2024年高考數學專項硬解定理(解析版)

硬解定理

在解析幾何中，我們通常會涉及直線和圓錐曲線相交弦長的問題，我們前面的一般思路是聯立方程，結合韋達

定理,帶入弦長公式，這樣計算會相對較麻煩,我們在將圓錐曲線的方程與直線方程聯立求解時發現了可消項

的存在,整體消除并整理后可得到一般的弦長求解公式,該公式即為硬解定理.

硬解定理及其證明

若曲線/+支-=1與直線4%+3+。=0相交于石、尸兩點,則

mn

工-2ACmm(C2-B2n)ig創2/(疥d)1@代

劣1+62=--------，力便2=------------，△=mn(s-C),\EF\=------n-----'^^OEF——r7—，

￡￡同同

其中e=4機+B2n,△'為一與△同號的值，△'=工△.

4B2

定理簡證

設曲線——F—1與直線Ax+By+C—0相交于兩點.

mn

［二+j

聯立m十。一1得最終的二次方程：

Ax+By+c=0

(A2m+B2n)a^+2ACmx+C2m—mnB2—0

應用韋達定理可得

,_—2ACm

力］+力2——F9~，

Am+Bn

C2m—mnB2

力巡2二^-----9，

Am+Bn

A=4mnB2(A2m+B2n-C2).

22

由\EF\=V(iCi-?2)+(yi-y2)=1+(血+電/一4c巡2,

V4mn(A2+B2)(A2m+B2n-C2)

可得\EF\=

|A2m+B2n\

原點到直線EF的距禺：d_=一

oEF日J味?爐

1|C|J4mn(4+B2)(429+所一02)\C\y/mn(^m+B2n—C2)

S、OEF=~^^O-EF9舊F|

|A2m+B2n\|A2m+B2n\

令e=4m+B2rl,△'=工A,則得到硬解定理:

4B2

電+，尸二^一皿二處*2J(4+&)A，q_\C\4^

，bbOEF_77,

8S同

定理說明

應用該定理于橢圓三+耳=1時，應將［機代入.

a2b2In=b2

應用于雙曲線￡-￡=1時，應將｛；二:代入，同時(A2m+B2n)不應為零，即e不為零.

?M

^__i__y_—i

求解%+統，%敵即是求解《館n，只需將A與8的值互換且m與n的值互換，可知￡與△'的值

Ax+By+C=0

不會因此而改變.

注意：由于在高考中硬解定理不可直接應用，學生應如此解答才可得全步瞰分：

聯立兩方程得……（二次式子）

21+12=...①，X2X2—.....②

??I$l_1=J（21+22）2—4力便2=...

（此時代入①②式得到一個大式子，但不必化簡）

化簡得山-電|=,21（偷偷地直接套公式，不必真化簡X

\n+mk\

下面就可求弦長I=Vl+e\X1-x2\了.

硬解定理求弦長

制1斜率為1的直線I與橢圓C：-y+/=1相交于P、Q兩點，求\PQ\的最大值.

硬解定理求面積

ill過橢圓C*口=1的右焦點，傾斜角為6。。的直線交橢圓。于4B兩點，求"OB的面機

?M

血13設過點4(0,—2)的直線I與E]+*=1相交于P、Q兩點，當AOFQ的面積為1時,求直線I的方程.

同]4設直線I的傾斜角為冷，且與橢圓C-.^~+壬=1交于A、B兩點，求AAOBl。為坐標原點)面積的最大

O/U4

值.

???

硬解定理

在解析幾何中，我們通常會涉及直線和圓錐曲線相交弦長的問題，我們前面的一般思路是聯立方程，結合韋達

定理,帶入弦長公式，這樣計算會相對較麻煩,我們在將圓錐曲線的方程與直線方程聯立求解時發現了可消項

的存在,整體消除并整理后可得到一般的弦長求解公式,該公式即為硬解定理.

硬解定其證明

若曲線/+支-=1與直線人工+3+。=0相交于石、尸兩點,則

mn

22

工-2ACmm(C-Bn)?2.2A/(疥…@氏

,+力2=--------，力1力2=------------，△=mn(s-c),\EF\=------n-----'S^OEF-—rn-，

￡￡同同

其中e=4機+B2nM為一與△同號的值，△'=工△.

4B2

定理簡證

設曲線——F=1與直線Ax+By+C-0相交于兩點.

mn

［二+j

聯立m十。一1得最終的二次方程：

Ax+By+c=0

(A2m+B2n)^-\-2ACmx+C2m—mnB2—0

應用韋達定理可得

—24Cr7z

力i+力2=

A2?n+B2n

Gm一rrmB~

xx=

12A2m+B2n

A=4mnB2(A2m+B2n-C2).

22

由\EF\=V(iCi-?2)+(yi-y2)=

J4nm(&+B?)(4館+B2n-C?)

