千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯天然叢書(數學)復數及其應用山東科學技術出版社天然叢書(數學)復數及其應用黃高超張九思山東科學技術出版社一九八三年·濟南內容提要本書是講述復數及其應用的通俗讀物,較詳細地講解了復數的概念,復數的各種表示法及復數運算;著重推薦了怎樣應用復數來解決某些力學、物理學、數知識題;最后推薦了復變函數的初步知識。本書語言簡練,通俗易懂,是中學在校學生很好的課外讀物,也可做中學教師的參考用書,還可供工程技術人員參考。天然叢書(數學)復數及其應用黃高超張九思*山東科學技術出版社出版山東省眾孝李莊發行山東新華印刷廠濰坊廠印刷*787×1092毫米32平4.5印張?1983年2月第1版1993年2月第1次印刷印數:1書號13195?88目錄引言1一、復數及其運算31.復數及其代數運算.32.復數的幾何表示103.復數的三角表示式和指數表示式.184.共軛復數、模與輻角的性質...305.復數的乘方與方根..426.復球面與無窮遠點..61二、復數的應用.-681.復數在物理學與電工學中的應用-682.復數在幾何方面的應用.-873.復數在代數方面的應用.1014.復數在三角中的應用.107三、復變函數初步.1151.復變函數的概念.1162.映射.1173.初等函數.127引言復數是十六世紀在解代數方程時引入的.例如,在解最容易的一元二次方程x2+1=0時,就會碰到歐洲文藝復興之前,人們對于負數還不能認識.到1545年意大利米蘭城的一位醫生卡爾丹曾把40看作為5+?15與5??15的乘積,也就是我們現在所說的5+?1就是一例.虛數在很長時光內不能為人們所采納,而是把它看成奧秘的虛幻不存在的“數”,所以命名為“虛數”,這個名稱就向來延用到今天.直到十八世紀中葉,關于虛數的理論很少發展.人們向來把它看成是無實際意義的東西而加以抵制.1747年法國聞名數學家達蘭貝爾(D’Alembert,J.L.R.,1717-1783)對復數的研究推進了一大步.他指出,倘若按多項式的四則運算法則對虛數舉行運算,那么它的結果總是a+b瑞士數學家歐拉(Euler,L.,1707-1783)慢慢知道了復數在函數論方面的重要性.他于1748年發現了用復數表示的指數函數和三角函數間的關系式,即聞名的歐拉公式.1777年他系統地建立了復數理論,創立了復變函數論的一些基本定理.在這以后,復數才正式被人們逐步承認和掌握,并廣泛加以應用.尤其是挪威的測量學家外塞爾提出把復數a+ib用平面上的點a,到十九世紀,德國的數學家高斯(GaussK.F.,1777-1855)正式給出了“復數”這個名詞,復變函數理論得到了蓬勃的發展.經過法國數學家柯西(CauchyA.L.,1789-1857)、德國數學家黎曼(RiemannG.F.B.,1826-1866)和外爾斯特拉斯(WeierstvassK.,1815-1897)的龐大努力,奠定了復變函數系統的理論.二十世紀以來,復數和復變函數的理論,不僅深刻地滲入了各數學分支,而且深入到工程部門中去,已成為科學家和技術人員普遍認識的數學工具.本書在推薦復數基本知識之后,著重推薦如何應用復數來解決代數、幾何、三角及物理學、電工學、力學等方面的問題,并向讀者推薦復變函數的初步知識.一、復數及其運算1.復數及其代數運算什么是復數在引言中我們已經提到復數,但沒有詳細談復數是怎么回事.讀者要問:“什么是復數?能否用確切的數學語言來描述它?”我們可以這樣說,設x,y為x的數稱為復數,記作z,即z其中,i=?1稱為虛數單位.x為復數z的實數部分,稱為實部,記作Rz或Rez,y為復數z的虛數部分的系數,稱為虛部,記作R或Re當Iz=y=0時,復數變成實數z=x,所以,實數可以看作復數的異常情形.當例如,數8是復數,不是虛數而是實數;數8i我們看到,引進復數以后,數的范圍擴大了,復數既包括了所有的實數,又包括了虛數.兩個復數z1=x1+iy1與z2=復數x?iy叫做復數z=x+z顯然z即復數的共軛復數的共軛復數等于該復數本身.所以說x+iy與復數的代數運算1.加法設兩復數z則復數z(1)叫做z1與z2的和,記作z顯然,倘若z1與z2都是實數(即y從(1)及實部與虛部的定義知,兩復數之和的實部等于這兩個復數實部之和;兩復數之和的虛部等于這兩個復數虛部之和.例1計算2+i解?==1.減法加法有逆運算,即對任何兩個復數z總可以找出一個復數z來,使z這個復數z叫做z1與z2兩個復數的差,用符號zz(2)即兩復數之差的實部等于這兩個復數實部之差;兩復數之差的虛部等于這兩個復數虛部之差.例2計算3?4解?=例3計算3+4解?==II.乘法復數z(3)叫做復數z1=x1+iy1與倘若z1與z2兩數都是實數(即y1=y2i(4)容易看出,式(3)也可用下面的主意得出:先按照多項式乘法法則,將x1+iy1與x2z==例4計算2?3解?==例5求復數z=a+bi解?=由此看出,z?zII.除法除法可作為乘法的逆運算來定義:設z2≠0,便可求得這樣的一個復數z,使z2?z=z1,這個復數z叫做復數z1z==(5)例6計算1+2解1==從復數加法和乘法的定義可直接得出下面的定律:(i)交換律:z(ii)結合律:zz(iii)乘法對于加法的分配率:z從(1)、(2)、(3)、(5)式可知,復數經過代數運算后得到的數依然是復數.