基礎課31數列的概念及其通項公式

考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養

2023年新高考卷I卷T7

2023年全國甲卷（理）T17

數列的有關概念邏輯推理

了解2023年北京卷T10★★★

和簡單表示法數學運算

2021年新高考I卷T16

2021年新高考H卷T12

從近幾年高考的情況來看，一般以選擇題或填空題的形式出

現，屬于中檔題，命題熱點是遞推式或圖表式的數列有關問題.

命題分析預測

預計2025年高考命題情況變化不大，但應加強對創新問題的

關注

【基礎知識?診斷】

i/H夯實基礎

一、數列的有關概念

概念含義

數列|按照①確定順序排列的一列數

數列的項數列中的②每一個數

數列的通

數列｛an｝的第n項an

項

W果數列｛an｝的第n項an與③序號n之間的對應關系

通項公式可以用一個式子來表示，那么這個式子叫作這個數列的通

__________［項公式

把數列｛an｝從第1項起到第n項止的各項之和稱為數列

前n項和

｛an｝的前n項和，記作Sn,即Sn=@ai+a2+...+an

二、數列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數列項數⑤有限

項數

無窮數列項數⑥無限

遞增數列an+i?>an

其中

項與項遞減數列an+i⑧<an

n?N*

間的大常數列an+1-

小關系從第二項起，有些項大于它的前一項，有

擺動數列

些項小于它的前一項

三、數列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對應關系

圖象法把點⑨(n,an)畫在平面直角坐標系中

通項公式數列的通項使用an=f(n)表示的方法

公式法使用初始值ai和an+i=f(an)或ai，a?和an+i=f(an,aQ表示數

遞推公式

列的方法

?知識拓展?

1.在數列｛an｝中，若an最大，則%M；；；，32,n?N*)；若an最小，則展￡:，(應2,

n?N*).

2.若數列｛aQ的前n項和為Sn,通項公式為an,則an=Q，g=l，nGN*.

i，iQn—1,n>2,

3.若an+k=an(k?N*),則｛an｝為周期數列，k為｛an｝的一個周期.

4.數列通項公式的注意點

(1)并不是所有的數列都有通項公式；

(2)同一個數列的通項公式在形式上未必唯一.

診斷自網1jA—

題組?走出誤區

L判一判.(對的打W"，錯的打“x”)

(1)一個數列中的數是不可以重復的.()

(2)數列的通項公式的表達式是唯一的.()

⑶數歹U｛『｝的第k項為；+2.()

(4)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.()

答案(l)x(2)x⑶弋(4)x

2.(易錯題)已知時趨+而，且對于任意的n?N*,數列⑶｝是遞增數列，則實數九

的取值范圍是.

【易錯點】本題容易忽視數列是特殊函數.

答案(-3,+8)

解析因為｛an｝是遞增數列，所以對任意的n?N*,都有an+i>an,即

(n+1)2+X(n+1)>n2+Xn,整理得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)

因為吟1,所以-(2n+l)￡3,要使不等式(*)恒成立，只需X>-3.

題組?走進教材

3.(人教A版選修②P9-T4改編)已知數列同｝的首項ai=l,a2=a,且

an+i+an=2n+l(n>2,nGN*),若數列｛aj單調遞增，則a的取值范圍為().

A.(L2)B.(2,3)C4|,I)D.&|)

答案C

解析當nN2,nGN*時，an+i+an=2n+l,因此有an+2+an+i=2n+3,

兩式相減得an+2-an=2,說明該數列從第2項起，偶數項和奇數項都成等差數列，

且它們的公差都是2,由an+i+an=2n+l可得a3=5-a,a4=a+2,

因為數列｛an｝單調遞增，所以ai<a2<a3<a4,即l<a<5-a<a+2,解得￡<a<|.故選C.

4.(人教A版選修②P8?T2(4)改編)設數列｛an｝滿足ai=2,an+i-(nEN*),則該數

列前2025項的乘積aia2a3a4...a2025=.

答案2

解析令an=f(n),則an+i=f(n+l),由an+尸件得f(n+l)=m罌.

