與是的兩根，故，∴，又，∴，又，∴，故答案為：49．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】利用一元二次函數、一元二次不等式以及韋達定理進行求解.【詳解】∵函數（）的最小值為0，∴，∴，∴函數，其圖像的對稱軸為．∵不等式的解集為，∴方程的根為m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C錯誤.故選：D．50．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據二次函數的性質即可得出.【詳解】由題可得和是方程的兩個根，且，，解得，則，則函數圖象開口向下，與軸交于.故選：C.考點四一元二次不等式的恒成立（有解）問題一元二次不等式在R上的恒成立問題51．（2023·高三課時練習）已知關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意可得，解一元二次不等式可得答案.【詳解】由題意關于x的不等式的解集為，則，解得，即實數a的取值范圍是，故選：A52．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是________．【答案】【分析】先移項，根據不等式是否為二次不等式分類討論，當是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．（1）當時，若不等式對恒成立，只需，解得；（2）當時，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：53．（2023·山東濰坊·統考一模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案.【詳解】因為，成立，則，即.所以，“”是“，成立”的充分不必要條件.故選：A.54．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】對進行分類討論，當時不等式恒成立，時不等式恒成立，需要時且，可求得的范圍．【詳解】當時，不等式化為恒成立，當時，要使不等式恒成立，需，解得，綜上可得，不等式對任意恒成立，則的取值范圍是．故選：A．55．【多選】（2023·全國·高三專題練習）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先求得命題“”為真命題時的取值范圍，然后根據充分不必要條件的知識確定正確答案.【詳解】因為為真命題，所以或，所以是命題“”為真命題充分不必要條件，A對，所以是命題“”為真命題充要條件，B錯，所以是命題“”為真命題充分不必要條件，C對，所以是命題“”為真命題必要不充分條件，D錯，故選：AC56．（2023·全國·高三專題練習）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先可根據題意得出命題“，”是真命題，然后分為、、三種情況進行討論，結合二次函數性質即可得出結果.【詳解】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，若，即或，當時，不等式為，恒成立，滿足題意；當時，不等式為，不恒成立，不滿足題意；當時，則需要滿足，即，解得，綜上所述，的范圍是，故選：B.57．（2023·陜西榆林·統考三模）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．【答案】【分析】根據題意，結合二次函數的性質，求得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】當時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數的取值范圍為.因為，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：；.58．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為空集，則的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【分析】根據題意可得，從而即可求出的取值范圍.【詳解】∵不等式的解集為空集，∴，∴.故選：A.59．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象都在軸的上方，求實數的取值范圍(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】分類討論函數的平方項系數是否為零，根據常數函數、一次函數、二次函數的圖像性質即可求出k的取值范圍.【詳解】的圖象都在軸上方，①時，k＝－5或k＝1，k＝－5時，函數為一次函數，不滿足條件；k＝1時，y＝3滿足條件；故k＝1；②k≠－5且k≠1時，函數為二次函數，則，解得；綜上，.故選：A.一元二次不等式在某區間上的恒成立問題60．（2023·全國·高三專題練習）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.【答案】【分析】假命題的否定為真命題，轉化為恒成立問題，再利用分離參數法處理.【詳解】由題意可知命題“，”是真命題，即，.因為，所以，則.故答案為：.61．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）對二次項系數進行分類討論，結合二次函數的判別式即可容易求得結果；（2），對，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數與利用基本不等式結合已知即可求得m的取值范圍．【詳解】（1）根據題意，當，即時，，不合題意；當，即時，的解集為R，即的解集為R，即，故時，或.故．（2），即，即，當，即時，解集為；當，即時，，，解集為或；當，即時，，，解集為．綜上所述：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為或.（3），即，恒成立，，設則，，，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，當時，，．【點睛】本題考查二次函數恒成立問題，以及含參二次函數不等式的求解，其中正確的分類討論，是解決本題的關鍵，屬綜合困難題.62．