因為i2=?1,故對于虛數單位i的iiiii當n是正整數時,iiii所以in(n是正整數)的值是周期地為1,i,例7i200ii例8求in+in+1+i解?=例9化簡323解3==例10當x、yx成立?解因為x=所以原式變為5在上式兩邊,實部與實部應相等,虛部與虛部應相等,于是有5解此方程組便得x即當x=1,y=11例11倘若方程x2+2a1+b證設方程的實根為x1x即x所以x(1)(2)當a2≠x代入(1)式得?即有b當a2=0時,由(2)得出b成立,故得證.例12將復數1?i1+i8解因為1所以12.復數的幾何表示復數之所以能應用于實際,這與它及其運算的幾何表示是有關的.用點與矢量表示復數復數的幾何表示是指用平面上的點或矢量來表示復數,圖1現在就談談這個問題.I.點表示法我們在平面上建立向來角坐標系xOy,復數z=x+iy就可用平面上橫坐標等于x,縱坐標等于y的點Px,y來表示(圖1),這是一種常用的表示法.這樣,對于任何復數z=x+ix軸上的點與實數對應,故稱x軸為實軸,y軸上的點與純虛數iy對應,故稱y軸為虛軸,這個坐標平面叫做復平面,也叫做高斯平面,并且常把“點z”作為“數z”的同義詞,例如點P11,2表示數1+2i,點P2?2,1表示數?2+i;點圖2圖3I.矢量表示法復數z還可以用原點指向點Px,y的矢量來表示.我們知道,對于復平面內任一點Px,y,有一矢量(有向線段)OP和它對應(圖3).因為矢量OP與復平面上的點Px,y之間有一一對應關系,而平面上的點Px,y用復平面內的點Px,y或矢量OP表示復數,叫做復數復數的模與輻角因為復數z=x+iy可以用矢量OP表示,因此就把矢量OP的長度r叫做復數z的模或絕對值,記作z,即z=r,矢量OP與實軸正向所成的角θ,叫做復數zz(1)xtg(2)當z=x+iy≠0時,x,y就不同時為零,由(1)式知r>0,由(2)式可以求出θ,但終邊相同的角可以相差2π的整倍數,所以任一個復數Arg就給出了z的所有輻角.因為Argz是多值的,為方便起見,我們把滿意?的θ1稱為輻角Argz的主值,并記作θ0=argz,這樣argz就惟獨一個值了.當點z在包括實軸在內的上半平面時,θ0取非負值,并相宜0≤θ0≤π;當點z在不包括實軸在內的下半平面時,θ0取負值,并相宜?例1求復數3+4解因為z=3所以Rzarg因為復數z=12?72arg例2已知z?z=2+3解令z=x+iyx即x由復數相等的條件得x(1)(2)由(2)式得y=?x即x兩邊平方得x所以x故得z例3求證Argz+Argz=2證當z為負實數時,等式Argz+當z不為負實數時,有ArgArg其中k1,arg所以Arg令n=k1+k2Argc.例4若A+B=A+B證設A=xA得x即x=將上式兩邊平方并化簡得x將上式兩邊平方,化簡:x因而x即y又argarg所以arg我們知道,兩個正實數比較大小的主意是:在數軸上的位置沿軸的正方向離原點遠的較大,近的較小.但表示復數的兩個點與原點普通不在一條直線上,因此不能表示兩點和原點的次序關系,所以兩個復數普通沒有大小的規定.也就是兩個復數中只要其中有一個不是實數,我們就不能說那一個大,那一個小.例如,我們不能說3+4i與4+3i那一個大,那一個小;也不能說1+2i與4那一個大,那一個小.即使是兩個相反的復數復數以矢量表示的加法與減法從上一段中知道復數可以用矢量表示,而矢量的加法是按照平行四邊形法則舉行的,因而復數的加法也應該和相應的矢量的加法運算一致.現在推薦復數以矢量表示的加減法的法則.加法法則設復數z1=x1+iy1,z2=x2+iy2分離用矢量OM與ON表示.以OM與ON為相鄰兩邊作平行四邊形,其另一頂點設為P圖4證由點N,M,P向實軸作垂線,垂足為N′,M′,P′,由M作MQMQ于是OP這就證實P點的坐標為x1+z=所以矢量OP表示復數z1減法法則設復數z1=x1+iy1、z2=x2+iy2分離用矢量OM與ON表示.以OM為對角線,ON圖5證如圖5,設OP表示復數z,則由加法法則知OM表示復數z+z2,又知OM表示復數z1,因而z1=z+z2,所以由圖5可以看出,因OP=z1?z2,而OP=NM,所以NM=z1?z2,即N例5求復數?3?2i與解令z1=則z圖6z=這個結果也可以從圖6中看出來。例6求表示復數z1=3?4i解z=3.復數的三角表示式和指數表示式為了與復數的三角表示式和指數表示式相區別,對用z=x+iy復數除用代數表示式表示外,還可用三角表示式及指數表示式來表示.用后兩種形式表示復數,對復數的乘、除運算比較方便.復數的三角表示式設z=x+iy,其模為z=x于是z式子rcosθ+isinθ設兩個復數z1、z與z則z=+=由此即得,兩個復數相乘,乘積的模等于兩因數模的積,乘積的輻角等于兩因數輻角之和.上述結果,也可以寫成下列公式:zarg對n個復數相乘,重復地應用上述乘法公式,同樣可以得到z+=+即n個復數相乘之積,其模等于n個因子模的積,其輻角等于n個因子輻角之和.上述結果,也可以寫成下列公式:z∴arg+∴當z2≠0時,顯然z==+=即兩復數相除(除數不等于零),商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角.上述結果,可以寫成下列公式:zarg復數乘、除法的幾何解釋I.乘法的幾何解釋設zz圖7為方便起見,以復數z1、z2表示坐標平面中的點.