2024年上海市金山區高考數學一模試卷

一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.若集合M={x|x2-2x<0},N={x||x|>1},則MnN=.

2.若復數z滿意2z+9=3-2i,其中i為虛數單位，則2=.

3.若sina=-得，且a為第四象限角，則tana的值等于—.

4.函數f（x）=c,sxsinx的最小正周期丁=.

sinxcosx

5.函數f（x）=2x+m的反函數為y=f-1（x）,且y=「i（x）的圖象過點Q（5,2）,那么

6.點（1,0）到雙曲線工_-y2=i的漸近線的距離是

2x-y<0|

7.若x,y滿意x+y<3，則2x+y的最大值為.

x》0

8.從5名學生中任選3人分別擔當語文、數學、英語課代表，其中學生甲不能擔當數學課

代表，共有一種不同的選法（結果用數值表示）.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t為參數）所表示的圓的圓心軌跡方程是—（結果化

為一般方程）

10.若如是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）綻開式中x2項的二項式系數，則

lira（―+-^-+-+^-）=.

n-8沁%

11.設數列{a?是集合{x|x=3，+3t,s<t且s,tGN}中全部的數從小到大排列成的數列，即

ai=4,a2=10,a3=12,皿=28,a5=30,a6=36,將數列{aj中各項依據上小下大，左小右

大的原則排成如圖的等腰直角三角形數表，則ai5的值為—.

pI

1012

283036

12.曲線C是平面內到直線h：x=-1和直線12：y=l的距離之積等于常數k2（k>0）的點

的軌跡，下列四個結論：

①曲線C過點（-1,1）；

②曲線C關于點（-1,1）成中心對稱；

③若點P在曲線C上，點A、B分別在直線11、12上，則|PA|+|PB|不小于2k；

④設Po為曲線C上隨意一點，則點P（）關于直線h：x=-1,點（-1,1）及直線f（x）對

稱的點分別為Pl、P2、P3，則四邊形PoPiP2P3的面積為定值4k2；其中，

全部正確結論的序號是—.

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.給定空間中的直線1與平面a,則“直線1與平面a垂直”是"直線1垂直于平面a上多數

條直線”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

14.己知x、ydR,且x>y>0,貝！|（）

A.B-耳）

|xy122

C.Iog2x+log2y>OD.sinx-siny>0

15.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）

二,,Ix"+(4a-3)x+3a,x<0一，"、“③

16.己知函數f(x)=1、(a>0,且aWl)在R上單調遞減，且

]loga(x+l)+l,x》0

關于X的方程If（x）1=2-X恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（）

D._2u

1a

三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD與

TT71

平面ABCD所成的角依次是石和arctanj，AP=2,E、F依次是PB、PC的中點；

（1）求異面直線EC與PD所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）

（2）求三棱錐P-AFD的體積.

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，設/BAC=X,記|《）二疝位;

。

（1）求函數f（X）的解析式及定義域；

（2）試寫出函數f（x）的單調遞增區間，并求方程f（x）=5的解.

______6

19.已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是（-1,0）,長軸長是短軸長的近倍,

直線1與橢圓C交于點A與B,且A、B都在x軸上方，滿意NOFA+NOFB=180。；

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)對于動直線1,是否存在一個定點，無論NOFA如何改變，直線1總經過此定點？若存

在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

20.已知函數g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在區間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,記

f(x)=g(|x|),x￡R；

(1)求實數a、b的值；

(2)若不等式［f(x)+g(x)>log4-210g2k-刎隨意xGR恒成立，求實數k的范圍；

(3)對于定義在［p,q］上的函數m(x),設x()=p,xn=q,用隨意Xi(i=l,2,n-1)

將［p,q］劃分成n個小區間，其中Xi」<Xi<Xi+i，若存在一個常數M>0,使得不等式|m(xo)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn-i)-m(xn)|WM恒成立，則稱函數m(x)

為在［p,q］上的有界變差函數，試證明函數f(x)是在［1,3］上的有界變差函數，并求出

M的最小值.

21.數列{bj的前n項和為Sn，且對隨意正整數n,都有SF嗖)；

(1)試證明數列{、}是等差數列，并求其通項公式；

(2)假如等比數列w共有2024項，其首項與公比均為2,在數列{aj的每相鄰兩項電與

用+1之間插入i個(-1)%(iGN*)后，得到一個新數列{7},求數列{/}中全部項的和；

(3)假如存在neN*,使不等式(n+l)(bn+『)<(n+l)入<bn+iy—成立，若存在,

求實數人的范圍，若不存在，請說明理由.

