第1章數列1.1

數列的概念第1課時數列的概念湘教版

數學

選擇性必修第一冊課標要求1.理解數列的有關概念與數列的表示方法;2.掌握數列的分類;3.理解數列的函數特征;4.掌握數列通項公式的概念及其應用,能根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

基礎落實·必備知識一遍過知識點1數列及其概念(1)數列:按照一定順序排成的一列數叫作數列.(2)項:數列中的

叫作這個數列的項,排在第一位的數叫作數列的首項或叫作數列的第1項,排在第二位的數叫作數列的

,…,排在第n位的數叫作數列的

.

(3)數列的一般形式:數列的一般形式可以寫成a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.數列中項與項之間用“,”隔開

每一個數

第2項第n項

名師點睛數列中的項的性質:(1)確定性:一個數是或不是某一數列中的項是確定的,集合中的元素也具有確定性;(2)可重復性:數列中的數可以重復,而集合中的元素不能重復出現(即互異性);(3)有序性:一個數列不僅與構成數列的“數”有關,而且與這些數的排列順序有關,而集合中的元素沒有順序(即無序性).過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)1,2,3,4與4,3,2,1是同一數列.(

)(2)一組數1,1,1,1不是數列.(

)(3)若兩個數列的每一項均相同,則這兩個數列相同.(

)2.{an}與an所表示的含義相同嗎?××√提示不相同.{an}表示數列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示數列{an}的第n項.知識點2數列的分類分類標準名稱含義按項的個數有窮數列項數

的數列

無窮數列項數

的數列

名師點睛從數列的分類來說,一個數列只有“有窮數列”與“無窮數列”兩種形式.有限

無限過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)若一個數列有n(n∈N+)項,則該數列是無窮數列.(

)×2.數π分別精確到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值(四舍五入)依次排列得到一個數列,試寫出它的前7項,并判斷此數列是有窮數列還是無窮數列.解

數列的前7項為3,3.1,3.14,3.142,3.141

6,3.141

59,3.141

593,其為無窮數列.知識點3數列的表示以及數列與函數的關系1.通項公式如果數列{an}的第n項an可以用關于n的一個公式表示,那么這個

就稱為數列{an}的通項公式.

就是數列的解析表達式

公式

2.數列與函數的關系.從函數的觀點看,數列可以看作特殊的函數,關系如下表:定義域特殊

定義域正整數集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})解析式數列的_____________值域自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值表示方法(1)__________(解析法);(2)

法;(3)

法

列表圖象通項公式通項公式2.通項公式如果數列{an}的第n項an可以用關于n的一個公式表示,那么這個________

就稱為數列{an}的通項公式.

就是數列的解析表達式

公式名師點睛1.列表法表示數列的優點在于表示出了數列的項的序號與項的對應關系,而圖象法則是直觀地體現了項的變化趨勢,通項公式則是清晰地反映對應關系.2.數列所對應的圖象是一系列孤立的點.3.一個數列的通項公式不是唯一的,如數列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)根據通項公式可以求出數列的任意一項.(

)(2)根據數列的前若干項寫出的通項公式唯一.(

)(3)數列的通項公式必須適合數列中的任何一項.(

)√×√2.所有的數列都有通項公式嗎?3.從函數觀點看數列,若一個數列是“有窮數列”,則該數列的定義域有何特征?提示不是.提示從函數觀點看數列,若一個數列是“有窮數列”,則它的定義域是正整數集N+的有限子集{1,2,3,…,n}.重難探究·能力素養速提升探究點一根據數列的前若干項求通項公式【例1】

根據以下數列的前若干項寫出數列的一個通項公式.分析

觀察、分析項的特征,尋找數列的每一項與其所在項的序號之間的關系.解

數列的項有的是分數,有的是整數,可先將各項都統一成分數再觀察,(2)1,-3,5,-7,9,…;解

數列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…,是連續的正奇數,其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).解

這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數,且奇數項為負,偶數項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n·.(4)4,0,4,0,4,0,….解

由于該數列中,奇數項全部都是4,偶數項全部都是0,因此可用分段函數的形式表示通項公式,即an=又因為數列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.變式探究(1)將本例題中的(1)改為,…,試寫出數列的一個通項公式.分子滿足:3=1+2,4=2+2,5=3+2,6=4+2,…,分母滿足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,(2)將本例題中的(3)改為,…,試寫出數列的一個通項公式.解

由于所給數列的部分項均是分式且分子均為1,分母均是兩因數的積,第一個因數是項數加上1,第二個因數比第一個因數大2,因此它的一個通項公式為an=.規律方法

1.根據數列的前若干項寫出數列的一個通項公式的方法:(1)先統一項的結構,如都化成分數、根式等.(2)分析結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規律與對應序號間的解析表達式.(3)對于符號交替出現的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)n或(-1)n+1處理符號.(4)對于具有周期性的數列,可考慮拆成幾個簡單數列的形式,或者利用周期函數,如三角函數等.2.常見數列的通項公式如下:(1)數列-1,1,-1,1,…的一個通項公式是an=(-1)n,數列1,-1,1,-1,…的一個通項公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數列1,2,3,4,…的一個通項公式是an=n.(3)數列1,3,5,7,…的一個通項公式是an=2n-1.(4)數列2,4,6,8,…的一個通項公式是an=2n.(5)數列1,2,4,8,…的一個通項公式是an=2n-1.(6)數列1,4,9,16,…的一個通項公式是an=n2.探究點二數列的通項公式的應用分析首先根據數列的前3項以及數列的通項公式,利用待定系數法求出d,b,c,得到通項公式,然后根據通項公式求解.規律方法

利用數列的通項公式求數列的項或項數的方法

類型方法求數列的項用序號代替公式中的n判斷是否為數列{an}中的項令通項公式等于該數,解方程,注意n∈N+變式訓練已知數列{an}的通項公式為an=3n2-28n.(1)寫出此數列的第4項和第6項;(2)判斷-49是不是該數列中的項;(3)該數列{an}中有多少個負數項?