即已知點z1與點z2以矢量Oz1與Oz2分離表示復數z1與z2(圖7).把矢量Oz1放大r2倍,然后按逆時針方向轉一個θ2角,得矢量O,也可以把矢量Oz2放大r1倍,然后按逆時針方向轉一個θ1角,同樣得到矢量O,z1z2圖8I.除法的幾何解釋設點z1和z2z2≠0以矢量Oz1,Oz2分離表示復數z1,z2(圖8),把矢量Oz1的模縮小r2倍,然后按順時針方向轉一個θ2角,得矢量O,z1z例1將復數z1=62+22解對于z1=r由sin得輻角θ所以z同樣,對z2=r由sinC:得輻角θ所以z那么z=z==例2將復數1?3解首先將1?3z則r由sin得θ所以1徹低類似地將1?i1于是12==復數的指數表示式歐拉公式eiθ設復數z利用歐拉公式可以寫成z的形式,其中r是復數z的模,θ是z的輻角,表示式r叫復數z的指數表示式.在電工基礎中,常把復數z=reiθ表示為z=例3把復數1+i解令z=1r0所以1同理?又?2i所以2arg=故2例4把3ei解3=用復數的指數表示式舉行乘除運算,也很方便.設兩復數z1=z由此可知,兩復數用指數表示式作乘法,其積的模等于因數模的積,積的輻角等于因數輻角之和.重復地應用乘法公式,n個復數相乘,其積有z=即n個復數相乘,其積的模等于n個因子模的積,其輻角等于n個因子輻角之和.若z2≠0,則z由此可知,復數由指數表示式表示時,兩復數相除(除數不等于零)之商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角.例5把1+i1?i解1=令2+2i的模為r,輻角為r由cos得θ所以2從而可得1=1氣=0例6用復數的指數式證實zz解設z1=r所以zz于是z從而有zz綜上所述,我們講到了復數的三種表示式:zzz復數的三角式、指數式固然表面形式不一樣,但它們的本質都是用一對數r,θ表示復數x知道了一對數r,θx可以求出x和y,從而得到復數的代數式x+iy.反過來,如果知道了復數的代數式x+iyr可以求出r和θ,從而得到復數的三角式和指數式兩種表示式.復數的各種表示法互相轉換,以適應研究不同問題時的需要.旋轉乘數i在電工學中,常采用下列表示法.將復平面坐標系中的實軸正向表示為1,虛軸正向表示為i(圖9).因虛數單位i的指數表示式為i=eiπ2,所以ii這說明,復數2eiπ4乘以i后,其積的模不變,輻角增強π2.因此,只要將復數2eiπ4所對應的矢量OP沿逆時針方向旋轉π圖9圖10普通地,i乘復數reiθ后,其積的模不變,但輻角增強π2.因此,只要將reiθ對應的矢量OP沿逆時針方向旋轉π2因為i具有以上這種性質,所以在電工學中,把i叫做旋轉90°的旋轉乘數(或稱為旋轉90°4.共軛復數、模與輻角的性質共軛復數的性質設兩復數為z1=(i)z(ii)z(iii)z1z即兩復數和、差、積、商的共軛復數分離等于這兩個復數之共軛復數的和、差、積、商.證(i)因為z=所以z又z=于是有z(ii)因為z=所以z又z=于是有z類似地,請讀者自己證實性質(iii).我們還可以用共軛復數來表示復數的實部與虛部,即(IV)復數和其共軛復數之和是一實數,它等于實部的二倍;復數減其共軛復數是一純虛數,它等于復數虛數部分的二倍.即z事實上,因為z所以z又因為z所以z由這個性質我們可以把復數z=xx我們也可用復數及其共軛復數來表示復數的模,即(V)復數及其共軛復數之積是一個大于或等于零的實數(僅當所給的復數是零時為零),它等于復數模的平方,即z事實上,因z故z由此顯然有:(VI)復數及其共軛復數的模相等,即z例1試證（1）復數z為實數的充要條件是z=z（2）設z1及z2是兩復數,若z1+z2和z1z2證(1)設z=x先證充足性.若z=zx比較實部與虛部,有y=?y,所以y=0再證須要性.若z為實數,則y=0,必有x+iy=（2）設z1=zz因為z1+z2與y即y若y1=0(或y2=0),則y2=0(或y若y1≠0(或y2≠0),則得x2=x1例2試證zn=證設z=reiθzz故z例3設多項式fz=f證利用例2及共軛復數的性質,可得f=====復數模的性質(i)兩復數積的模等于其模的積,即z這個性質在前面已證實過,這里再用共軛復數的性質證明如下:證利用性質z2=zz與z==因為z1z2與z(ii)復數n次冪的模等于其模的n次冪,即z證由性質(1)便可證實z(iii)兩復數商的模等于其模的商,即z(iV)兩復數和的模不超過其模的和,即z證因為z====≤==且z1+z2與z設z3z≤≤普通地,有限個復數和的模不超過其模的和,即z(n為正整數).(V)兩復數差的模不小于其模的差的絕對值,即推z證因為z====≥==所以z性質iV、V復數z1、z2、z2+z2分別以矢量OM,ON,OP表示(圖4),則z1O而NP=O即z這便是性質iV同理,復數z1,z2,z1?z2,分離以矢量OM,ON,OP表示(圖5),則OMO即z這便是性質V。例4證實z1+解由共軛復數的性質有z===z===將上兩式相加便得z現研究它的幾何意義.作矢量OM,ON分離表示復數z1,圖11邊作平行四邊形OMPN;再以OM為對角線,ON為一邊作平行四邊形OQMN(圖11),則矢量OP表示復數z1因為ONOOM所以z即是O它的幾何意義是:平行四邊形兩對角線的平方和等于它的四邊的平方和.例5設z1=3?3i解z=zz例6將隨意一圓的方程Ax2+y2+Bx+C解設z=xxy將上面各式代入圓的方程,便得:A即A令a=Aa(1)這就是所給圓方程的復數表示式.