2024年上海市金山區高考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.若集合M={X|X2-2X<0},N={X||x|>1},則McN=(1,2).

【考點】交集及其運算.

【分析】解x2-2x<0可得集合乂=反|0<*<2},解團>1可得集合N,由交集的定義,

分析可得答案.

【解答】解：x2-2x<0?0<x<2,則集合M={x|0<x<2}=(0,2)

x|>lox<-1或X<>1,則集合N={x|-1<X<1}=(-8,-1)u(i,+8),

則MnN=(1,2),

故答案為：(1,2)

2.若復數z滿意2z+W=3-2i,其中i為虛數單位，則z=1-2i.

【考點】復數代數形式的加減運算._

【分析】設復數z=a+bi,(a、b是實數)，則值=a-bi,代入已知等式，再依據復數相等的含

義可得a、b的值，從而得到復數z的值._

【解答】解：設2=2+歷，(a、b是實數)，則占a-bi,

,.?2Z+Q=3-2i,

2a+2bi+a-bi=3-2i,

/.3a=3,b=-2,

解得a=l,b=-2,

則z=l-2i

故答案為：l-2i.

3.若sina=-*,且a為第四象限角，則tana的值等于

【考點】同角三角函數基本關系的運用.

【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求cosa,進而可求tana的值.

【解答】解：：sina=-2，且a為第四象限角,

■L0

cosxsinx

4.函數f(x)二的最小正周期T=n

sinxcosx

【考點】二階行列式與逆矩陣；兩角和與差的余弦函數；三角函數的周期性及其求法.

【分析】利用行列式的計算方法化簡f(x)解析式，再利用二倍角的余弦函數公式化為一

個角的余弦函數，找出3的值，即可求出最小正周期.

【解答】解：f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,

Vco=2,

/.T=H.

故答案為：n

5.函數f(x)=2x+m的反函數為y=11(x),且丫=11(x)的圖象過點Q(5,2),那么

m二1.

【考點】反函數.

【分析】依據反函數的性質可知：原函數與反函數的圖象關于y=x對稱，利用對稱關系可

得答案.

【解答】解：f(X)=2x+m的反函數丫=11(x),

?.?函數y=f-i(x)的圖象經過Q(5,2),原函數與反函數的圖象關于y=x對稱，

Af（x）=2x+m的圖象經過Q，（2,5）,

即4+m=5,

解得：m=l.

故答案為：1.

【考點】雙曲線的簡潔性質.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.

~~2~

【解答】解：雙曲線三丫2二1的一條漸近線方程為：x+2y=0,

4

2_

點（1,0）到雙曲線三-丫2=1的漸近線的距離是:

14yI

故答案為：點.

If2x-y<0|

7.若x,y滿意（x+y43，則2x+y的最大值為4.

hiI

【考點】簡潔線性規劃.

【分析】由約束條件作出可行域，數形結合得到最優解，求出最優解的坐標，代入目標函數

得答案.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）.

設z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，

此時z最大.

f2x-y=0|,Ifx=l|

由1，解得H,即A（1,2）,

x+尸3

代入目標函數z=2x+y得z=1X2+2=4.

即目標函數z=2x+y的最大值為4.

故答案為：4.

8.從5名學生中任選3人分別擔當語文、數學、英語課代表，其中學生甲不能擔當數學課

代表，共有48種不同的選法（結果用數值表示）.

【考點】排列、組合的實際應用.

【分析】依據分步計數原理，先支配數學課代表，再支配語文、英語課代表.

【解答】解：先從除了甲之外的4人選1人為數學課代表，再從包含甲在內的4人中選2

人為語文、英語課代表，依據分步計數原理可得，共有A41A42=48種，

故學生甲不能擔當數學課代表，共有48種不同的選法.

故答案為48.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t為參數）所表示的圓的圓心軌跡方程是x-2y=0（結

果化為一般方程）

【考點】軌跡方程.

【分析】把圓化為標準方程后得到：圓心坐標，令x=2t,y=t,消去t即可得到y與x的解

析式.

【解答】解：把圓的方程化為標準方程得（x-2t）2+（y-t）2=t2+4,圓心（2t,t）

則圓心坐標為所以消去t可得x=2y,即x-2y=0.

故答案為:x-2y=0

10.若an是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）綻開式中x2項的二項式系數，則

lim(4+…4)=2

n-8a?a?

