數理統計（研究生）全冊配套完整課件3概率論基礎

第一章隨機事件及其概率

第二章隨機變量第三章隨機向量

第四章數字特征

第五章極限定理

內容提要1隨機事件及其概率1.1

隨機事件1.2

隨機事件的概率1.3

條件概率1.4

獨立性主觀概率1.1隨機事件1.1.1、隨機現象、隨機試驗與樣本空間1.1.2、隨機事件1.1.3、事件間的關系與運算§1.1隨機事件及其概率的統計定義

一、概率論的誕生及應用1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念─數學期望。概率論是數學的一個分支,它研究隨機現象的數量規律.概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領域,例如天氣預報,地震預報,產品的抽樣調查;另外在經濟、金融、保險；管理決策；生物醫藥；農業（試驗設計等）等領域都有廣泛應用.在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現象

“可導必連續”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現象:確定性現象隨機現象1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.1隨機現象確定性現象的特征:

條件完全決定結果在一定條件下可能出現也可能不出現的現象稱為隨機現象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現的情況”.2.隨機現象結果有可能出現正面也可能出現反面.1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.1隨機現象結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.實例2

“用同一門炮向同一目標發射同一種炮彈多發,觀察彈落點的情況”.結果:“彈落點會各不相同”.1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.1隨機現象實例4

“從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品”.其結果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機現象的特征:條件不能完全決定結果1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.1隨機現象2.隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性,但在大量重復試驗或觀察中,這種結果的出現具有一定的統計規律性

,概率論就是研究隨機現象這種本質規律的一門數學學科.隨機現象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現象?說明1.隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系,其數量關系無法用函數加以描述.

1.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;

2.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.定義在概率論中，把具有以下特征的試驗稱為隨機試驗E.3.其中，可以在相同的條件下重復進行的隨機試驗稱為可重復的隨機試驗，否則稱為不可重復的隨機試驗

1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.2隨機試驗說明

1.隨機試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗,也包括對客觀事物進行的“調查”、“觀察”、或“測量”等.實例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現的情況”.分析

2.隨機試驗通常用E來表示.(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行;1.“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.2.“從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的件數”.同理可知下列試驗都為隨機試驗(2)試驗的所有可能結果:正面，反面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.故為隨機試驗.3.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.4.考察某地區10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.定義1

對于隨機試驗E，它的每一個可能結果稱為樣本點（ω），由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。所有樣本點構成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用

或S表示我們規定不含任何元素的空集為不可能事件，用

表示。P(Ω)=1,P(

)=01.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.3樣本空間TH1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.3樣本空間THTHHHTT1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.3樣本空間THTHHHTT1次0次2次1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.3樣本空間在某一批產品中任選一件，檢驗其是否合格1.1.1隨機現象、隨機試驗與樣本空間

1.1.1.3樣本空間記錄某大超市一天內進入的顧客人數

在一大批電視機中任意抽取一臺，測試其壽命

觀察某地明天的天氣是雨天還是非雨天

注：試驗的樣本空間是根據試驗的內容確定的！在一大批電視機中任意抽取一臺，測試其壽命規定電視機的壽命超過10000小時時為合格品

滿足這一條件的樣本點組成的一個子集

稱為隨機試驗的一個隨機事件

1.1.2隨機事件基本事件：隨機試驗有兩個基本事件和

隨機試驗有三個基本事件、和樣本空間的兩個特殊子集

它包含了試驗的所有可能的結果，所以在每次試驗中它總是發生，稱為必然事件

它不包含任何樣本點，因此在每次試驗中都不發生稱之為不可能事件

由一個樣本點組成的單點集

隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機事件1.1.3、事件間的關系與運算研究原因：希望通過對簡單事件的了解掌握較復雜的事件

研究規則：事件間的關系和運算應該按照集合之間的關系和運算來規定

子事件和事件積事件差事件互斥（互不相容）對立事件（逆事件）運算規律子事件等價的說法是：B不發生，則A也不發生。事件的相等若AB且BA，稱事件A與B相等。即A與B中的樣本點完全相同。記作A=B擲一顆骰子A表示點數小于3，B表示點數為1或2則A=B事件的和（并）推廣實例

某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA事件的積（交）圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實例某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.和事件與積事件的運算性質事件的差事件A與B的差也記為：圖示A與B的差

AB

B實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件的互斥（不相容）“骰子出現1點”“骰子出現2點”圖示A與B互斥