異常,當a=0b(2)所給圓的方程變為B(3)當B、C不同時為零時,方程(3)為直線的普通方程.因而任意向來線方程(3),它的復數表示式可以寫作(2),其中b、c為常數,且c=D例7求下列方程所表示的曲線:(1)z?3（2）z+4(3)R2i?z=1解(1)從幾何上可以看出,方程z?3i=1表示任一點z與點3i的距離為1的點的軌跡,即中央為設z=xx圖12即x或x（2）方程z+4=z?i表示動點z到點-4與點i距離相等的點的軌跡.所以方程所表示的曲線就是銜接點-4與8（3）設z=x2所以R從而可求得曲線R2i?z=1與I2i?z=1的直角坐標方程分離為x=?例8設z=x+iy,y≠0,z證因為z1+z∴即z也可以寫為z即z由y≠0得z?z≠01于是有x所以,惟獨x2+y2=1例9試證,當α<1α證1==4===由α<1,β<11即α5.復數的乘方與方根利用復數的三角表示式,舉行乘方與開方運算,可以得到容易的運算法則.現在我們研究復數的乘方與開方的運算.復數的乘方設有n個復數zzz則z+倘若小z上面的乘法公式可以寫成z==即z(1)由此可知,復數的n次方的模等于它的模的n次方,輻角等于它的輻角的n倍.例1求3+i解法1應用二項式展開定理3+==解法2把3+i3則3=====用兩種主意運算,所得結果相同.倘若乘方次數再高些,應用復數的代數表示式舉行乘方運算將相當復雜,但倘若化為復數的三角表示式來運算,就比較方便了.例2求3+i解顯然,倘若應用復數的代數式舉行計算,將相當復雜.故可采用復數的三角式來計算.由例1知3則3===+====例3說明一個復數乘以?i、解(1)設復數z=r?圖13因此,它的幾何意義是將復數z=reiθ所對應的矢量沿順時針方向旋轉π2(2)設z則i=?==k因此,它的幾何意義就是圖14將復數z=rcosθ+isinθ所對應的矢量按逆時針方向旋轉π4德。莫弗公式在乘方公式{=中,倘若令r=1cos(2)公式(2)稱為德·莫弗(DeMoivre,A.1667-1754)公式.在5中已經知道n為正整數時(2)式成立.實際上,當n為零或負整數時,(2)式也成立.我們現在就來證實這個事實.當n=0當n為負整數時,設n=?m(mcos===這就證實了,當n為負整數時,(2)式也成立.于是,對于所有整數來說,德?莫弗公式是成立的.例4設0<θ1=sin6=證若z≠11(3)令z=cosθ+isinθ,固然當1=+=+=+(4)（3）式右端可以變為1===+b=?=+2=+=+=+(5)由3、41+=+(6)比較(6)式兩端的實部與虛部,即得10=sin=例5設3a+bi=x+iy證設z=xr由3a+a=====比較上式兩邊得a也可寫成a兩式相加,便得a復數的方根同實數開方一樣,設n為正整數,且n≥2,倘若復數w的n次冪等于另一個復數zw*注:cos====即cos同樣可得sin則復數w就稱為復數z的n次方根,記作w=nz。求復數z的n次方根的運算,稱為把復數z開利用復數的三角表示式,可以得到復數開方運算的普通法則.并且任何一個復數都可以開n次方,對任一非零復數,其n次方根都有n個值.當z=0時,顯然w=0,故下面研究時,設我們假設z≠0zz的n次方根是w=ρcosφ+i{此式可寫作ρ因為兩復數相等,其模相等,輻角可以相差2πρ由此得ρ其中r1nw(1)當k=0,1,2www+當k取0,1,2,?,nw(c)==同樣,當k=n+1,n+2,?,?1,?2w=k(1)它的模是這復數模的n次算術根,它們的輻角分離是這復數的輻角θ與2π的0,1,2,在(1)式中,對應于k=0的根,稱為z的n次主根,并記作zz所以,求復數的n次主根,只要求它的模的n次算術根,輻角n等分即可得.現在我們來談一下復數方根的幾何解釋.在復平面上,以原點為圓心,r1n為半徑作一圓與Ox軸交于P點,取PP0=θn,再從P0開始以這圓周nP銜接OP0,OP1,?,OPn?1,則矢量O圖15P0、P1、?,Pn?1亦表示復數因為O∠所以矢量OP0表示當k=0時所得的方根.又OP0對應點P0,所以點因為O∠所以矢量OP1表示當k=1時所得的方根,又OP1所以點P1亦表示當k=因為O∠=所以矢量OPn?1表示當k=n?1時所得的方根,又OPn?1對應點最后,又因為∠PnP0,P1,?,Pn?1就是圓周的n等分點,這就從直觀上看到一個復數的n次方根有n個并且僅有n個.這n個根所對應的點都在以這個復數的模的n次算術方根為半徑的一個圓周上,即將點P0r1n,θn對應的矢量例6證實德?莫弗公式cos當n為有理數時也成立.證前面講過,德?莫弗公式對n為隨意整數時都成立.現在證實n為有理數時也成立.為此,設n=pq,其中p、qcos===k當k=0cos即cos這說明,當n為有理數時,cosnθ+isinnθ也是(cos例7求8i解因為8所以w=k當k=0w當k=1w當k=2圖16w=這三個根是原點為圓心,半徑為2的圓的內接正三角形的三個頂點(圖16).例8試證復數的n次方根公式w(1)k還可以表示成如下的形式:w(2)k證由乘法公式得cos=由德·莫弗公式:cos所以n3==k即n次方根的公式還可表示為nk我們指出,在(1)式中,k=0的根為z的n次主根,記作zz而公式(2)是復數z的n次方根公式的主根表示式.例9試計算根式(1)5?i11;(2)解設z=5則zcossinθ是第四象限的角,即?