【考點】數列的極限；二項式定理的應用.

【分析】（2+x）n（其中n=2,3,4,...）的綻開式，Tr+i,令r=2,可得時,再利用求和公

式化簡，利用數列的極限即可得出.

【解答】解：（2+x）n（其中產2,3,4,...）的綻開式，.聞引…朗,令r=2,可得:

n

T3=2

；.an是二項式（2+x）11（其中n=2,3,4,...）的綻開式中x的二項式系數,

n(n-1)

?an二

a2

則

9七*+…均芝14(1-匆■-另號+…年思

(2--)=2.

n

故答案為：2.

11.設數列凡)是集合集合=3，+竽，s<t且s,tGN｝中全部的數從小到大排列成的數列，即

ai=4,ai=10,aa=12,a4=28,a5=30,a6=36,將數列｛%｝中各項依據上小下大,左小右

大的原則排成如圖的等腰直角三角形數表，則ai5的值為324.

【考點】歸納推理.

【分析】假如用(t,s)表示3s+乎，則4=(0,1)=3°+31,10=(0,2)=3°+32,12=(1,2)

=31+32,....利用歸納推理即可得出.

【解答】解:假如用(3s)表示3s+乎,

則4=(0,1)=3°+31,

10=(0,2)=3°+32,

12=(1,2)=31+32,

28=(0,3)=30+33,

30=(1,3)=31+33,

36=(2,3)=32+33,....

利用歸納推理即可得：ai5=(4,5),則的5=34+35=324.

故答案為：324.

12.曲線C是平面內到直線h：x=-1和直線12：y=l的距離之積等于常數k2(k>0)的點

的軌跡，下列四個結論：

①曲線C過點(-1,1)；

②曲線C關于點(-1,1)成中心對稱；

③若點P在曲線C上，點A、B分別在直線11、12上，則|PA|+|PB|不小于2k；

④設Po為曲線C上隨意一點，則點Po關于直線h：x=-1,點(-1,1)及直線f(x)對

稱的點分別為Pi、P2、P3，則四邊形PoPiP2P3的面積為定值4k2；其中，

全部正確結論的序號是②③④.

【考點】命題的真假推斷與應用.

【分析】由題意曲線C是平面內到直線h：x=-1和直線12：丫=1的距離之積等于常數卜2

(k>0)的點的軌跡.利用干脆法，設動點坐標為(x,y),及可得到動點的軌跡方程，然

后由方程特點即可加以推斷.

【解答】解：由題意設動點坐標為（x,y）,則利用題意及點到直線間的距離公式的得：|x+l||y

-11=k2,

對于①，將（-1,1）代入驗證，此方程不過此點，所以①錯；

對于②，把方程中的x被-2-x代換，y被2-y代換，方程不變，故此曲線關于（-1,1）

對稱.所以②正確；

對于③，由題意知點P在曲線C上，點A,B分別在直線小｝上，則|PA|N|x+l|,|PB

ly-1一

A|PA|+|PB|N20PA||PBk2k,所以③正確；

對于④，由題意知點P在曲線C上，依據對稱性，

則四邊形P（）P1P2P3的面積=2|x+l|X2|y-l|=4|x+l||y-l|=4k2.所以④正確.

故答案為：②③④.

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.給定空間中的直線1與平面a,貝!T直線1與平面a垂直"是"直線1垂直于平面a上多數

條直線”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的推斷.

【分析】依據充分必要條件的定義推斷即可.

【解答】解：若：直線1與平面a垂直"，則"直線1垂直于平面a上多數條直線”，是充分條

件；

若直線1垂直于平面a上多數條直線，則直線1與平面a不肯定垂直，不是必要條件，

故選：A.

14.已知x、yER,且x>y>0,貝!|（）

A.k-^->dB.|4）x-（i）y<0

Ky22_______

C.Iog2x+log2y>0D.sinx-siny>0

【考點】不等式比較大小.

【分析】依據不等式的性質推斷A,依據特別值，推斷C,D,依據指數函數的性質推斷B

【解答】解：因為x>y>0,所以田書故A錯誤，

因為丫=W*為減函數，故B正確，

因為當l>x>y>0時，log2x+log2y=log2xy<0,故C錯誤，

因為當XF,y=q-時，sinx-siny<0,故D錯誤，

故選：B.

15.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構建

直觀圖，該幾何體為正方體內挖去一個圓錐.

