第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年普通高中高考數(shù)學(xué)三診試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，則下列關(guān)系正確的是(

)A.A=B B.A?B C.B?A D.A∩B=?3.從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位數(shù)為(

)A.3 B.3+x2 C.8 D.4.二項(xiàng)式(a+b)n(n∈N?)展開(kāi)式的第rA. B. C. D.5.將函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，則“φ=3π8”是“函數(shù)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知a是單位向量，向量滿足b?a與a成角60°，則|b|的取值范圍是A.(12,+∞) B.(337.已知直線y=ax?a與曲線y=x+ax相切，則實(shí)數(shù)a=(

)A.0 B.12 C.45 8.已知n棱柱(n∈N?,n≥3)的所有頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則當(dāng)該棱柱的體積最大時(shí)，其上下底面之間的距離為A.63 B.255 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長(zhǎng)度的是(

)A.a，b，γ

B.α，β，γ

C.a，β，γ

D.α，β，b10.對(duì)于數(shù)列{an}，若a1=1，A.a4=3 B.數(shù)列{an}是等差數(shù)列

C.數(shù)列11.已知函數(shù)f(x)=cosx+sin2x，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的最小正周期是π B.?x0∈R，使

C.在[0,2π]內(nèi)f(x)有4個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)12.函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的x，y∈R均滿足：，f(1)=2，則(

)A.f(0)=0 B.f(2)=8

C.f′(1)=4 D.三、填空題（本大題共2小題，共10.0分）13.已知隨機(jī)變量X～N(6,σ2)，若，則P(X>4)=______．14.已知x，y>0，且2x?y=1，則x+1y的最小值為_(kāi)_____．四、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.(本小題5.0分)

過(guò)直線x+y+1=0上任一點(diǎn)P作直線PA，PB與圓x2+y2?2x=0相切，A，B為切點(diǎn)，則16.(本小題5.0分)

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____．17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)18.(本小題12.0分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．

(1)求a2+c2b2；

(2)若cosB=19.(本小題12.0分)

如圖，四面體ABCD的頂點(diǎn)都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，球心O到底面的距離為1．

(1)求球O的表面積；

(2)求二面角B?AC?D的余弦值．20.(本小題12.0分)

投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國(guó)傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，投壺禮來(lái)源于射禮.投壺的橫截面是三個(gè)圓形，投擲者站在距離投壺一定距離的遠(yuǎn)處將箭羽投向三個(gè)圓形的壺口，若箭羽投進(jìn)三個(gè)圓形壺口之一就算投中.為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某次文化活動(dòng)進(jìn)行了投壺比賽，比賽規(guī)定投進(jìn)中間較大圓形壺口得3分，投進(jìn)左右兩個(gè)小圓形壺口得1分，沒(méi)有投進(jìn)壺口不得分.甲乙兩人進(jìn)行投壺比賽，比賽分為若干輪，每輪每人投一支箭羽，最后將各輪所得分?jǐn)?shù)相加即為該人的比賽得分，比賽得分高的人獲勝.已知甲每輪投一支箭羽進(jìn)入中間大壺口的概率為13，投進(jìn)入左右兩個(gè)小壺口的概率都是16，乙每輪投一支箭羽進(jìn)入中間大壺口的概率為14，投進(jìn)入左右兩個(gè)小壺口的概率分別是15和16，甲乙兩人每輪是否投中相互獨(dú)立，且兩人各輪之間是否投中也互相獨(dú)立.若在最后一輪比賽前，甲的總分落后乙1分，設(shè)甲最后一輪比賽的得分為X，乙最后一輪比賽的得分為Y．

(1)求甲最后一輪結(jié)束后贏得比賽的概率；

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，左頂點(diǎn)為D，△ABD是面積為3的正三角形．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C外一點(diǎn)M(m,0)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)Q′關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PQ′22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=kx，g(x)=klnx，．

(1)求曲線y=f(x)?g(x)在x=1處的切線方程；

(2)求使得f(x)≥?(x)≥g(x)在x∈(0,+∞)上恒成立的k的最小整數(shù)值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?3,?4)在第三象限．