解

(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49,得n=7或n=

(舍去),因此-49是該數列的第7項.(3)由an=3n2-28n=n(3n-28)<0,得0<n<.又因為n∈N+,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9.故數列{an}中共有9個負數項.本節要點歸納1.知識清單:(1)數列及其概念:項、項數;(2)數列的分類:有窮數列、無窮數列;(3)數列與函數的關系、數列的表示方法、數列的通項公式.2.方法歸納:觀察歸納法求數列的通項公式,代數法或解方程法求數列的項或項數.3.注意事項:數列是定義域為正整數集或其有限子集的特殊的函數,根據通項公式判斷是否為數列的項,n∈N+.學以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎練123456789101112131415161718A.第12項 B.第13項C.第14項 D.第25項A解析

由題意得數列的通項公式為

時,解得n=12,所以5是這個數列中的第12項,故選A.1234567891011121314151617182.已知數列{an}的通項公式是an=(-1)n(n+1),則a1+a2+a3+…+a10等于(

)A.-55 B.-5 C.5 D.55C解析

a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.1234567891011121314151617183.[2024甘肅金昌高二階段練習]數列-4,7,-10,13,…的一個通項公式為(

)A.an=(-1)n(3n+4)B.an=(-1)n(3n+1)C.an=(-1)n+1(3n+4)D.an=(-1)n+1(3n+1)B解析

由符號來看,奇數項為負,偶數項為正,所以通項公式中應該是(-1)n,數值4,7,10,13,…滿足3n+1,所以通項公式可以是an=(-1)n(3n+1).故選B.1234567891011121314151617184.(多選題)已知數列的通項公式為an=n2-8n+15,則3可以是(

)A.數列{an}中的第1項B.數列{an}中的第2項C.數列{an}中的第4項D.數列{an}中的第6項BD解析

根據題意,數列的通項公式為an=n2-8n+15,令an=n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,即3是數列的第2項或第6項,故選BD.123456789101112131415161718D123456789101112131415161718an=

,a10=

.

1234567891011121314151617187.寫出一個同時具有下列性質①②③的數列{an},①無窮數列;②數列中的項依次減小;③每一項都是正數,則an=

.

1234567891011121314151617188.在數列{an}中,an=-2n2+9n+3.(1)-107是不是該數列中的某一項?若是,是第幾項?(2)求數列中的最大項.解

(1)令-107=an=-2n2+9n+3,解得n=10(n=舍去).故-107是該數列中的項,并且是第10項.123456789101112131415161718B級關鍵能力提升練9.已知數列{an}的通項公式為an=則a2a3等于(

)A.70 B.28

C.20

D.8C解析

根據題意,數列{an}的通項公式為an=則a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,則a2a3=20,故選C.12345678910111213141516171810.[2024甘肅白銀高二期末]已知數列0,lg3,lg5,lg7,…,根據該數列的規律,該數列中小于2的項有(

)A.50項

B.51項C.100項 D.101項A解析

令該數列為{an},則a1=lg

1=lg(2×1-1),a2=lg

3=lg(2×2-1),a3=lg

5=lg(2×3-1)……由此可歸納得an=lg(2n-1).又n∈N+,所以a1<…<a50=lg

99<2,a51=lg

101>2,故數列中小于2的項有50項.故選A.12345678910111213141516171811.(多選題)已知數列{an}的通項公式為an=9-2n,則下列各數是{an}中的項的是(

)A.7 B.0

C.3

D.5ACD

解析

令an=9-2n=7,得n=1,故A正確.令an=9-2n=0,∵n∈N+,∴無解,故B錯誤.令an=9-2n=3,得n=3,故C正確.令an=9-2n=5,得n=2,故D正確.故選ACD.12345678910111213141516171812.[2024甘肅酒泉敦煌中學高二期中]已知數列{an}的一個通項公式為an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,則實數a的值為(

)A.1 B.3C.-1 D.-3B解析

因為an=(-1)n·2n+a,a3=-5,所以-23+a=-5,解得a=3.故選B.12345678910111213141516171813.下列數列中,156是其中一項的是(

)A.{n2+1} B.{n2-1}C.{n2+n} D.{n2+n-1}C解析

若數列為{n2+1},則有n2+1=156,無正整數解,不符合題意;若數列為{n2-1},則有n2-1=156,無正整數解,不符合題意;若數列為{n2+n},則有n2+n=156,解得n=12或-13(舍),有正整數解n=12,符合題意;若數列為{n2+n-1},則有n2+n-1=156,無正整數解,不符合題意.故選C.12345678910111213141516171814.已知數列{an}的通項