【解答】解：由題意可知，該幾何體為正方體內挖去一個圓錐，

正方體的邊長為2,圓錐的底面半徑為1,高為2,

則正方體的體積為VI=23=8,圓錐的體積為V2餐02?2=圖

則該幾何體的體積為V=8-圖,

故選A.

x2+(4a-3)x+3a,x<CO

16.已知函數f(x)(a>0,且aWl)在R上單調遞減，且

loga(x+l)+l,x>0

關于X的方程If(x)I=2-X恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是()

【考點】分段函數的應用；根的存在性及根的個數推斷.

【分析】利用函數是減函數，依據對數的圖象和性質推斷出a的大致范圍，再依據f(x)為

減函數，得到不等式組，利用函數的圖象，方程的解的個數，推出a的范圍.

【解答】解:y=loga(x+1)+1在［0,+8)遞減,則OVaVL

函數f(x)在R上單調遞減，貝IJ：

(3-4a、

—2—>0

02+(4a-3)?0+3a〉log(0+1)+1

a________

解得,

由圖象可知，在［0,+8)上，|f(x)|=2-x有且僅有一個解,

故在(-8,0)上，|f(x)|=2-x同樣有且僅有一個解，

9

當3a>2即a>一時,聯立|x?+(4a-3)x+3a|=2-x,

3

則△二(4a-2)2-4(3a-2)=0,

解得a=^或1(舍去),

當lW3aW2時，由圖象可知，符合條件,

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD與

TT

平面ABCD所成的角依次是石和arctar專，AP=2,E、F依次是PB、PC的中點；

(1)求異面直線EC與PD所成角的大小；(結果用反三角函數值表示)

(2)求三棱錐P-AFD的體積.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角.

【分析】(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.利用向量

局與同所成角求得異面直線EC與PD所成角的大小；

(2)干脆利用Vp.AFD=Vp.ACD-VF-ADC求解.

【解答】解：(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

ITFIf

VAP=2,ZPBA=—?ZPDA=arctan—,

???AB=2,AD=4,貝!JP(0,0,2),D(0,4,0),E(1,0,1),C(2,4,0),

EC=(1,4,-1)1.|PD=(0,4,-2).

EC>PD183710

.cos<EC,PD>=

IECIIPDI而X2浜「F

3V10

異面直線EC與PD所成角的大小為arccos—-—

(2)VP_AFD=VP_ACD-VF-ACD=J義1"義4X2X2-：X-^-X4X2X1=4.

。乙。乙?J?

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，設NBAC=x,記|f(x)二標?前;

____________O

(1)求函數f(X)的解析式及定義域；

(2)試寫出函數f(x)的單調遞增區間，并求方程f(x)=《的解.

______6

【考點】平面對量數量積的運算.

【分析】(1)由條件利用正弦定理、兩個向量的數量積公式、三角恒等變換化簡函數f(x)

的解析式.

(2)利用正弦函數的單調性求得f(x)的單調區間，并求出x的值.

AD

【解答】解：(1)由正弦定理有聿-

/兀7

Isinxsin(-^--x)

—sinx)sinx=-sin(2x+—)

回0E

JT

其定義域為(0,彳)

7171JT

(2)*.*-——+2knW2x，——+2kn,k￡Z,

2I6I2

解得

19.已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是(-1,0),長軸長是短軸長的近倍，

直線1與橢圓C交于點A與B,且A、B都在x軸上方，滿意NOFA+NOFB=180。；

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)對于動直線1,是否存在一個定點，無論NOFA如何改變，直線1總經過此定點？若存

在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程.

~2~~2~

【分析】(1)由題意可知設橢圓的標準方程為：%+\=l(a>b>0),2a=^?2b,即a=?b,

a'/—―-

代入求得：a2=2,b2=l,即可求得橢圓C的標準方程；

(2)B關于x軸的對稱點刷在直線AF上.設直線AF方程：y=k(x+1),代入橢圓方程,

由韋達定理及直線的斜率公式，代入由

x2y1-XJ2Xk(x[+1)+X]Xk(x2+1)

，此能證明直線1總經過定點M(-2,

k(xj+l)+k(x2+l)

22

【解答】解：(1)設橢圓的標準方程為：巳+%=1(a>b>0),

a?b?

由題意可知：2a=|^?2b,即a=|V^b,

由c=l,則a2=b2+c2=b2+l,

代入求得：a2=2,b2=l,

(2)存在一個定點M(-2,0),無論/OFA如何改變，直線1總經過此定點

證明：由OFA+NOFB=180。，則B關于x軸的對稱點Bi在直線AF上.