因為f(n+2)=：器;;=：；二滬高,所以f(n+4)=-而%=f(n),所以4是f(n)的一個周

期.由ai=2,得a2=-3,as=-p初=；,則aia2a3a4=1,故aia2a3a4…a2025=(aia2a3a4產6出1=2.

題組?走向高考

5.(2022.北京卷改編)已知數列⑶｝的各項均為正數，其前n項和Sn滿足

an-Sn=9(n=L2,...),則｛aQ為遞數列.(填“增”或“減”)

答案減

解析由題意可知，當n>2時，由Sn=：可得Sn-1-，又由an=29=4p>0，

可得an<a?i,所以數列｛a。｝為遞減數列.

【考點聚焦?突破】

考廣一由an與Sn的關系求通項公式

2

典例1已知數列｛an｝的前n項和Sn=n-2n,那么它的通項公式an=

答案2n-3

解析,?,數列｛an｝的前n項和Sn=n2-2n,

.,.當n=l時，ai=Si=-l；

22

當n>2時，an=Sn-Sn-i=n-2n-[(n-l)-2(n-l)]=2n-3.

當n=l時,上式也成立.；.an=2n-3.

變式若將本例中的條件“Sn=n2-2n”改為“Sn=n2-2n+2”，則通項公式

□本bn-3,n>2

解析因為Sn=n2-2n+2,所以Sn-i=(n-l)2-2(n-l)+2=n2-4n+5.

22

當n>2時，an=Sn-Sn-i=n-2n+2-(n-4n+5)=2n-3；

當n=l時，ai=Si=l,不滿足上式.故an=｛；：二］>2(n?N*).

。方法總結口口口

已知Sn求an的3個步驟

1.利用ai=Si求出ai.

2.用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系式，利用an=Sn-Sn-i(nN2)求出當n>2時

an的表達式.

3.對當n=l時的結果進行檢驗，看是否符合當nN2時an的表達式，若符合，則可

以把數列的通項公式合寫；若不符合，則應該分n=l與位2兩段來寫.

針對訓練iA—

2

1.已知數列｛an｝的前n項和為Sn,且ai=3,Sn=an+n-l,則an=.

答案2n+l

2

解析因為Sn=an+n2-l,所以當吟2時，Sn-i=an-i+(n-l)-l,

兩式相減得an=an-an"+2n-l,即an“=2n-l,所以an=2n+l,且ai=3符合上式，所

以｛aj的通項公式為an=2n+l(nEN*).

2.設數列｛an｝滿足ai+3a2+...+(2n-l)an=2n,則an=.

(2,n-1,

答案2-1

'.2^i,n>2

解析當n=l時，ai=2'=2.

n

ai+3a2+...+(2n-l)an=2,①

ai+3a2+...+(2n-3)an-i=2n_1(n>2),②

由①-②得，(2n-l)a=2n-2n-'=2n-1,/.a=^-(n>2).

nn2n—1

'2,n=1,

n-1

當n=l時，ai=2,不符合上式，.*.an=j2(nGN*).

.2^1,n>2

考金二由數列的遞推關系求通項公式

角度1累加法

典例2已知數列｛an｝滿足an+i=an+ln(1+，)(n?N*),ai=2,則數列｛aj的通項公式

為.

答案an=2+lnn

解析因為an+i=an+ln(1+彳)，所以an+i-an=ln*=ln(n+l)-lnn,則當近2時,

an-an-i=lnn-ln(n-1),...,a3-a2=ln3-ln2,a2-ai=ln2-ln1,以上(n-1)個等式累加得

an-ai=lnn-lnl=lnn(n>2),因為ai=2,所以an=2+lnn(nN2).當n=l時，ai=2,滿足

上式.

故ai=2+lnn(neN*).

。方法總結口口口

形如an+i=an+f(n)的遞推關系，可用累加法an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai求通項

公式.

角度2累乘法

典例32

若數列｛an｝滿足ai=12,ai+2a2+3a3+...+nan=nan,則22025=.