π2<θ<0,所以?cossin=因為z=k即z亦即z所以5（2）設z=1zcos所以,θ=?3=cos=cos當k=06=E=?===當k=16-=====當k=26-=-====以上為31?6.復球面與無窮遠點前面我們已經引進了復平面,現在要作出復數的另一種幾何表示法,即復數在球面上的幾何表示.它最初是在天文學中引進的,后來又應用在地理學中,可以把天體或地球表示在平面上.取復平面z上的原點z=0,作直徑為1且與該復平面相切于原點的球面.通過原點O作一垂直于z平面的直線與球面交于N點,N0,0,1稱為北極,O稱為南極(圖17).作銜接N與z平面上任一點Px,y,0的直線,并且設這直線與球面的交點是Q,則Q稱為點P在球面上的象,并且用它表示P點對應的復數z=x+iy.這樣就建立了球面上除N以外的點與復平面上的點間的一一對應.倘若把球面看作地球,則赤道與z平面上以原點為圓心的單位圓對應.南半球與單位圓的內部對應,北半球與單位圓的外部對應.倘若在z平面上一點P的模愈大,則它在球面上的象就愈臨近于北極N.因為在球面上惟獨圖17充復平面.于是在囫圇球面與擴充復平面之間建立了一一對應關系,這種球面稱為復球面(或黎曼球面).這樣的投影方法叫做測地投影。對于復數∞,實部和虛部以及輻角的概念都沒存心義;它的模規定為+∞.對于任何有限的復數z,現在建立復球面上點Q的坐標ξ,η,ξ與其所表示的復數前面已經規定,北極0,0,1表示復數z=∞,現在我們設球面上的點Qξ(1)P、Q、NP由兩點P、N所決定的直線Px由兩點Q、N所決定的直線Qξ因為N、Q、P三點在一條直線上,即直線NPx由此求得x(2)這個公式建立了球面上的點Qξ,η,ζz(3)利用這個公式,由已知球面上的點Q的坐標可以求出它所表示的復數.反之,已知復數z,也可以求出球面上的點Q的坐標ξ,ηz再由球面方程(1),上式可表示為z所以ζ(4)由(4)及(2)可求得ξ合并上式及(4),便得ξ(5)利用這個公式,可以由已知復數z=x例1設兩復數z與1z解設z與1z的象分離為Pξ,η,ζξ=ηζ=所以,假定z的象為Pξ,η,ζ,則1z的象為Q例2設復球面不通過北極的向來徑的兩端點所表示的復數為z,z′,試證證設復球面的這個直徑的兩端點為Q、Q′;且Q、Q′分離表示復數z、z′,Q的坐標為ξ,η,ζ,因為zz因此z==由球面方程ξ2+z例3設復平面上有限復數z,z′在復球面上的象分離為P、P′,又設Pd證設復數z,z′在復平面上對應的點為zx,y,0,z′x′,y′,0,它們的象分離為圖18ξ因為P與P′ξξ由兩點距離公式及上述關系式有d==?==??===二、復數的應用隨著科學技術的發展,復數的應用范圍逐漸擴大,在這里我們將通過一些例題,分四個方面推薦復數的應用.1.復數在物理學與電工學中的應用物理學與電工學中研究的量許多都是矢量,例如力、速度、加速度、電流等,因為復數可以表示平面矢量,所以復數在這方面的應用是比較廣泛的,現舉例說明.復數在研究振動現象時的應用振動是工程中廣泛存在的一種運動現象,比較容易理解的是周期性振動,即經過一定時光間隔T后,重復前一時光間隔的運動過程.時光間隔T,叫做振動的周期.在周期振動中,最容易的一種是諧振動,其位移x和時光t的關系可表示為x其中位移的最大值A叫做振幅;周期T的倒數f=1T叫做頻率;圖20圖19一個振動質點的運動,可以用一個旋轉矢量表示.設矢量p(圖20)以勻角速ω按逆時針方向旋轉,其模為A,若以水平位置作為起點來計算時光,則矢量p在x軸和y軸上的投影為x這兩個投影表示式都和睦振動表示式一樣,因此,我們可以用旋轉矢量表示諧振動,只要這個矢量的模等于諧振動的振幅,矢量的旋轉角速度等于諧振動的角頻率就行了.例1一質點的運動規律是x=a解因為a則等式右邊兩項可以分離用矢量a和b的水平投影來表示.圖21按照合矢量投影定理,a和b的合矢量c在水平軸上的投影便是a和b在同一軸上投影的和.因此該點的運動可用合矢量c(圖21)在水平軸上的投影來表示.由圖21可求得cα合運動為x因為一個質點的諧振動可以用矢量來表示,所以也可用復數來表示。而倘若用復數表示,舉行數值計算是很方便的.我們依然看例1所提出的問題.質點的運動邏輯可以寫成x在復平面上(圖22),分離作出矢量a和b(其輻角分別為ωt與ωt?π2,模為a和b),其對應的復數分離為aeiω圖22用復數表示為x例2用復數表示正弦波S=Asinωt+解S===令c=12AeiS=例3用復數表示S=n=0NAnsinωn解S===(1)式中c0=若令ω?nS復數在研究力時的應用設力f,其大小為f,方向由角θ確定(圖23).力f的水平投影和鉛直投影分離為fx和fyf圖23或寫成復數的三角式與指數式ff它們之間的關系為fcos這樣,碰到力的問題,就可以應用復數來解決.例4支架由桿AB、AC構成.A、B、C三處都是鉸鏈.在A點作用有鉛垂力G.求在圖24a的情況下,桿圖24解選取坐標系如圖24b,以A為原點,令AC所受的壓力為f,fx表示桿Af=比較上式中復數的實部和虛部即得ff?f=因而桿AB的拉力為0.577G,桿AC所受的壓力為1.155例5一固定在墻壁上的圓環受三條繩索的拉力作用.P1沿水平方向,P2與水平線成40°角,P3沿鉛垂方向(圖25a),三力的大小分離為:P1=200圖25解選取坐標系如圖25b,則三力用復數表示為pp==p設三力的合力為p,則p==所以合力的大小為p==p的方向為θ=例6五力作用于一點(圖26),F圖26FFFF利用復數求該力系的合力.