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學校考期末）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形給定不等式，分離參數，利用均值不等式求出最小值作答.【詳解】，而當時，，當且僅當，即時取等號，則，所以m的取值范圍是.故選：C63．（2023·全國·高三專題練習）若對于任意，都有成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數為開口向上的二次函數，要使任意，都有恒成立,只需.即可求出答案.【詳解】由題可得對于恒成立，即解得:.故選：B.（三）給定參數范圍求范圍的恒成立問題64．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是_____.【答案】【分析】把題意轉化為，設，由一次函數的單調性列不等式組，即可求解.【詳解】可轉化為.設，則是關于m的一次型函數.要使恒成立，只需，解得.故答案為：65．（2023·全國·高三專題練習）已知當時，恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將化為，將看成主元，令，分，和三種情況討論，從而可得出答案.【詳解】解：恒成立，即，對任意得恒成立，令，，當時，，不符題意，故，當時，函數在上遞增，則，解得或（舍去），當時，函數在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實數的取值范圍是.故選：D.66．（2023·全國·高三專題練習）函數，若恒成立，則實數x的取值范圍是___________．【答案】【分析】采用變換主元的策略，看作關于的一次函數，利用端點函數值不小于0建立不等式組求解即可.【詳解】令，當時，恒成立，只需即解得或．所以實數x的取值范圍是．故答案為：67．（2023·全國·高三專題練習）已知時，不等式恒成立，則x的取值范圍為__________．【答案】【分析】由題意構造函數關于a的函數，則可得，從而可求出x的取值范圍.【詳解】由題意，因為當，不等式恒成立，可轉化為關于a的函數，則對任意恒成立，則滿足，解得，即x的取值范圍為．故答案為：68．（2023·全國·高三專題練習）若命題“”為假命題，則實數x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等價于“”為真命題．令，解不等式即得解.【詳解】解：命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實數x的取值范圍為.故選：C（四）一元二次不等式在某區間有解問題69．（2023·全國·高三專題練習）若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別在、和的情況下，結合二次函數的性質討論得到結果.【詳解】①當時，不等式化為，解得：，符合題意；②當時，為開口方向向上的二次函數，只需，即；③當時，為開口方向向下的二次函數，則必存在實數，使得成立；綜上所述：實數的取值范圍為.故選：C.70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得在區間上有解，求出在區間上的最小值，即可得出實數的取值范圍．【詳解】因為關于的不等式在區間上有解，所以在區間上有解，設，，其中在區間上單調遞減，所以有最小值為，所以實數的取值范圍是．故選：C．71．（2023·全國·高三專題練習）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】根據題意，，使關于的不等式成立，則，即，，再結合對勾函數找到最大值即可求出實數的取值范圍．【詳解】解：，使關于的不等式成立，則，即，，令，，則對勾函數在上單調遞增，所以，故故答案為：72．（2023·全國·高三專題練習）已知命題“，”是真命題，則實數的取值范圍（

）A． B．C．） D．【答案】D【分析】利用一元二次函數、方程、不等式的關系，利用判別式控制條件，即得解【詳解】由題意，命題“，”是真命題故，解得或.則實數的取值范圍是故選：D.73．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式的解集不為空集，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】據題意，分兩種情況討論：①當時，即，將的值代入分析不等式的解集是否為空集，②當時，即，結合二次函數的性質分析不等式解集非空時的取值范圍，綜合2種情況即可得答案．【詳解】解：根據題意，分兩種情況討論：①當時，即，若時，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集；若時，原不等式為，無解，不符合題意；②當時，即，若的解集是空集，則有，解得，則當不等式的解集不為空集時，有或且，綜合可得：實數的取值范圍為；故選：C．考點五一元二次方程根的分布問題74．（2023·全國·高三專題練習）關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】把方程的根轉化為二次函數的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應的二次函數設為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數剛好經過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數與x軸只有一個交點，，解得，經檢驗，當時滿足方程恰有一根在區間(0,1)內;綜上：實數m的取值范圍為故選：D75．（2023·全國·高三專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．【答案】【分析】令，即可得到，依題意可得，解得即可；【詳解】解：令，圖象恒過點，方程0在區間內有兩個不同的根，，解得.故答案為：76．（2023·全國·高三專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論a，確定，則可將化為，令，結合二次函數知識可得，即可求得答案.【詳解】當時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關于的方程有兩個不相等的實數根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，故時，，