第03講正比例函數課程標準學習目標①正比例函數的定義②正比例函數的圖像與性質③正比例函數的解析式掌握正比例函數的定義，能夠準確的判斷正比例函數以及根據定義求值。掌握正比例函數的圖像與性質，并能夠熟練的運用圖像與性質解決相應的題目。掌握待定系數法求正比例函數的解析式。知識點01正比例函數的定義正比例函數的定義：一般地，形如的函數叫做正比例函數。其中，叫做比例系數。注意：①自變量系數不能為0。②自變量次數一定是1。③正比例函數解析式中，自變量后面為0。【即學即練1】1．下面各組變量的關系中，成正比例關系的有（）A．人的身高與年齡 B．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度 C．正方形的面積與它的邊長 D．圓的周長與它的半徑【分析】判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例．【解答】解：A、人的身高與年齡不成比例，故此選項不符合題意；B、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關系，故此選項不符合題意；C、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例，故此選項不符合題意；D、圓的周長與它的半徑成正比例關系，故此選項符合題意；故選：D．【即學即練2】2．在下列函數中，正比例函數是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x D．y＝2x2+1【分析】根據正比例函數的概念即可得出正確的答案．【解答】解：A．y＝2x﹣1不是正比例函數，故該選項不符合題意；B．y＝﹣2x+1不是正比例函數，故該選項不符合題意；C．y＝2x是正比例函數，故該選項符合題意；D．y＝2x2+1不是正比例函數，故該選項不符合題意．故選：C．【即學即練3】3．若函數y＝﹣xa﹣3+b﹣1是關于x的正比例函數，則a+b的平方根為．【分析】根據正比例函數的基本形式y＝kx（k為常數），求出a，b的值，再求平方根即可．【解答】解：∵數y＝﹣xa﹣3+b﹣1是關于x的正比例函數，∴a﹣3＝1，b﹣1＝0，∴a＝4，b＝1，∴a+b的平方根為，故答案為：．知識點02正比例函數的圖像與性質正比例函數的圖像與性質：的取值經過象限大致圖像隨的變化情況一、三隨的增大而增大二、四隨的增大而減小正比例函數的圖像是必經過原點的一條直線。在畫正比例函數圖像時，還需確定除原點外的另一個點即可。【即學即練1】4．下列關于正比例函數y＝3x的說法中，正確的是（）A．當x＝3時，y＝1 B．它的圖象是一條過原點的直線 C．y隨x的增大而減小 D．它的圖象經過第二、四象限【分析】根據正比例函數的性質對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、當x＝3時，y＝9，故本選項錯誤；B、∵直線y＝3x是正比例函數，∴它的圖象是一條過原點的直線，故本選項正確；C、∵k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，故本選項錯誤；D、∵直線y＝3x是正比例函數，k＝3＞0，∴此函數的圖象經過一三象限，故本選項錯誤．故選：B．知識點03正比例函數解析式待定系數法求函數解析式具體步驟：①設：設正比例函數解析式。②帶：把已知點帶入函數解析式中，得到關于未知系數的方程。③解方程：解步驟②中得到的方程，得到比例系數的值。④反帶：將求得的比例系數帶入函數解析式即可【即學即練1】5．已知y與x成正比例，且當x＝﹣6時，y＝2．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）設點（a，﹣3）在這個函數的圖象上，求a的值．【分析】（1）設y＝kx，然后把當x＝﹣6，y＝2代入求出k即可；（2）把（a，﹣3）代入（1）中的解析式可得到a的值．【解答】解：（1）設y＝kx，∵當x＝﹣6時，y＝2，∴2＝﹣6k，解得k＝﹣，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x；（2）把（a，﹣3）代入y＝﹣x得﹣3＝﹣a，解得a＝9，即a的值為9．題型01判斷正比例函數【典例1】下列函數中是正比例函數的是（）A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5【分析】利用正比例函數定義進行解答即可．【解答】解：A、y＝﹣7x是正比例函數，故此選項符合題意；B、y＝是反比例函數，故此選項不合題意；C、y＝2x2+1是二次函數，故此選項不合題意；D、y＝0.6x﹣5是一次函數，故此選項不合題意；故選：A．