AB互斥實例拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.說明當A

B=

時,可將A

B記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.對立事件若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或對立)事件.A的逆記作事件間的運算規律事件間的運算規律完備事件組例1設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現,B,C不出現;(5)三個事件都不出現;(2)A,B都出現,C不出現;(3)三個事件都出現;(4)三個事件至少有一個出現;不多于一個事件出現;(7)至少兩個事件出現;(8)恰好兩個事件出現;解逆分配律例3某城市的供水系統由甲、乙兩個水源與三部分管道1，2，3組成，每個水源都足以供應城市的用水，設事件于是“城市斷水”這一事件可表示為“城市能正常供水”這一事件可表示為甲乙12城市3

設x表示一個沿數軸做隨機運動的質點的位置，試說明下列各事件的關系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對應事件。B與C，B與A，E與A相容A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的。符號 集合含義 事件含義Ω

全集 樣本空間，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點{ω} 單點集 基本事件AΩ

一個集合 一個事件AB A的元素在B中 A發生導致B發生A=B 集合A與B相等 事件A與B相等A∪B A與B的所有元素 A與B至少有一個發生A∩B A與B的共同元素 A與B同時發生ā A的補集 A的對立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A發生而B不發生A∩B=φ

A與B無公共元素 A與B互斥概率論與集合論之間的對應關系記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現必然導致B出現事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等小結事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集1.2隨機事件的概率古典概率統計概率幾何概率主觀概率概率的公理化

它是事件固有的,不隨人們主觀意愿而改變,可以在相同條件下通過大量重復試驗予以識別和檢驗研究隨機現象的統計規律性的數學學科什么是統計規律性統計規律性是指在大量試驗中呈現出的數量規律概率是指刻劃隨機事件在一次試驗中發生的可能性大小的數量指標符合常情：事件發生可能性大,該值就大,反之就小;不可能事件的值最小(0);必然事件的值最大(1)概率論？什么是概率？問題一問題二,這個數量指標應該滿足：①②頻率是否有統計規律性(一)頻率設為一隨機事件,在相同條件下進行

次重復試驗令次試驗中發生的次數稱為事件的頻數為事件的頻率在一次試驗中可能發生也可能不發生特性：一般地越大,則越大的值是“隨機的”問？實驗者實例一出現正面歷史上有名的“拋硬幣”試驗0.5005

12012

24000皮爾遜

0.5016

6019

12000皮爾遜

0.5069

2048

4048蒲豐

0.5181

1061

2048德·

摩根問有什么規律？“拋硬幣”試驗將一枚硬幣連續拋次，記“蒲豐投針試驗”實例二記投針的總數為,針與平行線相交的次數為則？考察英語文章中26個字母出現的頻率，當觀察次數較大時，每個字母出現的頻率呈現穩定性，下面是

Dewey

統計了438023個字母得到的統計表實例三0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母如果一顆骰子六個面是均勻的，則當很大實例四在“擲骰子”試驗中，記事件出現點將一棵骰子連續擲次，問有什么規律？分析時有應有由于頻率的取值是“隨機的”，那么極限

是什么意思值得研究（后面討論該問題）隨機事件的統計規律性頻率的穩定性當

很大時,事件的頻率接近一個常數,即有注①②常數

就是事件

發生的可能性大小,即概率

這三條性質刻畫了頻率的本質特征,啟發我們定義事件的概率頻率的基本性質若是兩兩不相容事件,則有限可加性？非負性：規范性：(二)概率的公理化定義設為可測空間與之對應,且滿足若存在實數①②③可列可加性：對兩兩不相容的事件列有則稱為事件的概率,稱概率空間為？樣本空間全體事件構成的事件域σ可加性1933年蘇聯的柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化體系定義(三)概率的基本性質性質①證因為概率為實數,故性質②若是兩兩不相容的事件,則證故由可列可加性，有有限可加性概率加法定理證明：只要證明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，這里根據古典概型來證明．設試驗的樣本空間Ω共有N個等可能的基本事件，事件A包含M1個基本事件，事件B包含M2個基本事件．由于事件A與B是互不相容的，因此A與B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2個．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)推論2對立事件的概率和等于一：性質③若則證因互不相容,故由有限可加性有再由概率非負性得事件解釋為區域概率解釋為區域面積事件與概率的圖示性質④性質⑤性質⑥對任何事件有(加法公式)對于三事件有挖挖挖補由定義證明由圖可得又由定理２