受安4

口本675

2

解析因為ai+2a2+3a3+...+nan=nan,①

2

所以ai+2a2+3a3+...+nan+(n+l)an+i=(n+l)an+i,②

22

由②-①得(n+l)an+i=(n+l)an+i-nan,即置=咋，

亦l、l_a2a3a4_123n-1r-._12_4

所以.---ai-------...---ai--(n>2),所c以ra2025-赤-濟

。方法總結口口口

形如an+i=an?f（n）的遞推關系式可化為黑=以）的形式，可用累乘法

?…瑞西求通項公式.注意檢驗ai是否滿足所求公式，若滿足，則合并,

若不滿足，則寫成分段形式.

一繼訓練

1.（2024?吉安模擬）已知數列｛an｝的首項為1,且an+i=^p（n?N*）,則an的最小

值是（）.

1

A.2-B.lC.2D.3

答案B

解析由an+i=M篙i)得(n+l)an+i-nan=n,

所以nan=nan-(n-l)an-i+(n-l)an-i-(n-2)-an.2+...+2a2-ai+ai(n>2),

則nan=(n-l)+(n-2)+...+1+1=(l+n-l)(n-l)+1=妝'丁)+l(n>2),顯然當n=1時，ai滿足上

式，所以an=^+="-924[,

當且僅當n=V2時，等號成立，因為n?N*,故取ai或a2時an最小，又ai=a2=l,

所以an的最小值為1.故選B.

n

2.若數列｛an｝的首項ai=l,an+i=2an,則其通項公式an=.

答案2厘

n23n1

解析由an+i=2anJ得警=2%所以￡=2、^=2,^=2,^'=2-(n>2),

所以用著看…?含=2322X23X…耍十心)，所以存21+2+3+…+(?1)儂2),

因為ai=L所以an=2"2+3+…+(宜)=2中(G2),

因為ai=l滿足上式，所以an=2.(ndN*).

考U三數列的性質

角度1數列的單調性

典例4設數列｛an｝滿足an+i=2a?l(nGN*).若數列｛an｝是正項遞增數列，則ai的取

值范圍是.

答案(1,+oo)

解析若數列｛aj是正項遞增數列,

則對于任意n>2,an+i-an=(2aH-l)-(2a^_1-l)=2(an+an-i)-(an-an-i)>0,且an-an-i>0,又

an+an-i>0,

所以a2-ai>0,即2aj-l-ai>0,可得ai>l或ai<-；(舍去).故ai的取值范圍是(1,+oo).

。方法總結口口口

解決數列的單調性問題的方法

1.用作差比較法，根據an+1-an的符號判斷.

2.利用不等式的性質或放縮法判斷數列｛an｝是遞增數列、遞減數列還是常數列.

角度2數列的周期性

典例5已知在數列｛an｝中，ai=3,a2=6,且an+2=an+l-an,貝［IH2025=().

A.3B,-3C.6D.-6

答案A

解析因為ai=3,3.2=6>且an+2=an+i-an,

所以a3=a2-ai=3,a4=a3-a2=-3,

a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,

a7=a6-a5=3=ai,

所以｛an｝是周期為6的數列，則a2025=a3=3.故選A.

。方法總結口口口

對于數列的周期性問題，先根據給出的關系式求出數列的若干項，再通過觀察,

歸納出數列的周期，進而求出有關項的值或前n項和.

角度3?數列的最值

典例6若在數列｛an｝中，ai=4,an=Van_i+2(2<n<100),則數列｛an｝的最大項的值

是.

答案4

解析根據ai=4以及an=Jan-i+2(2\nW100),可知an>0,所以*=an-i+2,①

則a%=an+2,②

=

由②-①得城+i-a^an-an-i,即(an+i+an)-(an+i-an)an-an-i(2<n<100)；

因為an>0,所以an+1-an與an-an-1同號，

又因為a2=7a)+2=V6,且a2-ai=V6-4<0,

所以a『an一i<0,所以數列｛aj為遞減數列,

因此數列｛an｝的最大項是ai,其值是4.

。方法總結口口口

求數列的最大項與最小項的常用方法

L將數列視為當xCN*時函數f(x)所對應的函數值，根據f(x)的類型作出相應的

函數圖象，或利用求函數最值的方法求出f(x)的最值，進而求出數列的最大(小)

項.

2.通過通項公式期研究數列的單調性，利叱:工：