【變式1】下列關系中，屬于成正比例函數關系的是（）A．正方形的面積與邊長 B．三角形的周長與邊長 C．圓的面積與它的半徑 D．速度一定時，路程與時間【分析】分別得出各個選項中的兩個變量的函數關系式，進而確定是正比例函數．【解答】解：正方體的面積是邊長的平方，即：S＝a2，因此A選項不符合題意；三角形的周長＝三邊之和，變量不止一個，因此B選項不符合題意；圓的面積S＝πr2，S是r的二次函數，因此C選項不符合題意；路程＝速度×時間，因此選項D符合題意；故選：D．【變式2】x、y是兩種相關聯的量，下面（）中的x、y成正比例關系．A． B． C．x+y＝10 D．【分析】直接利用正比例函數的定義分析得出答案．【解答】解：A、y＝x，x、y成正比例關系，故此選項符合題意；B、＝，則xy＝12，即y＝，x和y成反比例關系，故不符合題意；C、x+y＝10，x和y不成正比例關系，故此選項不符合題意；D、y＝，x和y成反比例關系，故此選項不符合題意．故選：A．題型02根據正比例函數的定義求值【典例1】若函數y＝﹣2x+m是關于x的正比例函數，則m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據正比例函數的定義，求出m的值即可．【解答】解：∵函數y＝﹣2x+m是正比例函數，∴m＝0，故選：B．【變式1】若函數y＝x+1﹣m是正比例函數，則m的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根據正比例函數的定義得出關于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵函數y＝x+1﹣m是正比例函數，∴1﹣m＝0，解得m＝1．故選：B．【變式2】若函數y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函數，則（）A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2【分析】根據正比例函數的定義可知k+1≠0，b﹣2＝0，從而可求得k、b的值．【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函數，∴k+1≠0，b﹣2＝0．解得k≠﹣1，b＝2．故選：D．【變式3】若函數y＝x+k2﹣1是正比例函數，則k的值為（）A．﹣1 B．0 C．2 D．±1【分析】根據正比例函數的概念和一般形式可得出關于k的式子，即可得出k的值．【解答】解：∵y＝x+k2﹣1，∴k2﹣1＝0，解得：k＝±1；故選：D．【變式4】若函數y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函數，則k的值是（）A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D．【分析】根據正比例函數的定義得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可．【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函數，∴k+2≠0且k2﹣4＝0，解得：k＝2．故選：C．【變式5】若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是關于x的正比例函數，則a2023的值為﹣1．【分析】利用正比例函數的定義分析得出a，再代入計算即可求解．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是關于x的正比例函數，∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，∴a2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案為：﹣1．題型02正比例函數的圖像與性質【典例1】已知正比例函數y＝kx（k是常數，k≠0），y隨x的增大而增大，寫出一個符合條件的k的值1（答案不唯一）．【分析】根據正比例函數的增減性可知k＞0，寫出符合條件的k的值即可．【解答】解：∵正比例函數y＝kx（k是常數，k≠0），y隨x的增大而增大，∴k＞0，∴k的值可以為1．故答案為：1（答案不唯一）．【變式1】已知正比例函數y＝kx，當x每增加1時，y減少2，則k的值為（）A． B． C．2 D．﹣2【分析】根據題意可得：y﹣2＝k（x+1），再求解即可．【解答】解：∵正比例函數y＝kx，當x每增加1時，y減少2，∴y﹣2＝k（x+1），即y﹣2＝kx+k，∴k＝﹣2．故選：D．