得因此得挖補原理多事件的加法公式對于

個事件，有全加減二加三挖補規律:加奇減偶減四甲參加有獎問答競猜活動，他能答出第一道題的概率是0.8，能答出第二道題的概率是0.3，例1兩道題都能答出的概率是0.2，試求：（1）能答出第一道題而答不出第二道題的概率（2）至少有一道題能答不出的概率（3）兩道題都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）？等可能型概率“拋硬幣”、“擲骰子”等隨機試驗的特征：怎樣計算等可能概型中事件的概率(一)古典概型每個基本結果的出現是等可能的只有有限個基本結果等可能概型設隨機試驗的樣本空間為若①②只含有限個樣本點,即每個樣本點的出現是等可能的,即則稱該試驗為等可能概型古典概型,也稱為

問？(一)古典概型等可能概型的概率計算設是等可能概型的任一事件，則有樣本點總數包含的樣本點個數有利場合古典概型的概率計算公式樣本點總數包含的樣本點個數樣本點總數包含的基本事件個數樣本點總數的有利場合數拋兩枚硬幣，求出現一個正面一個反面的概率該試驗的樣本空間為他計算得解例這是一個古典概型,事件“一個正面一個反面”的有利場合是

18世紀著名的法國數學家達朗貝爾取樣本空間為這不是等可能概型！小趣聞解：為簡便，每位數字有10種選擇。基本事件總數是106。事件A表示找到張某，則A只有一個基本事件。例

隨意撥一個6位電話號碼，正好找到朋友張某的概率。故所求概率為解例袋中有

只白球，

只紅球.從袋中任取

只球，求取到

只白球的概率.從

只球中任取

只，樣本點總數為取到

只白球的有利場合數為排列與組合選排列當

時，稱為全排列，計算公式為從

個不同的元素中,任取

個元素,按照一定的順序排成一列，全部排列個數為全排列組合從

個不同的元素中,任取

個元素并成一組，全部組合數為取數與次序有關排列的特點取數與次序無關組合的特點解

ABAB（先從4雙中取2雙，再從每雙中任取一只）（先從５雙中取４雙，再從每雙中任取一只）（先從５雙中取出１雙，在從剩下的８只鞋中取２只）例3

在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設A為事件“取到的數能被6整除”,B為事件“取到的數能被8整除”則所求概率為解于是所求概率為加法原理第一類方法有

種方法第二類方法有

種方法

第

類方法有

種方法……做一件事共有

類方法完成這件事的方法總數乘法原理第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有

個步驟完成這件事的方法總數古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設袋中有M個白球和

N個黑球,現從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?樣本點總數為A所包含的樣本點個數為解設A={所取球恰好含m個白球,n個黑球}(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4只紅球和6只黑球,現從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球樣本點總數為A所包含樣本點的個數為古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為將只球隨機地放入

個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率。

任一只球進任一盒子是等可能的,故這是古典概型問題故所求概率為樣本點總數為“每個盒子至多有一只球”的有利場合數為解例分析基本事件很多問題都可以歸結為摸球模型摸球模型的應用實例概率論歷史上有名的問題---生日問題參加某次聚會共

個人,求沒有兩人生日相同的概率分析只球個人個人生日各不相同,則天個盒子至少有兩人生日相同結果有點出乎人們意料注記

在實際應用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，稱為幾乎必然事件概率非常小的事件，稱為小概率事件實際推斷原理:小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發生的

(匹配問題)將四把能打開四間不同房門的鑰匙隨機發給四個人,試求至少有一人能打開門的概率.由對稱性及乘法原理得不妨給門和鑰匙編上號.則所求概率為解例記第把鑰匙打開號門

50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上,其中有3個鉚釘強度太弱,每個部件用3個鉚釘.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上,則這個部件強度就太弱.問發生一個部件強度太弱的概率是多少？解例記第

個部件強度太弱因只有個鉚釘強度太弱,故互不相容故發生一個部件強度太弱的概率是問按古典概型公式怎樣計算？任選個鉚釘裝在一個部件上作為基本事件故樣本點總數為而有利場合數為故所求概率為先從10個部件選出一個,再將3個強度太弱的鉚釘全裝上古典概型的特點：(二)幾何概型基本事件的等可能性有限個樣本點問題question

怎樣推廣到“無限個樣本點”而又有某種“等可能性”？

認為任一點能鉆探到石油是等可能的,則所求概率為

某5萬平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯藏有石油。若在這海域中任選一點進行鉆探，問能夠發現石油的概率是多少？解例發生的概率定義為如果樣本空間為有界區間、空間有界區域，則“面積”改為“長度”、“體積”幾何概型的定義設隨機試驗的樣本空間為有界區域事件試驗結果落在區域

中的面積的面積稱為幾何概型注：①②事件

發生的概率與位置無關,只與

的面積有關，這體現了某種“等可能性”

說明當古典概型的試驗結果為連續無窮多個時,就歸結為幾何概率.

