PAGE17-西藏拉薩市2024-2025學年高二數學上學期期末考試聯考試題理（含解析）一、選擇題：（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.假如，那么下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據不等式的性質推斷，錯誤的不等式可以舉反例說明．【詳解】但，，A錯，B錯；，C正確；，D錯．故選：C.【點睛】本題考查推斷不等式的正確性，駕馭不等式的性質是解題關鍵．對錯誤的不等式可通過舉反例推斷．2.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假如，，，那么（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】用正弦定理求解．【詳解】由題意，由得．故選：B.【點睛】本題考查正弦定理，已知兩角和一角對邊求另一角的對邊，可用正弦定理求解．3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據充分必要條件的定義推斷．【詳解】，∴命題是真命題，是假命題．題中應為必要不充分條件．故選：B.【點睛】本題考查充分必要條件的推斷，駕馭充要必要條件的定義是解題關鍵．4.幻方，是中國古代一種填數嬉戲．階幻方是指將連續個正整數排成的正方形數陣，使之同一行、同一列和同一對角線上的個數的和都相等．中國古籍《周易本義》中的《洛書》記載了一個三階幻方（如圖），即現在的如圖．若某3階幻方正中間的數是2024，則該幻方中的最小數為（）A2013 B.2014 C.2024 D.2024【答案】B【解析】【分析】依據三階幻方對應關系可得結果.【詳解】由題意得3階幻方正中間的數是5時，幻方中的最小數為1；因此3階幻方正中間的數是2024時幻方中的最小數為，選B.【點睛】本題考查合情推理，考查基本分析求解實力，屬基礎題.5.已知橢圓左、右焦點分別為，點M是橢圓C上的動點（不與頂點重合），那么的周長為（）A.6 B.8 C.10 D.【答案】D【解析】【分析】求出，依據橢圓定義可得．詳解】由題意，∴，又，∴的周長是．故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，駕馭橢圓定義是解題關鍵．橢圓上任一點與橢圓兩焦點形成的三角形（稱為焦點三角形）的周長為定值．6.下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.已知，那么的最小值為2C.命題“，”的否定是“，”D.命題“若，則”的否命題為“若，則”【答案】A【解析】【分析】對各個命題分別推斷．【詳解】A.若為真命題，則都是真命題，∴為真命題，正確．B.當時，，B錯；C.命題“，”的否定是，，C錯；D.命題“若，則”的否命題為“若，則”，D錯．故選：A.【點睛】本題考查命題真假的推斷，解題時可對各個命題分別推斷，然后得出正確結論．7.如圖，在直三棱柱中，,則異面直線與所成角的余弦值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵A1C1∥AC∴異面直線A1B與AC所成角為∠BA1C1易求A1B＝，∴cos∠BA1C1＝故選：A.考點：異面直線及其所成的角8.中，角，，所對的邊分別為、、，若，則為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0又sinA＞0∴cosB＜0即B為鈍角故選A9.等差數列的前項和為，且，若，則的最小值為（）A. B. C. D.16【答案】B【解析】【分析】由等差數列的性質和求和公式，求得，，求得，得到數列的通項公式，再利用等差數列的前n項和公式，求得，令，即可求解，得到答案．【詳解】由等差數列的性質可知，因為，則有，即，又因為，解得，即，所以公差，所以，所以，令，解得或（舍），故選B.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質，以及通項公式和前n項和的應用，其中解答中熟記等差數列的性質，以及等差數列的通項公式和前n項和公式，精確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題．10.已知雙曲線經過點，那么該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入點人坐標求出參數，然后可得漸近線方程．【詳解】由題意，，又，∴漸近線方程為．故選：D.【點睛】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題時可先由點的坐標代入后求出參數，再依據雙曲線的漸近線的定義寫出方程．11.已知數列為各項均不相等的等比數列，其前n項和為，且，，成等差數列，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由，，成等差數列求出數列的公比，然后再表示出后求值．【詳解】設數列公比為，則，∵，，成等差數列，∴，即，解得，．故選：D.【點睛】本題考查等比數列的通項公式與前項和，利用等差數列的性質求出數列公比，然后可求得比值．12.如圖所示，已知雙曲線：的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿意，且，則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的性質，推出，，通過求解三角形轉化求解離心率即可．【詳解】解：雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿意，且，可得，，，，所以，可得，，所以雙曲線的離心率為：．故選：．【點睛】本題考查雙曲線的簡潔性質的應用，三角形的解法，考查轉化思想以及計算實力，屬于中檔題．二、填空題：（把答案填在題中橫線上）13.設實數x，y滿意的約束條件，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，平移直線，當直線過點時，是最小值，當過點時，是最大值，∴取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查簡潔的線性規劃，解題關鍵是作出可行域．