可得\EF\=

A2m+B2n|

原點到直線EF的距離：do.EF=

a—1jIT-，7pi—1J4nm(4+R2)(4加+p2n—⑺_+B2n-C?)

S&OEF=^d_-\EF\=-.../,,

oEF2222

22+B2|Am+Bn||Am+Bn\

令e=4m+B2n,A'=工A,則得到硬解定理：

4B2

2ACm

Xl+x2=~,X1X2=-9*九),△，=mn(￡_。2)，舊理=2邛毋)”,=匹婆.

￡￡同同

定理說明

應用該定理于橢圓三+￥=1時，應將［機=/代入.

a2b2In=b2

應用于雙曲線￡-￡=1時，應將二:代入，同時(A2m+B'%)不應為零，即e不為零.

^__i__y_—i

求解%+統，%敵即是求解《館n，只需將A與8的值互換且m與n的值互換，可知￡與△'的值

Ax+By+C=0

不會因此而改變.

注意：由于在高考中硬解定理不可直接應用，學生應如此解答才可得全步瞰分：

聯立兩方程得……（二次式子）

21+12=...①，X2X2—.....②

??I$l_1=J（21+22）2—4力便2=...

（此時代入①②式得到一個大式子，但不必化簡）

化簡得山-電|=,21（偷偷地直接套公式，不必真化簡X

\n+mk\

下面就可求弦長I=Vl+e\X1-x2\了.

硬解定理求弦長

制1斜率為1的直線I與橢圓c：-y+y2=1相交于P、Q兩點，求\PQ\的最大值.

【解析】設P、Q兩點的坐標分別為（xi,%）,（g,紡），直線/的方程為g=力+力，

聯立｛；+t4，消去"得5x，2+8tx+4（——1）=0,

洞I8+4（廿一1）

貝力1+42=--t,力何2=--P----.

55

由△>（）得。</<5,

\PQ\—4山一處|=Vl+fc2?J（g+/2）2—4/逆2=V2-y（―|-/；）2—4x4（\I）=4f.V5—t2

v0<t2<5

?，.當力=0時，

爐Qmax=4A

5

用硬解定理驗證答案：

2

橢圓。:子+y—1,直線/的方程為力一g+力=0,

帶入結論：\PQ\=，4館［4+.）（4M+杼九—02）①

=J5T,

|A2m+B2n|5

0<t2<5

?.?當1=。時，四￡=咿.

硬解定理求面積

22

網12過橢圓。：,+與=1的右焦點，傾斜角為60°的直線交橢圓。于4B兩點，求^AOB的面積.

【解析】過右焦點0）,斜率/:;=同的直線方程為y=V3x-3,

空+宣■=1

聯立《6+3一,，消去力化簡得7婿+6y一9=0.

,y—Vix—3

設點A（xlt明），點B（22,仇），

則yi+y2=--,仇坊=一名，?M

\yi-yi\=d⑶+紡)J4夕曲='2,

x

S&AOB=yXA/3X|yi-y2|=yV3X.j

用硬解定理驗證答案：

\C\y/mn(^m+B2n—C2)_6^6

SAOAB：

|A2m+B2n\7

血］3設過點A（0,-2）的直線l與E:亨+*=1相交于p、Q兩點，當AOPQ的面積為1時，求直線I的方程.

【解析】當，的斜率不存在或等于0時，不合題意，

故設直線l:y=kx—2,點P（61,7/1）,點Q（62,統）.

y=kx—2

聯立22+2_]得(1+4fc2)x2—16fcrr+12=0.

由A=16(4fc2-3)>0可得fc2>y|.

16k12

又,/力i+電：--------,6112=--------7

1+4*1+4k2

4J肥+1?J4k2一3

從而IPQ|=Vfc2+11力1—021=+1J(61+62)2—4/口2

4彥+1

又點O到直線PQ的距離d=—/2,

Vfc2+i

4A/A:2+1?V4fc2—3_4A/4fc2—3

?*-'OPQ的面積為S^pQ--^-d?\PQ\=4"x/：x1,

O

/NVfc+14fc2+l4k2+1

整理得16k4—56肥+49=0,

即（4后-7）2=0,解得肥二看，

.?.左=±等且滿足4>0.

?,?直線/的方程為y—~^~x—2或g——^~x—2.

用硬解定理驗證答案：

|C|V^(A2m+B2n-C2)_|一2卜4(4*-3)l^k=±^-

SAOPQ：

|A2m+B2n||4fc2+l|

刷4設直線，的傾斜角為字，且與橢圓。器+壬=1交于A、B兩點，求^AOB（O為坐標原點）面積的最大

值.

【解析】依題意可設直線Z的方程為夕=代工+

聯立</y2_，消去g整理得16/+10后3:+5館2-20=0