(約會問題)兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。試求這兩人能會面的概率。這是一個幾何概型，所求概率是

設

分別表示兩人達到的時間，則兩人能會面的充要條件是解例習題：P.326,7,8,11END在N件產品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產品中抽取n件的所有可能取法共有

練習（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點的個數。首先，把n個人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數。(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點的個數，即可能的的分法為：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為

進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為:（2）

（3）

(1)那末兩人會面的充要條件為練習

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有例４

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內有四班公共汽車它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的,且每人在1時到2時的任何時刻到達車站是等可能的.見車就乘的概率為設x,y分別為甲、乙兩人到達的時刻,則有解概率論基礎

曹剛

2009-08第一章隨機事件及其概率

第二章隨機變量第三章隨機向量

第四章數字特征

第五章極限定理

內容提要1.3條件概率（概率的乘法定理）1.3

條件概率1.4

獨立性主觀概率引例：投擲骰子，觀察點數，A表示“出現３點”，B表示“出現奇數點”，求P(A)及已知B發生的條件下A發生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,從而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)1.3條件概率與概率乘法定理定理１

ABAB證明：利用古典概型來證明．設樣本空間為Ω包含N個樣本點，A包含M1個樣本點,B包含M2個樣本點，A,B的交包含M個樣本點．則

甲、乙兩市位于長江下游,根據一百多年的氣象記錄,知道一年中雨天的比率甲市占20%,乙市占18%,兩地同時下雨占12%.試問甲、乙兩市下雨是否有關系？解例記

甲市下雨乙市下雨,則故可以認為甲、乙兩市下雨是有聯系的因較小較大什么叫“兩個事件有關系”,

其數學描述是什么？條件概率的性質條件概率也是一種概率（5）可列可加性設是兩兩不相容事件列，則有證兩兩不相容亦兩兩不相容為概率空間從另一角度看條件概率設為概率空間,且事件已發生分析已發生，所以樣本空間變為從而條件概率可視為縮小的“樣本空間”上的概率,即（條件概率空間）例

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解:解:設A={擲出點數之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義定理2乘法定理第一個袋中有黑、白球各2

只,第二個袋中有黑、白球各3

只.先從第一個袋中任取一球放入第二個袋中,再從第二個袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.由乘法公式求得解例記第次取到白球則條件概率是定義的，但條件概率的值通常是根據實際問題中的具體意義確定的在概率論發展初期，古典概型中的加法公式及乘法公式是概率論的兩條基本定理，是概率論深入發展的起點①③②一般地,若則條件概率乘法公式的說明則所求概率為解例

袋中有只紅球、

只白球，依次將球一個個從袋中取出.求第

次

取出紅球的概率.是不是所求概率？記第次取到紅球解球隊第

輪被淘汰記

某球隊要經過三輪比賽才能出線.該球隊第一輪比賽被淘汰的概率為0.5,第二輪比賽被淘汰的概率為0.7,第三輪比賽被淘汰的概率為0.9.求球隊出線的概率.例球隊出線則是不是所求概率？例

一盒子裝有4只產品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解例

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例4

五個鬮,其中兩個鬮內寫著“有”字,三個鬮內不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關?

依此類推故抓鬮與次序無關.如何將一個復雜概率計算問題分解為簡單計算問題之和全概率公式question問題？樣本空間的分劃：設

為樣本空間，若事件滿足：①②兩兩不相容，即則稱為樣本空間

的一個分劃想法將

的計算分解到上計算然后求和通常要求于是設為樣本空間

的一個分劃，即對任何事件有全概率公式

袋中有a

只紅球b

只白球,先從袋中任取一球,記下顏色后放回，同時向袋中放入同顏色的球1只,然后再從袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.解例記第次取到白球第次取到紅球第次取到白球則是

的一個分劃，由全概率公式有

第二次取到白球的概率與第一次取到白球的概率相等，與前面放入什么顏色的球無關如果加入c

個同色球有什么結果？說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.