14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若、，，則_______.【答案】【解析】【分析】用余弦定理求出，用二倍角公式變形再由正弦定理轉化．【詳解】由題意，∴．故答案為：．【點睛】本題考查余弦定理，正弦定理，考查正弦的二倍角公式，屬于中檔題．15.已知等比數列的公比為q，能夠說明“若，則為遞增數列”是假命題的一組整數，，的值為依次________.【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】只要即可，隨意舉例即可．【詳解】如，，數列不是遞增數列．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查等比數列的單調性，駕馭等比數列的單調性是解題基礎．數列是等比數列，公比為，若或，則數列是遞增數列，若或，則數列是遞減數列，若，則數列是搖擺數列，若，則數列是常數列．16.阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是聞名的物理學家，也是聞名的數學家，他最早利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為_______.【答案】【解析】【分析】依據已知條件求出可得橢圓標準方程．【詳解】設橢圓方程為，則由已知得，解得，橢圓方程為．故答案為：．【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，解題時依據題意求出是求解的最基本的方法．三、解答題：（解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在等差數列中，若，.（1）求數列的公差d及通項公式；（2）記，求數列的前n項和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由公差和首項列方程組，解出后可得通項公式；（2）數列的和用分組求和法計算．【詳解】（1）記數列公差為，則，解得，∴．（2）由（1），．【點睛】本題考查等差數列的通項公式，考查分組（并項）求和法．駕馭等差數列與等比數列的前項和公式是解題基礎．18.在中,分別為內角所對的邊，且滿意.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)現給出三個條件：①；②；③.試從中選出兩個可以確定的條件，寫出你的選擇并以此為依據求的面積(只需寫出一個選定方案即可,選多種方案以第一種方案記分)【答案】解：(Ⅰ)依題意得，即．…………3分,．．．…………6分(Ⅱ)方案一：選擇①②由正弦定理，得．…………9分，．…………12分方案二：選擇①③由余弦定理，…………9分即，解得，所以．…………12分說明：若選擇②③，由得，不成立，這樣的三角形不存在．【解析】試題分析：（1）利用兩角和公式對已知等式化簡求得的值，進而求得；（2）選擇①②利用正弦定理先求得的值，進而利用三角形面積公式求得三角形的面積.試題解析：（1），∴.（2）選①②：，，，，∴..選①③：，∴，，.若選擇②③，由得：，不成立，這樣的三角形不存在.考點：（1）正弦定理；（2）余弦定理.19.己知數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）運用，證明數列是等比數列，計算通項，即可．（2）將通項代入，得到的通項，結合裂項相消法，計算求和，即可．【詳解】（1）數列的前n項和為，且當時，，解得：．當時，，得：，整理得：，即：常數，所以：數列是以，3為公比的等比數列，則：首項符合，故：．（2）由于，所以，所以：，則：，，．【點睛】考查了等比數列的判定，考查了裂項相消法，考查了等比數列通項計算方法，難度中等．20.如圖，在棱長為1的正方體中，點E是棱的中點，點F在棱上，且滿意.（1）求證：；（2）求平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）只要證明平面即可得；（2）以為軸建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的余弦．【詳解】（1）連接，正方形中，，又正方體中平面，平面，∴，，∴平面，∵平面，∴；（2）以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設正方體棱長為1，則，，，，∴，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，即，易知平面的一個法向量為，，∴平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查線面垂直性質定理，考查用空間向量法求二面角．立體幾何中證明線線垂直的常用方法就是先證線面垂直，再由線面垂直的性質定理得線線垂直．21.已知拋物線：.（1）若直線經過拋物線的焦點，求拋物線的準線方程；（2）若斜率為-1的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，當時，求拋物線的方程.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由拋物線焦點的位置，可以推斷出直線與橫軸的交點坐標就是拋物線的焦點，這樣可能干脆寫出拋物線的準線方程；（2）寫出斜率為-1經過拋物線的焦點的直線的方程，與拋物線方程聯立，依據拋物線的定義和根與系數的關系可以求出，結合已知，求出的值，寫出拋物線的方程.【詳解】(1)∵直線經過拋物線的焦點，∴拋物線的焦點坐標為，∴拋物線的準線方程為.（2）設過拋物線的焦點且斜率為-1的直線方程為，且直線與交于，，由化簡得，∴.∵，解得，∴拋物線的方程為.【點睛】本題考查了已知拋物線過定點，求拋物線的標準方程，以及運用拋物線的定義求其標準方程的問題.22.已知橢圓的短軸端點到右焦點的距離為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設經過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N.若點在以線段MN為直徑的圓上，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）題意說明，求得即得橢圓方程；（2）設直線方程為，，直線方程與橢圓方程聯立，消元后應用韋達定