【變式2】正比例函數y＝ax的圖象經過第一、三象限，則直線y＝（﹣a﹣1）x經過（）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【分析】根據正比例函數y＝ax的圖象經過一、三象限，可以得到a＞0，從而可以得到﹣a﹣1＜0，再根據正比例函數的性質，即可得到直線y＝（﹣a﹣1）x經過的象限．【解答】解：∵正比例函數y＝ax的圖象經過一、三象限，∴a＞0，∴﹣a﹣1＜0，∴直線y＝（﹣a﹣1）x經過第二、四象限，故選：C．【變式3】已知正比例函數y＝（﹣k2﹣2）x，那么它的圖象經過（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【分析】首先確定比例系數的符號，然后再由正比例函數的性質求解即可．【解答】解：∵﹣k2﹣2＜0，∴圖象過二、四象限．故選：C．【變式4】對于正比例函數y＝3x，當2≤x≤4時，y的最大值等于12．【分析】先根據題意判斷出函數的增減性，進而可得出結論．【解答】解：∵正比例函數y＝3x中，k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，∵2≤x≤4，∴當x＝4時，y最大＝3×4＝12．故答案為：12．【變式5】若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y關于x的正比例函數，如果點A（m，a）和點B（﹣m，b）在該函數的圖象上，那么a和b的大小關系是（）A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b【分析】利用正比例函數的定義可求出m值，進而可得出正比例函數解析式，由k＝﹣4＜0，利用正比例函數的性質可得出y隨x的增大而減小，再結合m＜﹣m，即可得出a＞b．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y關于x的正比例函數，∴，∴m＝﹣2，∴正比例函數的解析式為y＝﹣4x．∵k＝﹣4＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點A（m，a）和點B（﹣m，b）在該函數的圖象上，且m＜﹣m，∴a＞b．故選：B．題型02利用待定系數法求正比例函數解析式【典例1】已知正比例函數y＝kx的圖象經過點（2，4），k的值是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．1【分析】把點（2，4），代入正比例函數y＝kx，求出k的數值即可．【解答】解：把點（2，4），代入正比例函數y＝kx得4＝2k，解得k＝2．故選：C．【變式1】已知y與x成正比例且當x＝2時，y＝4．（1）求y與x之間的函數表達式；（2）當y＝2時，x的值是多少？【分析】（1）利用待定系數法求正比例函數解析式即可；（2）利用（1）中解析式計算函數值為2所對應的自變量的值即可；【解答】解：（1）設y＝kx（k≠0），將x＝2，y＝4代入得：4＝2k，k＝2，∴y＝2x；（2）當y＝2時，2＝2x，x＝1，∴當y＝2時，x的值為1．【變式2】已知：如圖，正比例函數y＝kx的圖象經過點A，（1）請你求出該正比例函數的解析式；（2）若這個函數的圖象還經過點B（m，m+3），請你求出m的值．【分析】（1）把點A的坐標代入y＝kx中求出k即可；（2）把點B（m，m+3）代入（1）中的解析式得到關于m的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入y＝kx得﹣k＝2，解得k＝﹣2，∴正比例函數解析式為y＝﹣2x；（2）將點B（m，m+3）代入y＝﹣2x得﹣2m＝m+3，解得m＝﹣1即m的值為﹣1．【變式3】已知y＝y1+y2，y1與x成正比例，y2與x﹣3成正比例，當x＝﹣1時，y＝4；當x＝1時，y＝8，求y與x之間的函數關系式．【分析】根據題意設y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），從而可得y＝k1x+k2（x﹣3），然后把x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入聯立方程組，進行計算即可解答．【解答】解：設y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），則y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3），由題意得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為：y＝4x﹣2（x﹣3），即y＝2x+6，∴y與x之間的函數關系式為：y＝2x+6．