祖暅原理及應用一．基本原理1.背景原理：我國南北朝時期的數學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.反之，這個結論不成立，例如，設為正方體，其棱長為，體積為，為長方體，底面為邊長為的正方形，高為，顯然在等高處的截面面積不相等.2.計算步驟（計算不規則幾何體體積）根據上述原理，在計算某個不規則幾何體的體積時，第一步可以先算出這個幾何體任意一個平行于上下底面（平行）的截面，其面積為，第二步是構造一個規則幾何體，它的任意一個平行于上下底面（平行）的截面的面積也為，最后，讓這兩個幾何體等高，即可求得不規則幾何體的體積.3.推廣（計算曲邊圖形的面積）即夾在兩條平行線間的兩個平面圖形被任意一條平行于這兩條直線的直線截得的線段總相等，則這兩個平面圖形面積相等.證明：用定積分很容易證，假設平行線段分別為，上下邊分別為：，倘若，則，故只需找一個高為的梯形即可算得.舉個例子來說明：計算函數、與直線、所圍成的圖形的面積.由于、與直線，所圍成的圖形的面積是：，則曲線圍成的圖形的面積為1.二．典例分析例1．（2023屆徐州高三上期調研考試）早在南北朝時期，祖沖之和他的兒子祖暅在研究幾何體的體積時，得到了如下的祖暅原理：冪勢既同，則積不容異.這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.將雙曲線：與，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉一周得到如圖所示的幾何體，其中線段OA為雙曲線的實半軸，點B和C為直線分別與雙曲線一條漸近線及右支的交點，則線段BC旋轉一周所得的圖形的面積是__________，幾何體的體積為__________.解析：由雙曲線得，則漸近線方程為所以，則；又，則則線段旋轉一周所得的圖形的面積為：；因為被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總想等，又雙曲線的實半軸，此時截面面積為所以根據祖暅定理可得：幾何體的體積為；故答案為：；.一般情形：雙曲線，漸近線，與直線所圍成的平面圖形饒軸旋轉一周得到的幾何體體積為：.易證，略去！例2．《九章算術》中記載了我國古代數學家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積暅相等，則它們的體積相等．已知雙曲線，若雙曲線右焦點到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為______．解析：由題意知：漸近線方程為，右焦點為，，由得：；由得：，陰影部分繞軸旋轉一周所得幾何體的體積，即，，即，，解得：，.故答案為：.例3．（經典題）我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線，直線為曲線在點處的切線，如圖，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得到的幾何體為．給出四個幾何體：圖①是底面直徑和高均為1的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長和高均為1的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為2，下底面直徑為1，高為1的圓臺挖掉一個底面直徑為2，高為1的倒置圓錐得到的幾何體．根據祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積不相等的是______．解析：由題意，幾何體是由陰影部分旋轉一周得到，其橫截面為環形，設陰影部分等高處，拋物線對應的點的橫坐標為，切線對應的點的橫坐標為，設直線為，與聯立，得，由，解得，所以曲線C在點處的切線方程為，所以，，所以幾何體在等高處的橫截面面積.圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，易知該圓錐可由直線繞y軸旋轉得到，其橫截面面積，所以幾何體和圖①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以它們的體積相等，且圓錐的體積為；圖②中的圓柱、圓錐高均為1，底面半徑為，則該幾何體的體積為，所以與幾何體的體積不相等；圖③是底面邊長和高均為1的