故選：C．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】B

【解析】解：A={1}，，∴A?B．

故選：B．

直接求出集合A，B，從而看出它們之間的關(guān)系．

本題考查集合間的基本關(guān)系，屬容易題．

3.【答案】D

【解析】解：∵12×75%=9，

∴該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為．

故選：D．

由百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解即可．

本題考查總體百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?a+b)n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=Cnran?rbr，

則第r項(xiàng)系數(shù)為，

第r+1項(xiàng)系數(shù)為，

所以．

故選：B．

根據(jù)二項(xiàng)式(a+b5.【答案】A

【解析】解：將函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，

當(dāng)φ=3π8時(shí)，g(x)=2sin(2x?π2)=?2cos2x，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，故充分性成立．

當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，?2φ+π4=kπ+π2，k∈Z，

即，k∈Z，不能推出φ=3π8，故必要性不成立．

綜上，“φ=6.【答案】C

【解析】解：作OA=a,OB=b，則AB=b?a，如圖，

，

，b?a與a成角60°，且b≠a，∴B點(diǎn)在射線AB上，

，

∴|b|的取值范圍為：(1,+∞)．

故選：C．

可作7.【答案】C

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為，

由y=x+ax，得y′=1?ax2，

，解得．

∴a的值為45．

故選：C．

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)y=x+a8.【答案】C

【解析】解：由選項(xiàng)可知，棱柱上下底面之間的距離與棱數(shù)無(wú)關(guān)，只與棱柱外接球的半徑有關(guān)，為具體值．

故不妨以正三棱柱為例：

設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則底面中心O到A的距離為．

∴棱柱的高．

∴正三棱柱的體積

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2時(shí)取等號(hào)．

此時(shí)．

故選：C．

由題設(shè)可取特例，不妨取球內(nèi)接正三棱柱，設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，用a表示三棱柱的底面邊長(zhǎng)和高，得出三棱柱的體積關(guān)于a的函數(shù)，再由基本不等式求最值，則答案可求．

本題考查球及其內(nèi)接多面體體積的應(yīng)用，取特例是關(guān)鍵，是中檔題．

9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知，可求得c，即A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理可知，即C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得，即D正確；

故選：ACD．

由正、余弦定理即可判定．

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于數(shù)列{an}，已知a1=1，，①

則an+1+an+2=2(n+1)，②

由②?①可得：an+2?an=2，

又a2=2?a1=1，

即數(shù)列{a2n?1}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{a2n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

則a2n?1=1+2(n?1)=2n?1，，

對(duì)于選項(xiàng)A，，即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，a1=a2=1，a3=3，，∴數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，數(shù)列{a2n?1}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即選項(xiàng)11.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)椋?/p>

由此分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，因?yàn)椋琭(x)的最小正周期不是π，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，，，則有f(π6)>f(π4)，B正確；

對(duì)于C，若f(x)=0，則，即cosx=0或sinx=?12，

在[0,2π]上，f(x)的零點(diǎn)有π2、3π2、7π6、11π6，共4個(gè)，C正確；

對(duì)于D，函數(shù)f(x)=cosx+sin2x，則，

則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2,0)對(duì)稱，D正確．12.【答案】ABD

【解析】解：令y=1，得，代入f(1)=2，得，

當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)，，

所以，

所以，

所以，又當(dāng)x=1時(shí)，也符合題意，

所以，

當(dāng)x不為正整數(shù)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證f(x)=x?2x也滿足，

故x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有f(x)=x?2x，

所以f(0)=0，故A正確；f(2)=8，故B正確；

所以f′(x)=2x+x?2xln2，，故C不正確；

所以，

令，

則，

所以，

所以Sn=(n?1)×2n+1+2，故D正確．

故選：ABD．

先得到，再假設(shè)x為正整數(shù)，利用累乘法求出f(x)的解析式，再驗(yàn)證x不為正整數(shù)時(shí)，f(x)也符合題意，利用f(x)的解析式容易判斷ABC，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和可判斷D13.【答案】0.728

【解析】解：∵隨機(jī)變量X～N(6,σ2)，

∴曲線關(guān)于x=6對(duì)稱，，

．

故答案為：0.728．

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解．

本題主要考查了正態(tài)分布的對(duì)稱性，掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】2【解析】解：∵x，y>0，且2x?y=1，