【變式4】已知y＝y1﹣2y2中，其中y1與x成正比例，y2與（x+1）成正比例，且當x＝1時，y＝3；當x＝2時，y＝5．（1）求y與x的函數關系式；（2）若點（a，3）在這個函數圖象上，求a的值．【分析】（1）y1與x成正比例，可設y1＝k1x，y2與（x+1）成正比例，可把x+1看成一個整體，設y2＝k2（x+1），利用待定系數法即可求解；（2）把x＝a，y＝3代入解析式解答即可．【解答】解：（1）設y1＝k1x，y2＝k2（x+1），則y＝k1x﹣2k2（x+1），根據題意得，解得：．∴y＝x﹣2×（﹣）（x+1）＝2x+1；（2）把x＝a，y＝3代入解析式y＝2x+1，可得：2a+1＝3，解得：a＝1．1．正比例函數y＝﹣3x的圖象經過（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【分析】根據正比例函數y＝kx（k≠0）k的符號即可確定正比例函數y＝﹣3x的圖象經過的象限．【解答】解：在正比例函數y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函數y＝﹣3x的圖象經過第二、四象限，故選：B．2．下列函數（其中x是自變量）中，一定是正比例函數的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝﹣3x+2 D．y＝kx【分析】根據正比例函數、一次函數、反比例函數的定義對各小題進行逐一判斷即可．【解答】解：A、y＝是反比例函數；B、y＝是正比例函數；C、y＝﹣3x+2是一次函數；D、當k＝0時，不是正比例函數．故選：B．3．點A（1，m）在函數y＝2x的圖象上，則m的值是（）A．1 B．2 C． D．0【分析】用代入法即可．【解答】解：把x＝1，y＝m代入y＝2x，解得：m＝2．故選：B．4．已知函數y＝（m+1）x是正比例函數，且圖象在第二、四象限內，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣【分析】根據正比例函數的定義，正比例函數的性質，可得答案．【解答】解：由題意，得m2﹣3＝1，且m+1＜0，解得m＝﹣2，故選：B．5．已知函數y＝kx（k≠0，k為常數）的函數值y隨x值的增大而減小，那么這個函數圖象可能經過的點是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【分析】由函數y＝kx（k≠0，k為常數）的函數值y隨x值的增大而減小，可得出k＜0，進而可得出正比例函數y＝kx（k≠0，k為常數）的圖象經過第二、四象限，再對照四個選項即可得出結論．【解答】解：∵函數y＝kx（k≠0，k為常數）的函數值y隨x值的增大而減小，∴k＜0，∴正比例函數y＝kx（k≠0，k為常數）的圖象經過第二、四象限，∴這個函數圖象可能經過的點是（﹣2，4）．故選：C．6．若函數y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函數，則k的值為（）A．0 B．2 C．±2 D．﹣2【分析】根據正比例函數的定義得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可．【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4中，y是x的正比例函數，∴k+2≠0且k2﹣4＝0，解得：k＝2，故選：B．7．已知正比例函數的圖象如圖所示，則這個函數的關系式為（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3【分析】首先根據圖象是經過原點的直線可得此函數是正比例函數，故設解析式為y＝kx（k≠0），把圖象所經過的點（3，﹣3）代入設出的函數解析式，計算出k的值，進而得到函數解析式．【解答】解：設函數解析式為y＝kx（k≠0），∵圖象經過（3，﹣3），∴﹣3＝k×3，解得k＝﹣1，∴這個函數的關系式為y＝﹣x，故選：B．8．已知點P（m，0）在x軸負半軸上，則函數y＝mx的圖象經過（）A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限【分析】根據題意得出m＜0，繼而根據正比例函數圖象的性質即可求解．【解答】解：∵點P（m，0）在x軸負半軸上，∴m＜0，∴函數y＝mx的圖象經過二、四象限，故選：A．9．已知y＝（2m﹣1）x是正比例函數，且y隨x的增大而減小，那么這個函數的解析式為（）A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x【分析】根據正比例函數的定義和性質列出關于m的不等式組，求出m的值即可．