設ACxi，yi),B(X2，y2).Bi(X2，72

|fy=k(x+l)I

設直線AF方程：y=k(x+1),代入122J

Yi-y

AB的方程：y-yi=—i――-9(x-xQ,

X]-x.

-

Yiy9

令y=0,得：Xi-yi*——----

X]-x.

yi=k(xi+1),y2=k(X2+I),

x-yx><k(x|+l)+xXk(x+l)2xjx+x|+x

x:2yiX1221222

yk(x|+l)+k(x2+l)x]+x2+2

ry2

-2,

20.已知函數g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在區間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,記

f(x)=g(|x|),x￡R；

(1)求實數a、b的值;

(2)若不等式歸位的史超匚^叱比二^對隨意xGR恒成立，求實數k的范圍；

(3)對于定義在［p,q］上的函數m(x),設x()=p,xn=q,用隨意Xi(i=l,2,n-1)

將［p，q］劃分成n個小區間，其中xp<xi<xi+i，若存在一個常數M>0,使得不等式|m(x。)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn_i)-m(xn)|WM恒成立，則稱函數m(x)

為在［p,q］上的有界變差函數，試證明函數f(x)是在［1,3］上的有界變差函數，并求出

M的最小值.

【考點】函數恒成立問題；函數的最值及其幾何意義.

【分析】(1)由已知中g(X)在區間［2,3］的最大值為4,最小值為1,結合函數的單調性

及最值，我們易構造出關于a,b的方程組，解得a,b的值；

(2)求出f(x),f(x)+g(x)》logjk-21og2k-3對隨意xGR恒成立等價于F(x)

iin=f(X)+g(X)恒成立，求實數k的范圍；

依據有界變差函數的定義，我們先將區間［1,3］進行劃分，進而推斷￡m(xi)-m(xi

1=1

-1)|WM是否恒成立，進而得到結論.

【解答】解：(1),函數g(x)=ax2-2ax+l+b,

Va>0,對稱軸x=l,

Ag(x)在區間［2,3］上是增函數，

又：函數g(x)故在區間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,

JaX22-2aX2+l+b=l

aX32-2aX3+l+b=4'

解得：a=l,b=0.

.*.g(x)=x2-2x+l

故實數a的值為1,b的值為0.

(2)由(1)可知g(x)=x2-2x+l,

Vf(x)=g(|x|),

.*.f(x)=x2-21xI+1,

f(x)+g(x)》log：k-21og2k-3對隨意xWR恒成立,

令F(x)=f(x)+g(x)=x2-2x+l+x2-21xI+l=i

［2x2+2,(x<0)

依據二次函數的圖象及性質可得F(x)^n=f(1)=0

則F(x)min》(logzk)2-21og2k-3恒成立，即：(log2k)2-21。g2kljwo

令log2k=t,

則有：t2-2t-3W0,

解得：-lWtW3,

即既*'

得：^<k<8

故得實數k的范圍為由，8］.

(3)函數f(x)為［1,3］上的有界變差函數.

因為函數f(x)為［1,3］上的單調遞增函數,且對隨意劃分T:l=X0<Xi<...<Xi<...<Xn=3

有f(1)=f(XQ)<f(xi)<...<f(xi)<...<f(xn)=f(3)

所以￡|m(xi)-m(xi-1)|=f(xi)-f(xo)+f(X2)-f(xi)<...<f(xn)-f(xn

i=l

-1)

=f(xn)-f(XQ)=f(3)-f(1)=4恒成立,

所以存在常數M,使得￡|m(xi)-m(xi-1)|WM是恒成立.

i=l

M的最小值為4,即乂向F4；

21.數列出口的前n項和為Sn，且對隨意正整數n,都有Sfn(非；

(1)試證明數列｛bj是等差數列，并求其通項公式；

(2)假如等比數列W共有2024項，其首項與公比均為2,在數列｛aj的每相鄰兩項組與

組+1之間插入i個(-1)%(iGN*)后，得到一個新數列｛cj,求數列｛cj中全部項的和；

220

(3)假如存在nGN*,使不等式(n+l)(bnk)<(n+l)入<%+1+^—成立，若存在，

14+i

求實數人的范圍，若不存在，請說明理由.

【考點】數列的應用；數列與函數的綜合.

【分析】(1)n=l