解設五力在x軸,y軸的分力分離為Fjx?,5)與Fiyj=Fx+F所以,合力的大小為F=Fθ由圖26可以知道coscoscoscoscosα5F?=+==F?=?=?合力的復數表示式為F合力的大小為F=?合力的方向為tgθ復數在研究速度問題時的應用應用復數來研究速度問題也是比較方便的.設速度為v,它的大小為v,輻角為θ.在水平方向和鉛直方向的兩個分速度為vx和vyv或表示成復數的三角表示式v從圖27可以知道,存在下列關系v圖27cossin要求θ,可用式子tg的取值,可參考sinθ,例7設流體在點Z=1v求其大小與方向.解流速大小為v=流速的方向為θ=例8機車以等速v0?20米/秒沿直線軌道行駛,機車車輪的半徑為1米.倘若機車車輪只滾動而不滑動,將輪緣上的點M在軌道上的起始位置取為坐標原點,并將軌道取為x軸,求解由解析幾何知點M的運動方程為x是一旋輪線(圖28).其中φ=v0tx圖28設M點的速度為vM,由運動方程便可得到它的水平與鉛直分速度分離vv則M點速度的復數表示式為v當M點所在的車輪直徑在水平位置時,MO′與x軸平行,φv=vMθ復數在電工學中的應用在電工學中,復數也是一個有力的工具,這里只講述它在交流電中的應用.因為需要的電工學的基礎知識較多,我們只能寫出結論.日常用的電源,有直流電和交流電兩種.交流電是由汽輪機帶動發電機中轉子上的線圈,在磁鐵形成的磁場里以均勻的速度轉動切割磁力線而產生的.交流電的電流和電壓都是隨著時光t的變化而變化著.在示波器上可以看到電壓隨時光變化的邏輯是正弦波形,寫成函數關系就是:U=Um.sinωt+φ,其中Um是電壓的最大值,ω是角頻率,φ是初相位.交流電的電流也是時光t的正弦函數i=Imsin(ωt正弦交流電路是指含有正弦電源的電路.分析與計算正弦交流電路主要是決定不同參數和不同結構的各種正弦交流電路中電壓與電流之間的關系和功率.這里舉幾個例子來說明復數在電工學中的應用.例9在圖29所示電路中,正弦交流電路ii圖29試求總電流i.解法1用三角函數式求解i==+=+我們知道,同頻率的兩個正弦量相加,得到的依然是一個同頻率的正弦量.設此正弦量為i則II因此,總電流i的幅值為I+總電流i的初相位為φ將已知的I1m=100安,I2mI==φ=故得i由此可見,用三角函數式計算,異常繁瑣。解法2用矢量求解按照已知條件,首先作出表示i1和i2的矢量I1m和圖30然后以j1m和j2m為兩鄰邊作一平行四邊形,其對角線即為總電流用矢量表示舉行加減,非常簡便,但直接從圖上去測量im解法3用復數運算求解I===+===其中j為虛數單位(這是為了避免電流i與虛數單位的混淆).由此看出,應用復數運算,可以把電流用復數表示,使運算變為代數運算,同時能求出電流的大小和相位,這在一些情況下是方便的.下面推薦一下歐姆定律的復數形式.在正弦交流電路中,電流、電壓的表示式為iuIm、Um分離為電流、電壓的最大值,偶爾也用電流、電壓的有效值i(1)u(這里I=1與(1)式中的電流i,電壓u相對應,它的復數表示式為I用上述復數形式表示正弦交流電路中電壓與電流,就可導出歐姆定律的復數形式.在純電阻交流電路中(圖31),電流i與電壓u為i圖31u電壓的有效值為U電流i的復數表示式為I電壓u的復數表示式為U由上式便得U或I這就是純電阻正弦交流電路中,歐姆定律的復數形式.同樣的研究,可得純電感電路中歐姆定律的復數形式U式中L為電感,ω為正弦交流電的角頻率.純電容電路中,歐姆定律的復數形式為U式中c為電容。普通地,用Z表示正弦交流電路中的復數阻抗,那么,正弦交流電路中的歐姆定律可以表示為I其中Z復雜電路中的復阻抗Z,可按照電工學中“并聯電路中總的復阻抗的倒數等于各支路復阻抗的倒數和”的邏輯,計算得到.例10在圖32所示的串聯電路中,電阻R=2(歐),電容c=10?3圖32解由電阻、電容串聯成的電路的復阻抗是電阻R與電容c產生的復阻抗的和,即Z將R=2Z=復電壓U=200I==因此i所以,電流的有效值為58.5安.例11用復數運算求圖33a與圖33b中電流i.解為方便起見,我們用復數的指數式來計算.圖33a中,已知電流源Is=2e?i0,電阻由電工學中的分流公式可得I圖33將已知數據代入上式,得I==圖33?b中,已知容抗xc=?j4Ω,感抗xL=由電工學中的分流公式可得I將已知數據代入上式可得i==2.復數在幾何方面的應用我們知道,解析幾何是用坐標法來處理問題的,因為復數可以用平面上的點或矢量表示,因而對解析幾何中的一些公式、定理以及平面幾何中的一些性質,我們也可應用復數來表示.盡管表達形式和推導主意有所不同,但實質是相同的.下面我們考察幾個例子.例1若z1+z2+z3=0證設復數z1、z2、z3O所以z1、z2、z3設z1、x(1)由方程的根與系數的關系可得圖34abc由假設知a且b======于是方程(1)可以寫作z又因為c故可設?所以z1、x的三個根,由此可得x=于是求得zzz由上面三式知∠所以△z1例2設兩個三角形的頂點為z1、z2、zz證如圖35圖35arg故α=同理α因為△z1zarg也就是兩復數z3?z將此等式用行列式表示就有z例3已知三角形的三頂點為z1、解令z1=xxx在實數范圍內,若三角形的三頂點為x1,y1、x△現以x、y與z的關系式代入上面行列式,即得以z1、z2、zΔ====例4在平行四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD和DA上,順次取E、F、G解如圖36,設AE和AH分離用復數z1和z2表示,則矢量CG和CF分離對應于復數?