【解答】解：由題意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0，解得m＝±2，且，∴m＝﹣2．∴y＝﹣5x．故選：A．10．若函數y＝kx的圖象上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），當x1＞x2時，y1＜y2，則k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】利用正比例函數的增減性求出k的取值范圍，結合選項即可得到答案．【解答】解：∵正比例函數y＝kx圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＞x2時，y1＜y2，∴y隨x的增大而減小，∴k＜0，結合選項，四個選項中只有﹣2在k＜0的范圍內．故選：A．11．如果函數y＝（m+2）x|m|﹣1是正比例函數，則m的值是2．【分析】根據正比例函數的定義可得關于m的方程，解出即可．【解答】解：由正比例函數的定義可得：m+2≠0，|m|﹣1＝1，∴m＝2．故填2．12．函數（m為常數）中，y的值隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是m．【分析】根據正比例函數性質解答即可．【解答】解：∵y＝kx，k＜0時，y的值隨x的增大而減小，∴＜0，即2m﹣3＜0，解得m．故答案為：m．13．已知y與x+1成正比例，當x＝1時，y＝4，則當x＝2時，y的值是6．【分析】設y＝k（x+1）（k≠0），把x＝1，y＝4代入并求得k的值；然后求當x＝2時所對應的y的值即可．【解答】解：設y＝k（x+1）（k≠0），把x＝1，y＝4代入，得k×（1+1）＝4．解得k＝2．所以當x＝2時，y＝2（2+1）＝6．故答案為：6．14．已知正比例函數y＝（m+1）x+m2﹣4，若y隨x的增大而減小，則m的值是﹣2．【分析】先根據正比例函數的定義列出關于m的方程，求出m的值，再根據此正比例函數y隨x的增大而減小即可求出m的值．【解答】解：∵函數y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函數，∴m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵y隨x的增大而減小，∴m+1＜0，∴m＜1，∴m＝﹣2，故答案為：﹣2．15．在同一坐標系中，如圖所示，一次函數y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的圖象分別為l1，l2，l3，l4，則k1，k2，k3，k4的大小關系是k3＞k4＞k1＞k2．【分析】想知道k之間的大小關系，圖中又無其他信息，對此我們可以自己找點來近似的估計k值，如可近似估計四條線上的各一個異于（0，0）的點，然后代入求出k1、k2、k3、k4．再比較即可．【解答】解：把x＝1代入y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x中，可得：k3＞k4＞k1＞k2．故答案為：k3＞k4＞k1＞k2．16．已知y關于x的函數y＝4x+m﹣3．（1）若y是x的正比例函數，求m的值；（2）若m＝7，求該函數圖象與x軸的交點坐標．【分析】（1）根據正比例函數的定義即可得出m的值；（2）當m＝7時，函數為一次函數，令y＝0，即可得出圖象與x軸的交點坐標．【解答】解：（1）∵y是x的正比例函數，∴m﹣3＝0，解得m＝3．故m的值為：3．（2）當m＝7時，該函數的表達式為y＝4x+4，令y＝0，得4x+4＝0，解得x＝﹣1，∴當m＝7時，該函數圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0）．17．已知：函數y＝（b+2）x且y是x的是正比例函數，5a+4的立方根是4，c是的整數部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+c的平方根．【分析】（1）根據正比例函數的定義、立方根、估算無理數的大小確定a、b、c的值；（2）把（1）中a，b，c的值代入計算求得2a﹣b+c，進而即可求得2a﹣b+c的平方根．【解答】解：（1）∵函數y＝（b+2）x且y是x的是正比例函數，∴，∴b＝2，∵5a+4的立方根是4，∴5a+4＝43，∴a＝12，∵c是的整數部分，∴c＝3；（2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，則2a﹣b+c的平方根為±5．18．已知y關于x的函數y＝（2m+6）x+m﹣3，且該函數是正比例函數．（1）求m的值；（2）若點（a，y1），（a+1，y2）在該函數的圖象上，請直接寫出y1，y2的大小關系．【分析】（1