有10個袋，其中甲袋二個,每袋中有紅球、白球各2個;乙袋三個,每袋中有紅球3個、白球2個;丙袋五個,每袋中有紅球2個、白球3個.從十個袋中任取一袋,再從袋中任取一球,

求取到白球的概率.解例記分別表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有取到白球從甲、乙、丙袋取到白球的概率全概率公式是概率的加權平均如果將三個袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？例

有一批同一型號的產品,已知其中由一廠生產的占30%,二廠生產的占50%,三廠生產的占20%,又知這三個廠的產品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%Bayes公式設為樣本空間的一個分劃，且則由乘法公式有由全概率公式有Bayes公式P(ABi)=由全概率公式有解例記取到次品取到的產品是

車間生產的

某工廠的一、二、三車間都生產同一產品,產量分別占總產量的

三個車間的次品率分別為

現從匯總起來的產品中任取一個，經檢查是次品，問它是哪個車間生產的可能性較大？由Bayes

公式有可見該次品是第二車間生產的可能性較大Bayes推斷則解例記甲每天參加課后體育活動乙每天參加課后體育活動因為較小，較大,兩人去活動可能是相約的，故可推斷甲、乙相識

根據長期觀察知道甲、乙兩學生每天參加課后體育活動的比率分別為和兩人同時參加體育活動的比率為試問甲、乙兩學生是否相識？

Bayes

方法廣泛應用于網絡、分類、診斷、估計、檢驗、判別、推理等方面Bayes公式的實際意義假定為導致試驗結果的“原因”稱先驗概率為若試驗產生事件,則要探討事件發生的“原因”稱為后驗概率①②后驗概率可以通過Bayes

公式進行計算

后驗概率反映了試驗后對各種“原因”發生的可能性大小的推斷先驗概率反映了各種“原因”發生的可能性大小（在試驗前是知道的）

Bayes公式的重要意義在于利用人們掌握的先驗知識來推斷后驗概率應用統計方法確定先驗概率應用

Bayes

公式計算機可計算出后驗概率應用醫學知識確定實例：計算機自動輔助診斷系統假定為各種“疾病”對人進行觀察與檢查,可以確定某個指標如體溫、脈搏、血液中轉氨酶含量等對應于較大的“疾病”可提供給醫生作進一步的臨床診斷由Bayes

公式,此人真正患有癌癥的概率為解例用某種診斷法診斷癌癥,記判斷被檢驗者患有癌癥被檢驗者患有癌癥已知現在若有一人被診斷患有癌癥，問此人真正患有癌癥的可能性有多大？,又設人群中

可見，雖然檢驗法相當可靠，但被診斷患有癌癥而真正患有癌癥的可能性并不大解例由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人患有癌癥.a.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結乘法定理1.4隨機事件的獨立性(一)兩個事件的獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發生對事件A發生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現：則有1.引例2.定義注.1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發生與事件B發生的概率無關.2o獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨立.又如：兩事件相互獨立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨立

A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥

A與B

不獨立證若A與B獨立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=

B發生時，A一定不發生.這表明:B的發生會影響A發生的可能性(造成A不發生),即B的發生造成A發生的概率為零.所以A與B不獨立.理解:

BA分析獨立不相容故當或時不能同時成立獨立不相容3.性質(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即與A獨立.(2)若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立.①②③證①注

稱此為二事件的獨立性關于逆運算封閉.又∵A與B相互獨立③甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機被擊中的概率.解設A={甲擊中敵機}B={乙擊中敵機}C={敵機被擊中}依題設,∴A與B不互斥例

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立,進而=0.8則于是整個系統的可靠性為系統可靠性概念：系統可靠性系統正常工作解例

某系統由四個部件構成(見圖).設每個部件的可靠性均為

且四個部件是相互獨立的.求整個系統的可靠性.記整個系統正常工作第

個部件正常工作

I、II

串聯

III、IV

串聯并聯相互獨立1.三事件兩兩相互獨立的概念(二)多個事件的獨立性定義2.三事件相互獨立的概念定義

設A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個事件的獨立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個事件相互獨立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義注.兩個結論n個獨立事件和的概率公式:設事件相互獨立,則

也相互獨立即n個獨立事件至少有一個發生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結論的應用則“

至少有一個發生”的概率為

P(A1

…

An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設n個獨立事件發生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發生”的概率為“=1-p1

…pn

設每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,求混合100個人的血清中含有肝炎病毒的概率.則所求概率為解例記第

個人血清含肝炎病毒根據實際問題判斷事件獨立性甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中敵機,例因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為思考幾個問題相互獨立？否!必然事件與任何事件是否獨立？不可能事件與任何事件是否獨立？事件甲患感冒與乙患感冒能否認為是獨立的？條件概率與事件獨立性通常是根據實際意義來確定的注意：解