因為HE=AE?AH圖36與復數?z2?于是可得H所以EFG例5試求四點z1、z2、z3、z4共圓(或共直線)的充足須要條件;并以此驗證四點A圖37解因為四點z1、z2、z3和∠=而如圖37有∠=∠=于是arg即arg又當復數的輻角為π或零時,這個復數必為實常數,所以z即z這就是四點z1、z2、z3和下面驗證四點A、Bzzz==z因為四點共圓的充足須要條件為z而這里z===所以A、B下面我們舉例說明:怎樣用復數所滿意的方程(或不等式)來描述相宜某種幾何條件的點的軌跡(平面圖形).例6求銜接兩點z1及z2間的距離及線段z解如圖38.設圖38z則矢量z1z2對應于復數令d為點z1與z2d===這就是解析幾何中求兩點x1,y1及若在線段z1z2上任取一點O(1)這里λ為實數,且0≤λ將(1)式用復數表示為z(2)即z這就是線段z1z很顯然,經過已知點z1與z2z倘若在直線z1z2上z由此可知,三點z1、z2和z3z例7試證三點Aa,證已知三點A、O、Bz因為z==由例6知,復數z1、z2、z例8試求以原點為圓心,r為半徑的圓的方程及以z0≠0為圓心,解如圖39,在圓周上任取一點z,因為z的模等于r,所以以原點為圓心,r為半徑的圓的方程為z(1)圖39令z=xx或x(2)即解析幾何中以原點為圓心,r為半徑的圓的方程(2)和復數形式的方程(1)雖表面形式不同,但表示的軌跡是相同的.(1)是圓的方程的復數表達式;(2)是圓的直角坐標表達式.同樣,由兩點間的距離公式(例6)可得以z0≠0為圓心,z倘若欲將它變為直角坐標表達式,只要令z0=x即x在電力系統繼電保護中常用到下列兩種情況的圓的復數方程.例9試證一動點到兩定點的距離之比為一實常數的動點的軌跡是一圓.證選取坐標系如圖40.A、B圖40為z1=?c,zz現證z的軌跡是一個圓.事實上,因z=xx即x或x收拾可得x故知點z的軌跡是ck2+1k2例10求過原點的圓的復數方程(圖41).圖41解考察復數z或變動的矢量oz,設z變動使它的矢端劃出一個圓,并設oz0o或z(1)因oz⊥zz0,而iz或z(2)式(2)即為我們所求的圓的復數方程.例11設動點到兩定點4,0與?解設動點以z=xz此方程為這軌跡的復數方程.也可化為直角坐標方程。事實上,由x或x化簡即得x這是橢圓的標準方程,其長半軸為6,短半軸為25,焦點為?4,0和3.復數在代數方面的應用例1設ω=?1+i32.求證ω為三次方程x3?1并利用這些結果證實(1)1?ω(2)2+5證將ω=?1+i3x===故ω滿意該方程,所以ω是該方程的一個虛根.由方程根的性質知ω亦為該方程的一個虛根.而ω=也為已知方程的一個虛根;并且1==利用上述結果,我們有(1)?====(2)?==2==所以2利用復數求某些高次方程的根也是比較方便的,我們研究下面的例子.例2解方程x7+解因x7=所以x=k于是當k=0xxxxxxx例3解方程x8+解原方程可寫為x則x(1)對(1)式取正號,有x所以x==cos==當k=0,1xxxx對(1)式取負號得x所以x===當取k=0,1xxxx綜合起來得到已知方程的根為31例4求出1的n個n次方根,并求出這n個根的和.解因為1=cosn=故1的n個n次方根為1,?設n個根之和為SnS+=+設z=cosS=將z=cosS==即這n個根之和為0.4.復數在三角中的應用利用復數的三角表示式舉行復數的乘、除、乘方和開方的運算,異常方便.因為復數和三角函數之間的密切關系,復數在三角學中的應用也是較廣的,現在研究下面幾個問題.例1證實(1)cos=(2)sin=證令z=cosz=+=+=?+=++=++(1)(1)式中,z==+=+2=?=++?(2)因為(1)式及(2)式右邊兩個復數應相等,因而其實部和實部必相等,即2=+=+==由此便得cos=(3)即第一個等式得證.又因為sin==利用(3)式得sin==即第二個等式得證.例2設n為正整數,當θ不是2π(1)1+cos（2）sinθ+解令z=cosθ+isin1以z=cos1+=即1+=即1+======比較上面等式的兩邊,實部與實部、虛部與虛部分離相等,便求得其和為1=sin=我們還可以應用復數推廣三角學中的一些公式.例3將sinnθ,cosnθ(n為正整數)分離用sin解將德·莫弗公式cos的左邊利用二項式定理展開:cos=+++=+-由上面兩式得cos=+-比較實部和虛部便得sin-cos這就是三角學中倍角公式的推廣.應用上面兩個公式,還可以求出tgnθ用tgθtg?cos用cosnθtg這就是正切的倍角公式的推廣.例4將sin8x,cos6x用sinx、cosx解按照上題推出的公式,可得sin+?=+cos+?=?tg=三、復變函數初步我們引進了復數的概念和運算之后,加深了對數的概念的認識,但在天然科學和工程技術中需要研究復變數之間的互相依賴關系.而研究復變數之間的互相依賴關系就是復變函數的主要內容.它是解決理論物理、彈性理論、天體力學、流體力學、電磁學等的有力工具.復變函數中的許多概念、理論和主意是實變函數在復數領域內的推廣和發展,因而它們之間有許多相似之處.