∴x=y2+12，y>0，

∴x+1y=y2+1y+15.【答案】2【解析】解：

由已知可得，圓心C(1,0)，半徑r=1.因?yàn)镻A，PB為切線，

所以∠PAC=∠PBC=π2，所以P，B，C，A四點(diǎn)共圓，PC過(guò)圓心，所以，AB是圓C與圓D的公共弦，

所以AB⊥PC，且|PA|=|PC|2?r2=|PC|2?1，

又，所以，

顯然，當(dāng)|PC|增大時(shí)，|AB|也增大，

所以，當(dāng)|PC|最小時(shí)，|AB|有最小值．當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PC|最小，，

此時(shí)|AB|=21?12=2．

故答案為：2．

求出圓x2+y2?2x=016.【答案】(0,【解析】解：

設(shè)∠PF2F1=θ，則，，

由正弦定理可得，，

所以，，

根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，所以，

，

因?yàn)椋裕O(shè)，則t∈(22,32)，

則函數(shù)上單調(diào)遞增，

又，，

所以，，即．

故答案為：(0,33).

設(shè)，可得，，然后根據(jù)正弦定理可求出，，根據(jù)橢圓的定義可推得，化簡(jiǎn)整理得，求出，令t=cosθ，構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t?1t，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案．

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．17.【答案】解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn+1=2Sn+1，得Sn=2Sn?1+1，

兩式相減得an+1=2an，

由a1=1，，得a2=2=2a1，

故{an}是以1【解析】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn+1=2Sn+1，得Sn=2Sn?1+1，兩式相減得an+118.【答案】解：(1)因?yàn)椋?/p>

所以，所以，

即，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

所以，

即a2+c2=3b2，

所以；

(2)由題意可知cosB=a2+c2?b22ac=23，又a2+c2=3b2，可得a2+c2?2ac=0，

所以a=c，即【解析】(1)將切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理將角化邊，即可得證；

(2)由余弦定理及(1)的結(jié)論得到a=c，即可得到三角形為等腰三角形，利用二倍角公式求出cosB2，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)底面△BCD外接圓的半徑，

∵球心O到底面的距離為1，∴球半徑R=12+12=2，

∴球O的表面積為4πR2=8π．

(2)∵AB為球的直徑，∴BC⊥AC，BD⊥AD，

取AC的中點(diǎn)E，連接OE，則OE/?/BC，則⊥AC，

，AB=22，，

在等腰三角形ADC中，過(guò)E作EF⊥AC，交AD于F，連接OF，

則∠OEF是二面角B?AC?D的平面角，

，

在△ACD中，，，

，，

，

在△BAD中，，

在△OAF中，，

在△OEF中，，

∴二面角B?AC?D的余弦值為85【解析】(1)由正弦定理求出底面△BCD外接圓的半徑，再根據(jù)勾股定理求出球的半徑，然后用球的表面積公式可求出結(jié)果．

(2)取AC的中點(diǎn)E，連接OE，過(guò)E作EF⊥AC，交AD于F，連接OF，則∠OEF是二面角B?AC?D的平面角，解三角形可得結(jié)果．

本題考查球的表面積、二面角的定義及其余弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

20.【答案】解：(1)設(shè)甲一輪的得分為ξ，

則，，；

設(shè)乙一輪的得分為η，

則，，；

則甲最后一輪反敗為勝的概率．

(2)由題意知：所有可能的取值為0，1，2，3，

，

，

，

，

的數(shù)學(xué)期望．

【解析】(1)分別計(jì)算出甲、乙每輪得分可能取值對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)最后一輪甲反敗為勝可知，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式可求得結(jié)果；

(2)確定所有可能的取值后，可結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式可計(jì)算得到每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得結(jié)果．

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，是中檔題．

21.【答案】解：∵△ABD是面積為3的正三角形，，解得：a=3b=1，

∴橢圓C的方程為：x23+y2=1；

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則P′(x1,?y1)，Q′(x2,?y2)，

直線P′O方程為：y?y2=y2?y1x2?x1(x?x2)，即；

由對(duì)稱性可知：點(diǎn)K