設一支步槍擊中目標的概率為

試求支槍齊射能擊中目標的概率.例記第支槍擊中目標易知相互獨立可見即使p

很小，但只要試驗不斷進行下去，小概率事件幾乎必然要發生,所求概率為

1、2、3號高炮同時對飛機進行射擊,三門炮擊中飛機的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一門炮擊中而被擊落的概率為0.2,被兩門炮擊中而被擊落的概率為0.6,若被三門炮擊中,飛機必定被擊落.求飛機被擊落的概率。則解例

記飛機被擊落飛機被

門炮擊中第

門炮擊中飛機由全概率公式有由事件的不相容性及獨立性有樣本空間的分劃思考題

(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：應按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲獲勝的概率是1/2賭注應按11：5的比例分配。解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結束賭博獲得勝利的概率為甲方在第四局結束賭博獲勝的概率為甲方在第五局結束賭博獲勝的概率為故甲方最終獲勝的概率為P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)賭注應按11：5的比例分配。獨立試驗序列1.定義(獨立試驗序列)設{Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機試驗,Ei的樣本空間為

i,設Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak出現的概率都不依賴于其它各次試驗Ei(ik)的結果,則稱{Ei

}是相互獨立的隨機試驗序列,簡稱獨立試驗序列.則稱這n次重復試驗為n重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型.若n

次重復試驗具有下列特點：2.n重貝努利(Bernoulli)試驗1)每次試驗的可能結果只有兩個A或2)各次試驗的結果相互獨立，(在各次試驗中p是常數，保持不變）實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現

1點”,就是

n重伯努利試驗.一般地，對于貝努里概型，有如下公式：定理如果在貝努里試驗中，事件A出現的概率為p(0<p<1),則在n次試驗中，A恰好出現k

次的概率為：3.二項概率公式推導如下：此式剛好是二項式(p+q)n

的展開式中的第k+1項，故亦稱為二項概率公式。顯然

證明

n次試驗中事件A在某k次發生，在其余n-k次不發生，由試驗的獨立性，有在n次試驗中，A發生k次的方式有種。且任何兩種方式都是互不相容的，于是有稱上式為二項分布.記為（1）{n重貝努里試驗中A恰好出現k次}=Bk的Pr：（2）{首次成功恰好出現在第K次試驗}=Wk的Pr：pqk-1（3）{第r次成功恰好出現在第k次試驗}=Ck的Pr：

例1

有一批棉花種子，出苗率為0.67，現每穴播六粒，求解下列問題：

(1)恰有k粒種子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保證出苗率為98%，應每穴至少播幾粒？

解恰有k粒種子出苗的概率為K0123456P6(k)0.00130.01570.07980.21620.32920.26730.0905

(3)要保證出苗率為98%，即要使

1-P6(0)≥0.98解得

n=4。

例1

有一批棉花種子，出苗率為0.67，現每穴播六粒，求解下列問題：

(1)恰有k粒種子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保證出苗率為98%，應每穴至少播幾粒？

解(2)

至少有一粒出苗的概率為經計算得解例

解三、內容小結4二項分布5幾何分布備用題伯恩斯坦反例一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色

,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現以A,B,C分別記投一次四面體出現紅,白,黑顏色朝下的事件,問A,B,C是否相互獨立?解由于在四面體中紅,白,黑分別出現兩面,因此又由題意知例1故有因此A、B、C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于例2、設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?射擊問題解事件B為“擊落飛機”,En:可看成將E

重復了n次,這是一個n重

貝努里試驗.解例E

：觀察1局比賽甲是否獲勝設在n次試驗中，A恰好出現k

次的概率為：“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;

······如：比賽3局，“甲甲甲”；比賽4局，概率論基礎

曹剛

2009-08趣味題瑪麗蓮問題

有三扇門可供選擇，其中一扇門后面是汽車，另兩扇門后面是山羊。你當然想選中汽車。主持人讓你隨便選。比如，你選中了一號門。于是，主持人打開了后面是山羊的一扇門，比如是三號門。現在主持人問你：“為了以較大的概率選中汽車，你是堅持選一號門，還是愿意換選二號門？一乘客問空姐，一個恐怖分子帶炸彈上飛機的概率是多少？空姐答：百萬分之一。乘客