復變函數是數學的一個分支,本書不決定詳細闡述,只是容易推薦一下復變函數在我們現有的知識中,可以控制的某些初步知識.1.復變函數的概念設有兩個復變數z=x+iy與w=u+iv,G是復數z的一個集合.倘若對于G中每一復數z,按照一定的法則有一個或多個復數值w(1)倘若對于G中每一個復數z,僅有一個復數w與其對應,則稱w=fz為單值函數;倘若有兩個或兩個以上復數w與其對應,則稱w=fz為多值函數.G除異常聲明外,在下面的研究中,總假定G是一個區域,fz因為給定了復數z相當于給定了兩個實數x和y,而復數w=u+iv也同樣對應著兩個實數u和v,所以復變函數w和自變量zu它們決定了自變量為x,y的兩個二元實函數.反之,若給定了兩個二元實函數u=ux,y和v=vx,y例如,w=fz=z2w即u從而u再如,w=fz=1z入,便得w=即u從而u2.映射在研究函數性質時,我們常常把函數用幾何圖形表示出來(例如把一元單值函數用平面上的曲線表示),這些圖形常給我們無數直觀的協助.為了給出復變函數的幾何解釋,以協助我們直觀地理解和研究函數的性質,我們常常借助于兩個復平面:z平面和w平面.倘若用z平面上的點表示自變量z的值,用w平面上的點表示函數w的值,則函數w=fz在幾何上就可以看作是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集D(函數值的集合)的一個映射(或變換).這個映射簡稱為由函數W=fz所構成的映射.倘若G中的點z被w=fz映射成D中的點w,則稱w為z倘若w=fz是單值的,則對于G中的每一個點z,都可以在D中找到唯一的一點w與其對應;反過來,對于D中的每一個點w,我們也可以在G中找到一個或多個點被映射為點w.這樣,集合D中的每一個點將對應著集合G中的一個或多個點.按照函數的定義,這種對應關系,在D上決定了一個函數z=φw,它稱為函數w=fz的反函數,或映射w=fz例1考察函數w=z所這個映射把z平面上的點z=a+ib映射成w平面上的點w=z=a?圖42倘若把z平面和w平面重疊在一起,則函數w=z構成了關于實軸的一個對稱映射.通過映射w例2考察函數w=1z由函數w=1zw(1)為了用幾何主意從z作出w,我們引進關于已知圓周的一對對稱點的概念.設C為以原點O為中央,以R為半徑的圓周,倘若兩個點P與P′都在以圓心OO(2)或O則稱P與P′關于圓周C是對稱的.圖43給出了對稱點的幾何作圖法.即通過P點作OP的垂線與圓周C交于點A圖43點A作圓周C的切線與OP射線交于P′,則P′就是P關于圓周C設z=rw若將w平面、ξ平面與z平面重合起來研究,容易看出w與ξ關于實軸對稱(參看例1).而ξ與z具有相同的輻角θ,即它們位于自原點為起點的同一射線上(圖44),并且它們的模的乘積等于1,即圖44ξ因而點ξ=1z與點z關于單位圓周是對稱的.于是倒數變換w=（1）關于單位圓的對稱變換ξ=1（2）關于實軸的對稱變換w=ζ由(2)可知,當OP→O時,OP′→∞,為方便起見,我們在z平面上引進一個無窮遠點,記作z=∞這樣,倒數變換可以將單位圓內的所有點都變到單位圓外(將z=0變為w=∞);將單位圓外的所有點都變到單位圓內(將z=∞我們還要指出,倒數變換w=1z圓).事實上,設z=xw得u或x(3)對z平面上的任一圓周,設其方程為a(4)其中a、b將(3)代入(4),得象曲線的方程為d(5)這說明倒數變換確實將圓變為圓.異常,它將過原點的直線a=0,d=0變為過原點的直線;將不過原點的直線(a=0例如,將與y軸平行的直線x=k≠0變為與u即u(6)將與x軸平行的直線y=k′≠0?即u圖45例3試求函數w=1z將z平面上的下列曲線變成w平面上的曲線:(1)x2+y2=4解設z=x（1）由式(4)知,對x2+y2=4,有a=1,b=c=0,d=-4.由式(5)可得函數w=（2）x?12+y2=1可化為由式(5)可得函數w=1z將z平面上的圓變成的曲線?2u+1=0（3）x=1,即k=1,由式(6)可得函數w=1z將z平面上的直線x=1u現在我們考察函數w=az+bcz+d所決定的映射.其中a、b、c、d均為復常數,且ad?由分式線性函數w=az為了便于研究分式線性映射,首先研究幾種異常情形,并將w平面與z平面重合起來研究.(i)函數w=z+b(其中b因為復數相加可以化為矢量相加,所以在變換w=z+b之下,z沿著矢量b的方向平行移動距離b就得到w圖46(ii)函數w=az(其中a設y=rw圖47因此,把z先旋轉一個角度α,再將z=r伸長(或縮短)λ倍后,就得到w任一平面圖形經旋轉后,其形狀和大小都不發生變化,但經過相似變換后形狀就要改變.例如,經過相似變換后便將z平面上以z0為中央,R為半徑的圓z?z0=R,變為w平面上以w0=az0為中央,以λR為半徑的圓現在,我們研究分式線性變換的情形.當c=0,d≠0w這是一個整線性變換,可以看作是平移變換w=ξ旋轉與相似變換ξ的合成.當c≠0時,則ww這可看成是三個變換:整線性變換?w=倒數變換t整線性變換ζ的合成。綜上所述,分式線性變換w=az+bcz+d總可以分解成兩種容易類型的變換w=分式線性變換除了保圓性之外,還有其他性質。例如保對稱性(即若點z1、z2是關于圓周C的一對對稱點,則在分式線性變換下,它們的象w1、w2也是關于圓周C若分式線性變換將擴充了的復平面z(包括點z=∞的復平面z)上三個相異的點z1、z2、w(5)下面加以證實.設所求的分式變換為w則依條件,