又問，那正巧兩個恐怖分子帶炸彈上飛機的概率是多少？空姐答：那可要千萬分之一了。

次日，這位乘客攜炸彈上飛機。被警察抓住，詢問。乘客問答：為了減低被炸死的概率。

莫澤（1921-1970），加拿大數學家，他曾提出如下一道有趣的數學問題。一位數學家與他的妻子、兒子都喜歡下棋。一天，兒子為了周末與女朋友約會，向父親要100元錢。父親想了一會兒說：“今天是星期三，你在今天、明天和后天3天中，每天下一盤棋，要選擇我與你媽媽輪流作你的對手。如果你能連勝2局(當然也包括連勝3局)，就可以得到錢。”顯然，因為3天中要輪流與父母下，因此年輕人可選擇的順序只能是父親-母親-父親，或者母親-父親-母親。年輕人還知道，父親的棋藝比母親要高。問題是：這位年輕人應選擇哪種順序，才能使連勝2局的可能性更大？常理推斷：要連贏兩局，因此必贏第2局，所以這一局要和棋力較弱的母親下。而對棋力較高的父親，有兩次機會交手，只要贏1局就可達到目的。數學解決所需工具：關于可能性（概率）的乘法規則（舉例來說，每次擲硬幣國徽朝上的概率是1/2，那么兩次擲硬幣國徽都朝上的概率就是（1/2）*（1/2）=1/4，N次擲硬幣國徽都朝上的概率就是N個1/2相乘，即（1/2）的N次方；可見當N越大時，國徽均朝上的可能性越來越小。）莫則問題數學解答：不妨設兒子贏父親的概率（通俗地說，就是可能性）是（1/2），贏母親的概率是（2/3）；要連勝2局，因此其戰績應為：贏贏贏、贏贏輸或輸贏贏。當采取策略A：父親－母親－父親時，三種戰績的可能性贏贏贏：（1/2）*（2/3）*（1/2）=1/6贏贏輸：（1/2）*（2/3）*[1-(1/2)]=1/6輸贏贏：[1-(1/2)]*（2/3）*（1/2）=1/6因此連勝兩局的可能性就是1/6+1/6+1/6=1/2.同理，如果采取策略B：母親—父親—母親時，三種戰績的可能性為贏贏贏：(2/3）*(1/2)*(2/3)=2/9贏贏輸：(2/3)*(1/2)*[1-(2/3)]=1/9輸贏贏：[1-(2/3)]*(1/2)*(2/3)=1/9因此連勝兩局的可能性就是2/9+1/9+1/9=4/9，它小于1/2，因此最佳策略是（A）。以上利用了特殊化的技巧，如果一般地假設兒子贏父親的概率是p，贏母親的概率是q，你可類似推得（A）和（B）策略對應的取勝可能性分別為pq(2-p)與pq(2-q)。因為p<q,所以應選擇策略（A）。第一章隨機事件及其概率

第二章隨機變量第三章隨機向量

第四章數字特征

第五章極限定理

內容提要第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量的定義2.2離散型隨機變量2.3連續型隨機變量及其分布函數2.4隨機變量函數的分布第一章隨機變量及其分布§1隨機變量§2離散型隨機變量§3隨機變量的分布函數§4連續型隨機變量及其密度函數§5隨機變量的函數的分布非等可能事件的概率怎么計算？在概率論中怎么應用微積分理論？··········設為隨機試驗

的概率空間問題一樣本空間

中的元素與試驗有關,從數學角度看,希望

是抽象的集合問題二問題三問題四拋一枚硬幣，考察正、反面出現的情況，則這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為例，而樣本點對應關系為設為概率空間是定義在上的單值實函數，若有定義則稱為隨機變量注一：自變量是實數自變量是樣本點因變量是確定的實數因變量是不確定的實數普通函數隨機變量注二：是隨機變量是事件隨機變量的引入使得所有試驗的樣本空間都是直線上的集合事件直線上的集合利用微積分來研究隨機現象隨機變量隨著試驗的結果不同而取不同的值,由于試驗的各個結果的出現具有一定的概率,因此隨機變量的取值也有一定的概率規律.(2)隨機變量的取值具有一定的概率規律隨機變量是一個函數,但它與普通的函數有著本質的差別,普通函數是定義在實數軸上的,而隨機變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實數).2.說明(1)隨機變量與普通的函數不同實例

擲一個硬幣,觀察出現的結果,共有兩種情況:若用X表示擲一個硬幣出現正面的次數,則有即X(e)是一個隨機變量.若用X表示該家女孩子的個數時,則有可得隨機變量X(e),實例

在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現的情況，則樣本空間為考慮事件例定義隨機變量正面出現的次數則很多試驗產生的結果本身就是隨機變量

考察某地區的日平均氣溫

日平均降水量都是隨機變量例例電子產品的壽命

是隨機變量

從一大批產品中隨機抽取

件進行測試，其測得的次品數

是一隨機變量例例某城市的日耗電量

是一隨機變量注一：通常用大寫字母

等表示隨機變量,或希臘字母,,η,ζ,….等表示。用小寫字母

等表示實數注二：隨機變量簡記為隨機變量X的含義是把樣本點（具體的內容）映射到實數軸上。隨機變量所取的可能值是有限多個的或無限多個的(可列個的)或連續的,它們對應實數軸上形成的離散點.是事件

隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有限多個或無限多個(可列個),叫做離散型隨機變量.觀察擲一個骰子出現的點數.隨機變量X

的可能值是:隨機變量連續型實例

1,2,3,4,5,6.非離散型其它實例2

若隨機變量X記為“連續射擊,直至命中時的射擊次數”,則X

的可能值是:實例3設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現該射手射了30次,則隨機變量X記為“擊中目標的次數”,則X

的所有可能取值為:電子產品的壽命

是否是離散型

r.v問？實例

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內的任一值.實例

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續型

隨機變量所取的可能值可以連續地充滿某個區間,叫做連續型隨機變量.則X的取值范圍為

則X的取值范圍為

離散隨機變量且r.v的所有可能的取值設

為離散型

r.v,設所有可能的取值為易知的統計規律完全由數列確定定義稱為離散型的概率函數，或概率分布．分布律。離散型隨機變量的分布律包括兩方面①②r.v取各個值的概率

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現的情況，記為正面出現的次數,求的分布律的取值為故的分布律為例解,其樣本空間為問分布律有什么特點？全部和為1所有樣本點遍歷一次分布律的基本性質：①②證②分布律的本質特征本質特征的含義：離散型r.v的分布律必滿足性質①②滿足性質的數列必是某離散型r.v的分布律①②注：當X取有限個可能值時，表示有限項和；當X取可列無窮多個可能值時，表示收斂級數的和．離散型r.v的概率分布規律相當于向位于處的“盒子”中扔球分布律的幾種表示方法解析式法列表法矩陣法想象扔進第

個“盒子”的可能性是.記解

一球隊要經過四輪比賽才能出線.設球隊每輪被淘汰的概率為記

表示球隊結束比賽時的比賽次數，求

的分布律.例可能的取值為通過第輪比賽則代入

求得

的分布律為例

：袋中有２個白球和３個黑球，每次從其中任取１個球直到取得白球為止，求取球次數的概率分布,假定：（１）每次取出的黑球不再放回去；（２）每次取出的黑球仍放回去．解：（１）設隨機變量X是取球次數，因每次取出的球不放回去，所以X的可能值是1,2,3,4．易知（２）設隨機變量Y是取球次數，因為每次取出的黑球仍放回去，所以Y的可能值是一切正整數．易知幾何分布：一次試驗中只考慮事件A出現或不出現．做獨立重復試驗直到事件A出現為止，設試驗次數為X,則X的可能取值為1,2,3,……,其概率分布為：

嚴格說單點分布并不具有“隨機性”,視為隨機變量完全是理論上的需要幾種重要的離散型隨機變量（0）單點分布如果的分布律為則稱服從，其中

為常數單點分布注單點分布也稱為退化分布某事件發生的概率為則稱該事件“幾乎處處”發生例如記為或記為或a.e.為almosteverywhere,幾乎處處含義下相一門課程的考試是“及格”還是“不及格”剛出生的新生兒是“男”還是“女”產品檢驗的結果是“合格”還是“不合格”射擊結果是“擊中目標”還是“沒有擊中目標”（一）（0-1）兩點分布如果的分布律為則稱服從兩點分布,其中為常數(0-1)分布的實際背景若一個試驗只產生兩個結果，則可以用服從(0-1)分布的r.v來描述例例例例實例1“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.隨機變量X服從(0-1)分布.其分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.記為X~b(1,p)

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發芽等,都屬于兩點分布.說明超幾何分布設X的分布律為

超幾何分布在關于廢品率的計件檢驗中常用到.說明例

：設一批產品中有N件，其中M件次品，現從中任取n件（n≤N),則此n件產品中的次品數X是一離散隨機變量X的可能值是0,1,2,….,min(n,M),其概率分布為：（二）伯努利試驗與二項分布伯努利試驗：只產生兩個結果的試驗伯努利試驗產生什么樣的隨機變量？重伯努利試驗：n將伯努利試驗獨立重復進行

次的試驗例某戰士用步槍對目標進行射擊，記擊中目標沒擊中目標每射擊一次就是一個伯努利試驗,如果對目標進行

次射擊,則是一個

重伯努利試驗.例從一批產品中隨機抽取一個產品進行檢驗，記合格不合格每檢驗一個產品就是一個伯努利試驗.

獨立地抽